isprm5 - Metamath Proof Explorer

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Theorem isprm5 15419

Description: One need only check prime divisors of

up to

in order to ensure primality. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
isprm5	$/\$

Distinct variable group:

Proof of Theorem isprm5 Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isprm4 15397	. 2 $/\$
2		prmuz2 15408	. . . . . . . 8
3	2	a1i 11	. . . . . . 7
4		eluz2b2 11761	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
5	4	simprbi 480	. . . . . . . . . . . 12
6		eluzelre 11698	. . . . . . . . . . . . 13
7		eluz2nn 11726	. . . . . . . . . . . . . 14
8	7	nngt0d 11064	. . . . . . . . . . . . 13
9		ltmulgt11 10883	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
10	6, 6, 8, 9	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12
11	5, 10	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11
12	6, 6	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . 12
13	6, 12	ltnled 10184	. . . . . . . . . . 11
14	11, 13	mpbid 222	. . . . . . . . . 10
15		oveq12 6659	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
16	15	anidms 677	. . . . . . . . . . . 12
17	16	breq1d 4663	. . . . . . . . . . 11
18	17	notbid 308	. . . . . . . . . 10
19	14, 18	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . 9
20	19	imim2d 57	. . . . . . . 8
21		con2 130	. . . . . . . 8
22	20, 21	syl6 35	. . . . . . 7
23	3, 22	imim12d 81	. . . . . 6
24	23	ralimdv2 2961	. . . . 5
25		annim 441	. . . . . . . . 9 $/\$
26		oveq12 6659	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
27	26	anidms 677	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
28	27	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . 16
29		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . 16
30	28, 29	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
31	30	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
32	31	ancom2s 844	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
33	32	expr 643	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
34	33	ad2ant2lr 784	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
35		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
36		eluzelz 11697	. . . . . . . . . . . . . . . 16
37	36	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
38		eluz2nn 11726	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
39	38	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
40	39	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
41		eluzelz 11697	. . . . . . . . . . . . . . . 16
42	41	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
43		dvdsval2 14986	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
44	37, 40, 42, 43	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
45	35, 44	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
46		eluzelre 11698	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
47	46	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
48	47	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
49	48	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
50	7	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
51		dvdsle 15032	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
52	51	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
53	37, 50, 35, 52	syl21anc 1325	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
54		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
55	54	neqned 2801	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
56	55	necomd 2849	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
57	6	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
58	47, 57	ltlend 10182	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
59	53, 56, 58	mpbir2and 957	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
60	49, 59	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
61		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
62	42	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
63		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
64		nngt0 11049	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
65	63, 64	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
66	39, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
67		ltmuldiv 10896	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
68	61, 62, 66, 67	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
69	60, 68	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
70		eluz2b1 11759	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
71	45, 69, 70	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
72	47, 47	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
73	39, 39	nnmulcld 11068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
74		nnrp 11842	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
75		nnrp 11842	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
76		rpdivcl 11856	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
77	74, 75, 76	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
78	50, 73, 77	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
79	57, 72, 78	lemul1d 11915	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
80	57	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
81	80, 48, 80, 48, 40, 40	divmuldivd 10842	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
82	73	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
83	73	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
84	80, 80, 82, 83	divassd 10836	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
85	81, 84	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
86	80, 82, 83	divcan2d 10803	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
87	86	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
88	85, 87	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
89	79, 88	bitr4d 271	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
90	89	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
91	80, 48, 40	divcan2d 10803	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
92		dvds0lem 14992	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
93	37, 45, 42, 91, 92	syl31anc 1329	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
94	90, 93	jctird 567	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
95		oveq12 6659	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
96	95	anidms 677	. . . . . . . . . . . . . . 15
97	96	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . 14
98		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . 14
99	97, 98	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
100	99	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
101	71, 94, 100	syl6an 568	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102	72, 57	letrid 10189	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
103	34, 101, 102	mpjaod 396	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
104	103	ex 450	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
105	25, 104	syl5bir 233	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
106	105	rexlimdva 3031	. . . . . . 7 $/\$
107		prmz 15389	. . . . . . . . . . . . . . 15
108	107	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109	108	zred 11482	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
110	109, 109	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
111		eluzelz 11697	. . . . . . . . . . . . . . 15
112	111	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
113	112	zred 11482	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
114	113, 113	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
115	41	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
116	115	zred 11482	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
117		eluz2nn 11726	. . . . . . . . . . . . . . 15
118	117	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
119		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
120		dvdsle 15032	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
121	120	imp 445	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
122	108, 118, 119, 121	syl21anc 1325	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
123		eluzge2nn0 11727	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
124	123	nn0ge0d 11354	. . . . . . . . . . . . . . . 16
125	2, 124	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15
126	125	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
127		nnnn0 11299	. . . . . . . . . . . . . . . 16
128	127	nn0ge0d 11354	. . . . . . . . . . . . . . 15
129	118, 128	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
130		le2msq 10923	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
131	109, 126, 113, 129, 130	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
132	122, 131	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
133		simplrl 800	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
134	110, 114, 116, 132, 133	letrd 10194	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
135		simplrr 801	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
136		dvdstr 15018	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
137	108, 112, 115, 136	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
138	119, 135, 137	mp2and 715	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
139	134, 138	jc 159	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
140		exprmfct 15416	. . . . . . . . . . 11
141	140	ad2antlr 763	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
142	139, 141	reximddv 3018	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
143	142	ex 450	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
144	143	rexlimdva 3031	. . . . . . 7 $/\$
145	106, 144	syld 47	. . . . . 6
146		rexnal 2995	. . . . . 6
147		rexnal 2995	. . . . . 6
148	145, 146, 147	3imtr3g 284	. . . . 5
149	24, 148	impcon4bid 217	. . . 4
150		prmnn 15388	. . . . . . . . 9
151	150	nncnd 11036	. . . . . . . 8
152	151	sqvald 13005	. . . . . . 7
153	152	breq1d 4663	. . . . . 6
154	153	imbi1d 331	. . . . 5
155	154	ralbiia 2979	. . . 4
156	149, 155	syl6bbr 278	. . 3
157	156	pm5.32i 669	. 2 $/\$ $/\$
158	1, 157	bitri 264	1 $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

wral 2912

wrex 2913 class class class wbr 4653

cfv 5888 (class class class)co 6650

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

cmul 9941

clt 10074

cle 10075

cdiv 10684

cn 11020

c2 11070

cz 11377

cuz 11687

crp 11832

cexp 12860

cdvds 14983

cprime 15385

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-sup 8348 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-fz 12327 df-seq 12802 df-exp 12861 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-dvds 14984 df-prm 15386

This theorem is referenced by: isprm7 15420 pockthg 15610 prmlem1a 15813

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