Theorem limcrecl 39861

Description: If F is a real-valued function, B is a limit point of its domain, and the limit of F at B exists, then this limit is real. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
limcrecl.1	|- ( ph -> F : A --> RR )
limcrecl.2	|- ( ph -> A C_ CC )
limcrecl.3	|- ( ph -> B e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` A ) )
limcrecl.4	|- ( ph -> L e. ( F lim CC B ) )

Assertion

Ref	Expression
limcrecl	|- ( ph -> L e. RR )

Proof of Theorem limcrecl

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limcrecl.4	. . 3 |- ( ph -> L e. ( F lim CC B ) )
2	1	adantr 481	. 2 |- ( ( ph /\ -. L e. RR ) -> L e. ( F lim CC B ) )
3		limccl 23639	. . . . . . . . . 10 |- ( F lim CC B ) C_ CC
4	3, 1	sseldi 3601	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> L e. CC )
5	4	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. L e. RR ) -> L e. CC )
6		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. L e. RR ) -> -. L e. RR )
7	5, 6	eldifd 3585	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. L e. RR ) -> L e. ( CC \ RR ) )
8	7	dstregt0 39493	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. L e. RR ) -> E. x e. RR+ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) )
9		cnxmet 22576	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
11		limcrecl.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A C_ CC )
12	11	ad4antr 768	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) -> A C_ CC )
13	12	ssdifssd 3748	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) -> ( A \ { B } ) C_ CC )
14		limcrecl.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> B e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` A ) )
15		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
16	15	cnfldtop 22587	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top )
18		unicntop 22589	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- CC = U. ( TopOpen ` ℂfld )
19	11, 18	syl6sseq 3651	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A C_ U. ( TopOpen ` ℂfld ) )
20		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- U. ( TopOpen ` ℂfld ) = U. ( TopOpen ` ℂfld )
21	20	lpdifsn 20947	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top /\ A C_ U. ( TopOpen ` ℂfld ) ) -> ( B e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` A ) <-> B e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` ( A \ { B } ) ) ) )
22	17, 19, 21	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( B e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` A ) <-> B e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` ( A \ { B } ) ) ) )
23	14, 22	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> B e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` ( A \ { B } ) ) )
24	23	ad4antr 768	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) -> B e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` ( A \ { B } ) ) )
25		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) -> y e. RR+ )
26	15	cnfldtopn 22585	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
27	26	lpbl 22308	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ ( A \ { B } ) C_ CC /\ B e. ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` ( A \ { B } ) ) ) /\ y e. RR+ ) -> E. z e. ( A \ { B } ) z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) )
28	10, 13, 24, 25, 27	syl31anc 1329	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) -> E. z e. ( A \ { B } ) z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) )
29		eldif 3584	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. ( A \ { B } ) <-> ( z e. A /\ -. z e. { B } ) )
30	29	anbi1i 731	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. ( A \ { B } ) /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) <-> ( ( z e. A /\ -. z e. { B } ) /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) )
31		anass 681	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( z e. A /\ -. z e. { B } ) /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) <-> ( z e. A /\ ( -. z e. { B } /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) ) )
32	30, 31	bitri 264	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. ( A \ { B } ) /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) <-> ( z e. A /\ ( -. z e. { B } /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) ) )
33	32	rexbii2 3039	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. z e. ( A \ { B } ) z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) <-> E. z e. A ( -. z e. { B } /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) )
34	28, 33	sylib 208	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) -> E. z e. A ( -. z e. { B } /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) )
35		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( -. z e. { B } /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) ) -> -. z e. { B } )
36		velsn 4193	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. { B } <-> z = B )
37	36	necon3bbii 2841	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. z e. { B } <-> z =/= B )
38	35, 37	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( -. z e. { B } /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) ) -> z =/= B )
39		simp-5l 808	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( -. z e. { B } /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) ) -> ph )
40		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( -. z e. { B } /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) ) -> y e. RR+ )
41		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( -. z e. { B } /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) ) -> z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) )
42		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ y e. RR+ /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) -> z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) )
43	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ y e. RR+ /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
44	18	lpss 20946	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. Top /\ A C_ CC ) -> ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` A ) C_ CC )
45	17, 11, 44	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> ( ( limPt ` ( TopOpen ` ℂfld ) ) ` A ) C_ CC )
46	45, 14	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> B e. CC )
47	46	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ y e. RR+ /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) -> B e. CC )
48		rpxr 11840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( y e. RR+ -> y e. RR* )
49	48	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ y e. RR+ /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) -> y e. RR* )
50		elbl 22193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ B e. CC /\ y e. RR* ) -> ( z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) <-> ( z e. CC /\ ( B ( abs o. - ) z ) < y ) ) )
51	43, 47, 49, 50	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ y e. RR+ /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) -> ( z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) <-> ( z e. CC /\ ( B ( abs o. - ) z ) < y ) ) )
52	42, 51	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ y e. RR+ /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) -> ( z e. CC /\ ( B ( abs o. - ) z ) < y ) )
53	52	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ y e. RR+ /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) -> z e. CC )
54	53, 47	abssubd 14192	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ y e. RR+ /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) -> ( abs ` ( z - B ) ) = ( abs ` ( B - z ) ) )
55		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
56	55	cnmetdval 22574	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( B e. CC /\ z e. CC ) -> ( B ( abs o. - ) z ) = ( abs ` ( B - z ) ) )
57	47, 53, 56	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ y e. RR+ /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) -> ( B ( abs o. - ) z ) = ( abs ` ( B - z ) ) )
58	52	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ y e. RR+ /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) -> ( B ( abs o. - ) z ) < y )
59	57, 58	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ y e. RR+ /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) -> ( abs ` ( B - z ) ) < y )
60	54, 59	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ y e. RR+ /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) -> ( abs ` ( z - B ) ) < y )
61	39, 40, 41, 60	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( -. z e. { B } /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) ) -> ( abs ` ( z - B ) ) < y )
62	38, 61	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) /\ ( -. z e. { B } /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) ) -> ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) )
63	62	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( -. z e. { B } /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) ) -> ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) )
64	39	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( -. z e. { B } /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) ) -> ph )
65		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( -. z e. { B } /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) ) -> z e. A )
66	64, 65	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( -. z e. { B } /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) ) -> ( ph /\ z e. A ) )
67		simp-5r 809	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( -. z e. { B } /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) ) -> x e. RR+ )
68		simp-4r 807	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( -. z e. { B } /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) ) -> A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) )
69		rpre 11839	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. RR+ -> x e. RR )
70	69	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) -> x e. RR )
71		limcrecl.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> F : A --> RR )
72	71	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( F ` z ) e. RR )
73	72	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( F ` z ) e. CC )
74	73	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) -> ( F ` z ) e. CC )
75	4	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) -> L e. CC )
76	74, 75	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) -> ( ( F ` z ) - L ) e. CC )
77	76	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) e. RR )
78	72	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) -> ( F ` z ) e. RR )
79		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/ w ph
80		nfra1 2941	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/ w A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) )
81	79, 80	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/ w ( ph /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) )
82		rspa 2930	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) /\ w e. RR ) -> x < ( abs ` ( L - w ) ) )
83	82	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ w e. RR ) -> x < ( abs ` ( L - w ) ) )
84	4	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ w e. RR ) -> L e. CC )
85		ax-resscn 9993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- RR C_ CC
86	85	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> RR C_ CC )
87	86	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ w e. RR ) -> w e. CC )
88	84, 87	abssubd 14192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ w e. RR ) -> ( abs ` ( L - w ) ) = ( abs ` ( w - L ) ) )
89	88	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ w e. RR ) -> ( abs ` ( L - w ) ) = ( abs ` ( w - L ) ) )
90	83, 89	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ w e. RR ) -> x < ( abs ` ( w - L ) ) )
91	90	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) -> ( w e. RR -> x < ( abs ` ( w - L ) ) ) )
92	81, 91	ralrimi 2957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) -> A. w e. RR x < ( abs ` ( w - L ) ) )
93	92	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) -> A. w e. RR x < ( abs ` ( w - L ) ) )
94		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( w = ( F ` z ) -> ( w - L ) = ( ( F ` z ) - L ) )
95	94	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( w = ( F ` z ) -> ( abs ` ( w - L ) ) = ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) )
96	95	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w = ( F ` z ) -> ( x < ( abs ` ( w - L ) ) <-> x < ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) ) )
97	96	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F ` z ) e. RR -> ( A. w e. RR x < ( abs ` ( w - L ) ) -> x < ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) ) )
98	78, 93, 97	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) -> x < ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) )
99	98	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) -> x < ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) )
100	70, 77, 99	ltnsymd 10186	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ z e. A ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) -> -. ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x )
101	66, 67, 68, 100	syl21anc 1325	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( -. z e. { B } /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) ) -> -. ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x )
102	63, 101	jcn 39205	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) /\ z e. A ) /\ ( -. z e. { B } /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) ) -> -. ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) )
103	102	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) /\ z e. A ) -> ( ( -. z e. { B } /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) -> -. ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) ) )
104	103	reximdva 3017	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) -> ( E. z e. A ( -. z e. { B } /\ z e. ( B ( ball ` ( abs o. - ) ) y ) ) -> E. z e. A -. ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) ) )
105	34, 104	mpd 15	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) -> E. z e. A -. ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) )
106		rexnal 2995	. . . . . . . . . 10 |- ( E. z e. A -. ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) <-> -. A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) )
107	105, 106	sylib 208	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) /\ y e. RR+ ) -> -. A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) )
108	107	nrexdv 3001	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) /\ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) ) -> -. E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) )
109	108	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ -. L e. RR ) /\ x e. RR+ ) -> ( A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) -> -. E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) ) )
110	109	reximdva 3017	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. L e. RR ) -> ( E. x e. RR+ A. w e. RR x < ( abs ` ( L - w ) ) -> E. x e. RR+ -. E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) ) )
111	8, 110	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. L e. RR ) -> E. x e. RR+ -. E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) )
112		rexnal 2995	. . . . 5 |- ( E. x e. RR+ -. E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) <-> -. A. x e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) )
113	111, 112	sylib 208	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. L e. RR ) -> -. A. x e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) )
114	113	intnand 962	. . 3 |- ( ( ph /\ -. L e. RR ) -> -. ( L e. CC /\ A. x e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) ) )
115	71, 86	fssd 6057	. . . . 5 |- ( ph -> F : A --> CC )
116	115, 11, 46	ellimc3 23643	. . . 4 |- ( ph -> ( L e. ( F lim CC B ) <-> ( L e. CC /\ A. x e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) ) ) )
117	116	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ -. L e. RR ) -> ( L e. ( F lim CC B ) <-> ( L e. CC /\ A. x e. RR+ E. y e. RR+ A. z e. A ( ( z =/= B /\ ( abs ` ( z - B ) ) < y ) -> ( abs ` ( ( F ` z ) - L ) ) < x ) ) ) )
118	114, 117	mtbird 315	. 2 |- ( ( ph /\ -. L e. RR ) -> -. L e. ( F lim CC B ) )
119	2, 118	condan 835	1 |- ( ph -> L e. RR )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   \ cdif 3571   C_ wss 3574   {csn 4177   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   RR*cxr 10073   < clt 10074   - cmin 10266   RR+crp 11832   abscabs 13974   TopOpenctopn 16082   *Metcxmt 19731   ballcbl 19733  ℂ_fldccnfld 19746   Topctop 20698   limPtclp 20938   lim CC climc 23626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-rest 16083  df-topn 16084  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-cnp 21032  df-xms 22125  df-ms 22126  df-limc 23630

This theorem is referenced by:  cncfiooiccre  40108  fourierdlem60  40383  fourierdlem61  40384  fourierdlem74  40397  fourierdlem75  40398  fourierdlem85  40408  fourierdlem88  40411  fourierdlem95  40418  fourierdlem103  40426  fourierdlem104  40427