Theorem ipval2 27562

Description: Expansion of the inner product value ipval 27558. (Contributed by NM, 31-Jan-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dipfval.1	|- X = ( BaseSet ` U )
dipfval.2	|- G = ( +v ` U )
dipfval.4	|- S = ( .sOLD ` U )
dipfval.6	|- N = ( normCV ` U )
dipfval.7	|- P = ( .iOLD ` U )

Assertion

Ref	Expression
ipval2	|- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A P B ) = ( ( ( ( ( N ` ( A G B ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) + ( _i x. ( ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) / 4 ) )

Proof of Theorem ipval2

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dipfval.1	. . 3 |- X = ( BaseSet ` U )
2		dipfval.2	. . 3 |- G = ( +v ` U )
3		dipfval.4	. . 3 |- S = ( .sOLD ` U )
4		dipfval.6	. . 3 |- N = ( normCV ` U )
5		dipfval.7	. . 3 |- P = ( .iOLD ` U )
6	1, 2, 3, 4, 5	ipval 27558	. 2 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A P B ) = ( sum_ k e. ( 1 ... 4 ) ( ( _i ^ k ) x. ( ( N ` ( A G ( ( _i ^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) ) / 4 ) )
7		ax-icn 9995	. . . . . . . . 9 |- _i e. CC
8	1, 2, 3, 4, 5	ipval2lem4 27561	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) /\ _i e. CC ) -> ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) e. CC )
9	7, 8	mpan2 707	. . . . . . . . 9 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) e. CC )
10		mulcl 10020	. . . . . . . . 9 |- ( ( _i e. CC /\ ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) e. CC ) -> ( _i x. ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) e. CC )
11	7, 9, 10	sylancr 695	. . . . . . . 8 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( _i x. ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) e. CC )
12		neg1cn 11124	. . . . . . . . 9 |- -u 1 e. CC
13	1, 2, 3, 4, 5	ipval2lem4 27561	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -u 1 e. CC ) -> ( ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) e. CC )
14	12, 13	mpan2 707	. . . . . . . 8 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) e. CC )
15	11, 14	subcld 10392	. . . . . . 7 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( ( _i x. ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) - ( ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) e. CC )
16		negicn 10282	. . . . . . . . 9 |- -u _i e. CC
17	1, 2, 3, 4, 5	ipval2lem4 27561	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) /\ -u _i e. CC ) -> ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) e. CC )
18	16, 17	mpan2 707	. . . . . . . 8 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) e. CC )
19		mulcl 10020	. . . . . . . 8 |- ( ( _i e. CC /\ ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) e. CC ) -> ( _i x. ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) e. CC )
20	7, 18, 19	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( _i x. ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) e. CC )
21	15, 20	negsubd 10398	. . . . . 6 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( ( ( _i x. ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) - ( ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) + -u ( _i x. ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) = ( ( ( _i x. ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) - ( ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) - ( _i x. ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
22	14	mulm1d 10482	. . . . . . . . 9 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( -u 1 x. ( ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) = -u ( ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )
23	22	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( ( _i x. ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) + ( -u 1 x. ( ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) = ( ( _i x. ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) + -u ( ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )
24	11, 14	negsubd 10398	. . . . . . . 8 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( ( _i x. ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) + -u ( ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( _i x. ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) - ( ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )
25	23, 24	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( ( _i x. ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) + ( -u 1 x. ( ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) = ( ( _i x. ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) - ( ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )
26		mulneg1 10466	. . . . . . . 8 |- ( ( _i e. CC /\ ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) e. CC ) -> ( -u _i x. ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) = -u ( _i x. ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )
27	7, 18, 26	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( -u _i x. ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) = -u ( _i x. ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )
28	25, 27	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( ( ( _i x. ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) + ( -u 1 x. ( ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) + ( -u _i x. ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) = ( ( ( _i x. ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) - ( ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) + -u ( _i x. ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
29		subdi 10463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( _i e. CC /\ ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) e. CC /\ ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) e. CC ) -> ( _i x. ( ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) = ( ( _i x. ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) - ( _i x. ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
30	7, 29	mp3an1 1411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) e. CC /\ ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) e. CC ) -> ( _i x. ( ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) = ( ( _i x. ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) - ( _i x. ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
31	9, 18, 30	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( _i x. ( ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) = ( ( _i x. ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) - ( _i x. ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
32	31	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( ( _i x. ( ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) - ( ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( _i x. ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) - ( _i x. ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) - ( ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )
33	11, 20, 14	sub32d 10424	. . . . . . 7 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( ( ( _i x. ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) - ( _i x. ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) - ( ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( _i x. ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) - ( ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) - ( _i x. ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
34	32, 33	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( ( _i x. ( ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) - ( ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( _i x. ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) - ( ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) - ( _i x. ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
35	21, 28, 34	3eqtr4d 2666	. . . . 5 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( ( ( _i x. ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) + ( -u 1 x. ( ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) + ( -u _i x. ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) = ( ( _i x. ( ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) - ( ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )
36	1, 3	nvsid 27482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. NrmCVec /\ B e. X ) -> ( 1 S B ) = B )
37	36	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. NrmCVec /\ B e. X ) -> ( A G ( 1 S B ) ) = ( A G B ) )
38	37	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ( U e. NrmCVec /\ B e. X ) -> ( N ` ( A G ( 1 S B ) ) ) = ( N ` ( A G B ) ) )
39	38	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ( U e. NrmCVec /\ B e. X ) -> ( ( N ` ( A G ( 1 S B ) ) ) ^ 2 ) = ( ( N ` ( A G B ) ) ^ 2 ) )
40	39	3adant2 1080	. . . . . . 7 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( ( N ` ( A G ( 1 S B ) ) ) ^ 2 ) = ( ( N ` ( A G B ) ) ^ 2 ) )
41	40	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( 1 x. ( ( N ` ( A G ( 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) = ( 1 x. ( ( N ` ( A G B ) ) ^ 2 ) ) )
42	1, 2, 3, 4, 5	ipval2lem3 27560	. . . . . . . 8 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( ( N ` ( A G B ) ) ^ 2 ) e. RR )
43	42	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( ( N ` ( A G B ) ) ^ 2 ) e. CC )
44	43	mulid2d 10058	. . . . . 6 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( 1 x. ( ( N ` ( A G B ) ) ^ 2 ) ) = ( ( N ` ( A G B ) ) ^ 2 ) )
45	41, 44	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( 1 x. ( ( N ` ( A G ( 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( N ` ( A G B ) ) ^ 2 ) )
46	35, 45	oveq12d 6668	. . . 4 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( ( ( ( _i x. ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) + ( -u 1 x. ( ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) + ( -u _i x. ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) + ( 1 x. ( ( N ` ( A G ( 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) = ( ( ( _i x. ( ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) - ( ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) + ( ( N ` ( A G B ) ) ^ 2 ) ) )
47		nnuz 11723	. . . . . 6 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
48		df-4 11081	. . . . . 6 |- 4 = ( 3 + 1 )
49		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( k = 4 -> ( _i ^ k ) = ( _i ^ 4 ) )
50		i4 12967	. . . . . . . 8 |- ( _i ^ 4 ) = 1
51	49, 50	syl6eq 2672	. . . . . . 7 |- ( k = 4 -> ( _i ^ k ) = 1 )
52	51	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( k = 4 -> ( ( _i ^ k ) S B ) = ( 1 S B ) )
53	52	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( k = 4 -> ( A G ( ( _i ^ k ) S B ) ) = ( A G ( 1 S B ) ) )
54	53	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( k = 4 -> ( N ` ( A G ( ( _i ^ k ) S B ) ) ) = ( N ` ( A G ( 1 S B ) ) ) )
55	54	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( k = 4 -> ( ( N ` ( A G ( ( _i ^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) = ( ( N ` ( A G ( 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )
56	51, 55	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( k = 4 -> ( ( _i ^ k ) x. ( ( N ` ( A G ( ( _i ^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) ) = ( 1 x. ( ( N ` ( A G ( 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )
57		nnnn0 11299	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> k e. NN0 )
58		expcl 12878	. . . . . . . . 9 |- ( ( _i e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( _i ^ k ) e. CC )
59	7, 57, 58	sylancr 695	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN -> ( _i ^ k ) e. CC )
60	59	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) /\ k e. NN ) -> ( _i ^ k ) e. CC )
61	1, 2, 3, 4, 5	ipval2lem4 27561	. . . . . . . 8 |- ( ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) /\ ( _i ^ k ) e. CC ) -> ( ( N ` ( A G ( ( _i ^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) e. CC )
62	59, 61	sylan2 491	. . . . . . 7 |- ( ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) /\ k e. NN ) -> ( ( N ` ( A G ( ( _i ^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) e. CC )
63	60, 62	mulcld 10060	. . . . . 6 |- ( ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) /\ k e. NN ) -> ( ( _i ^ k ) x. ( ( N ` ( A G ( ( _i ^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) ) e. CC )
64		df-3 11080	. . . . . . 7 |- 3 = ( 2 + 1 )
65		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( k = 3 -> ( _i ^ k ) = ( _i ^ 3 ) )
66		i3 12966	. . . . . . . . 9 |- ( _i ^ 3 ) = -u _i
67	65, 66	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 |- ( k = 3 -> ( _i ^ k ) = -u _i )
68	67	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = 3 -> ( ( _i ^ k ) S B ) = ( -u _i S B ) )
69	68	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( k = 3 -> ( A G ( ( _i ^ k ) S B ) ) = ( A G ( -u _i S B ) ) )
70	69	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( k = 3 -> ( N ` ( A G ( ( _i ^ k ) S B ) ) ) = ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) )
71	70	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( k = 3 -> ( ( N ` ( A G ( ( _i ^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) = ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) )
72	67, 71	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( k = 3 -> ( ( _i ^ k ) x. ( ( N ` ( A G ( ( _i ^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) ) = ( -u _i x. ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )
73		df-2 11079	. . . . . . . 8 |- 2 = ( 1 + 1 )
74		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 |- ( k = 2 -> ( _i ^ k ) = ( _i ^ 2 ) )
75		i2 12965	. . . . . . . . . 10 |- ( _i ^ 2 ) = -u 1
76	74, 75	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9 |- ( k = 2 -> ( _i ^ k ) = -u 1 )
77	76	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = 2 -> ( ( _i ^ k ) S B ) = ( -u 1 S B ) )
78	77	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = 2 -> ( A G ( ( _i ^ k ) S B ) ) = ( A G ( -u 1 S B ) ) )
79	78	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( k = 2 -> ( N ` ( A G ( ( _i ^ k ) S B ) ) ) = ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) )
80	79	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( k = 2 -> ( ( N ` ( A G ( ( _i ^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) = ( ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) )
81	76, 80	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( k = 2 -> ( ( _i ^ k ) x. ( ( N ` ( A G ( ( _i ^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) ) = ( -u 1 x. ( ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) )
82		1z 11407	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. ZZ
83		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = 1 -> ( _i ^ k ) = ( _i ^ 1 ) )
84		exp1 12866	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( _i e. CC -> ( _i ^ 1 ) = _i )
85	7, 84	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( _i ^ 1 ) = _i
86	83, 85	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = 1 -> ( _i ^ k ) = _i )
87	86	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = 1 -> ( ( _i ^ k ) S B ) = ( _i S B ) )
88	87	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = 1 -> ( A G ( ( _i ^ k ) S B ) ) = ( A G ( _i S B ) ) )
89	88	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = 1 -> ( N ` ( A G ( ( _i ^ k ) S B ) ) ) = ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) )
90	89	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = 1 -> ( ( N ` ( A G ( ( _i ^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) = ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) )
91	86, 90	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = 1 -> ( ( _i ^ k ) x. ( ( N ` ( A G ( ( _i ^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) ) = ( _i x. ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )
92	91	fsum1 14476	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( _i x. ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) e. CC ) -> sum_ k e. ( 1 ... 1 ) ( ( _i ^ k ) x. ( ( N ` ( A G ( ( _i ^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) ) = ( _i x. ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )
93	82, 11, 92	sylancr 695	. . . . . . . . 9 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> sum_ k e. ( 1 ... 1 ) ( ( _i ^ k ) x. ( ( N ` ( A G ( ( _i ^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) ) = ( _i x. ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) )
94		1nn 11031	. . . . . . . . 9 |- 1 e. NN
95	93, 94	jctil 560	. . . . . . . 8 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( 1 e. NN /\ sum_ k e. ( 1 ... 1 ) ( ( _i ^ k ) x. ( ( N ` ( A G ( ( _i ^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) ) = ( _i x. ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
96		eqidd 2623	. . . . . . . 8 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( ( _i x. ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) + ( -u 1 x. ( ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) = ( ( _i x. ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) + ( -u 1 x. ( ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
97	47, 73, 81, 63, 95, 96	fsump1i 14500	. . . . . . 7 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( 2 e. NN /\ sum_ k e. ( 1 ... 2 ) ( ( _i ^ k ) x. ( ( N ` ( A G ( ( _i ^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( _i x. ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) + ( -u 1 x. ( ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
98		eqidd 2623	. . . . . . 7 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( ( ( _i x. ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) + ( -u 1 x. ( ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) + ( -u _i x. ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) = ( ( ( _i x. ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) + ( -u 1 x. ( ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) + ( -u _i x. ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
99	47, 64, 72, 63, 97, 98	fsump1i 14500	. . . . . 6 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( 3 e. NN /\ sum_ k e. ( 1 ... 3 ) ( ( _i ^ k ) x. ( ( N ` ( A G ( ( _i ^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( _i x. ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) + ( -u 1 x. ( ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) + ( -u _i x. ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
100		eqidd 2623	. . . . . 6 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( ( ( ( _i x. ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) + ( -u 1 x. ( ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) + ( -u _i x. ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) + ( 1 x. ( ( N ` ( A G ( 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) = ( ( ( ( _i x. ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) + ( -u 1 x. ( ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) + ( -u _i x. ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) + ( 1 x. ( ( N ` ( A G ( 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
101	47, 48, 56, 63, 99, 100	fsump1i 14500	. . . . 5 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( 4 e. NN /\ sum_ k e. ( 1 ... 4 ) ( ( _i ^ k ) x. ( ( N ` ( A G ( ( _i ^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( _i x. ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) + ( -u 1 x. ( ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) + ( -u _i x. ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) + ( 1 x. ( ( N ` ( A G ( 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
102	101	simprd 479	. . . 4 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> sum_ k e. ( 1 ... 4 ) ( ( _i ^ k ) x. ( ( N ` ( A G ( ( _i ^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( _i x. ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) + ( -u 1 x. ( ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) + ( -u _i x. ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) + ( 1 x. ( ( N ` ( A G ( 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
103	43, 14	subcld 10392	. . . . . 6 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( ( ( N ` ( A G B ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) e. CC )
104	9, 18	subcld 10392	. . . . . . 7 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) e. CC )
105		mulcl 10020	. . . . . . 7 |- ( ( _i e. CC /\ ( ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) e. CC ) -> ( _i x. ( ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) e. CC )
106	7, 104, 105	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( _i x. ( ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) e. CC )
107	103, 106	addcomd 10238	. . . . 5 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( ( ( ( N ` ( A G B ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) + ( _i x. ( ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) = ( ( _i x. ( ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) + ( ( ( N ` ( A G B ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
108	106, 14, 43	subadd23d 10414	. . . . 5 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( ( ( _i x. ( ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) - ( ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) + ( ( N ` ( A G B ) ) ^ 2 ) ) = ( ( _i x. ( ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) + ( ( ( N ` ( A G B ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
109	107, 108	eqtr4d 2659	. . . 4 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( ( ( ( N ` ( A G B ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) + ( _i x. ( ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) = ( ( ( _i x. ( ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) - ( ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) + ( ( N ` ( A G B ) ) ^ 2 ) ) )
110	46, 102, 109	3eqtr4d 2666	. . 3 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> sum_ k e. ( 1 ... 4 ) ( ( _i ^ k ) x. ( ( N ` ( A G ( ( _i ^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( ( N ` ( A G B ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) + ( _i x. ( ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
111	110	oveq1d 6665	. 2 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( sum_ k e. ( 1 ... 4 ) ( ( _i ^ k ) x. ( ( N ` ( A G ( ( _i ^ k ) S B ) ) ) ^ 2 ) ) / 4 ) = ( ( ( ( ( N ` ( A G B ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) + ( _i x. ( ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) / 4 ) )
112	6, 111	eqtrd 2656	1 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A P B ) = ( ( ( ( ( N ` ( A G B ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u 1 S B ) ) ) ^ 2 ) ) + ( _i x. ( ( ( N ` ( A G ( _i S B ) ) ) ^ 2 ) - ( ( N ` ( A G ( -u _i S B ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) / 4 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   1c1 9937   _ici 9938   + caddc 9939   x. cmul 9941   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   3c3 11071   4c4 11072   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ...cfz 12326   ^cexp 12860   sum_csu 14416   NrmCVeccnv 27439   +vcpv 27440   BaseSetcba 27441   .sOLDcns 27442   norm_CVcnmcv 27445   .iOLDcdip 27555

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-grpo 27347  df-ablo 27399  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-nmcv 27455  df-dip 27556

This theorem is referenced by:  4ipval2  27563  ipval3  27564  ipidsq  27565  dipcj  27569  dip0r  27572