Theorem 31prm 41512

Description: 31 is a prime number. In contrast to 37prm 15828, the proof of this theorem is not based on the "blanket" prmlem2 15827, but on isprm7 15420. Although the checks for non-divisibility by the primes 7 to 23 are not needed, the proof is much longer (regarding size) than the proof of 37prm 15828 (1810 characters compared with 1213 for 37prm 15828). The number of essential steps, however, is much smaller (138 compared with 213 for 37prm 15828). (Contributed by AV, 17-Aug-2021.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
31prm	|- ; 3 1 e. Prime

Proof of Theorem 31prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 11409	. . 3 |- 2 e. ZZ
2		3nn0 11310	. . . . 5 |- 3 e. NN0
3		1nn0 11308	. . . . 5 |- 1 e. NN0
4	2, 3	deccl 11512	. . . 4 |- ; 3 1 e. NN0
5	4	nn0zi 11402	. . 3 |- ; 3 1 e. ZZ
6		3nn 11186	. . . 4 |- 3 e. NN
7		2nn0 11309	. . . 4 |- 2 e. NN0
8		2re 11090	. . . . 5 |- 2 e. RR
9		9re 11107	. . . . 5 |- 9 e. RR
10		2lt9 11228	. . . . 5 |- 2 < 9
11	8, 9, 10	ltleii 10160	. . . 4 |- 2 <_ 9
12	6, 3, 7, 11	declei 11542	. . 3 |- 2 <_ ; 3 1
13		eluz2 11693	. . 3 |- (; 3 1 e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( 2 e. ZZ /\ ; 3 1 e. ZZ /\ 2 <_ ; 3 1 ) )
14	1, 5, 12, 13	mpbir3an 1244	. 2 |- ; 3 1 e. ( ZZ>= ` 2 )
15		elun 3753	. . . . . 6 |- ( n e. ( ( { 2 , 3 } i^i Prime ) u. ( { 4 , 5 } i^i Prime ) ) <-> ( n e. ( { 2 , 3 } i^i Prime ) \/ n e. ( { 4 , 5 } i^i Prime ) ) )
16		elin 3796	. . . . . . . 8 |- ( n e. ( { 2 , 3 } i^i Prime ) <-> ( n e. { 2 , 3 } /\ n e. Prime ) )
17		vex 3203	. . . . . . . . . . 11 |- n e. _V
18	17	elpr 4198	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. { 2 , 3 } <-> ( n = 2 \/ n = 3 ) )
19		0nn0 11307	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. NN0
20		2cn 11091	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. CC
21	20	mul02i 10225	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 x. 2 ) = 0
22		1e0p1 11552	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 = ( 0 + 1 )
23	2, 19, 21, 22	dec2dvds 15767	. . . . . . . . . . . 12 |- -. 2 || ; 3 1
24		breq1 4656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = 2 -> ( n || ; 3 1 <-> 2 || ; 3 1 ) )
25	23, 24	mtbiri 317	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = 2 -> -. n || ; 3 1 )
26		3ndvds4 41510	. . . . . . . . . . . . 13 |- -. 3 || 4
27	2, 3	3dvdsdec 15054	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 3 || ; 3 1 <-> 3 || ( 3 + 1 ) )
28		3p1e4 11153	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 3 + 1 ) = 4
29	28	breq2i 4661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 3 || ( 3 + 1 ) <-> 3 || 4 )
30	27, 29	bitri 264	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 3 || ; 3 1 <-> 3 || 4 )
31	26, 30	mtbir 313	. . . . . . . . . . . 12 |- -. 3 || ; 3 1
32		breq1 4656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = 3 -> ( n || ; 3 1 <-> 3 || ; 3 1 ) )
33	31, 32	mtbiri 317	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = 3 -> -. n || ; 3 1 )
34	25, 33	jaoi 394	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n = 2 \/ n = 3 ) -> -. n || ; 3 1 )
35	18, 34	sylbi 207	. . . . . . . . 9 |- ( n e. { 2 , 3 } -> -. n || ; 3 1 )
36	35	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. { 2 , 3 } /\ n e. Prime ) -> -. n || ; 3 1 )
37	16, 36	sylbi 207	. . . . . . 7 |- ( n e. ( { 2 , 3 } i^i Prime ) -> -. n || ; 3 1 )
38		elin 3796	. . . . . . . 8 |- ( n e. ( { 4 , 5 } i^i Prime ) <-> ( n e. { 4 , 5 } /\ n e. Prime ) )
39	17	elpr 4198	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. { 4 , 5 } <-> ( n = 4 \/ n = 5 ) )
40		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = 4 -> ( n e. Prime <-> 4 e. Prime ) )
41		4nprm 15407	. . . . . . . . . . . . 13 |- -. 4 e. Prime
42	41	pm2.21i 116	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 4 e. Prime -> -. n || ; 3 1 )
43	40, 42	syl6bi 243	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = 4 -> ( n e. Prime -> -. n || ; 3 1 ) )
44		1nn 11031	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. NN
45		1lt5 11203	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 < 5
46	2, 44, 45	dec5dvds 15768	. . . . . . . . . . . . 13 |- -. 5 || ; 3 1
47		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = 5 -> ( n || ; 3 1 <-> 5 || ; 3 1 ) )
48	46, 47	mtbiri 317	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = 5 -> -. n || ; 3 1 )
49	48	a1d 25	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = 5 -> ( n e. Prime -> -. n || ; 3 1 ) )
50	43, 49	jaoi 394	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n = 4 \/ n = 5 ) -> ( n e. Prime -> -. n || ; 3 1 ) )
51	39, 50	sylbi 207	. . . . . . . . 9 |- ( n e. { 4 , 5 } -> ( n e. Prime -> -. n || ; 3 1 ) )
52	51	imp 445	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. { 4 , 5 } /\ n e. Prime ) -> -. n || ; 3 1 )
53	38, 52	sylbi 207	. . . . . . 7 |- ( n e. ( { 4 , 5 } i^i Prime ) -> -. n || ; 3 1 )
54	37, 53	jaoi 394	. . . . . 6 |- ( ( n e. ( { 2 , 3 } i^i Prime ) \/ n e. ( { 4 , 5 } i^i Prime ) ) -> -. n || ; 3 1 )
55	15, 54	sylbi 207	. . . . 5 |- ( n e. ( ( { 2 , 3 } i^i Prime ) u. ( { 4 , 5 } i^i Prime ) ) -> -. n || ; 3 1 )
56		indir 3875	. . . . 5 |- ( ( { 2 , 3 } u. { 4 , 5 } ) i^i Prime ) = ( ( { 2 , 3 } i^i Prime ) u. ( { 4 , 5 } i^i Prime ) )
57	55, 56	eleq2s 2719	. . . 4 |- ( n e. ( ( { 2 , 3 } u. { 4 , 5 } ) i^i Prime ) -> -. n || ; 3 1 )
58		5nn0 11312	. . . . . . . . 9 |- 5 e. NN0
59		5re 11099	. . . . . . . . . 10 |- 5 e. RR
60		5lt9 11225	. . . . . . . . . 10 |- 5 < 9
61	59, 9, 60	ltleii 10160	. . . . . . . . 9 |- 5 <_ 9
62		2lt3 11195	. . . . . . . . 9 |- 2 < 3
63	7, 2, 58, 3, 61, 62	decleh 11541	. . . . . . . 8 |- ; 2 5 <_ ; 3 1
64		6nn 11189	. . . . . . . . 9 |- 6 e. NN
65		1lt6 11208	. . . . . . . . 9 |- 1 < 6
66	2, 3, 64, 65	declt 11530	. . . . . . . 8 |- ; 3 1 < ; 3 6
67	4	nn0rei 11303	. . . . . . . . . 10 |- ; 3 1 e. RR
68		0re 10040	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. RR
69		9pos 11122	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 < 9
70	68, 9, 69	ltleii 10160	. . . . . . . . . . 11 |- 0 <_ 9
71	6, 3, 19, 70	declei 11542	. . . . . . . . . 10 |- 0 <_ ; 3 1
72	67, 71	pm3.2i 471	. . . . . . . . 9 |- (; 3 1 e. RR /\ 0 <_ ; 3 1 )
73		flsqrt5 41509	. . . . . . . . . 10 |- ( (; 3 1 e. RR /\ 0 <_ ; 3 1 ) -> ( (; 2 5 <_ ; 3 1 /\ ; 3 1 < ; 3 6 ) <-> ( |_ ` ( sqr ` ; 3 1 ) ) = 5 ) )
74	73	bicomd 213	. . . . . . . . 9 |- ( (; 3 1 e. RR /\ 0 <_ ; 3 1 ) -> ( ( |_ ` ( sqr ` ; 3 1 ) ) = 5 <-> (; 2 5 <_ ; 3 1 /\ ; 3 1 < ; 3 6 ) ) )
75	72, 74	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( ( |_ ` ( sqr ` ; 3 1 ) ) = 5 <-> (; 2 5 <_ ; 3 1 /\ ; 3 1 < ; 3 6 ) )
76	63, 66, 75	mpbir2an 955	. . . . . . 7 |- ( |_ ` ( sqr ` ; 3 1 ) ) = 5
77	76	oveq2i 6661	. . . . . 6 |- ( 2 ... ( |_ ` ( sqr ` ; 3 1 ) ) ) = ( 2 ... 5 )
78		5nn 11188	. . . . . . . . . 10 |- 5 e. NN
79	78	nnzi 11401	. . . . . . . . 9 |- 5 e. ZZ
80		3z 11410	. . . . . . . . 9 |- 3 e. ZZ
81	1, 79, 80	3pm3.2i 1239	. . . . . . . 8 |- ( 2 e. ZZ /\ 5 e. ZZ /\ 3 e. ZZ )
82		3re 11094	. . . . . . . . . 10 |- 3 e. RR
83	8, 82, 62	ltleii 10160	. . . . . . . . 9 |- 2 <_ 3
84		3lt5 11201	. . . . . . . . . 10 |- 3 < 5
85	82, 59, 84	ltleii 10160	. . . . . . . . 9 |- 3 <_ 5
86	83, 85	pm3.2i 471	. . . . . . . 8 |- ( 2 <_ 3 /\ 3 <_ 5 )
87		elfz2 12333	. . . . . . . 8 |- ( 3 e. ( 2 ... 5 ) <-> ( ( 2 e. ZZ /\ 5 e. ZZ /\ 3 e. ZZ ) /\ ( 2 <_ 3 /\ 3 <_ 5 ) ) )
88	81, 86, 87	mpbir2an 955	. . . . . . 7 |- 3 e. ( 2 ... 5 )
89		fzsplit 12367	. . . . . . 7 |- ( 3 e. ( 2 ... 5 ) -> ( 2 ... 5 ) = ( ( 2 ... 3 ) u. ( ( 3 + 1 ) ... 5 ) ) )
90	88, 89	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( 2 ... 5 ) = ( ( 2 ... 3 ) u. ( ( 3 + 1 ) ... 5 ) )
91		df-3 11080	. . . . . . . . 9 |- 3 = ( 2 + 1 )
92	91	oveq2i 6661	. . . . . . . 8 |- ( 2 ... 3 ) = ( 2 ... ( 2 + 1 ) )
93		fzpr 12396	. . . . . . . . 9 |- ( 2 e. ZZ -> ( 2 ... ( 2 + 1 ) ) = { 2 , ( 2 + 1 ) } )
94	1, 93	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( 2 ... ( 2 + 1 ) ) = { 2 , ( 2 + 1 ) }
95		2p1e3 11151	. . . . . . . . 9 |- ( 2 + 1 ) = 3
96	95	preq2i 4272	. . . . . . . 8 |- { 2 , ( 2 + 1 ) } = { 2 , 3 }
97	92, 94, 96	3eqtri 2648	. . . . . . 7 |- ( 2 ... 3 ) = { 2 , 3 }
98	28	oveq1i 6660	. . . . . . . 8 |- ( ( 3 + 1 ) ... 5 ) = ( 4 ... 5 )
99		df-5 11082	. . . . . . . . 9 |- 5 = ( 4 + 1 )
100	99	oveq2i 6661	. . . . . . . 8 |- ( 4 ... 5 ) = ( 4 ... ( 4 + 1 ) )
101		4z 11411	. . . . . . . . . 10 |- 4 e. ZZ
102		fzpr 12396	. . . . . . . . . 10 |- ( 4 e. ZZ -> ( 4 ... ( 4 + 1 ) ) = { 4 , ( 4 + 1 ) } )
103	101, 102	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( 4 ... ( 4 + 1 ) ) = { 4 , ( 4 + 1 ) }
104		4p1e5 11154	. . . . . . . . . 10 |- ( 4 + 1 ) = 5
105	104	preq2i 4272	. . . . . . . . 9 |- { 4 , ( 4 + 1 ) } = { 4 , 5 }
106	103, 105	eqtri 2644	. . . . . . . 8 |- ( 4 ... ( 4 + 1 ) ) = { 4 , 5 }
107	98, 100, 106	3eqtri 2648	. . . . . . 7 |- ( ( 3 + 1 ) ... 5 ) = { 4 , 5 }
108	97, 107	uneq12i 3765	. . . . . 6 |- ( ( 2 ... 3 ) u. ( ( 3 + 1 ) ... 5 ) ) = ( { 2 , 3 } u. { 4 , 5 } )
109	77, 90, 108	3eqtri 2648	. . . . 5 |- ( 2 ... ( |_ ` ( sqr ` ; 3 1 ) ) ) = ( { 2 , 3 } u. { 4 , 5 } )
110	109	ineq1i 3810	. . . 4 |- ( ( 2 ... ( |_ ` ( sqr ` ; 3 1 ) ) ) i^i Prime ) = ( ( { 2 , 3 } u. { 4 , 5 } ) i^i Prime )
111	57, 110	eleq2s 2719	. . 3 |- ( n e. ( ( 2 ... ( |_ ` ( sqr ` ; 3 1 ) ) ) i^i Prime ) -> -. n || ; 3 1 )
112	111	rgen 2922	. 2 |- A. n e. ( ( 2 ... ( |_ ` ( sqr ` ; 3 1 ) ) ) i^i Prime ) -. n || ; 3 1
113		isprm7 15420	. 2 |- (; 3 1 e. Prime <-> (; 3 1 e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ A. n e. ( ( 2 ... ( |_ ` ( sqr ` ; 3 1 ) ) ) i^i Prime ) -. n || ; 3 1 ) )
114	14, 112, 113	mpbir2an 955	1 |- ; 3 1 e. Prime

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   u. cun 3572   i^i cin 3573   {cpr 4179   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   2c2 11070   3c3 11071   4c4 11072   5c5 11073   6c6 11074   9c9 11077   ZZcz 11377  ;cdc 11493   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   |_cfl 12591   sqrcsqrt 13973   || cdvds 14983   Primecprime 15385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-prm 15386

This theorem is referenced by:  m5prm  41513