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Theorem mccl 39830
Description: A multinomial coefficient, in its standard domain, is a positive integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mccl.kb |- F/_ k B
mccl.a |- ( ph -> A e. Fin )
mccl.b |- ( ph -> B e. ( NN0 ^m A ) )
Assertion
Ref Expression
mccl |- ( ph -> ( ( ! ` sum_ k e. A ( B ` k ) ) / prod_ k e. A ( ! ` ( B ` k ) ) ) e. NN )
Distinct variable groups:   A, k   ph, k
Allowed substitution hint:   B( k)
Proof of Theorem mccl
Dummy variables a b c d e j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sumeq1 14419 . . . . . . . 8 |- ( a = (/) -> sum_ k e. a ( b ` k ) = sum_ k e. (/) ( b ` k ) )
21fveq2d 6195 . . . . . . 7 |- ( a = (/) -> ( ! ` sum_ k e. a ( b ` k ) ) = ( ! ` sum_ k e. (/) ( b ` k ) ) )
3 prodeq1 14639 . . . . . . 7 |- ( a = (/) -> prod_ k e. a ( ! ` ( b ` k ) ) = prod_ k e. (/) ( ! ` ( b ` k ) ) )
42, 3oveq12d 6668 . . . . . 6 |- ( a = (/) -> ( ( ! ` sum_ k e. a ( b ` k ) ) / prod_ k e. a ( ! ` ( b ` k ) ) ) = ( ( ! ` sum_ k e. (/) ( b ` k ) ) / prod_ k e. (/) ( ! ` ( b ` k ) ) ) )
54eleq1d 2686 . . . . 5 |- ( a = (/) -> ( ( ( ! ` sum_ k e. a ( b ` k ) ) / prod_ k e. a ( ! ` ( b ` k ) ) ) e. NN <-> ( ( ! ` sum_ k e. (/) ( b ` k ) ) / prod_ k e. (/) ( ! ` ( b ` k ) ) ) e. NN ) )
65ralbidv 2986 . . . 4 |- ( a = (/) -> ( A. b e. ( NN0 ^m a ) ( ( ! ` sum_ k e. a ( b ` k ) ) / prod_ k e. a ( ! ` ( b ` k ) ) ) e. NN <-> A. b e. ( NN0 ^m a ) ( ( ! ` sum_ k e. (/) ( b ` k ) ) / prod_ k e. (/) ( ! ` ( b ` k ) ) ) e. NN ) )
7 oveq2 6658 . . . . 5 |- ( a = (/) -> ( NN0 ^m a ) = ( NN0 ^m (/) ) )
87raleqdv 3144 . . . 4 |- ( a = (/) -> ( A. b e. ( NN0 ^m a ) ( ( ! ` sum_ k e. (/) ( b ` k ) ) / prod_ k e. (/) ( ! ` ( b ` k ) ) ) e. NN <-> A. b e. ( NN0 ^m (/) ) ( ( ! ` sum_ k e. (/) ( b ` k ) ) / prod_ k e. (/) ( ! ` ( b ` k ) ) ) e. NN ) )
96, 8bitrd 268 . . 3 |- ( a = (/) -> ( A. b e. ( NN0 ^m a ) ( ( ! ` sum_ k e. a ( b ` k ) ) / prod_ k e. a ( ! ` ( b ` k ) ) ) e. NN <-> A. b e. ( NN0 ^m (/) ) ( ( ! ` sum_ k e. (/) ( b ` k ) ) / prod_ k e. (/) ( ! ` ( b ` k ) ) ) e. NN ) )
10 sumeq1 14419 . . . . . . . 8 |- ( a = c -> sum_ k e. a ( b ` k ) = sum_ k e. c ( b ` k ) )
1110fveq2d 6195 . . . . . . 7 |- ( a = c -> ( ! ` sum_ k e. a ( b ` k ) ) = ( ! ` sum_ k e. c ( b ` k ) ) )
12 prodeq1 14639 . . . . . . 7 |- ( a = c -> prod_ k e. a ( ! ` ( b ` k ) ) = prod_ k e. c ( ! ` ( b ` k ) ) )
1311, 12oveq12d 6668 . . . . . 6 |- ( a = c -> ( ( ! ` sum_ k e. a ( b ` k ) ) / prod_ k e. a ( ! ` ( b ` k ) ) ) = ( ( ! ` sum_ k e. c ( b ` k ) ) / prod_ k e. c ( ! ` ( b ` k ) ) ) )
1413eleq1d 2686 . . . . 5 |- ( a = c -> ( ( ( ! ` sum_ k e. a ( b ` k ) ) / prod_ k e. a ( ! ` ( b ` k ) ) ) e. NN <-> ( ( ! ` sum_ k e. c ( b ` k ) ) / prod_ k e. c ( ! ` ( b ` k ) ) ) e. NN ) )
1514ralbidv 2986 . . . 4 |- ( a = c -> ( A. b e. ( NN0 ^m a ) ( ( ! ` sum_ k e. a ( b ` k ) ) / prod_ k e. a ( ! ` ( b ` k ) ) ) e. NN <-> A. b e. ( NN0 ^m a ) ( ( ! ` sum_ k e. c ( b ` k ) ) / prod_ k e. c ( ! ` ( b ` k ) ) ) e. NN ) )
16 oveq2 6658 . . . . 5 |- ( a = c -> ( NN0 ^m a ) = ( NN0 ^m c ) )
1716raleqdv 3144 . . . 4 |- ( a = c -> ( A. b e. ( NN0 ^m a ) ( ( ! ` sum_ k e. c ( b ` k ) ) / prod_ k e. c ( ! ` ( b ` k ) ) ) e. NN <-> A. b e. ( NN0 ^m c ) ( ( ! ` sum_ k e. c ( b ` k ) ) / prod_ k e. c ( ! ` ( b ` k ) ) ) e. NN ) )
1815, 17bitrd 268 . . 3 |- ( a = c -> ( A. b e. ( NN0 ^m a ) ( ( ! ` sum_ k e. a ( b ` k ) ) / prod_ k e. a ( ! ` ( b ` k ) ) ) e. NN <-> A. b e. ( NN0 ^m c ) ( ( ! ` sum_ k e. c ( b ` k ) ) / prod_ k e. c ( ! ` ( b ` k ) ) ) e. NN ) )
19 sumeq1 14419 . . . . . . . 8 |- ( a = ( c u. { d } ) -> sum_ k e. a ( b ` k ) = sum_ k e. ( c u. { d } ) ( b ` k ) )
2019fveq2d 6195 . . . . . . 7 |- ( a = ( c u. { d } ) -> ( ! ` sum_ k e. a ( b ` k ) ) = ( ! ` sum_ k e. ( c u. { d } ) ( b ` k ) ) )
21 prodeq1 14639 . . . . . . 7 |- ( a = ( c u. { d } ) -> prod_ k e. a ( ! ` ( b ` k ) ) = prod_ k e. ( c u. { d } ) ( ! ` ( b ` k ) ) )
2220, 21oveq12d 6668 . . . . . 6 |- ( a = ( c u. { d } ) -> ( ( ! ` sum_ k e. a ( b ` k ) ) / prod_ k e. a ( ! ` ( b ` k ) ) ) = ( ( ! ` sum_ k e. ( c u. { d } ) ( b ` k ) ) / prod_ k e. ( c u. { d } ) ( ! ` ( b ` k ) ) ) )
2322eleq1d 2686 . . . . 5 |- ( a = ( c u. { d } ) -> ( ( ( ! ` sum_ k e. a ( b ` k ) ) / prod_ k e. a ( ! ` ( b ` k ) ) ) e. NN <-> ( ( ! ` sum_ k e. ( c u. { d } ) ( b ` k ) ) / prod_ k e. ( c u. { d } ) ( ! ` ( b ` k ) ) ) e. NN ) )
2423ralbidv 2986 . . . 4 |- ( a = ( c u. { d } ) -> ( A. b e. ( NN0 ^m a ) ( ( ! ` sum_ k e. a ( b ` k ) ) / prod_ k e. a ( ! ` ( b ` k ) ) ) e. NN <-> A. b e. ( NN0 ^m a ) ( ( ! ` sum_ k e. ( c u. { d } ) ( b ` k ) ) / prod_ k e. ( c u. { d } ) ( ! ` ( b ` k ) ) ) e. NN ) )
25 oveq2 6658 . . . . 5 |- ( a = ( c u. { d } ) -> ( NN0 ^m a ) = ( NN0 ^m ( c u. { d } ) ) )
2625raleqdv 3144 . . . 4 |- ( a = ( c u. { d } ) -> ( A. b e. ( NN0 ^m a ) ( ( ! ` sum_ k e. ( c u. { d } ) ( b ` k ) ) / prod_ k e. ( c u. { d } ) ( ! ` ( b ` k ) ) ) e. NN <-> A. b e. ( NN0 ^m ( c u. { d } ) ) ( ( ! ` sum_ k e. ( c u. { d } ) ( b ` k ) ) / prod_ k e. ( c u. { d } ) ( ! ` ( b ` k ) ) ) e. NN ) )
2724, 26bitrd 268 . . 3 |- ( a = ( c u. { d } ) -> ( A. b e. ( NN0 ^m a ) ( ( ! ` sum_ k e. a ( b ` k ) ) / prod_ k e. a ( ! ` ( b ` k ) ) ) e. NN <-> A. b e. ( NN0 ^m ( c u. { d } ) ) ( ( ! ` sum_ k e. ( c u. { d } ) ( b ` k ) ) / prod_ k e. ( c u. { d } ) ( ! ` ( b ` k ) ) ) e. NN ) )
28 sumeq1 14419 . . . . . . . 8 |- ( a = A -> sum_ k e. a ( b ` k ) = sum_ k e. A ( b ` k ) )
2928fveq2d 6195 . . . . . . 7 |- ( a = A -> ( ! ` sum_ k e. a ( b ` k ) ) = ( ! ` sum_ k e. A ( b ` k ) ) )
30 prodeq1 14639 . . . . . . 7 |- ( a = A -> prod_ k e. a ( ! ` ( b ` k ) ) = prod_ k e. A ( ! ` ( b ` k ) ) )
3129, 30oveq12d 6668 . . . . . 6 |- ( a = A -> ( ( ! ` sum_ k e. a ( b ` k ) ) / prod_ k e. a ( ! ` ( b ` k ) ) ) = ( ( ! ` sum_ k e. A ( b ` k ) ) / prod_ k e. A ( ! ` ( b ` k ) ) ) )
3231eleq1d 2686 . . . . 5 |- ( a = A -> ( ( ( ! ` sum_ k e. a ( b ` k ) ) / prod_ k e. a ( ! ` ( b ` k ) ) ) e. NN <-> ( ( ! ` sum_ k e. A ( b ` k ) ) / prod_ k e. A ( ! ` ( b ` k ) ) ) e. NN ) )
3332ralbidv 2986 . . . 4 |- ( a = A -> ( A. b e. ( NN0 ^m a ) ( ( ! ` sum_ k e. a ( b ` k ) ) / prod_ k e. a ( ! ` ( b ` k ) ) ) e. NN <-> A. b e. ( NN0 ^m a ) ( ( ! ` sum_ k e. A ( b ` k ) ) / prod_ k e. A ( ! ` ( b ` k ) ) ) e. NN ) )
34 oveq2 6658 . . . . 5 |- ( a = A -> ( NN0 ^m a ) = ( NN0 ^m A ) )
3534raleqdv 3144 . . . 4 |- ( a = A -> ( A. b e. ( NN0 ^m a ) ( ( ! ` sum_ k e. A ( b ` k ) ) / prod_ k e. A ( ! ` ( b ` k ) ) ) e. NN <-> A. b e. ( NN0 ^m A ) ( ( ! ` sum_ k e. A ( b ` k ) ) / prod_ k e. A ( ! ` ( b ` k ) ) ) e. NN ) )
3633, 35bitrd 268 . . 3 |- ( a = A -> ( A. b e. ( NN0 ^m a ) ( ( ! ` sum_ k e. a ( b ` k ) ) / prod_ k e. a ( ! ` ( b ` k ) ) ) e. NN <-> A. b e. ( NN0 ^m A ) ( ( ! ` sum_ k e. A ( b ` k ) ) / prod_ k e. A ( ! ` ( b ` k ) ) ) e. NN ) )
37 sum0 14452 . . . . . . . . . 10 |- sum_ k e. (/) ( b ` k ) = 0
3837fveq2i 6194 . . . . . . . . 9 |- ( ! ` sum_ k e. (/) ( b ` k ) ) = ( ! ` 0 )
39 fac0 13063 . . . . . . . . 9 |- ( ! ` 0 ) = 1
4038, 39eqtri 2644 . . . . . . . 8 |- ( ! ` sum_ k e. (/) ( b ` k ) ) = 1
41 prod0 14673 . . . . . . . 8 |- prod_ k e. (/) ( ! ` ( b ` k ) ) = 1
4240, 41oveq12i 6662 . . . . . . 7 |- ( ( ! ` sum_ k e. (/) ( b ` k ) ) / prod_ k e. (/) ( ! ` ( b ` k ) ) ) = ( 1 / 1 )
43 1div1e1 10717 . . . . . . 7 |- ( 1 / 1 ) = 1
4442, 43eqtri 2644 . . . . . 6 |- ( ( ! ` sum_ k e. (/) ( b ` k ) ) / prod_ k e. (/) ( ! ` ( b ` k ) ) ) = 1
45 1nn 11031 . . . . . 6 |- 1 e. NN
4644, 45eqeltri 2697 . . . . 5 |- ( ( ! ` sum_ k e. (/) ( b ` k ) ) / prod_ k e. (/) ( ! ` ( b ` k ) ) ) e. NN
4746a1i 11 . . . 4 |- ( ( ph /\ b e. ( NN0 ^m (/) ) ) -> ( ( ! ` sum_ k e. (/) ( b ` k ) ) / prod_ k e. (/) ( ! ` ( b ` k ) ) ) e. NN )
4847ralrimiva 2966 . . 3 |- ( ph -> A. b e. ( NN0 ^m (/) ) ( ( ! ` sum_ k e. (/) ( b ` k ) ) / prod_ k e. (/) ( ! ` ( b ` k ) ) ) e. NN )
49 nfv 1843 . . . . . 6 |- F/ b ( ph /\ ( c C_ A /\ d e. ( A \ c ) ) )
50 nfra1 2941 . . . . . 6 |- F/ b A. b e. ( NN0 ^m c ) ( ( ! ` sum_ k e. c ( b ` k ) ) / prod_ k e. c ( ! ` ( b ` k ) ) ) e. NN
5149, 50nfan 1828 . . . . 5 |- F/ b ( ( ph /\ ( c C_ A /\ d e. ( A \ c ) ) ) /\ A. b e. ( NN0 ^m c ) ( ( ! ` sum_ k e. c ( b ` k ) ) / prod_ k e. c ( ! ` ( b ` k ) ) ) e. NN )
52 simpll 790 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( c C_ A /\ d e. ( A \ c ) ) ) /\ A. b e. ( NN0 ^m c ) ( ( ! ` sum_ k e. c ( b ` k ) ) / prod_ k e. c ( ! ` ( b ` k ) ) ) e. NN ) /\ b e. ( NN0 ^m ( c u. { d } ) ) ) -> ( ph /\ ( c C_ A /\ d e. ( A \ c ) ) ) )
53 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = j -> ( b ` k ) = ( b ` j ) )
5453cbvsumv 14426 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- sum_ k e. c ( b ` k ) = sum_ j e. c ( b ` j )
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b = e -> sum_ k e. c ( b ` k ) = sum_ j e. c ( b ` j ) )
56 fveq1 6190 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b = e -> ( b ` j ) = ( e ` j ) )
5756sumeq2ad 14434 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b = e -> sum_ j e. c ( b ` j ) = sum_ j e. c ( e ` j ) )
5855, 57eqtrd 2656 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = e -> sum_ k e. c ( b ` k ) = sum_ j e. c ( e ` j ) )
5958fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . 12 |- ( b = e -> ( ! ` sum_ k e. c ( b ` k ) ) = ( ! ` sum_ j e. c ( e ` j ) ) )
6053fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = j -> ( ! ` ( b ` k ) ) = ( ! ` ( b ` j ) ) )
6160cbvprodv 14646 . . . . . . . . . . . . . 14 |- prod_ k e. c ( ! ` ( b ` k ) ) = prod_ j e. c ( ! ` ( b ` j ) )
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = e -> prod_ k e. c ( ! ` ( b ` k ) ) = prod_ j e. c ( ! ` ( b ` j ) ) )
6356fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b = e -> ( ! ` ( b ` j ) ) = ( ! ` ( e ` j ) ) )
6463prodeq2ad 39824 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = e -> prod_ j e. c ( ! ` ( b ` j ) ) = prod_ j e. c ( ! ` ( e ` j ) ) )
6562, 64eqtrd 2656 . . . . . . . . . . . 12 |- ( b = e -> prod_ k e. c ( ! ` ( b ` k ) ) = prod_ j e. c ( ! ` ( e ` j ) ) )
6659, 65oveq12d 6668 . . . . . . . . . . 11 |- ( b = e -> ( ( ! ` sum_ k e. c ( b ` k ) ) / prod_ k e. c ( ! ` ( b ` k ) ) ) = ( ( ! ` sum_ j e. c ( e ` j ) ) / prod_ j e. c ( ! ` ( e ` j ) ) ) )
6766eleq1d 2686 . . . . . . . . . 10 |- ( b = e -> ( ( ( ! ` sum_ k e. c ( b ` k ) ) / prod_ k e. c ( ! ` ( b ` k ) ) ) e. NN <-> ( ( ! ` sum_ j e. c ( e ` j ) ) / prod_ j e. c ( ! ` ( e ` j ) ) ) e. NN ) )
6867cbvralv 3171 . . . . . . . . 9 |- ( A. b e. ( NN0 ^m c ) ( ( ! ` sum_ k e. c ( b ` k ) ) / prod_ k e. c ( ! ` ( b ` k ) ) ) e. NN <-> A. e e. ( NN0 ^m c ) ( ( ! ` sum_ j e. c ( e ` j ) ) / prod_ j e. c ( ! ` ( e ` j ) ) ) e. NN )
6968biimpi 206 . . . . . . . 8 |- ( A. b e. ( NN0 ^m c ) ( ( ! ` sum_ k e. c ( b ` k ) ) / prod_ k e. c ( ! ` ( b ` k ) ) ) e. NN -> A. e e. ( NN0 ^m c ) ( ( ! ` sum_ j e. c ( e ` j ) ) / prod_ j e. c ( ! ` ( e ` j ) ) ) e. NN )
7069ad2antlr 763 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( c C_ A /\ d e. ( A \ c ) ) ) /\ A. b e. ( NN0 ^m c ) ( ( ! ` sum_ k e. c ( b ` k ) ) / prod_ k e. c ( ! ` ( b ` k ) ) ) e. NN ) /\ b e. ( NN0 ^m ( c u. { d } ) ) ) -> A. e e. ( NN0 ^m c ) ( ( ! ` sum_ j e. c ( e ` j ) ) / prod_ j e. c ( ! ` ( e ` j ) ) ) e. NN )
71 simpr 477 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( c C_ A /\ d e. ( A \ c ) ) ) /\ A. b e. ( NN0 ^m c ) ( ( ! ` sum_ k e. c ( b ` k ) ) / prod_ k e. c ( ! ` ( b ` k ) ) ) e. NN ) /\ b e. ( NN0 ^m ( c u. { d } ) ) ) -> b e. ( NN0 ^m ( c u. { d } ) ) )
72 mccl.a . . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. Fin )
7372ad3antrrr 766 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( c C_ A /\ d e. ( A \ c ) ) ) /\ A. e e. ( NN0 ^m c ) ( ( ! ` sum_ j e. c ( e ` j ) ) / prod_ j e. c ( ! ` ( e ` j ) ) ) e. NN ) /\ b e. ( NN0 ^m ( c u. { d } ) ) ) -> A e. Fin )
74 simprl 794 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( c C_ A /\ d e. ( A \ c ) ) ) -> c C_ A )
7574ad2antrr 762 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( c C_ A /\ d e. ( A \ c ) ) ) /\ A. e e. ( NN0 ^m c ) ( ( ! ` sum_ j e. c ( e ` j ) ) / prod_ j e. c ( ! ` ( e ` j ) ) ) e. NN ) /\ b e. ( NN0 ^m ( c u. { d } ) ) ) -> c C_ A )
76 simprr 796 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( c C_ A /\ d e. ( A \ c ) ) ) -> d e. ( A \ c ) )
7776ad2antrr 762 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( c C_ A /\ d e. ( A \ c ) ) ) /\ A. e e. ( NN0 ^m c ) ( ( ! ` sum_ j e. c ( e ` j ) ) / prod_ j e. c ( ! ` ( e ` j ) ) ) e. NN ) /\ b e. ( NN0 ^m ( c u. { d } ) ) ) -> d e. ( A \ c ) )
78 simpr 477 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( c C_ A /\ d e. ( A \ c ) ) ) /\ A. e e. ( NN0 ^m c ) ( ( ! ` sum_ j e. c ( e ` j ) ) / prod_ j e. c ( ! ` ( e ` j ) ) ) e. NN ) /\ b e. ( NN0 ^m ( c u. { d } ) ) ) -> b e. ( NN0 ^m ( c u. { d } ) ) )
79 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = k -> ( e ` j ) = ( e ` k ) )
8079cbvsumv 14426 . . . . . . . . . . . . . 14 |- sum_ j e. c ( e ` j ) = sum_ k e. c ( e ` k )
8180fveq2i 6194 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ! ` sum_ j e. c ( e ` j ) ) = ( ! ` sum_ k e. c ( e ` k ) )
8279fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = k -> ( ! ` ( e ` j ) ) = ( ! ` ( e ` k ) ) )
8382cbvprodv 14646 . . . . . . . . . . . . 13 |- prod_ j e. c ( ! ` ( e ` j ) ) = prod_ k e. c ( ! ` ( e ` k ) )
8481, 83oveq12i 6662 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ! ` sum_ j e. c ( e ` j ) ) / prod_ j e. c ( ! ` ( e ` j ) ) ) = ( ( ! ` sum_ k e. c ( e ` k ) ) / prod_ k e. c ( ! ` ( e ` k ) ) )
8584eleq1i 2692 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ! ` sum_ j e. c ( e ` j ) ) / prod_ j e. c ( ! ` ( e ` j ) ) ) e. NN <-> ( ( ! ` sum_ k e. c ( e ` k ) ) / prod_ k e. c ( ! ` ( e ` k ) ) ) e. NN )
8685ralbii 2980 . . . . . . . . . 10 |- ( A. e e. ( NN0 ^m c ) ( ( ! ` sum_ j e. c ( e ` j ) ) / prod_ j e. c ( ! ` ( e ` j ) ) ) e. NN <-> A. e e. ( NN0 ^m c ) ( ( ! ` sum_ k e. c ( e ` k ) ) / prod_ k e. c ( ! ` ( e ` k ) ) ) e. NN )
8786biimpi 206 . . . . . . . . 9 |- ( A. e e. ( NN0 ^m c ) ( ( ! ` sum_ j e. c ( e ` j ) ) / prod_ j e. c ( ! ` ( e ` j ) ) ) e. NN -> A. e e. ( NN0 ^m c ) ( ( ! ` sum_ k e. c ( e ` k ) ) / prod_ k e. c ( ! ` ( e ` k ) ) ) e. NN )
8887ad2antlr 763 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( c C_ A /\ d e. ( A \ c ) ) ) /\ A. e e. ( NN0 ^m c ) ( ( ! ` sum_ j e. c ( e ` j ) ) / prod_ j e. c ( ! ` ( e ` j ) ) ) e. NN ) /\ b e. ( NN0 ^m ( c u. { d } ) ) ) -> A. e e. ( NN0 ^m c ) ( ( ! ` sum_ k e. c ( e ` k ) ) / prod_ k e. c ( ! ` ( e ` k ) ) ) e. NN )
8973, 75, 77, 78, 88mccllem 39829 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( c C_ A /\ d e. ( A \ c ) ) ) /\ A. e e. ( NN0 ^m c ) ( ( ! ` sum_ j e. c ( e ` j ) ) / prod_ j e. c ( ! ` ( e ` j ) ) ) e. NN ) /\ b e. ( NN0 ^m ( c u. { d } ) ) ) -> ( ( ! ` sum_ k e. ( c u. { d } ) ( b ` k ) ) / prod_ k e. ( c u. { d } ) ( ! ` ( b ` k ) ) ) e. NN )
9052, 70, 71, 89syl21anc 1325 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( c C_ A /\ d e. ( A \ c ) ) ) /\ A. b e. ( NN0 ^m c ) ( ( ! ` sum_ k e. c ( b ` k ) ) / prod_ k e. c ( ! ` ( b ` k ) ) ) e. NN ) /\ b e. ( NN0 ^m ( c u. { d } ) ) ) -> ( ( ! ` sum_ k e. ( c u. { d } ) ( b ` k ) ) / prod_ k e. ( c u. { d } ) ( ! ` ( b ` k ) ) ) e. NN )
9190ex 450 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( c C_ A /\ d e. ( A \ c ) ) ) /\ A. b e. ( NN0 ^m c ) ( ( ! ` sum_ k e. c ( b ` k ) ) / prod_ k e. c ( ! ` ( b ` k ) ) ) e. NN ) -> ( b e. ( NN0 ^m ( c u. { d } ) ) -> ( ( ! ` sum_ k e. ( c u. { d } ) ( b ` k ) ) / prod_ k e. ( c u. { d } ) ( ! ` ( b ` k ) ) ) e. NN ) )
9251, 91ralrimi 2957 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( c C_ A /\ d e. ( A \ c ) ) ) /\ A. b e. ( NN0 ^m c ) ( ( ! ` sum_ k e. c ( b ` k ) ) / prod_ k e. c ( ! ` ( b ` k ) ) ) e. NN ) -> A. b e. ( NN0 ^m ( c u. { d } ) ) ( ( ! ` sum_ k e. ( c u. { d } ) ( b ` k ) ) / prod_ k e. ( c u. { d } ) ( ! ` ( b ` k ) ) ) e. NN )
9392ex 450 . . 3 |- ( ( ph /\ ( c C_ A /\ d e. ( A \ c ) ) ) -> ( A. b e. ( NN0 ^m c ) ( ( ! ` sum_ k e. c ( b ` k ) ) / prod_ k e. c ( ! ` ( b ` k ) ) ) e. NN -> A. b e. ( NN0 ^m ( c u. { d } ) ) ( ( ! ` sum_ k e. ( c u. { d } ) ( b ` k ) ) / prod_ k e. ( c u. { d } ) ( ! ` ( b ` k ) ) ) e. NN ) )
949, 18, 27, 36, 48, 93, 72findcard2d 8202 . 2 |- ( ph -> A. b e. ( NN0 ^m A ) ( ( ! ` sum_ k e. A ( b ` k ) ) / prod_ k e. A ( ! ` ( b ` k ) ) ) e. NN )
95 mccl.b . 2 |- ( ph -> B e. ( NN0 ^m A ) )
96 nfcv 2764 . . . . . . . . 9 |- F/_ k b
97 mccl.kb . . . . . . . . 9 |- F/_ k B
9896, 97nfeq 2776 . . . . . . . 8 |- F/ k b = B
99 fveq1 6190 . . . . . . . . 9 |- ( b = B -> ( b ` k ) = ( B ` k ) )
10099a1d 25 . . . . . . . 8 |- ( b = B -> ( k e. A -> ( b ` k ) = ( B ` k ) ) )
10198, 100ralrimi 2957 . . . . . . 7 |- ( b = B -> A. k e. A ( b ` k ) = ( B ` k ) )
102101sumeq2d 14432 . . . . . 6 |- ( b = B -> sum_ k e. A ( b ` k ) = sum_ k e. A ( B ` k ) )
103102fveq2d 6195 . . . . 5 |- ( b = B -> ( ! ` sum_ k e. A ( b ` k ) ) = ( ! ` sum_ k e. A ( B ` k ) ) )
10499fveq2d 6195 . . . . . . . 8 |- ( b = B -> ( ! ` ( b ` k ) ) = ( ! ` ( B ` k ) ) )
105104a1d 25 . . . . . . 7 |- ( b = B -> ( k e. A -> ( ! ` ( b ` k ) ) = ( ! ` ( B ` k ) ) ) )
10698, 105ralrimi 2957 . . . . . 6 |- ( b = B -> A. k e. A ( ! ` ( b ` k ) ) = ( ! ` ( B ` k ) ) )
107106prodeq2d 14652 . . . . 5 |- ( b = B -> prod_ k e. A ( ! ` ( b ` k ) ) = prod_ k e. A ( ! ` ( B ` k ) ) )
108103, 107oveq12d 6668 . . . 4 |- ( b = B -> ( ( ! ` sum_ k e. A ( b ` k ) ) / prod_ k e. A ( ! ` ( b ` k ) ) ) = ( ( ! ` sum_ k e. A ( B ` k ) ) / prod_ k e. A ( ! ` ( B ` k ) ) ) )
109108eleq1d 2686 . . 3 |- ( b = B -> ( ( ( ! ` sum_ k e. A ( b ` k ) ) / prod_ k e. A ( ! ` ( b ` k ) ) ) e. NN <-> ( ( ! ` sum_ k e. A ( B ` k ) ) / prod_ k e. A ( ! ` ( B ` k ) ) ) e. NN ) )
110109rspccva 3308 . 2 |- ( ( A. b e. ( NN0 ^m A ) ( ( ! ` sum_ k e. A ( b ` k ) ) / prod_ k e. A ( ! ` ( b ` k ) ) ) e. NN /\ B e. ( NN0 ^m A ) ) -> ( ( ! ` sum_ k e. A ( B ` k ) ) / prod_ k e. A ( ! ` ( B ` k ) ) ) e. NN )
11194, 95, 110syl2anc 693 1 |- ( ph -> ( ( ! ` sum_ k e. A ( B ` k ) ) / prod_ k e. A ( ! ` ( B ` k ) ) ) e. NN )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   F/_wnfc 2751   A.wral 2912   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   0cc0 9936   1c1 9937   / cdiv 10684   NNcn 11020   NN0cn0 11292   !cfa 13060   sum_csu 14416   prod_cprod 14635
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-prod 14636
This theorem is referenced by:  etransclem24  40475  etransclem25  40476  etransclem26  40477  etransclem28  40479  etransclem35  40486  etransclem37  40488
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