Theorem hbtlem7 37695

Description: Functionality of leading coefficient ideal sequence. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hbtlem.p	|- P = (Poly1 ` R )
hbtlem.u	|- U = (LIdeal ` P )
hbtlem.s	|- S = (ldgIdlSeq ` R )
hbtlem7.t	|- T = (LIdeal ` R )

Assertion

Ref	Expression
hbtlem7	|- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> ( S ` I ) : NN0 --> T )

Proof of Theorem hbtlem7

Dummy variables i j x y r are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( deg1 ` R ) ` j ) <_ x /\ y = ( (coe1 ` j ) ` x ) ) -> y = ( (coe1 ` j ) ` x ) )
2	1	reximi 3011	. . . . . . . 8 |- ( E. j e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` j ) <_ x /\ y = ( (coe1 ` j ) ` x ) ) -> E. j e. I y = ( (coe1 ` j ) ` x ) )
3	2	ss2abi 3674	. . . . . . 7 |- { y | E. j e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` j ) <_ x /\ y = ( (coe1 ` j ) ` x ) ) } C_ { y | E. j e. I y = ( (coe1 ` j ) ` x ) }
4		abrexexg 7140	. . . . . . 7 |- ( I e. U -> { y | E. j e. I y = ( (coe1 ` j ) ` x ) } e. _V )
5		ssexg 4804	. . . . . . 7 |- ( ( { y | E. j e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` j ) <_ x /\ y = ( (coe1 ` j ) ` x ) ) } C_ { y | E. j e. I y = ( (coe1 ` j ) ` x ) } /\ { y | E. j e. I y = ( (coe1 ` j ) ` x ) } e. _V ) -> { y | E. j e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` j ) <_ x /\ y = ( (coe1 ` j ) ` x ) ) } e. _V )
6	3, 4, 5	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( I e. U -> { y | E. j e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` j ) <_ x /\ y = ( (coe1 ` j ) ` x ) ) } e. _V )
7	6	ralrimivw 2967	. . . . 5 |- ( I e. U -> A. x e. NN0 { y | E. j e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` j ) <_ x /\ y = ( (coe1 ` j ) ` x ) ) } e. _V )
8	7	adantl 482	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> A. x e. NN0 { y | E. j e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` j ) <_ x /\ y = ( (coe1 ` j ) ` x ) ) } e. _V )
9		eqid 2622	. . . . 5 |- ( x e. NN0 |-> { y | E. j e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` j ) <_ x /\ y = ( (coe1 ` j ) ` x ) ) } ) = ( x e. NN0 |-> { y | E. j e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` j ) <_ x /\ y = ( (coe1 ` j ) ` x ) ) } )
10	9	fnmpt 6020	. . . 4 |- ( A. x e. NN0 { y | E. j e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` j ) <_ x /\ y = ( (coe1 ` j ) ` x ) ) } e. _V -> ( x e. NN0 |-> { y | E. j e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` j ) <_ x /\ y = ( (coe1 ` j ) ` x ) ) } ) Fn NN0 )
11	8, 10	syl 17	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> ( x e. NN0 |-> { y | E. j e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` j ) <_ x /\ y = ( (coe1 ` j ) ` x ) ) } ) Fn NN0 )
12		hbtlem.s	. . . . . . 7 |- S = (ldgIdlSeq ` R )
13		elex 3212	. . . . . . . 8 |- ( R e. Ring -> R e. _V )
14		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( r = R -> (Poly1 ` r ) = (Poly1 ` R ) )
15		hbtlem.p	. . . . . . . . . . . . 13 |- P = (Poly1 ` R )
16	14, 15	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = R -> (Poly1 ` r ) = P )
17	16	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( r = R -> (LIdeal ` (Poly1 ` r ) ) = (LIdeal ` P ) )
18		hbtlem.u	. . . . . . . . . . 11 |- U = (LIdeal ` P )
19	17, 18	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . 10 |- ( r = R -> (LIdeal ` (Poly1 ` r ) ) = U )
20		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( r = R -> ( deg1 ` r ) = ( deg1 ` R ) )
21	20	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( r = R -> ( ( deg1 ` r ) ` j ) = ( ( deg1 ` R ) ` j ) )
22	21	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( r = R -> ( ( ( deg1 ` r ) ` j ) <_ x <-> ( ( deg1 ` R ) ` j ) <_ x ) )
23	22	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( r = R -> ( ( ( ( deg1 ` r ) ` j ) <_ x /\ y = ( (coe1 ` j ) ` x ) ) <-> ( ( ( deg1 ` R ) ` j ) <_ x /\ y = ( (coe1 ` j ) ` x ) ) ) )
24	23	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = R -> ( E. j e. i ( ( ( deg1 ` r ) ` j ) <_ x /\ y = ( (coe1 ` j ) ` x ) ) <-> E. j e. i ( ( ( deg1 ` R ) ` j ) <_ x /\ y = ( (coe1 ` j ) ` x ) ) ) )
25	24	abbidv 2741	. . . . . . . . . . 11 |- ( r = R -> { y | E. j e. i ( ( ( deg1 ` r ) ` j ) <_ x /\ y = ( (coe1 ` j ) ` x ) ) } = { y | E. j e. i ( ( ( deg1 ` R ) ` j ) <_ x /\ y = ( (coe1 ` j ) ` x ) ) } )
26	25	mpteq2dv 4745	. . . . . . . . . 10 |- ( r = R -> ( x e. NN0 |-> { y | E. j e. i ( ( ( deg1 ` r ) ` j ) <_ x /\ y = ( (coe1 ` j ) ` x ) ) } ) = ( x e. NN0 |-> { y | E. j e. i ( ( ( deg1 ` R ) ` j ) <_ x /\ y = ( (coe1 ` j ) ` x ) ) } ) )
27	19, 26	mpteq12dv 4733	. . . . . . . . 9 |- ( r = R -> ( i e. (LIdeal ` (Poly1 ` r ) ) |-> ( x e. NN0 |-> { y | E. j e. i ( ( ( deg1 ` r ) ` j ) <_ x /\ y = ( (coe1 ` j ) ` x ) ) } ) ) = ( i e. U |-> ( x e. NN0 |-> { y | E. j e. i ( ( ( deg1 ` R ) ` j ) <_ x /\ y = ( (coe1 ` j ) ` x ) ) } ) ) )
28		df-ldgis 37692	. . . . . . . . 9 |- ldgIdlSeq = ( r e. _V |-> ( i e. (LIdeal ` (Poly1 ` r ) ) |-> ( x e. NN0 |-> { y | E. j e. i ( ( ( deg1 ` r ) ` j ) <_ x /\ y = ( (coe1 ` j ) ` x ) ) } ) ) )
29		fvex 6201	. . . . . . . . . . 11 |- (LIdeal ` P ) e. _V
30	18, 29	eqeltri 2697	. . . . . . . . . 10 |- U e. _V
31	30	mptex 6486	. . . . . . . . 9 |- ( i e. U |-> ( x e. NN0 |-> { y | E. j e. i ( ( ( deg1 ` R ) ` j ) <_ x /\ y = ( (coe1 ` j ) ` x ) ) } ) ) e. _V
32	27, 28, 31	fvmpt 6282	. . . . . . . 8 |- ( R e. _V -> (ldgIdlSeq ` R ) = ( i e. U |-> ( x e. NN0 |-> { y | E. j e. i ( ( ( deg1 ` R ) ` j ) <_ x /\ y = ( (coe1 ` j ) ` x ) ) } ) ) )
33	13, 32	syl 17	. . . . . . 7 |- ( R e. Ring -> (ldgIdlSeq ` R ) = ( i e. U |-> ( x e. NN0 |-> { y | E. j e. i ( ( ( deg1 ` R ) ` j ) <_ x /\ y = ( (coe1 ` j ) ` x ) ) } ) ) )
34	12, 33	syl5eq 2668	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> S = ( i e. U |-> ( x e. NN0 |-> { y | E. j e. i ( ( ( deg1 ` R ) ` j ) <_ x /\ y = ( (coe1 ` j ) ` x ) ) } ) ) )
35	34	fveq1d 6193	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> ( S ` I ) = ( ( i e. U |-> ( x e. NN0 |-> { y | E. j e. i ( ( ( deg1 ` R ) ` j ) <_ x /\ y = ( (coe1 ` j ) ` x ) ) } ) ) ` I ) )
36		rexeq 3139	. . . . . . . 8 |- ( i = I -> ( E. j e. i ( ( ( deg1 ` R ) ` j ) <_ x /\ y = ( (coe1 ` j ) ` x ) ) <-> E. j e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` j ) <_ x /\ y = ( (coe1 ` j ) ` x ) ) ) )
37	36	abbidv 2741	. . . . . . 7 |- ( i = I -> { y | E. j e. i ( ( ( deg1 ` R ) ` j ) <_ x /\ y = ( (coe1 ` j ) ` x ) ) } = { y | E. j e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` j ) <_ x /\ y = ( (coe1 ` j ) ` x ) ) } )
38	37	mpteq2dv 4745	. . . . . 6 |- ( i = I -> ( x e. NN0 |-> { y | E. j e. i ( ( ( deg1 ` R ) ` j ) <_ x /\ y = ( (coe1 ` j ) ` x ) ) } ) = ( x e. NN0 |-> { y | E. j e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` j ) <_ x /\ y = ( (coe1 ` j ) ` x ) ) } ) )
39		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( i e. U |-> ( x e. NN0 |-> { y | E. j e. i ( ( ( deg1 ` R ) ` j ) <_ x /\ y = ( (coe1 ` j ) ` x ) ) } ) ) = ( i e. U |-> ( x e. NN0 |-> { y | E. j e. i ( ( ( deg1 ` R ) ` j ) <_ x /\ y = ( (coe1 ` j ) ` x ) ) } ) )
40		nn0ex 11298	. . . . . . 7 |- NN0 e. _V
41	40	mptex 6486	. . . . . 6 |- ( x e. NN0 |-> { y | E. j e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` j ) <_ x /\ y = ( (coe1 ` j ) ` x ) ) } ) e. _V
42	38, 39, 41	fvmpt 6282	. . . . 5 |- ( I e. U -> ( ( i e. U |-> ( x e. NN0 |-> { y | E. j e. i ( ( ( deg1 ` R ) ` j ) <_ x /\ y = ( (coe1 ` j ) ` x ) ) } ) ) ` I ) = ( x e. NN0 |-> { y | E. j e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` j ) <_ x /\ y = ( (coe1 ` j ) ` x ) ) } ) )
43	35, 42	sylan9eq 2676	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> ( S ` I ) = ( x e. NN0 |-> { y | E. j e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` j ) <_ x /\ y = ( (coe1 ` j ) ` x ) ) } ) )
44	43	fneq1d 5981	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> ( ( S ` I ) Fn NN0 <-> ( x e. NN0 |-> { y | E. j e. I ( ( ( deg1 ` R ) ` j ) <_ x /\ y = ( (coe1 ` j ) ` x ) ) } ) Fn NN0 ) )
45	11, 44	mpbird 247	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> ( S ` I ) Fn NN0 )
46		hbtlem7.t	. . . . 5 |- T = (LIdeal ` R )
47	15, 18, 12, 46	hbtlem2 37694	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U /\ x e. NN0 ) -> ( ( S ` I ) ` x ) e. T )
48	47	3expa 1265	. . 3 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. U ) /\ x e. NN0 ) -> ( ( S ` I ) ` x ) e. T )
49	48	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> A. x e. NN0 ( ( S ` I ) ` x ) e. T )
50		ffnfv 6388	. 2 |- ( ( S ` I ) : NN0 --> T <-> ( ( S ` I ) Fn NN0 /\ A. x e. NN0 ( ( S ` I ) ` x ) e. T ) )
51	45, 49, 50	sylanbrc 698	1 |- ( ( R e. Ring /\ I e. U ) -> ( S ` I ) : NN0 --> T )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888   <_ cle 10075   NN0cn0 11292   Ringcrg 18547  LIdealclidl 19170  Poly₁cpl1 19547  coe₁cco1 19548   deg₁ cdg1 23814  ldgIdlSeqcldgis 37691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-lidl 19174  df-ascl 19314  df-psr 19356  df-mvr 19357  df-mpl 19358  df-opsr 19360  df-psr1 19550  df-vr1 19551  df-ply1 19552  df-coe1 19553  df-cnfld 19747  df-mdeg 23815  df-deg1 23816  df-ldgis 37692

This theorem is referenced by:  hbt  37700