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Theorem mbfmax 23416

Description: The maximum of two functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
mbfmax.1
mbfmax.2	MblFn
mbfmax.3
mbfmax.4	MblFn
mbfmax.5

**Assertion**
Ref	Expression
mbfmax	MblFn

Distinct variable groups:

Allowed substitution hint:

(

)

Proof of Theorem mbfmax Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbfmax.3	. . . . 5
2	1	ffvelrnda 6359	. . . 4 $/\$
3		mbfmax.1	. . . . 5
4	3	ffvelrnda 6359	. . . 4 $/\$
5	2, 4	ifcld 4131	. . 3 $/\$
6		mbfmax.5	. . 3
7	5, 6	fmptd 6385	. 2
8	3	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
9	8	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
10	9	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
11	1	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
12	11	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
13	12	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
14		simplr 792	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
15		xrmaxle 12014	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
16	10, 13, 14, 15	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
17	16	notbid 308	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
18		ianor 509	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\/$
19	17, 18	syl6bb 276	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $\/$
20		pnfxr 10092	. . . . . . . . . . . . 13
21		elioo2 12216	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
22	14, 20, 21	sylancl 694	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
23		3anan12 1051	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
24	22, 23	syl6bb 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
25		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16
26		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16
27	25, 26	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . . . . 15
28	27, 26, 25	ifbieq12d 4113	. . . . . . . . . . . . . 14
29		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . 15
30		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . 15
31	29, 30	ifex 4156	. . . . . . . . . . . . . 14
32	28, 6, 31	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . 13
33	32	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
34	33	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
35	12, 9	ifcld 4131	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
36		ltpnf 11954	. . . . . . . . . . . . 13
37	35, 36	jccir 562	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
38	37	biantrud 528	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
39	24, 34, 38	3bitr4d 300	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
40	35	rexrd 10089	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
41		xrltnle 10105	. . . . . . . . . . 11 $/\$
42	14, 40, 41	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
43	39, 42	bitrd 268	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
44		elioo2 12216	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
45	14, 20, 44	sylancl 694	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
46		3anan12 1051	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
47	45, 46	syl6bb 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
48		ltpnf 11954	. . . . . . . . . . . . 13
49	9, 48	jccir 562	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
50	49	biantrud 528	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
51		xrltnle 10105	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
52	14, 10, 51	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
53	47, 50, 52	3bitr2d 296	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
54		elioo2 12216	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
55	14, 20, 54	sylancl 694	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
56		3anan12 1051	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
57	55, 56	syl6bb 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
58		ltpnf 11954	. . . . . . . . . . . . 13
59	12, 58	jccir 562	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
60	59	biantrud 528	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61		xrltnle 10105	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
62	14, 13, 61	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
63	57, 60, 62	3bitr2d 296	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
64	53, 63	orbi12d 746	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
65	19, 43, 64	3bitr4d 300	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $\/$
66	65	pm5.32da 673	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
67		andi 911	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
68	66, 67	syl6bb 276	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
69		ffn 6045	. . . . . . . . 9
70	7, 69	syl 17	. . . . . . . 8
71	70	adantr 481	. . . . . . 7 $/\$
72		elpreima 6337	. . . . . . 7 $/\$
73	71, 72	syl 17	. . . . . 6 $/\$ $/\$
74		ffn 6045	. . . . . . . . 9
75	8, 74	syl 17	. . . . . . . 8 $/\$
76		elpreima 6337	. . . . . . . 8 $/\$
77	75, 76	syl 17	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
78		ffn 6045	. . . . . . . . 9
79	11, 78	syl 17	. . . . . . . 8 $/\$
80		elpreima 6337	. . . . . . . 8 $/\$
81	79, 80	syl 17	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
82	77, 81	orbi12d 746	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
83	68, 73, 82	3bitr4d 300	. . . . 5 $/\$ $\/$
84		elun 3753	. . . . 5 $\/$
85	83, 84	syl6bbr 278	. . . 4 $/\$
86	85	eqrdv 2620	. . 3 $/\$
87		mbfmax.2	. . . . . 6 MblFn
88		mbfima 23399	. . . . . 6 MblFn $/\$
89	87, 3, 88	syl2anc 693	. . . . 5
90		mbfmax.4	. . . . . 6 MblFn
91		mbfima 23399	. . . . . 6 MblFn $/\$
92	90, 1, 91	syl2anc 693	. . . . 5
93		unmbl 23305	. . . . 5 $/\$
94	89, 92, 93	syl2anc 693	. . . 4
95	94	adantr 481	. . 3 $/\$
96	86, 95	eqeltrd 2701	. 2 $/\$
97		xrmaxlt 12012	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
98	10, 13, 14, 97	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
99		mnfxr 10096	. . . . . . . . . . . 12
100		elioo2 12216	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
101	99, 14, 100	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102		df-3an 1039	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103	101, 102	syl6bb 276	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
104	33	eleq1d 2686	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
105		mnflt 11957	. . . . . . . . . . . 12
106	35, 105	jccir 562	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
107	106	biantrurd 529	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108	103, 104, 107	3bitr4d 300	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
109		elioo2 12216	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
110	99, 14, 109	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
111		df-3an 1039	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
112	110, 111	syl6bb 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
113		mnflt 11957	. . . . . . . . . . . . 13
114	9, 113	jccir 562	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
115	114	biantrurd 529	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
116	112, 115	bitr4d 271	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
117		elioo2 12216	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
118	99, 14, 117	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
119		df-3an 1039	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
120	118, 119	syl6bb 276	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
121		mnflt 11957	. . . . . . . . . . . . 13
122	12, 121	jccir 562	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
123	122	biantrurd 529	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
124	120, 123	bitr4d 271	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
125	116, 124	anbi12d 747	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
126	98, 108, 125	3bitr4d 300	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
127	126	pm5.32da 673	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
128		anandi 871	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
129	127, 128	syl6bb 276	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
130		elpreima 6337	. . . . . . 7 $/\$
131	71, 130	syl 17	. . . . . 6 $/\$ $/\$
132		elpreima 6337	. . . . . . . 8 $/\$
133	75, 132	syl 17	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
134		elpreima 6337	. . . . . . . 8 $/\$
135	79, 134	syl 17	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
136	133, 135	anbi12d 747	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
137	129, 131, 136	3bitr4d 300	. . . . 5 $/\$ $/\$
138		elin 3796	. . . . 5 $/\$
139	137, 138	syl6bbr 278	. . . 4 $/\$
140	139	eqrdv 2620	. . 3 $/\$
141		mbfima 23399	. . . . . 6 MblFn $/\$
142	87, 3, 141	syl2anc 693	. . . . 5
143		mbfima 23399	. . . . . 6 MblFn $/\$
144	90, 1, 143	syl2anc 693	. . . . 5
145		inmbl 23310	. . . . 5 $/\$
146	142, 144, 145	syl2anc 693	. . . 4
147	146	adantr 481	. . 3 $/\$
148	140, 147	eqeltrd 2701	. 2 $/\$
149	7, 96, 148	ismbfd 23407	1 MblFn

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $\/$ wo 383 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

cun 3572

cin 3573

cif 4086 class class class wbr 4653

cmpt 4729

ccnv 5113

cdm 5114

cima 5117

wfn 5883

wf 5884

cfv 5888 (class class class)co 6650

cr 9935

cpnf 10071

cmnf 10072

cxr 10073

clt 10074

cle 10075

cioo 12175

cvol 23232 MblFncmbf 23383

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-xadd 11947 df-ioo 12179 df-ico 12181 df-icc 12182 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-seq 12802 df-exp 12861 df-hash 13118 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-clim 14219 df-sum 14417 df-xmet 19739 df-met 19740 df-ovol 23233 df-vol 23234 df-mbf 23388

This theorem is referenced by: mbfpos 23418

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