MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsdir2 Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem lgsdir2 25055
Description: The Legendre symbol is completely multiplicative at 2. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsdir2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A x. B ) /L 2 ) = ( ( A /L 2 ) x. ( B /L 2 ) ) )
Proof of Theorem lgsdir2
StepHypRef Expression
1 0cn 10032 . . . . . 6 |- 0 e. CC
2 ax-1cn 9994 . . . . . . 7 |- 1 e. CC
3 neg1cn 11124 . . . . . . 7 |- -u 1 e. CC
42, 3keepel 4155 . . . . . 6 |- if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) e. CC
51, 4keepel 4155 . . . . 5 |- if ( 2 || B , 0 , if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) e. CC
65mul02i 10225 . . . 4 |- ( 0 x. if ( 2 || B , 0 , if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) ) = 0
7 iftrue 4092 . . . . . 6 |- ( 2 || A -> if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = 0 )
87adantl 482 . . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ 2 || A ) -> if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = 0 )
98oveq1d 6665 . . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ 2 || A ) -> ( if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) x. if ( 2 || B , 0 , if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) ) = ( 0 x. if ( 2 || B , 0 , if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) ) )
10 2z 11409 . . . . . . 7 |- 2 e. ZZ
11 dvdsmultr1 15019 . . . . . . 7 |- ( ( 2 e. ZZ /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( 2 || A -> 2 || ( A x. B ) ) )
1210, 11mp3an1 1411 . . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( 2 || A -> 2 || ( A x. B ) ) )
1312imp 445 . . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ 2 || A ) -> 2 || ( A x. B ) )
1413iftrued 4094 . . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ 2 || A ) -> if ( 2 || ( A x. B ) , 0 , if ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = 0 )
156, 9, 143eqtr4a 2682 . . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ 2 || A ) -> ( if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) x. if ( 2 || B , 0 , if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) ) = if ( 2 || ( A x. B ) , 0 , if ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) )
162, 3keepel 4155 . . . . . 6 |- if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) e. CC
171, 16keepel 4155 . . . . 5 |- if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) e. CC
1817mul01i 10226 . . . 4 |- ( if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) x. 0 ) = 0
19 iftrue 4092 . . . . . 6 |- ( 2 || B -> if ( 2 || B , 0 , if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = 0 )
2019adantl 482 . . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ 2 || B ) -> if ( 2 || B , 0 , if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = 0 )
2120oveq2d 6666 . . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ 2 || B ) -> ( if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) x. if ( 2 || B , 0 , if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) ) = ( if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) x. 0 ) )
22 dvdsmultr2 15021 . . . . . . 7 |- ( ( 2 e. ZZ /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( 2 || B -> 2 || ( A x. B ) ) )
2310, 22mp3an1 1411 . . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( 2 || B -> 2 || ( A x. B ) ) )
2423imp 445 . . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ 2 || B ) -> 2 || ( A x. B ) )
2524iftrued 4094 . . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ 2 || B ) -> if ( 2 || ( A x. B ) , 0 , if ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = 0 )
2618, 21, 253eqtr4a 2682 . . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ 2 || B ) -> ( if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) x. if ( 2 || B , 0 , if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) ) = if ( 2 || ( A x. B ) , 0 , if ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) )
274mulid2i 10043 . . . . . 6 |- ( 1 x. if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 )
28 iftrue 4092 . . . . . . . 8 |- ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } -> if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) = 1 )
2928adantl 482 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) = 1 )
3029oveq1d 6665 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> ( if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) x. if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = ( 1 x. if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) )
31 lgsdir2lem4 25053 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
3231adantlr 751 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
3332ifbid 4108 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> if ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) = if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) )
3427, 30, 333eqtr4a 2682 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> ( if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) x. if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = if ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) )
3516mulid1i 10042 . . . . . 6 |- ( if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) x. 1 ) = if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 )
36 iftrue 4092 . . . . . . . 8 |- ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } -> if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) = 1 )
3736adantl 482 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) = 1 )
3837oveq2d 6666 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> ( if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) x. if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = ( if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) x. 1 ) )
39 zcn 11382 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ZZ -> A e. CC )
40 zcn 11382 . . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. ZZ -> B e. CC )
41 mulcom 10022 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A x. B ) = ( B x. A ) )
4239, 40, 41syl2an 494 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A x. B ) = ( B x. A ) )
4342ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> ( A x. B ) = ( B x. A ) )
4443oveq1d 6665 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> ( ( A x. B ) mod 8 ) = ( ( B x. A ) mod 8 ) )
4544eleq1d 2686 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( ( B x. A ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
46 lgsdir2lem4 25053 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B e. ZZ /\ A e. ZZ ) /\ ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> ( ( ( B x. A ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
4746ancom1s 847 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> ( ( ( B x. A ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
4847adantlr 751 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> ( ( ( B x. A ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
4945, 48bitrd 268 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
5049ifbid 4108 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> if ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) = if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) )
5135, 38, 503eqtr4a 2682 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> ( if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) x. if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = if ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) )
52 neg1mulneg1e1 11245 . . . . . 6 |- ( -u 1 x. -u 1 ) = 1
53 iffalse 4095 . . . . . . . 8 |- ( -. ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } -> if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) = -u 1 )
54 iffalse 4095 . . . . . . . 8 |- ( -. ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } -> if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) = -u 1 )
5553, 54oveqan12d 6669 . . . . . . 7 |- ( ( -. ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } /\ -. ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> ( if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) x. if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = ( -u 1 x. -u 1 ) )
5655adantl 482 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( -. ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } /\ -. ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) ) -> ( if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) x. if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = ( -u 1 x. -u 1 ) )
57 lgsdir2lem3 25052 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ -. 2 || A ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) )
5857ad2ant2r 783 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) -> ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) )
59 elun 3753 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) <-> ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } \/ ( A mod 8 ) e. { 3 , 5 } ) )
6058, 59sylib 208 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) -> ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } \/ ( A mod 8 ) e. { 3 , 5 } ) )
6160orcanai 952 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ -. ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> ( A mod 8 ) e. { 3 , 5 } )
62 lgsdir2lem3 25052 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. ZZ /\ -. 2 || B ) -> ( B mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) )
6362ad2ant2l 782 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) -> ( B mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) )
64 elun 3753 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( B mod 8 ) e. ( { 1 , 7 } u. { 3 , 5 } ) <-> ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } \/ ( B mod 8 ) e. { 3 , 5 } ) )
6563, 64sylib 208 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) -> ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } \/ ( B mod 8 ) e. { 3 , 5 } ) )
6665orcanai 952 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ -. ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> ( B mod 8 ) e. { 3 , 5 } )
6761, 66anim12dan 882 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( -. ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } /\ -. ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) ) -> ( ( A mod 8 ) e. { 3 , 5 } /\ ( B mod 8 ) e. { 3 , 5 } ) )
68 lgsdir2lem5 25054 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( ( A mod 8 ) e. { 3 , 5 } /\ ( B mod 8 ) e. { 3 , 5 } ) ) -> ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } )
6968adantlr 751 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( ( A mod 8 ) e. { 3 , 5 } /\ ( B mod 8 ) e. { 3 , 5 } ) ) -> ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } )
7067, 69syldan 487 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( -. ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } /\ -. ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) ) -> ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } )
7170iftrued 4094 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( -. ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } /\ -. ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) ) -> if ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) = 1 )
7252, 56, 713eqtr4a 2682 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) /\ ( -. ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } /\ -. ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) ) -> ( if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) x. if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = if ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) )
7334, 51, 72pm2.61ddan 833 . . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) -> ( if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) x. if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = if ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) )
74 iffalse 4095 . . . . . 6 |- ( -. 2 || A -> if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) )
75 iffalse 4095 . . . . . 6 |- ( -. 2 || B -> if ( 2 || B , 0 , if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) )
7674, 75oveqan12d 6669 . . . . 5 |- ( ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) -> ( if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) x. if ( 2 || B , 0 , if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) ) = ( if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) x. if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) )
7776adantl 482 . . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) -> ( if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) x. if ( 2 || B , 0 , if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) ) = ( if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) x. if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) )
78 ioran 511 . . . . . 6 |- ( -. ( 2 || A \/ 2 || B ) <-> ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) )
79 2prm 15405 . . . . . . . . 9 |- 2 e. Prime
80 euclemma 15425 . . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. Prime /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( 2 || ( A x. B ) <-> ( 2 || A \/ 2 || B ) ) )
8179, 80mp3an1 1411 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( 2 || ( A x. B ) <-> ( 2 || A \/ 2 || B ) ) )
8281notbid 308 . . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( -. 2 || ( A x. B ) <-> -. ( 2 || A \/ 2 || B ) ) )
8382biimpar 502 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -. ( 2 || A \/ 2 || B ) ) -> -. 2 || ( A x. B ) )
8478, 83sylan2br 493 . . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) -> -. 2 || ( A x. B ) )
85 iffalse 4095 . . . . 5 |- ( -. 2 || ( A x. B ) -> if ( 2 || ( A x. B ) , 0 , if ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = if ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) )
8684, 85syl 17 . . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) -> if ( 2 || ( A x. B ) , 0 , if ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = if ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) )
8773, 77, 863eqtr4d 2666 . . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ ( -. 2 || A /\ -. 2 || B ) ) -> ( if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) x. if ( 2 || B , 0 , if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) ) = if ( 2 || ( A x. B ) , 0 , if ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) )
8815, 26, 87pm2.61ddan 833 . 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) x. if ( 2 || B , 0 , if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) ) = if ( 2 || ( A x. B ) , 0 , if ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) )
89 lgs2 25039 . . 3 |- ( A e. ZZ -> ( A /L 2 ) = if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) )
90 lgs2 25039 . . 3 |- ( B e. ZZ -> ( B /L 2 ) = if ( 2 || B , 0 , if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) )
9189, 90oveqan12d 6669 . 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A /L 2 ) x. ( B /L 2 ) ) = ( if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) x. if ( 2 || B , 0 , if ( ( B mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) ) )
92 zmulcl 11426 . . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A x. B ) e. ZZ )
93 lgs2 25039 . . 3 |- ( ( A x. B ) e. ZZ -> ( ( A x. B ) /L 2 ) = if ( 2 || ( A x. B ) , 0 , if ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) )
9492, 93syl 17 . 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A x. B ) /L 2 ) = if ( 2 || ( A x. B ) , 0 , if ( ( ( A x. B ) mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) )
9588, 91, 943eqtr4rd 2667 1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A x. B ) /L 2 ) = ( ( A /L 2 ) x. ( B /L 2 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   u. cun 3572   ifcif 4086   {cpr 4179   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   -ucneg 10267   2c2 11070   3c3 11071   5c5 11073   7c7 11075   8c8 11076   ZZcz 11377   mod cmo 12668   || cdvds 14983   Primecprime 15385   /Lclgs 25019
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-phi 15471  df-pc 15542  df-lgs 25020
This theorem is referenced by:  lgsdirprm  25056
  Copyright terms: Public domain W3C validator