Theorem lcmfunsnlem2lem2 15352

Description: Lemma 2 for lcmfunsnlem2 15353. (Contributed by AV, 26-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lcmfunsnlem2lem2	|- ( ( ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) /\ ( n e. ZZ /\ ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) ) ) ) -> (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) = ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) )

Distinct variable groups:   y, m, z   k, n, y, z, m

Proof of Theorem lcmfunsnlem2lem2

Dummy variable i is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elun 3753	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i e. ( ( y u. { z } ) u. { n } ) <-> ( i e. ( y u. { z } ) \/ i e. { n } ) )
2		elun 3753	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i e. ( y u. { z } ) <-> ( i e. y \/ i e. { z } ) )
3		simp1 1061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) -> z e. ZZ )
4	3	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ n e. ZZ ) -> z e. ZZ )
5	4	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( i e. y \/ i e. { z } ) /\ ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ n e. ZZ ) ) -> z e. ZZ )
6		sneq 4187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( n = z -> { n } = { z } )
7	6	uneq2d 3767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( n = z -> ( y u. { n } ) = ( y u. { z } ) )
8	7	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = z -> (lcm ` ( y u. { n } ) ) = (lcm ` ( y u. { z } ) ) )
9		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = z -> ( (lcm ` y ) lcm n ) = ( (lcm ` y ) lcm z ) )
10	8, 9	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = z -> ( (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) <-> (lcm ` ( y u. { z } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm z ) ) )
11	10	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z e. ZZ -> ( A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) -> (lcm ` ( y u. { z } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm z ) ) )
12	5, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( i e. y \/ i e. { z } ) /\ ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ n e. ZZ ) ) -> ( A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) -> (lcm ` ( y u. { z } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm z ) ) )
13		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( k = i -> ( k || (lcm ` y ) <-> i || (lcm ` y ) ) )
14	13	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( i e. y -> ( A. k e. y k || (lcm ` y ) -> i || (lcm ` y ) ) )
15		dvdslcmf 15344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( y C_ ZZ /\ y e. Fin ) -> A. k e. y k || (lcm ` y ) )
16	15	3adant1 1079	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) -> A. k e. y k || (lcm ` y ) )
17	16	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ n e. ZZ ) -> A. k e. y k || (lcm ` y ) )
18	14, 17	impel 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( i e. y /\ ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ n e. ZZ ) ) -> i || (lcm ` y ) )
19		lcmfcl 15341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( y C_ ZZ /\ y e. Fin ) -> (lcm ` y ) e. NN0 )
20	19	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( y C_ ZZ /\ y e. Fin ) -> (lcm ` y ) e. ZZ )
21	20	3adant1 1079	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) -> (lcm ` y ) e. ZZ )
22	21	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ n e. ZZ ) -> (lcm ` y ) e. ZZ )
23		lcmcl 15314	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( z e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( z lcm n ) e. NN0 )
24	3, 23	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ n e. ZZ ) -> ( z lcm n ) e. NN0 )
25	24	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ n e. ZZ ) -> ( z lcm n ) e. ZZ )
26	22, 25	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ n e. ZZ ) -> ( (lcm ` y ) e. ZZ /\ ( z lcm n ) e. ZZ ) )
27	26	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( i e. y /\ ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ n e. ZZ ) ) -> ( (lcm ` y ) e. ZZ /\ ( z lcm n ) e. ZZ ) )
28		dvdslcm 15311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( (lcm ` y ) e. ZZ /\ ( z lcm n ) e. ZZ ) -> ( (lcm ` y ) || ( (lcm ` y ) lcm ( z lcm n ) ) /\ ( z lcm n ) || ( (lcm ` y ) lcm ( z lcm n ) ) ) )
29	28	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( (lcm ` y ) e. ZZ /\ ( z lcm n ) e. ZZ ) -> (lcm ` y ) || ( (lcm ` y ) lcm ( z lcm n ) ) )
30	27, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( i e. y /\ ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ n e. ZZ ) ) -> (lcm ` y ) || ( (lcm ` y ) lcm ( z lcm n ) ) )
31		ssel 3597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( y C_ ZZ -> ( i e. y -> i e. ZZ ) )
32	31	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) -> ( i e. y -> i e. ZZ ) )
33	32	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ n e. ZZ ) -> ( i e. y -> i e. ZZ ) )
34	33	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( i e. y /\ ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ n e. ZZ ) ) -> i e. ZZ )
35	22	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( i e. y /\ ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ n e. ZZ ) ) -> (lcm ` y ) e. ZZ )
36	25	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( i e. y /\ ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ n e. ZZ ) ) -> ( z lcm n ) e. ZZ )
37		lcmcl 15314	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( (lcm ` y ) e. ZZ /\ ( z lcm n ) e. ZZ ) -> ( (lcm ` y ) lcm ( z lcm n ) ) e. NN0 )
38	35, 36, 37	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( i e. y /\ ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ n e. ZZ ) ) -> ( (lcm ` y ) lcm ( z lcm n ) ) e. NN0 )
39	38	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( i e. y /\ ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ n e. ZZ ) ) -> ( (lcm ` y ) lcm ( z lcm n ) ) e. ZZ )
40		dvdstr 15018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( i e. ZZ /\ (lcm ` y ) e. ZZ /\ ( (lcm ` y ) lcm ( z lcm n ) ) e. ZZ ) -> ( ( i || (lcm ` y ) /\ (lcm ` y ) || ( (lcm ` y ) lcm ( z lcm n ) ) ) -> i || ( (lcm ` y ) lcm ( z lcm n ) ) ) )
41	34, 35, 39, 40	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( i e. y /\ ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ n e. ZZ ) ) -> ( ( i || (lcm ` y ) /\ (lcm ` y ) || ( (lcm ` y ) lcm ( z lcm n ) ) ) -> i || ( (lcm ` y ) lcm ( z lcm n ) ) ) )
42	18, 30, 41	mp2and 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( i e. y /\ ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ n e. ZZ ) ) -> i || ( (lcm ` y ) lcm ( z lcm n ) ) )
43	4	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( i e. y /\ ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ n e. ZZ ) ) -> z e. ZZ )
44		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ n e. ZZ ) -> n e. ZZ )
45	44	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( i e. y /\ ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ n e. ZZ ) ) -> n e. ZZ )
46		lcmass 15327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( (lcm ` y ) e. ZZ /\ z e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( ( (lcm ` y ) lcm z ) lcm n ) = ( (lcm ` y ) lcm ( z lcm n ) ) )
47	35, 43, 45, 46	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( i e. y /\ ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ n e. ZZ ) ) -> ( ( (lcm ` y ) lcm z ) lcm n ) = ( (lcm ` y ) lcm ( z lcm n ) ) )
48	42, 47	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( i e. y /\ ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ n e. ZZ ) ) -> i || ( ( (lcm ` y ) lcm z ) lcm n ) )
49	48	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( i e. y -> ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ n e. ZZ ) -> i || ( ( (lcm ` y ) lcm z ) lcm n ) ) )
50		elsni 4194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( i e. { z } -> i = z )
51	21, 3	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) -> ( (lcm ` y ) e. ZZ /\ z e. ZZ ) )
52	51	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ n e. ZZ ) -> ( (lcm ` y ) e. ZZ /\ z e. ZZ ) )
53		dvdslcm 15311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( (lcm ` y ) e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> ( (lcm ` y ) || ( (lcm ` y ) lcm z ) /\ z || ( (lcm ` y ) lcm z ) ) )
54	53	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( (lcm ` y ) e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> z || ( (lcm ` y ) lcm z ) )
55	52, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ n e. ZZ ) -> z || ( (lcm ` y ) lcm z ) )
56	19	3adant1 1079	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) -> (lcm ` y ) e. NN0 )
57	56	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) -> (lcm ` y ) e. ZZ )
58		lcmcl 15314	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( (lcm ` y ) e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> ( (lcm ` y ) lcm z ) e. NN0 )
59	57, 3, 58	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) -> ( (lcm ` y ) lcm z ) e. NN0 )
60	59	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) -> ( (lcm ` y ) lcm z ) e. ZZ )
61		dvdslcm 15311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( (lcm ` y ) lcm z ) e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( ( (lcm ` y ) lcm z ) || ( ( (lcm ` y ) lcm z ) lcm n ) /\ n || ( ( (lcm ` y ) lcm z ) lcm n ) ) )
62	61	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( (lcm ` y ) lcm z ) e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( (lcm ` y ) lcm z ) || ( ( (lcm ` y ) lcm z ) lcm n ) )
63	60, 62	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ n e. ZZ ) -> ( (lcm ` y ) lcm z ) || ( ( (lcm ` y ) lcm z ) lcm n ) )
64	60	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ n e. ZZ ) -> ( (lcm ` y ) lcm z ) e. ZZ )
65		lcmcl 15314	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( (lcm ` y ) lcm z ) e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( ( (lcm ` y ) lcm z ) lcm n ) e. NN0 )
66	60, 65	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ n e. ZZ ) -> ( ( (lcm ` y ) lcm z ) lcm n ) e. NN0 )
67	66	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ n e. ZZ ) -> ( ( (lcm ` y ) lcm z ) lcm n ) e. ZZ )
68		dvdstr 15018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( z e. ZZ /\ ( (lcm ` y ) lcm z ) e. ZZ /\ ( ( (lcm ` y ) lcm z ) lcm n ) e. ZZ ) -> ( ( z || ( (lcm ` y ) lcm z ) /\ ( (lcm ` y ) lcm z ) || ( ( (lcm ` y ) lcm z ) lcm n ) ) -> z || ( ( (lcm ` y ) lcm z ) lcm n ) ) )
69	4, 64, 67, 68	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ n e. ZZ ) -> ( ( z || ( (lcm ` y ) lcm z ) /\ ( (lcm ` y ) lcm z ) || ( ( (lcm ` y ) lcm z ) lcm n ) ) -> z || ( ( (lcm ` y ) lcm z ) lcm n ) ) )
70	55, 63, 69	mp2and 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ n e. ZZ ) -> z || ( ( (lcm ` y ) lcm z ) lcm n ) )
71		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( i = z -> ( i || ( ( (lcm ` y ) lcm z ) lcm n ) <-> z || ( ( (lcm ` y ) lcm z ) lcm n ) ) )
72	70, 71	syl5ibr 236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( i = z -> ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ n e. ZZ ) -> i || ( ( (lcm ` y ) lcm z ) lcm n ) ) )
73	50, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( i e. { z } -> ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ n e. ZZ ) -> i || ( ( (lcm ` y ) lcm z ) lcm n ) ) )
74	49, 73	jaoi 394	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( i e. y \/ i e. { z } ) -> ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ n e. ZZ ) -> i || ( ( (lcm ` y ) lcm z ) lcm n ) ) )
75	74	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( i e. y \/ i e. { z } ) /\ ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ n e. ZZ ) ) -> i || ( ( (lcm ` y ) lcm z ) lcm n ) )
76		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm z ) -> ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) = ( ( (lcm ` y ) lcm z ) lcm n ) )
77	76	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm z ) -> ( i || ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) <-> i || ( ( (lcm ` y ) lcm z ) lcm n ) ) )
78	75, 77	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( i e. y \/ i e. { z } ) /\ ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ n e. ZZ ) ) -> ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm z ) -> i || ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) ) )
79	12, 78	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( i e. y \/ i e. { z } ) /\ ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ n e. ZZ ) ) -> ( A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) -> i || ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) ) )
80	79	ex 450	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( i e. y \/ i e. { z } ) -> ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ n e. ZZ ) -> ( A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) -> i || ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) ) ) )
81	2, 80	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i e. ( y u. { z } ) -> ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ n e. ZZ ) -> ( A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) -> i || ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) ) ) )
82		elsni 4194	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i e. { n } -> i = n )
83		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) -> y C_ ZZ )
84		snssi 4339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( z e. ZZ -> { z } C_ ZZ )
85	84	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) -> { z } C_ ZZ )
86	83, 85	unssd 3789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) -> ( y u. { z } ) C_ ZZ )
87		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) -> y e. Fin )
88		snfi 8038	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- { z } e. Fin
89		unfi 8227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( y e. Fin /\ { z } e. Fin ) -> ( y u. { z } ) e. Fin )
90	87, 88, 89	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) -> ( y u. { z } ) e. Fin )
91		lcmfcl 15341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( y u. { z } ) C_ ZZ /\ ( y u. { z } ) e. Fin ) -> (lcm ` ( y u. { z } ) ) e. NN0 )
92	86, 90, 91	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) -> (lcm ` ( y u. { z } ) ) e. NN0 )
93	92	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) -> (lcm ` ( y u. { z } ) ) e. ZZ )
94	93	anim1i 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ n e. ZZ ) -> ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) e. ZZ /\ n e. ZZ ) )
95	94	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ n e. ZZ ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) -> ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) e. ZZ /\ n e. ZZ ) )
96		dvdslcm 15311	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) || ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) /\ n || ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) ) )
97	95, 96	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ n e. ZZ ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) -> ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) || ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) /\ n || ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) ) )
98	97	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ n e. ZZ ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) -> n || ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) )
99		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i = n -> ( i || ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) <-> n || ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) ) )
100	98, 99	syl5ibr 236	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i = n -> ( ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ n e. ZZ ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) -> i || ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) ) )
101	100	expd 452	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = n -> ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ n e. ZZ ) -> ( A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) -> i || ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) ) ) )
102	82, 101	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i e. { n } -> ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ n e. ZZ ) -> ( A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) -> i || ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) ) ) )
103	81, 102	jaoi 394	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i e. ( y u. { z } ) \/ i e. { n } ) -> ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ n e. ZZ ) -> ( A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) -> i || ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) ) ) )
104	1, 103	sylbi 207	. . . . . . . . . . 11 |- ( i e. ( ( y u. { z } ) u. { n } ) -> ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ n e. ZZ ) -> ( A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) -> i || ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) ) ) )
105	104	com13 88	. . . . . . . . . 10 |- ( A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) -> ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ n e. ZZ ) -> ( i e. ( ( y u. { z } ) u. { n } ) -> i || ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) ) ) )
106	105	expd 452	. . . . . . . . 9 |- ( A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) -> ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) -> ( n e. ZZ -> ( i e. ( ( y u. { z } ) u. { n } ) -> i || ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) ) ) ) )
107	106	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) -> ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) -> ( n e. ZZ -> ( i e. ( ( y u. { z } ) u. { n } ) -> i || ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) ) ) ) )
108	107	impcom 446	. . . . . . 7 |- ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) ) -> ( n e. ZZ -> ( i e. ( ( y u. { z } ) u. { n } ) -> i || ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) ) ) )
109	108	impcom 446	. . . . . 6 |- ( ( n e. ZZ /\ ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) ) ) -> ( i e. ( ( y u. { z } ) u. { n } ) -> i || ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) ) )
110	109	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) /\ ( n e. ZZ /\ ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) ) ) ) -> ( i e. ( ( y u. { z } ) u. { n } ) -> i || ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) ) )
111	110	ralrimiv 2965	. . . 4 |- ( ( ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) /\ ( n e. ZZ /\ ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) ) ) ) -> A. i e. ( ( y u. { z } ) u. { n } ) i || ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) )
112		lcmfunsnlem2lem1 15351	. . . 4 |- ( ( ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) /\ ( n e. ZZ /\ ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) ) ) ) -> A. k e. NN ( A. i e. ( ( y u. { z } ) u. { n } ) i || k -> ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) <_ k ) )
113	111, 112	jca 554	. . 3 |- ( ( ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) /\ ( n e. ZZ /\ ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) ) ) ) -> ( A. i e. ( ( y u. { z } ) u. { n } ) i || ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) /\ A. k e. NN ( A. i e. ( ( y u. { z } ) u. { n } ) i || k -> ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) <_ k ) ) )
114	94	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ n e. ZZ ) /\ ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) ) -> ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) e. ZZ /\ n e. ZZ ) )
115	86	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ n e. ZZ ) -> ( y u. { z } ) C_ ZZ )
116	115	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ n e. ZZ ) /\ ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) ) -> ( y u. { z } ) C_ ZZ )
117	90	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ n e. ZZ ) -> ( y u. { z } ) e. Fin )
118	117	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ n e. ZZ ) /\ ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) ) -> ( y u. { z } ) e. Fin )
119		df-nel 2898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 0 e/ y <-> -. 0 e. y )
120	119	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 0 e/ y -> -. 0 e. y )
121	120	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) -> -. 0 e. y )
122		elsni 4194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 0 e. { z } -> 0 = z )
123	122	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 0 e. { z } -> z = 0 )
124	123	necon3ai 2819	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z =/= 0 -> -. 0 e. { z } )
125	124	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) -> -. 0 e. { z } )
126		ioran 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( -. ( 0 e. y \/ 0 e. { z } ) <-> ( -. 0 e. y /\ -. 0 e. { z } ) )
127	121, 125, 126	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) -> -. ( 0 e. y \/ 0 e. { z } ) )
128		elun 3753	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 0 e. ( y u. { z } ) <-> ( 0 e. y \/ 0 e. { z } ) )
129	127, 128	sylnibr 319	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) -> -. 0 e. ( y u. { z } ) )
130		df-nel 2898	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 0 e/ ( y u. { z } ) <-> -. 0 e. ( y u. { z } ) )
131	129, 130	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) -> 0 e/ ( y u. { z } ) )
132	131	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ n e. ZZ ) /\ ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) ) -> 0 e/ ( y u. { z } ) )
133		lcmfn0cl 15339	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( y u. { z } ) C_ ZZ /\ ( y u. { z } ) e. Fin /\ 0 e/ ( y u. { z } ) ) -> (lcm ` ( y u. { z } ) ) e. NN )
134	116, 118, 132, 133	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ n e. ZZ ) /\ ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) ) -> (lcm ` ( y u. { z } ) ) e. NN )
135	134	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ n e. ZZ ) /\ ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) ) -> (lcm ` ( y u. { z } ) ) =/= 0 )
136	135	neneqd 2799	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ n e. ZZ ) /\ ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) ) -> -. (lcm ` ( y u. { z } ) ) = 0 )
137		df-ne 2795	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n =/= 0 <-> -. n = 0 )
138	137	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n =/= 0 -> -. n = 0 )
139	138	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) -> -. n = 0 )
140	139	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ n e. ZZ ) /\ ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) ) -> -. n = 0 )
141		ioran 511	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) = 0 \/ n = 0 ) <-> ( -. (lcm ` ( y u. { z } ) ) = 0 /\ -. n = 0 ) )
142	136, 140, 141	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ n e. ZZ ) /\ ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) ) -> -. ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) = 0 \/ n = 0 ) )
143		lcmn0cl 15310	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) e. ZZ /\ n e. ZZ ) /\ -. ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) = 0 \/ n = 0 ) ) -> ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) e. NN )
144	114, 142, 143	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ n e. ZZ ) /\ ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) ) -> ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) e. NN )
145		snssi 4339	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ZZ -> { n } C_ ZZ )
146	145	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ n e. ZZ ) -> { n } C_ ZZ )
147	115, 146	unssd 3789	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ n e. ZZ ) -> ( ( y u. { z } ) u. { n } ) C_ ZZ )
148	147	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ n e. ZZ ) /\ ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) ) -> ( ( y u. { z } ) u. { n } ) C_ ZZ )
149	88, 89	mpan2 707	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. Fin -> ( y u. { z } ) e. Fin )
150		snfi 8038	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { n } e. Fin
151		unfi 8227	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( y u. { z } ) e. Fin /\ { n } e. Fin ) -> ( ( y u. { z } ) u. { n } ) e. Fin )
152	149, 150, 151	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. Fin -> ( ( y u. { z } ) u. { n } ) e. Fin )
153	152	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) -> ( ( y u. { z } ) u. { n } ) e. Fin )
154	153	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ n e. ZZ ) -> ( ( y u. { z } ) u. { n } ) e. Fin )
155	154	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ n e. ZZ ) /\ ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) ) -> ( ( y u. { z } ) u. { n } ) e. Fin )
156		elun 3753	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 0 e. ( ( y u. { z } ) u. { n } ) <-> ( 0 e. ( y u. { z } ) \/ 0 e. { n } ) )
157		nnel 2906	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( -. 0 e/ y <-> 0 e. y )
158	157	biimpri 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 0 e. y -> -. 0 e/ y )
159	158	3mix1d 1236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 0 e. y -> ( -. 0 e/ y \/ -. z =/= 0 \/ -. n =/= 0 ) )
160		nne 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( -. z =/= 0 <-> z = 0 )
161	123, 160	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 0 e. { z } -> -. z =/= 0 )
162	161	3mix2d 1237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 0 e. { z } -> ( -. 0 e/ y \/ -. z =/= 0 \/ -. n =/= 0 ) )
163	159, 162	jaoi 394	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 0 e. y \/ 0 e. { z } ) -> ( -. 0 e/ y \/ -. z =/= 0 \/ -. n =/= 0 ) )
164	128, 163	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 0 e. ( y u. { z } ) -> ( -. 0 e/ y \/ -. z =/= 0 \/ -. n =/= 0 ) )
165		elsni 4194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 0 e. { n } -> 0 = n )
166	165	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 0 e. { n } -> n = 0 )
167		nne 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( -. n =/= 0 <-> n = 0 )
168	166, 167	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 0 e. { n } -> -. n =/= 0 )
169	168	3mix3d 1238	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 0 e. { n } -> ( -. 0 e/ y \/ -. z =/= 0 \/ -. n =/= 0 ) )
170	164, 169	jaoi 394	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 0 e. ( y u. { z } ) \/ 0 e. { n } ) -> ( -. 0 e/ y \/ -. z =/= 0 \/ -. n =/= 0 ) )
171	156, 170	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0 e. ( ( y u. { z } ) u. { n } ) -> ( -. 0 e/ y \/ -. z =/= 0 \/ -. n =/= 0 ) )
172		3ianor 1055	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) <-> ( -. 0 e/ y \/ -. z =/= 0 \/ -. n =/= 0 ) )
173	171, 172	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 e. ( ( y u. { z } ) u. { n } ) -> -. ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) )
174	173	con2i 134	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) -> -. 0 e. ( ( y u. { z } ) u. { n } ) )
175		df-nel 2898	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 e/ ( ( y u. { z } ) u. { n } ) <-> -. 0 e. ( ( y u. { z } ) u. { n } ) )
176	174, 175	sylibr 224	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) -> 0 e/ ( ( y u. { z } ) u. { n } ) )
177	176	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ n e. ZZ ) /\ ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) ) -> 0 e/ ( ( y u. { z } ) u. { n } ) )
178	148, 155, 177	3jca 1242	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ n e. ZZ ) /\ ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) ) -> ( ( ( y u. { z } ) u. { n } ) C_ ZZ /\ ( ( y u. { z } ) u. { n } ) e. Fin /\ 0 e/ ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) )
179	144, 178	jca 554	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ n e. ZZ ) /\ ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) ) -> ( ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) e. NN /\ ( ( ( y u. { z } ) u. { n } ) C_ ZZ /\ ( ( y u. { z } ) u. { n } ) e. Fin /\ 0 e/ ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) ) )
180	179	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ n e. ZZ ) -> ( ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) -> ( ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) e. NN /\ ( ( ( y u. { z } ) u. { n } ) C_ ZZ /\ ( ( y u. { z } ) u. { n } ) e. Fin /\ 0 e/ ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) ) ) )
181	180	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) -> ( n e. ZZ -> ( ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) -> ( ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) e. NN /\ ( ( ( y u. { z } ) u. { n } ) C_ ZZ /\ ( ( y u. { z } ) u. { n } ) e. Fin /\ 0 e/ ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) ) ) ) )
182	181	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) ) -> ( n e. ZZ -> ( ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) -> ( ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) e. NN /\ ( ( ( y u. { z } ) u. { n } ) C_ ZZ /\ ( ( y u. { z } ) u. { n } ) e. Fin /\ 0 e/ ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) ) ) ) )
183	182	impcom 446	. . . . 5 |- ( ( n e. ZZ /\ ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) ) ) -> ( ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) -> ( ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) e. NN /\ ( ( ( y u. { z } ) u. { n } ) C_ ZZ /\ ( ( y u. { z } ) u. { n } ) e. Fin /\ 0 e/ ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) ) ) )
184	183	impcom 446	. . . 4 |- ( ( ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) /\ ( n e. ZZ /\ ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) ) ) ) -> ( ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) e. NN /\ ( ( ( y u. { z } ) u. { n } ) C_ ZZ /\ ( ( y u. { z } ) u. { n } ) e. Fin /\ 0 e/ ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) ) )
185		lcmf 15346	. . . 4 |- ( ( ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) e. NN /\ ( ( ( y u. { z } ) u. { n } ) C_ ZZ /\ ( ( y u. { z } ) u. { n } ) e. Fin /\ 0 e/ ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) ) -> ( ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) = (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) <-> ( A. i e. ( ( y u. { z } ) u. { n } ) i || ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) /\ A. k e. NN ( A. i e. ( ( y u. { z } ) u. { n } ) i || k -> ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) <_ k ) ) ) )
186	184, 185	syl 17	. . 3 |- ( ( ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) /\ ( n e. ZZ /\ ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) ) ) ) -> ( ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) = (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) <-> ( A. i e. ( ( y u. { z } ) u. { n } ) i || ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) /\ A. k e. NN ( A. i e. ( ( y u. { z } ) u. { n } ) i || k -> ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) <_ k ) ) ) )
187	113, 186	mpbird 247	. 2 |- ( ( ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) /\ ( n e. ZZ /\ ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) ) ) ) -> ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) = (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) )
188	187	eqcomd 2628	1 |- ( ( ( 0 e/ y /\ z =/= 0 /\ n =/= 0 ) /\ ( n e. ZZ /\ ( ( z e. ZZ /\ y C_ ZZ /\ y e. Fin ) /\ ( A. k e. ZZ ( A. m e. y m || k -> (lcm ` y ) || k ) /\ A. n e. ZZ (lcm ` ( y u. { n } ) ) = ( (lcm ` y ) lcm n ) ) ) ) ) -> (lcm ` ( ( y u. { z } ) u. { n } ) ) = ( (lcm ` ( y u. { z } ) ) lcm n ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   \/ w3o 1036   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   e/ wnel 2897   A.wral 2912   u. cun 3572   C_ wss 3574   {csn 4177   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   0cc0 9936   <_ cle 10075   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   || cdvds 14983   lcm clcm 15301  lcmclcmf 15302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-prod 14636  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-lcm 15303  df-lcmf 15304

This theorem is referenced by:  lcmfunsnlem2  15353