Theorem fsumge0 14527

Description: If all of the terms of a finite sum are nonnegative, so is the sum. (Contributed by NM, 26-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumge0.1	|- ( ph -> A e. Fin )
fsumge0.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. RR )
fsumge0.3	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> 0 <_ B )

Assertion

Ref	Expression
fsumge0	|- ( ph -> 0 <_ sum_ k e. A B )

Distinct variable groups:   A, k   ph, k

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem fsumge0

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rge0ssre 12280	. . . . 5 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
2		ax-resscn 9993	. . . . 5 |- RR C_ CC
3	1, 2	sstri 3612	. . . 4 |- ( 0 [,) +oo ) C_ CC
4	3	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( 0 [,) +oo ) C_ CC )
5		ge0addcl 12284	. . . 4 |- ( ( x e. ( 0 [,) +oo ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( x + y ) e. ( 0 [,) +oo ) )
6	5	adantl 482	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. ( 0 [,) +oo ) /\ y e. ( 0 [,) +oo ) ) ) -> ( x + y ) e. ( 0 [,) +oo ) )
7		fsumge0.1	. . 3 |- ( ph -> A e. Fin )
8		fsumge0.2	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. RR )
9		fsumge0.3	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> 0 <_ B )
10		elrege0 12278	. . . 4 |- ( B e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( B e. RR /\ 0 <_ B ) )
11	8, 9, 10	sylanbrc 698	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. ( 0 [,) +oo ) )
12		0e0icopnf 12282	. . . 4 |- 0 e. ( 0 [,) +oo )
13	12	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> 0 e. ( 0 [,) +oo ) )
14	4, 6, 7, 11, 13	fsumcllem 14463	. 2 |- ( ph -> sum_ k e. A B e. ( 0 [,) +oo ) )
15		elrege0 12278	. . 3 |- ( sum_ k e. A B e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( sum_ k e. A B e. RR /\ 0 <_ sum_ k e. A B ) )
16	15	simprbi 480	. 2 |- ( sum_ k e. A B e. ( 0 [,) +oo ) -> 0 <_ sum_ k e. A B )
17	14, 16	syl 17	1 |- ( ph -> 0 <_ sum_ k e. A B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   e. wcel 1990   C_ wss 3574   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   +oocpnf 10071   <_ cle 10075   [,)cico 12177   sum_csu 14416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417

This theorem is referenced by:  fsumless  14528  fsumle  14531  o1fsum  14545  rrxcph  23180  csbren  23182  trirn  23183  rrxmet  23191  rrxdstprj1  23192  itg1ge0  23453  itg1ge0a  23478  mtest  24158  abelthlem7  24192  abelthlem8  24193  ftalem4  24802  ftalem5  24803  chtge0  24838  vmadivsum  25171  vmadivsumb  25172  rpvmasumlem  25176  dchrvmasumlem2  25187  dchrisum0re  25202  rplogsum  25216  dirith2  25217  mulog2sumlem2  25224  vmalogdivsum2  25227  2vmadivsumlem  25229  selbergb  25238  selberg2b  25241  logdivbnd  25245  selberg3lem2  25247  selberg4lem1  25249  pntrlog2bndlem1  25266  pntrlog2bndlem2  25267  pntrlog2bnd  25273  pntpbnd1  25275  pntlemf  25294  axsegconlem3  25799  ax5seglem3  25811  sibfof  30402  eulerpartlemgc  30424  eulerpartlemb  30430  hgt750leme  30736  rrnmet  33628  rrndstprj1  33629  rrndstprj2  33630  fsumge0cl  39805  stoweidlem26  40243  stoweidlem38  40255  stoweidlem44  40261  etransclem35  40486  rrndistlt  40510  hoiqssbllem2  40837