Theorem mbfpos 23418

Description: The positive part of a measurable function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfpos.1	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )
mbfpos.2	|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn )

Assertion

Ref	Expression
mbfpos	|- ( ph -> ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) e. MblFn )

Distinct variable groups:   x, A   ph, x

Allowed substitution hint:   B( x)

Proof of Theorem mbfpos

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 10034	. . . . . . 7 |- 0 e. _V
2	1	fvconst2 6469	. . . . . 6 |- ( x e. A -> ( ( A X. { 0 } ) ` x ) = 0 )
3	2	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( A X. { 0 } ) ` x ) = 0 )
4		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> x e. A )
5		mbfpos.1	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )
6		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> B )
7	6	fvmpt2 6291	. . . . . 6 |- ( ( x e. A /\ B e. RR ) -> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) = B )
8	4, 5, 7	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) = B )
9	3, 8	breq12d 4666	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( ( A X. { 0 } ) ` x ) <_ ( ( x e. A |-> B ) ` x ) <-> 0 <_ B ) )
10	9, 8, 3	ifbieq12d 4113	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( ( ( A X. { 0 } ) ` x ) <_ ( ( x e. A |-> B ) ` x ) , ( ( x e. A |-> B ) ` x ) , ( ( A X. { 0 } ) ` x ) ) = if ( 0 <_ B , B , 0 ) )
11	10	mpteq2dva 4744	. 2 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( ( ( A X. { 0 } ) ` x ) <_ ( ( x e. A |-> B ) ` x ) , ( ( x e. A |-> B ) ` x ) , ( ( A X. { 0 } ) ` x ) ) ) = ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) )
12		0re 10040	. . . . 5 |- 0 e. RR
13	12	fconst6 6095	. . . 4 |- ( A X. { 0 } ) : A --> RR
14	13	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( A X. { 0 } ) : A --> RR )
15		mbfpos.2	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn )
16	15, 5	mbfdm2 23405	. . . 4 |- ( ph -> A e. dom vol )
17		0cnd 10033	. . . 4 |- ( ph -> 0 e. CC )
18		mbfconst 23402	. . . 4 |- ( ( A e. dom vol /\ 0 e. CC ) -> ( A X. { 0 } ) e. MblFn )
19	16, 17, 18	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ( A X. { 0 } ) e. MblFn )
20	5, 6	fmptd 6385	. . 3 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) : A --> RR )
21		nfcv 2764	. . . 4 |- F/_ y if ( ( ( A X. { 0 } ) ` x ) <_ ( ( x e. A |-> B ) ` x ) , ( ( x e. A |-> B ) ` x ) , ( ( A X. { 0 } ) ` x ) )
22		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ x ( ( A X. { 0 } ) ` y )
23		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ x <_
24		nffvmpt1 6199	. . . . . 6 |- F/_ x ( ( x e. A |-> B ) ` y )
25	22, 23, 24	nfbr 4699	. . . . 5 |- F/ x ( ( A X. { 0 } ) ` y ) <_ ( ( x e. A |-> B ) ` y )
26	25, 24, 22	nfif 4115	. . . 4 |- F/_ x if ( ( ( A X. { 0 } ) ` y ) <_ ( ( x e. A |-> B ) ` y ) , ( ( x e. A |-> B ) ` y ) , ( ( A X. { 0 } ) ` y ) )
27		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( A X. { 0 } ) ` x ) = ( ( A X. { 0 } ) ` y ) )
28		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) = ( ( x e. A |-> B ) ` y ) )
29	27, 28	breq12d 4666	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( ( A X. { 0 } ) ` x ) <_ ( ( x e. A |-> B ) ` x ) <-> ( ( A X. { 0 } ) ` y ) <_ ( ( x e. A |-> B ) ` y ) ) )
30	29, 28, 27	ifbieq12d 4113	. . . 4 |- ( x = y -> if ( ( ( A X. { 0 } ) ` x ) <_ ( ( x e. A |-> B ) ` x ) , ( ( x e. A |-> B ) ` x ) , ( ( A X. { 0 } ) ` x ) ) = if ( ( ( A X. { 0 } ) ` y ) <_ ( ( x e. A |-> B ) ` y ) , ( ( x e. A |-> B ) ` y ) , ( ( A X. { 0 } ) ` y ) ) )
31	21, 26, 30	cbvmpt 4749	. . 3 |- ( x e. A |-> if ( ( ( A X. { 0 } ) ` x ) <_ ( ( x e. A |-> B ) ` x ) , ( ( x e. A |-> B ) ` x ) , ( ( A X. { 0 } ) ` x ) ) ) = ( y e. A |-> if ( ( ( A X. { 0 } ) ` y ) <_ ( ( x e. A |-> B ) ` y ) , ( ( x e. A |-> B ) ` y ) , ( ( A X. { 0 } ) ` y ) ) )
32	14, 19, 20, 15, 31	mbfmax 23416	. 2 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( ( ( A X. { 0 } ) ` x ) <_ ( ( x e. A |-> B ) ` x ) , ( ( x e. A |-> B ) ` x ) , ( ( A X. { 0 } ) ` x ) ) ) e. MblFn )
33	11, 32	eqeltrrd 2702	1 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( 0 <_ B , B , 0 ) ) e. MblFn )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   ifcif 4086   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   <_ cle 10075   volcvol 23232  MblFncmbf 23383

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-xmet 19739  df-met 19740  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388

This theorem is referenced by:  mbfposb  23420  mbfi1flimlem  23489  itgreval  23563  ibladdlem  23586  iblabslem  23594  mbfposadd  33457  ibladdnclem  33466  iblabsnclem  33473  itgmulc2nclem2  33477