Theorem imasf1obl 22293

Description: The image of a metric space ball. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasf1obl.u	|- ( ph -> U = ( F "s R ) )
imasf1obl.v	|- ( ph -> V = ( Base ` R ) )
imasf1obl.f	|- ( ph -> F : V -1-1-onto-> B )
imasf1obl.r	|- ( ph -> R e. Z )
imasf1obl.e	|- E = ( ( dist ` R ) |` ( V X. V ) )
imasf1obl.d	|- D = ( dist ` U )
imasf1obl.m	|- ( ph -> E e. ( *Met ` V ) )
imasf1obl.x	|- ( ph -> P e. V )
imasf1obl.s	|- ( ph -> S e. RR* )

Assertion

Ref	Expression
imasf1obl	|- ( ph -> ( ( F ` P ) ( ball ` D ) S ) = ( F " ( P ( ball ` E ) S ) ) )

Proof of Theorem imasf1obl

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasf1obl.f	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F : V -1-1-onto-> B )
2		f1ocnvfv2 6533	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F : V -1-1-onto-> B /\ x e. B ) -> ( F ` ( `' F ` x ) ) = x )
3	1, 2	sylan 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( F ` ( `' F ` x ) ) = x )
4	3	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( ( F ` P ) D ( F ` ( `' F ` x ) ) ) = ( ( F ` P ) D x ) )
5		imasf1obl.u	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> U = ( F "s R ) )
6	5	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> U = ( F "s R ) )
7		imasf1obl.v	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> V = ( Base ` R ) )
8	7	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> V = ( Base ` R ) )
9	1	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> F : V -1-1-onto-> B )
10		imasf1obl.r	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> R e. Z )
11	10	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> R e. Z )
12		imasf1obl.e	. . . . . . . . 9 |- E = ( ( dist ` R ) |` ( V X. V ) )
13		imasf1obl.d	. . . . . . . . 9 |- D = ( dist ` U )
14		imasf1obl.m	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> E e. ( *Met ` V ) )
15	14	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> E e. ( *Met ` V ) )
16		imasf1obl.x	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> P e. V )
17	16	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> P e. V )
18		f1ocnv 6149	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : V -1-1-onto-> B -> `' F : B -1-1-onto-> V )
19	1, 18	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> `' F : B -1-1-onto-> V )
20		f1of 6137	. . . . . . . . . . 11 |- ( `' F : B -1-1-onto-> V -> `' F : B --> V )
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> `' F : B --> V )
22	21	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( `' F ` x ) e. V )
23	6, 8, 9, 11, 12, 13, 15, 17, 22	imasdsf1o 22179	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( ( F ` P ) D ( F ` ( `' F ` x ) ) ) = ( P E ( `' F ` x ) ) )
24	4, 23	eqtr3d 2658	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( ( F ` P ) D x ) = ( P E ( `' F ` x ) ) )
25	24	breq1d 4663	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( ( ( F ` P ) D x ) < S <-> ( P E ( `' F ` x ) ) < S ) )
26		imasf1obl.s	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S e. RR* )
27	26	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> S e. RR* )
28		elbl2 22195	. . . . . . 7 |- ( ( ( E e. ( *Met ` V ) /\ S e. RR* ) /\ ( P e. V /\ ( `' F ` x ) e. V ) ) -> ( ( `' F ` x ) e. ( P ( ball ` E ) S ) <-> ( P E ( `' F ` x ) ) < S ) )
29	15, 27, 17, 22, 28	syl22anc 1327	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( ( `' F ` x ) e. ( P ( ball ` E ) S ) <-> ( P E ( `' F ` x ) ) < S ) )
30	25, 29	bitr4d 271	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( ( ( F ` P ) D x ) < S <-> ( `' F ` x ) e. ( P ( ball ` E ) S ) ) )
31	30	pm5.32da 673	. . . 4 |- ( ph -> ( ( x e. B /\ ( ( F ` P ) D x ) < S ) <-> ( x e. B /\ ( `' F ` x ) e. ( P ( ball ` E ) S ) ) ) )
32	5, 7, 1, 10, 12, 13, 14	imasf1oxmet 22180	. . . . 5 |- ( ph -> D e. ( *Met ` B ) )
33		f1of 6137	. . . . . . 7 |- ( F : V -1-1-onto-> B -> F : V --> B )
34	1, 33	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> F : V --> B )
35	34, 16	ffvelrnd 6360	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` P ) e. B )
36		elbl 22193	. . . . 5 |- ( ( D e. ( *Met ` B ) /\ ( F ` P ) e. B /\ S e. RR* ) -> ( x e. ( ( F ` P ) ( ball ` D ) S ) <-> ( x e. B /\ ( ( F ` P ) D x ) < S ) ) )
37	32, 35, 26, 36	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( ( F ` P ) ( ball ` D ) S ) <-> ( x e. B /\ ( ( F ` P ) D x ) < S ) ) )
38		f1ofn 6138	. . . . 5 |- ( `' F : B -1-1-onto-> V -> `' F Fn B )
39		elpreima 6337	. . . . 5 |- ( `' F Fn B -> ( x e. ( `' `' F " ( P ( ball ` E ) S ) ) <-> ( x e. B /\ ( `' F ` x ) e. ( P ( ball ` E ) S ) ) ) )
40	19, 38, 39	3syl 18	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. ( `' `' F " ( P ( ball ` E ) S ) ) <-> ( x e. B /\ ( `' F ` x ) e. ( P ( ball ` E ) S ) ) ) )
41	31, 37, 40	3bitr4d 300	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( ( F ` P ) ( ball ` D ) S ) <-> x e. ( `' `' F " ( P ( ball ` E ) S ) ) ) )
42	41	eqrdv 2620	. 2 |- ( ph -> ( ( F ` P ) ( ball ` D ) S ) = ( `' `' F " ( P ( ball ` E ) S ) ) )
43		imacnvcnv 5599	. 2 |- ( `' `' F " ( P ( ball ` E ) S ) ) = ( F " ( P ( ball ` E ) S ) )
44	42, 43	syl6eq 2672	1 |- ( ph -> ( ( F ` P ) ( ball ` D ) S ) = ( F " ( P ( ball ` E ) S ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   |` cres 5116   "cima 5117   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RR*cxr 10073   < clt 10074   Basecbs 15857   distcds 15950   "_s cimas 16164   *Metcxmt 19731   ballcbl 19733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-xrs 16162  df-imas 16168  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-bl 19741

This theorem is referenced by:  imasf1oxms  22294