Theorem mccllem 39829

Description: * Induction step for mccl 39830. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mccllem.a	|- ( ph -> A e. Fin )
mccllem.c	|- ( ph -> C C_ A )
mccllem.d	|- ( ph -> D e. ( A \ C ) )
mccllem.b	|- ( ph -> B e. ( NN0 ^m ( C u. { D } ) ) )
mccllem.6	|- ( ph -> A. b e. ( NN0 ^m C ) ( ( ! ` sum_ k e. C ( b ` k ) ) / prod_ k e. C ( ! ` ( b ` k ) ) ) e. NN )

Assertion

Ref	Expression
mccllem	|- ( ph -> ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / prod_ k e. ( C u. { D } ) ( ! ` ( B ` k ) ) ) e. NN )

Distinct variable groups:   A, k   B, b, k   C, b, k   D, k   ph, k

Allowed substitution hints:   ph( b)   A( b)   D( b)

Proof of Theorem mccllem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1843	. . . . 5 |- F/ k ph
2		nfcv 2764	. . . . 5 |- F/_ k ( ! ` ( B ` D ) )
3		mccllem.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. Fin )
4		mccllem.c	. . . . . 6 |- ( ph -> C C_ A )
5		ssfi 8180	. . . . . 6 |- ( ( A e. Fin /\ C C_ A ) -> C e. Fin )
6	3, 4, 5	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> C e. Fin )
7		mccllem.d	. . . . 5 |- ( ph -> D e. ( A \ C ) )
8		eldifn 3733	. . . . . 6 |- ( D e. ( A \ C ) -> -. D e. C )
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> -. D e. C )
10		mccllem.b	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> B e. ( NN0 ^m ( C u. { D } ) ) )
11		elmapi 7879	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. ( NN0 ^m ( C u. { D } ) ) -> B : ( C u. { D } ) --> NN0 )
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> B : ( C u. { D } ) --> NN0 )
13	12	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. C ) -> B : ( C u. { D } ) --> NN0 )
14		elun1 3780	. . . . . . . . 9 |- ( k e. C -> k e. ( C u. { D } ) )
15	14	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. C ) -> k e. ( C u. { D } ) )
16	13, 15	ffvelrnd 6360	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. C ) -> ( B ` k ) e. NN0 )
17	16	faccld 13071	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. C ) -> ( ! ` ( B ` k ) ) e. NN )
18	17	nncnd 11036	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. C ) -> ( ! ` ( B ` k ) ) e. CC )
19		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( k = D -> ( B ` k ) = ( B ` D ) )
20	19	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( k = D -> ( ! ` ( B ` k ) ) = ( ! ` ( B ` D ) ) )
21		snidg 4206	. . . . . . . . . 10 |- ( D e. ( A \ C ) -> D e. { D } )
22	7, 21	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> D e. { D } )
23		elun2 3781	. . . . . . . . 9 |- ( D e. { D } -> D e. ( C u. { D } ) )
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> D e. ( C u. { D } ) )
25	12, 24	ffvelrnd 6360	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( B ` D ) e. NN0 )
26	25	faccld 13071	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ! ` ( B ` D ) ) e. NN )
27	26	nncnd 11036	. . . . 5 |- ( ph -> ( ! ` ( B ` D ) ) e. CC )
28	1, 2, 6, 7, 9, 18, 20, 27	fprodsplitsn 14720	. . . 4 |- ( ph -> prod_ k e. ( C u. { D } ) ( ! ` ( B ` k ) ) = ( prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) x. ( ! ` ( B ` D ) ) ) )
29	28	oveq2d 6666	. . 3 |- ( ph -> ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / prod_ k e. ( C u. { D } ) ( ! ` ( B ` k ) ) ) = ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) x. ( ! ` ( B ` D ) ) ) ) )
30	7	eldifad 3586	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> D e. A )
31		snssi 4339	. . . . . . . . . . . 12 |- ( D e. A -> { D } C_ A )
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> { D } C_ A )
33	4, 32	unssd 3789	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( C u. { D } ) C_ A )
34		ssfi 8180	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. Fin /\ ( C u. { D } ) C_ A ) -> ( C u. { D } ) e. Fin )
35	3, 33, 34	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( C u. { D } ) e. Fin )
36	12	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( C u. { D } ) ) -> ( B ` k ) e. NN0 )
37	35, 36	fsumnn0cl 14467	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) e. NN0 )
38	37	faccld 13071	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) e. NN )
39	38	nncnd 11036	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) e. CC )
40	1, 6, 18	fprodclf 14723	. . . . . . 7 |- ( ph -> prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) e. CC )
41	40, 27	mulcld 10060	. . . . . 6 |- ( ph -> ( prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) x. ( ! ` ( B ` D ) ) ) e. CC )
42	17	nnne0d 11065	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. C ) -> ( ! ` ( B ` k ) ) =/= 0 )
43	6, 18, 42	fprodn0 14709	. . . . . . 7 |- ( ph -> prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) =/= 0 )
44	26	nnne0d 11065	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ! ` ( B ` D ) ) =/= 0 )
45	40, 27, 43, 44	mulne0d 10679	. . . . . 6 |- ( ph -> ( prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) x. ( ! ` ( B ` D ) ) ) =/= 0 )
46	39, 41, 45	divcld 10801	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) x. ( ! ` ( B ` D ) ) ) ) e. CC )
47	46	mulid2d 10058	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 x. ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) x. ( ! ` ( B ` D ) ) ) ) ) = ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) x. ( ! ` ( B ` D ) ) ) ) )
48	47	eqcomd 2628	. . 3 |- ( ph -> ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) x. ( ! ` ( B ` D ) ) ) ) = ( 1 x. ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) x. ( ! ` ( B ` D ) ) ) ) ) )
49	6, 16	fsumnn0cl 14467	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> sum_ k e. C ( B ` k ) e. NN0 )
50	49	faccld 13071	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) e. NN )
51	50	nncnd 11036	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) e. CC )
52		nnne0 11053	. . . . . . . 8 |- ( ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) e. NN -> ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) =/= 0 )
53	50, 52	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) =/= 0 )
54	51, 53	dividd 10799	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) / ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) = 1 )
55	54	eqcomd 2628	. . . . 5 |- ( ph -> 1 = ( ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) / ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) )
56	40, 27	mulcomd 10061	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) x. ( ! ` ( B ` D ) ) ) = ( ( ! ` ( B ` D ) ) x. prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) ) )
57	56	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) x. ( ! ` ( B ` D ) ) ) ) = ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( ( ! ` ( B ` D ) ) x. prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) ) ) )
58	39, 27, 40, 44, 43	divdiv1d 10832	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( ! ` ( B ` D ) ) ) / prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) ) = ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( ( ! ` ( B ` D ) ) x. prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) ) ) )
59	58	eqcomd 2628	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( ( ! ` ( B ` D ) ) x. prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) ) ) = ( ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( ! ` ( B ` D ) ) ) / prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) ) )
60	57, 59	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) x. ( ! ` ( B ` D ) ) ) ) = ( ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( ! ` ( B ` D ) ) ) / prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) ) )
61	55, 60	oveq12d 6668	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 x. ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) x. ( ! ` ( B ` D ) ) ) ) ) = ( ( ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) / ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) x. ( ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( ! ` ( B ` D ) ) ) / prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) ) ) )
62	39, 27, 44	divcld 10801	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( ! ` ( B ` D ) ) ) e. CC )
63	51, 51, 62, 40, 53, 43	divmul13d 10843	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) / ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) x. ( ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( ! ` ( B ` D ) ) ) / prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) ) ) = ( ( ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( ! ` ( B ` D ) ) ) / ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) x. ( ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) / prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) ) ) )
64	61, 63	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ph -> ( 1 x. ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) x. ( ! ` ( B ` D ) ) ) ) ) = ( ( ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( ! ` ( B ` D ) ) ) / ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) x. ( ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) / prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) ) ) )
65	29, 48, 64	3eqtrd 2660	. 2 |- ( ph -> ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / prod_ k e. ( C u. { D } ) ( ! ` ( B ` k ) ) ) = ( ( ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( ! ` ( B ` D ) ) ) / ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) x. ( ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) / prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) ) ) )
66	39, 27, 51, 44, 53	divdiv1d 10832	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( ! ` ( B ` D ) ) ) / ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) = ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( ( ! ` ( B ` D ) ) x. ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) ) )
67		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ k [_ D / k ]_ ( B ` k )
68	16	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. C ) -> ( B ` k ) e. CC )
69		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = D -> ( B ` k ) = [_ D / k ]_ ( B ` k ) )
70		csbfv 6233	. . . . . . . . . . . . 13 |- [_ D / k ]_ ( B ` k ) = ( B ` D )
71	70	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> [_ D / k ]_ ( B ` k ) = ( B ` D ) )
72	25	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( B ` D ) e. CC )
73	71, 72	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> [_ D / k ]_ ( B ` k ) e. CC )
74	1, 67, 6, 30, 9, 68, 69, 73	fsumsplitsn 14474	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) = ( sum_ k e. C ( B ` k ) + [_ D / k ]_ ( B ` k ) ) )
75	74	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) - sum_ k e. C ( B ` k ) ) = ( ( sum_ k e. C ( B ` k ) + [_ D / k ]_ ( B ` k ) ) - sum_ k e. C ( B ` k ) ) )
76	49	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> sum_ k e. C ( B ` k ) e. CC )
77	76, 73	pncan2d 10394	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( sum_ k e. C ( B ` k ) + [_ D / k ]_ ( B ` k ) ) - sum_ k e. C ( B ` k ) ) = [_ D / k ]_ ( B ` k ) )
78	75, 77, 71	3eqtrrd 2661	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B ` D ) = ( sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) - sum_ k e. C ( B ` k ) ) )
79	78	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ! ` ( B ` D ) ) = ( ! ` ( sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) - sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) )
80	79	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ! ` ( B ` D ) ) x. ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) = ( ( ! ` ( sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) - sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) x. ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) )
81	80	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( ( ! ` ( B ` D ) ) x. ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) ) = ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( ( ! ` ( sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) - sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) x. ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) ) )
82		0zd 11389	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
83	37	nn0zd 11480	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) e. ZZ )
84	49	nn0zd 11480	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> sum_ k e. C ( B ` k ) e. ZZ )
85	82, 83, 84	3jca 1242	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 0 e. ZZ /\ sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) e. ZZ /\ sum_ k e. C ( B ` k ) e. ZZ ) )
86	49	nn0ge0d 11354	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 <_ sum_ k e. C ( B ` k ) )
87	25	nn0ge0d 11354	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 <_ ( B ` D ) )
88	71	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( B ` D ) = [_ D / k ]_ ( B ` k ) )
89	87, 88	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 <_ [_ D / k ]_ ( B ` k ) )
90	49	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> sum_ k e. C ( B ` k ) e. RR )
91	25	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( B ` D ) e. RR )
92	71, 91	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> [_ D / k ]_ ( B ` k ) e. RR )
93	90, 92	addge01d 10615	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 0 <_ [_ D / k ]_ ( B ` k ) <-> sum_ k e. C ( B ` k ) <_ ( sum_ k e. C ( B ` k ) + [_ D / k ]_ ( B ` k ) ) ) )
94	89, 93	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> sum_ k e. C ( B ` k ) <_ ( sum_ k e. C ( B ` k ) + [_ D / k ]_ ( B ` k ) ) )
95	74	eqcomd 2628	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( sum_ k e. C ( B ` k ) + [_ D / k ]_ ( B ` k ) ) = sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) )
96	94, 95	breqtrd 4679	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> sum_ k e. C ( B ` k ) <_ sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) )
97	85, 86, 96	jca32 558	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 0 e. ZZ /\ sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) e. ZZ /\ sum_ k e. C ( B ` k ) e. ZZ ) /\ ( 0 <_ sum_ k e. C ( B ` k ) /\ sum_ k e. C ( B ` k ) <_ sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) ) )
98		elfz2 12333	. . . . . . . 8 |- ( sum_ k e. C ( B ` k ) e. ( 0 ... sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) <-> ( ( 0 e. ZZ /\ sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) e. ZZ /\ sum_ k e. C ( B ` k ) e. ZZ ) /\ ( 0 <_ sum_ k e. C ( B ` k ) /\ sum_ k e. C ( B ` k ) <_ sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) ) )
99	97, 98	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ k e. C ( B ` k ) e. ( 0 ... sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) )
100		bcval2 13092	. . . . . . 7 |- ( sum_ k e. C ( B ` k ) e. ( 0 ... sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) -> ( sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) _C sum_ k e. C ( B ` k ) ) = ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( ( ! ` ( sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) - sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) x. ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) ) )
101	99, 100	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) _C sum_ k e. C ( B ` k ) ) = ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( ( ! ` ( sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) - sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) x. ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) ) )
102	101	eqcomd 2628	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( ( ! ` ( sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) - sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) x. ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) ) = ( sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) _C sum_ k e. C ( B ` k ) ) )
103	66, 81, 102	3eqtrd 2660	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( ! ` ( B ` D ) ) ) / ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) = ( sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) _C sum_ k e. C ( B ` k ) ) )
104		bccl2 13110	. . . . 5 |- ( sum_ k e. C ( B ` k ) e. ( 0 ... sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) -> ( sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) _C sum_ k e. C ( B ` k ) ) e. NN )
105	99, 104	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) _C sum_ k e. C ( B ` k ) ) e. NN )
106	103, 105	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( ! ` ( B ` D ) ) ) / ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) e. NN )
107		mccllem.6	. . . 4 |- ( ph -> A. b e. ( NN0 ^m C ) ( ( ! ` sum_ k e. C ( b ` k ) ) / prod_ k e. C ( ! ` ( b ` k ) ) ) e. NN )
108		ssun1 3776	. . . . . 6 |- C C_ ( C u. { D } )
109	108	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> C C_ ( C u. { D } ) )
110		elmapssres 7882	. . . . 5 |- ( ( B e. ( NN0 ^m ( C u. { D } ) ) /\ C C_ ( C u. { D } ) ) -> ( B |` C ) e. ( NN0 ^m C ) )
111	10, 109, 110	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( B |` C ) e. ( NN0 ^m C ) )
112		fveq1 6190	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = ( B |` C ) -> ( b ` k ) = ( ( B |` C ) ` k ) )
113	112	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( b = ( B |` C ) /\ k e. C ) -> ( b ` k ) = ( ( B |` C ) ` k ) )
114		fvres 6207	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. C -> ( ( B |` C ) ` k ) = ( B ` k ) )
115	114	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( b = ( B |` C ) /\ k e. C ) -> ( ( B |` C ) ` k ) = ( B ` k ) )
116	113, 115	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( b = ( B |` C ) /\ k e. C ) -> ( b ` k ) = ( B ` k ) )
117	116	sumeq2dv 14433	. . . . . . . 8 |- ( b = ( B |` C ) -> sum_ k e. C ( b ` k ) = sum_ k e. C ( B ` k ) )
118	117	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( b = ( B |` C ) -> ( ! ` sum_ k e. C ( b ` k ) ) = ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) )
119	116	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( ( b = ( B |` C ) /\ k e. C ) -> ( ! ` ( b ` k ) ) = ( ! ` ( B ` k ) ) )
120	119	prodeq2dv 14653	. . . . . . 7 |- ( b = ( B |` C ) -> prod_ k e. C ( ! ` ( b ` k ) ) = prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) )
121	118, 120	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( b = ( B |` C ) -> ( ( ! ` sum_ k e. C ( b ` k ) ) / prod_ k e. C ( ! ` ( b ` k ) ) ) = ( ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) / prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) ) )
122	121	eleq1d 2686	. . . . 5 |- ( b = ( B |` C ) -> ( ( ( ! ` sum_ k e. C ( b ` k ) ) / prod_ k e. C ( ! ` ( b ` k ) ) ) e. NN <-> ( ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) / prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) ) e. NN ) )
123	122	rspccva 3308	. . . 4 |- ( ( A. b e. ( NN0 ^m C ) ( ( ! ` sum_ k e. C ( b ` k ) ) / prod_ k e. C ( ! ` ( b ` k ) ) ) e. NN /\ ( B |` C ) e. ( NN0 ^m C ) ) -> ( ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) / prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) ) e. NN )
124	107, 111, 123	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ( ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) / prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) ) e. NN )
125	106, 124	nnmulcld 11068	. 2 |- ( ph -> ( ( ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / ( ! ` ( B ` D ) ) ) / ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) ) x. ( ( ! ` sum_ k e. C ( B ` k ) ) / prod_ k e. C ( ! ` ( B ` k ) ) ) ) e. NN )
126	65, 125	eqeltrd 2701	1 |- ( ph -> ( ( ! ` sum_ k e. ( C u. { D } ) ( B ` k ) ) / prod_ k e. ( C u. { D } ) ( ! ` ( B ` k ) ) ) e. NN )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   [_csb 3533   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   {csn 4177   class class class wbr 4653   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ...cfz 12326   !cfa 13060   _C cbc 13089   sum_csu 14416   prod_cprod 14635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-prod 14636

This theorem is referenced by:  mccl  39830