Theorem ismbfd 23407

Description: Deduction to prove measurability of a real function. The third hypothesis is not necessary, but the proof of this requires countable choice, so we derive this separately as ismbf3d 23421. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismbfd.1	|- ( ph -> F : A --> RR )
ismbfd.2	|- ( ( ph /\ x e. RR* ) -> ( `' F " ( x (,) +oo ) ) e. dom vol )
ismbfd.3	|- ( ( ph /\ x e. RR* ) -> ( `' F " ( -oo (,) x ) ) e. dom vol )

Assertion

Ref	Expression
ismbfd	|- ( ph -> F e. MblFn )

Distinct variable groups:   x, F   ph, x

Allowed substitution hint:   A( x)

Proof of Theorem ismbfd

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioof 12271	. . . . 5 |- (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR
2		ffn 6045	. . . . 5 |- ( (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR -> (,) Fn ( RR* X. RR* ) )
3		ovelrn 6810	. . . . 5 |- ( (,) Fn ( RR* X. RR* ) -> ( z e. ran (,) <-> E. x e. RR* E. y e. RR* z = ( x (,) y ) ) )
4	1, 2, 3	mp2b 10	. . . 4 |- ( z e. ran (,) <-> E. x e. RR* E. y e. RR* z = ( x (,) y ) )
5		simprl 794	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> x e. RR* )
6		pnfxr 10092	. . . . . . . . . . . 12 |- +oo e. RR*
7	6	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> +oo e. RR* )
8		mnfxr 10096	. . . . . . . . . . . 12 |- -oo e. RR*
9	8	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> -oo e. RR* )
10		simprr 796	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> y e. RR* )
11		iooin 12209	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. RR* /\ +oo e. RR* ) /\ ( -oo e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> ( ( x (,) +oo ) i^i ( -oo (,) y ) ) = ( if ( x <_ -oo , -oo , x ) (,) if ( +oo <_ y , +oo , y ) ) )
12	5, 7, 9, 10, 11	syl22anc 1327	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> ( ( x (,) +oo ) i^i ( -oo (,) y ) ) = ( if ( x <_ -oo , -oo , x ) (,) if ( +oo <_ y , +oo , y ) ) )
13		mnfle 11969	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. RR* -> -oo <_ x )
14		xrleid 11983	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. RR* -> x <_ x )
15		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -oo = if ( x <_ -oo , -oo , x ) -> ( -oo <_ x <-> if ( x <_ -oo , -oo , x ) <_ x ) )
16		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = if ( x <_ -oo , -oo , x ) -> ( x <_ x <-> if ( x <_ -oo , -oo , x ) <_ x ) )
17	15, 16	ifboth 4124	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -oo <_ x /\ x <_ x ) -> if ( x <_ -oo , -oo , x ) <_ x )
18	13, 14, 17	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. RR* -> if ( x <_ -oo , -oo , x ) <_ x )
19	18	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> if ( x <_ -oo , -oo , x ) <_ x )
20		xrmax1 12006	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. RR* /\ -oo e. RR* ) -> x <_ if ( x <_ -oo , -oo , x ) )
21	5, 8, 20	sylancl 694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> x <_ if ( x <_ -oo , -oo , x ) )
22		ifcl 4130	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -oo e. RR* /\ x e. RR* ) -> if ( x <_ -oo , -oo , x ) e. RR* )
23	8, 5, 22	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> if ( x <_ -oo , -oo , x ) e. RR* )
24		xrletri3 11985	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( if ( x <_ -oo , -oo , x ) e. RR* /\ x e. RR* ) -> ( if ( x <_ -oo , -oo , x ) = x <-> ( if ( x <_ -oo , -oo , x ) <_ x /\ x <_ if ( x <_ -oo , -oo , x ) ) ) )
25	23, 5, 24	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> ( if ( x <_ -oo , -oo , x ) = x <-> ( if ( x <_ -oo , -oo , x ) <_ x /\ x <_ if ( x <_ -oo , -oo , x ) ) ) )
26	19, 21, 25	mpbir2and 957	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> if ( x <_ -oo , -oo , x ) = x )
27		xrmin2 12009	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( +oo e. RR* /\ y e. RR* ) -> if ( +oo <_ y , +oo , y ) <_ y )
28	6, 10, 27	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> if ( +oo <_ y , +oo , y ) <_ y )
29		pnfge 11964	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. RR* -> y <_ +oo )
30		xrleid 11983	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. RR* -> y <_ y )
31		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( +oo = if ( +oo <_ y , +oo , y ) -> ( y <_ +oo <-> y <_ if ( +oo <_ y , +oo , y ) ) )
32		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = if ( +oo <_ y , +oo , y ) -> ( y <_ y <-> y <_ if ( +oo <_ y , +oo , y ) ) )
33	31, 32	ifboth 4124	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y <_ +oo /\ y <_ y ) -> y <_ if ( +oo <_ y , +oo , y ) )
34	29, 30, 33	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. RR* -> y <_ if ( +oo <_ y , +oo , y ) )
35	34	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> y <_ if ( +oo <_ y , +oo , y ) )
36		ifcl 4130	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( +oo e. RR* /\ y e. RR* ) -> if ( +oo <_ y , +oo , y ) e. RR* )
37	6, 10, 36	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> if ( +oo <_ y , +oo , y ) e. RR* )
38		xrletri3 11985	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( if ( +oo <_ y , +oo , y ) e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( if ( +oo <_ y , +oo , y ) = y <-> ( if ( +oo <_ y , +oo , y ) <_ y /\ y <_ if ( +oo <_ y , +oo , y ) ) ) )
39	37, 10, 38	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> ( if ( +oo <_ y , +oo , y ) = y <-> ( if ( +oo <_ y , +oo , y ) <_ y /\ y <_ if ( +oo <_ y , +oo , y ) ) ) )
40	28, 35, 39	mpbir2and 957	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> if ( +oo <_ y , +oo , y ) = y )
41	26, 40	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> ( if ( x <_ -oo , -oo , x ) (,) if ( +oo <_ y , +oo , y ) ) = ( x (,) y ) )
42	12, 41	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> ( ( x (,) +oo ) i^i ( -oo (,) y ) ) = ( x (,) y ) )
43	42	imaeq2d 5466	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> ( `' F " ( ( x (,) +oo ) i^i ( -oo (,) y ) ) ) = ( `' F " ( x (,) y ) ) )
44		ismbfd.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : A --> RR )
45	44	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> F : A --> RR )
46		ffun 6048	. . . . . . . . . 10 |- ( F : A --> RR -> Fun F )
47	45, 46	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> Fun F )
48		inpreima 6342	. . . . . . . . 9 |- ( Fun F -> ( `' F " ( ( x (,) +oo ) i^i ( -oo (,) y ) ) ) = ( ( `' F " ( x (,) +oo ) ) i^i ( `' F " ( -oo (,) y ) ) ) )
49	47, 48	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> ( `' F " ( ( x (,) +oo ) i^i ( -oo (,) y ) ) ) = ( ( `' F " ( x (,) +oo ) ) i^i ( `' F " ( -oo (,) y ) ) ) )
50	43, 49	eqtr3d 2658	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> ( `' F " ( x (,) y ) ) = ( ( `' F " ( x (,) +oo ) ) i^i ( `' F " ( -oo (,) y ) ) ) )
51		ismbfd.2	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR* ) -> ( `' F " ( x (,) +oo ) ) e. dom vol )
52	51	adantrr 753	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> ( `' F " ( x (,) +oo ) ) e. dom vol )
53		ismbfd.3	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR* ) -> ( `' F " ( -oo (,) x ) ) e. dom vol )
54	53	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. x e. RR* ( `' F " ( -oo (,) x ) ) e. dom vol )
55		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( -oo (,) x ) = ( -oo (,) y ) )
56	55	imaeq2d 5466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( `' F " ( -oo (,) x ) ) = ( `' F " ( -oo (,) y ) ) )
57	56	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( ( `' F " ( -oo (,) x ) ) e. dom vol <-> ( `' F " ( -oo (,) y ) ) e. dom vol ) )
58	57	rspccva 3308	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. x e. RR* ( `' F " ( -oo (,) x ) ) e. dom vol /\ y e. RR* ) -> ( `' F " ( -oo (,) y ) ) e. dom vol )
59	54, 58	sylan 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. RR* ) -> ( `' F " ( -oo (,) y ) ) e. dom vol )
60	59	adantrl 752	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> ( `' F " ( -oo (,) y ) ) e. dom vol )
61		inmbl 23310	. . . . . . . 8 |- ( ( ( `' F " ( x (,) +oo ) ) e. dom vol /\ ( `' F " ( -oo (,) y ) ) e. dom vol ) -> ( ( `' F " ( x (,) +oo ) ) i^i ( `' F " ( -oo (,) y ) ) ) e. dom vol )
62	52, 60, 61	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> ( ( `' F " ( x (,) +oo ) ) i^i ( `' F " ( -oo (,) y ) ) ) e. dom vol )
63	50, 62	eqeltrd 2701	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> ( `' F " ( x (,) y ) ) e. dom vol )
64		imaeq2 5462	. . . . . . 7 |- ( z = ( x (,) y ) -> ( `' F " z ) = ( `' F " ( x (,) y ) ) )
65	64	eleq1d 2686	. . . . . 6 |- ( z = ( x (,) y ) -> ( ( `' F " z ) e. dom vol <-> ( `' F " ( x (,) y ) ) e. dom vol ) )
66	63, 65	syl5ibrcom 237	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ y e. RR* ) ) -> ( z = ( x (,) y ) -> ( `' F " z ) e. dom vol ) )
67	66	rexlimdvva 3038	. . . 4 |- ( ph -> ( E. x e. RR* E. y e. RR* z = ( x (,) y ) -> ( `' F " z ) e. dom vol ) )
68	4, 67	syl5bi 232	. . 3 |- ( ph -> ( z e. ran (,) -> ( `' F " z ) e. dom vol ) )
69	68	ralrimiv 2965	. 2 |- ( ph -> A. z e. ran (,) ( `' F " z ) e. dom vol )
70		ismbf 23397	. . 3 |- ( F : A --> RR -> ( F e. MblFn <-> A. z e. ran (,) ( `' F " z ) e. dom vol ) )
71	44, 70	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( F e. MblFn <-> A. z e. ran (,) ( `' F " z ) e. dom vol ) )
72	69, 71	mpbird 247	1 |- ( ph -> F e. MblFn )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   i^i cin 3573   ifcif 4086   ~Pcpw 4158   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   "cima 5117   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -->wf 5884  (class class class)co 6650   RRcr 9935   +oocpnf 10071   -oocmnf 10072   RR*cxr 10073   <_ cle 10075   (,)cioo 12175   volcvol 23232  MblFncmbf 23383

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-xmet 19739  df-met 19740  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388

This theorem is referenced by:  ismbf2d  23408  mbfmax  23416