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Theorem etransclem28 40479
Description: ( P - 1 ) factorial divides the N-th derivative of F applied to J. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem28.p |- ( ph -> P e. NN )
etransclem28.m |- ( ph -> M e. NN0 )
etransclem28.n |- ( ph -> N e. NN0 )
etransclem28.c |- C = ( n e. NN0 |-> { c e. ( ( 0 ... n ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = n } )
etransclem28.d |- ( ph -> D e. ( C ` N ) )
etransclem28.j |- ( ph -> J e. ( 0 ... M ) )
etransclem28.t |- T = ( ( ( ! ` N ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( D ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( D ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( D ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( D ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( D ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( D ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( D ` j ) ) ) ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
etransclem28 |- ( ph -> ( ! ` ( P - 1 ) ) || T )
Distinct variable groups:   D, c, j   j, J   M, c, j, n   N, c, n   P, j   ph, j, n
Allowed substitution hints:   ph( c)   C( j, n, c)   D( n)   P( n, c)   T( j, n, c)   J( n, c)   N( j)
Proof of Theorem etransclem28
StepHypRef Expression
1 etransclem28.p . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> P e. NN )
2 nnm1nn0 11334 . . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. NN -> ( P - 1 ) e. NN0 )
31, 2syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( P - 1 ) e. NN0 )
43faccld 13071 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ! ` ( P - 1 ) ) e. NN )
54nnzd 11481 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ! ` ( P - 1 ) ) e. ZZ )
65adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ J = 0 ) -> ( ! ` ( P - 1 ) ) e. ZZ )
7 etransclem28.d . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> D e. ( C ` N ) )
8 etransclem28.c . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- C = ( n e. NN0 |-> { c e. ( ( 0 ... n ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = n } )
9 etransclem28.n . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> N e. NN0 )
108, 9etransclem12 40463 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( C ` N ) = { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N } )
117, 10eleqtrd 2703 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> D e. { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N } )
12 fveq1 6190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( c = D -> ( c ` j ) = ( D ` j ) )
1312sumeq2ad 14434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( c = D -> sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = sum_ j e. ( 0 ... M ) ( D ` j ) )
1413eqeq1d 2624 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( c = D -> ( sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N <-> sum_ j e. ( 0 ... M ) ( D ` j ) = N ) )
1514elrab 3363 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( D e. { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N } <-> ( D e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) /\ sum_ j e. ( 0 ... M ) ( D ` j ) = N ) )
1615simprbi 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( D e. { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N } -> sum_ j e. ( 0 ... M ) ( D ` j ) = N )
1711, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> sum_ j e. ( 0 ... M ) ( D ` j ) = N )
1817eqcomd 2628 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> N = sum_ j e. ( 0 ... M ) ( D ` j ) )
1918fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ! ` N ) = ( ! ` sum_ j e. ( 0 ... M ) ( D ` j ) ) )
2019oveq1d 6665 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ! ` N ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( D ` j ) ) ) = ( ( ! ` sum_ j e. ( 0 ... M ) ( D ` j ) ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( D ` j ) ) ) )
21 nfcv 2764 . . . . . . . . . . . 12 |- F/_ j D
22 fzfid 12772 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 0 ... M ) e. Fin )
23 nn0ex 11298 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- NN0 e. _V
24 fzssnn0 39533 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 0 ... N ) C_ NN0
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( D e. { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N } -> ( 0 ... N ) C_ NN0 )
26 mapss 7900 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( NN0 e. _V /\ ( 0 ... N ) C_ NN0 ) -> ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) C_ ( NN0 ^m ( 0 ... M ) ) )
2723, 25, 26sylancr 695 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( D e. { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N } -> ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) C_ ( NN0 ^m ( 0 ... M ) ) )
28 elrabi 3359 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( D e. { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N } -> D e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) )
2927, 28sseldd 3604 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( D e. { c e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) | sum_ j e. ( 0 ... M ) ( c ` j ) = N } -> D e. ( NN0 ^m ( 0 ... M ) ) )
3011, 29syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> D e. ( NN0 ^m ( 0 ... M ) ) )
3121, 22, 30mccl 39830 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ! ` sum_ j e. ( 0 ... M ) ( D ` j ) ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( D ` j ) ) ) e. NN )
3220, 31eqeltrd 2701 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ! ` N ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( D ` j ) ) ) e. NN )
3332nnzd 11481 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ! ` N ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( D ` j ) ) ) e. ZZ )
3433adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ J = 0 ) -> ( ( ! ` N ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( D ` j ) ) ) e. ZZ )
35 oveq1 6657 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( J = 0 -> ( J - j ) = ( 0 - j ) )
36 df-neg 10269 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- -u j = ( 0 - j )
3735, 36syl6reqr 2675 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( J = 0 -> -u j = ( J - j ) )
3837oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( J = 0 -> ( -u j ^ ( P - ( D ` j ) ) ) = ( ( J - j ) ^ ( P - ( D ` j ) ) ) )
3938oveq2d 6666 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( J = 0 -> ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( D ` j ) ) ) ) x. ( -u j ^ ( P - ( D ` j ) ) ) ) = ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( D ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( D ` j ) ) ) ) )
4039ifeq2d 4105 . . . . . . . . . . . 12 |- ( J = 0 -> if ( P < ( D ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( D ` j ) ) ) ) x. ( -u j ^ ( P - ( D ` j ) ) ) ) ) = if ( P < ( D ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( D ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( D ` j ) ) ) ) ) )
4140prodeq2ad 39824 . . . . . . . . . . 11 |- ( J = 0 -> prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( D ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( D ` j ) ) ) ) x. ( -u j ^ ( P - ( D ` j ) ) ) ) ) = prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( D ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( D ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( D ` j ) ) ) ) ) )
4241adantl 482 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ J = 0 ) -> prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( D ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( D ` j ) ) ) ) x. ( -u j ^ ( P - ( D ` j ) ) ) ) ) = prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( D ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( D ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( D ` j ) ) ) ) ) )
4311, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> D e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) )
44 elmapi 7879 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( D e. ( ( 0 ... N ) ^m ( 0 ... M ) ) -> D : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... N ) )
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> D : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... N ) )
46 etransclem28.j . . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> J e. ( 0 ... M ) )
471, 45, 46etransclem7 40458 . . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( D ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( D ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( D ` j ) ) ) ) ) e. ZZ )
4847adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ J = 0 ) -> prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( D ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( D ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( D ` j ) ) ) ) ) e. ZZ )
4942, 48eqeltrd 2701 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ J = 0 ) -> prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( D ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( D ` j ) ) ) ) x. ( -u j ^ ( P - ( D ` j ) ) ) ) ) e. ZZ )
506, 49zmulcld 11488 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ J = 0 ) -> ( ( ! ` ( P - 1 ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( D ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( D ` j ) ) ) ) x. ( -u j ^ ( P - ( D ` j ) ) ) ) ) ) e. ZZ )
516, 34, 503jca 1242 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ J = 0 ) -> ( ( ! ` ( P - 1 ) ) e. ZZ /\ ( ( ! ` N ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( D ` j ) ) ) e. ZZ /\ ( ( ! ` ( P - 1 ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( D ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( D ` j ) ) ) ) x. ( -u j ^ ( P - ( D ` j ) ) ) ) ) ) e. ZZ ) )
52 dvdsmul1 15003 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) e. ZZ /\ prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( D ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( D ` j ) ) ) ) x. ( -u j ^ ( P - ( D ` j ) ) ) ) ) e. ZZ ) -> ( ! ` ( P - 1 ) ) || ( ( ! ` ( P - 1 ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( D ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( D ` j ) ) ) ) x. ( -u j ^ ( P - ( D ` j ) ) ) ) ) ) )
536, 49, 52syl2anc 693 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ J = 0 ) -> ( ! ` ( P - 1 ) ) || ( ( ! ` ( P - 1 ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( D ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( D ` j ) ) ) ) x. ( -u j ^ ( P - ( D ` j ) ) ) ) ) ) )
54 dvdsmultr2 15021 . . . . . . 7 |- ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) e. ZZ /\ ( ( ! ` N ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( D ` j ) ) ) e. ZZ /\ ( ( ! ` ( P - 1 ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( D ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( D ` j ) ) ) ) x. ( -u j ^ ( P - ( D ` j ) ) ) ) ) ) e. ZZ ) -> ( ( ! ` ( P - 1 ) ) || ( ( ! ` ( P - 1 ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( D ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( D ` j ) ) ) ) x. ( -u j ^ ( P - ( D ` j ) ) ) ) ) ) -> ( ! ` ( P - 1 ) ) || ( ( ( ! ` N ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( D ` j ) ) ) x. ( ( ! ` ( P - 1 ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( D ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( D ` j ) ) ) ) x. ( -u j ^ ( P - ( D ` j ) ) ) ) ) ) ) ) )
5551, 53, 54sylc 65 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ J = 0 ) -> ( ! ` ( P - 1 ) ) || ( ( ( ! ` N ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( D ` j ) ) ) x. ( ( ! ` ( P - 1 ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( D ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( D ` j ) ) ) ) x. ( -u j ^ ( P - ( D ` j ) ) ) ) ) ) ) )
5655adantr 481 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ J = 0 ) /\ ( D ` 0 ) = ( P - 1 ) ) -> ( ! ` ( P - 1 ) ) || ( ( ( ! ` N ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( D ` j ) ) ) x. ( ( ! ` ( P - 1 ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( D ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( D ` j ) ) ) ) x. ( -u j ^ ( P - ( D ` j ) ) ) ) ) ) ) )
571ad2antrr 762 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ J = 0 ) /\ ( D ` 0 ) = ( P - 1 ) ) -> P e. NN )
58 etransclem28.m . . . . . . 7 |- ( ph -> M e. NN0 )
5958ad2antrr 762 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ J = 0 ) /\ ( D ` 0 ) = ( P - 1 ) ) -> M e. NN0 )
6045ad2antrr 762 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ J = 0 ) /\ ( D ` 0 ) = ( P - 1 ) ) -> D : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... N ) )
61 eqid 2622 . . . . . 6 |- ( ( ( ! ` N ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( D ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( D ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( D ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( D ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( D ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( D ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( D ` j ) ) ) ) ) ) ) = ( ( ( ! ` N ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( D ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( D ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( D ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( D ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( D ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( D ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( D ` j ) ) ) ) ) ) )
62 simplr 792 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ J = 0 ) /\ ( D ` 0 ) = ( P - 1 ) ) -> J = 0 )
63 simpr 477 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ J = 0 ) /\ ( D ` 0 ) = ( P - 1 ) ) -> ( D ` 0 ) = ( P - 1 ) )
6457, 59, 60, 61, 62, 63etransclem14 40465 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ J = 0 ) /\ ( D ` 0 ) = ( P - 1 ) ) -> ( ( ( ! ` N ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( D ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( D ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( D ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( D ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( D ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( D ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( D ` j ) ) ) ) ) ) ) = ( ( ( ! ` N ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( D ` j ) ) ) x. ( ( ! ` ( P - 1 ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( D ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( D ` j ) ) ) ) x. ( -u j ^ ( P - ( D ` j ) ) ) ) ) ) ) )
6556, 64breqtrrd 4681 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ J = 0 ) /\ ( D ` 0 ) = ( P - 1 ) ) -> ( ! ` ( P - 1 ) ) || ( ( ( ! ` N ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( D ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( D ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( D ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( D ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( D ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( D ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( D ` j ) ) ) ) ) ) ) )
66 dvds0 14997 . . . . . . 7 |- ( ( ! ` ( P - 1 ) ) e. ZZ -> ( ! ` ( P - 1 ) ) || 0 )
675, 66syl 17 . . . . . 6 |- ( ph -> ( ! ` ( P - 1 ) ) || 0 )
6867ad2antrr 762 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ J = 0 ) /\ -. ( D ` 0 ) = ( P - 1 ) ) -> ( ! ` ( P - 1 ) ) || 0 )
691ad2antrr 762 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ J = 0 ) /\ -. ( D ` 0 ) = ( P - 1 ) ) -> P e. NN )
7058ad2antrr 762 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ J = 0 ) /\ -. ( D ` 0 ) = ( P - 1 ) ) -> M e. NN0 )
719ad2antrr 762 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ J = 0 ) /\ -. ( D ` 0 ) = ( P - 1 ) ) -> N e. NN0 )
7245ad2antrr 762 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ J = 0 ) /\ -. ( D ` 0 ) = ( P - 1 ) ) -> D : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... N ) )
73 simplr 792 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ J = 0 ) /\ -. ( D ` 0 ) = ( P - 1 ) ) -> J = 0 )
74 neqne 2802 . . . . . . 7 |- ( -. ( D ` 0 ) = ( P - 1 ) -> ( D ` 0 ) =/= ( P - 1 ) )
7574adantl 482 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ J = 0 ) /\ -. ( D ` 0 ) = ( P - 1 ) ) -> ( D ` 0 ) =/= ( P - 1 ) )
7669, 70, 71, 72, 61, 73, 75etransclem15 40466 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ J = 0 ) /\ -. ( D ` 0 ) = ( P - 1 ) ) -> ( ( ( ! ` N ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( D ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( D ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( D ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( D ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( D ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( D ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( D ` j ) ) ) ) ) ) ) = 0 )
7768, 76breqtrrd 4681 . . . 4 |- ( ( ( ph /\ J = 0 ) /\ -. ( D ` 0 ) = ( P - 1 ) ) -> ( ! ` ( P - 1 ) ) || ( ( ( ! ` N ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( D ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( D ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( D ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( D ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( D ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( D ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( D ` j ) ) ) ) ) ) ) )
7865, 77pm2.61dan 832 . . 3 |- ( ( ph /\ J = 0 ) -> ( ! ` ( P - 1 ) ) || ( ( ( ! ` N ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( D ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( D ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( D ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( D ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( D ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( D ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( D ` j ) ) ) ) ) ) ) )
791nnzd 11481 . . . . . 6 |- ( ph -> P e. ZZ )
80 elfznn0 12433 . . . . . . . . 9 |- ( J e. ( 0 ... M ) -> J e. NN0 )
8146, 80syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ph -> J e. NN0 )
8281nn0zd 11480 . . . . . . 7 |- ( ph -> J e. ZZ )
831, 58, 9, 82, 8, 7etransclem26 40477 . . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ! ` N ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( D ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( D ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( D ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( D ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( D ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( D ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( D ` j ) ) ) ) ) ) ) e. ZZ )
845, 79, 833jca 1242 . . . . 5 |- ( ph -> ( ( ! ` ( P - 1 ) ) e. ZZ /\ P e. ZZ /\ ( ( ( ! ` N ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( D ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( D ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( D ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( D ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( D ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( D ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( D ` j ) ) ) ) ) ) ) e. ZZ ) )
8584adantr 481 . . . 4 |- ( ( ph /\ -. J = 0 ) -> ( ( ! ` ( P - 1 ) ) e. ZZ /\ P e. ZZ /\ ( ( ( ! ` N ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( D ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( D ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( D ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( D ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( D ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( D ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( D ` j ) ) ) ) ) ) ) e. ZZ ) )
861nncnd 11036 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> P e. CC )
87 1cnd 10056 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 e. CC )
8886, 87npcand 10396 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( P - 1 ) + 1 ) = P )
8988eqcomd 2628 . . . . . . . 8 |- ( ph -> P = ( ( P - 1 ) + 1 ) )
9089fveq2d 6195 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( ! ` P ) = ( ! ` ( ( P - 1 ) + 1 ) ) )
91 facp1 13065 . . . . . . . 8 |- ( ( P - 1 ) e. NN0 -> ( ! ` ( ( P - 1 ) + 1 ) ) = ( ( ! ` ( P - 1 ) ) x. ( ( P - 1 ) + 1 ) ) )
923, 91syl 17 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( ! ` ( ( P - 1 ) + 1 ) ) = ( ( ! ` ( P - 1 ) ) x. ( ( P - 1 ) + 1 ) ) )
9388oveq2d 6666 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ! ` ( P - 1 ) ) x. ( ( P - 1 ) + 1 ) ) = ( ( ! ` ( P - 1 ) ) x. P ) )
9490, 92, 933eqtrrd 2661 . . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ! ` ( P - 1 ) ) x. P ) = ( ! ` P ) )
9594adantr 481 . . . . 5 |- ( ( ph /\ -. J = 0 ) -> ( ( ! ` ( P - 1 ) ) x. P ) = ( ! ` P ) )
961adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. J = 0 ) -> P e. NN )
9758adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. J = 0 ) -> M e. NN0 )
989adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. J = 0 ) -> N e. NN0 )
9945adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. J = 0 ) -> D : ( 0 ... M ) --> ( 0 ... N ) )
10017adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. J = 0 ) -> sum_ j e. ( 0 ... M ) ( D ` j ) = N )
101 1zzd 11408 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. J = 0 ) -> 1 e. ZZ )
10258nn0zd 11480 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. ZZ )
103102adantr 481 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. J = 0 ) -> M e. ZZ )
10482adantr 481 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. J = 0 ) -> J e. ZZ )
105101, 103, 1043jca 1242 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. J = 0 ) -> ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ J e. ZZ ) )
10681adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. J = 0 ) -> J e. NN0 )
107 neqne 2802 . . . . . . . . . . 11 |- ( -. J = 0 -> J =/= 0 )
108107adantl 482 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ -. J = 0 ) -> J =/= 0 )
109 elnnne0 11306 . . . . . . . . . 10 |- ( J e. NN <-> ( J e. NN0 /\ J =/= 0 ) )
110106, 108, 109sylanbrc 698 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. J = 0 ) -> J e. NN )
111110nnge1d 11063 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. J = 0 ) -> 1 <_ J )
112 elfzle2 12345 . . . . . . . . . 10 |- ( J e. ( 0 ... M ) -> J <_ M )
11346, 112syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> J <_ M )
114113adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. J = 0 ) -> J <_ M )
115105, 111, 114jca32 558 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. J = 0 ) -> ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( 1 <_ J /\ J <_ M ) ) )
116 elfz2 12333 . . . . . . 7 |- ( J e. ( 1 ... M ) <-> ( ( 1 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ J e. ZZ ) /\ ( 1 <_ J /\ J <_ M ) ) )
117115, 116sylibr 224 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. J = 0 ) -> J e. ( 1 ... M ) )
11896, 97, 98, 99, 100, 61, 117etransclem25 40476 . . . . 5 |- ( ( ph /\ -. J = 0 ) -> ( ! ` P ) || ( ( ( ! ` N ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( D ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( D ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( D ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( D ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( D ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( D ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( D ` j ) ) ) ) ) ) ) )
11995, 118eqbrtrd 4675 . . . 4 |- ( ( ph /\ -. J = 0 ) -> ( ( ! ` ( P - 1 ) ) x. P ) || ( ( ( ! ` N ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( D ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( D ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( D ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( D ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( D ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( D ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( D ` j ) ) ) ) ) ) ) )
120 muldvds1 15006 . . . 4 |- ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) e. ZZ /\ P e. ZZ /\ ( ( ( ! ` N ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( D ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( D ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( D ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( D ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( D ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( D ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( D ` j ) ) ) ) ) ) ) e. ZZ ) -> ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) x. P ) || ( ( ( ! ` N ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( D ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( D ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( D ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( D ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( D ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( D ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( D ` j ) ) ) ) ) ) ) -> ( ! ` ( P - 1 ) ) || ( ( ( ! ` N ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( D ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( D ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( D ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( D ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( D ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( D ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( D ` j ) ) ) ) ) ) ) ) )
12185, 119, 120sylc 65 . . 3 |- ( ( ph /\ -. J = 0 ) -> ( ! ` ( P - 1 ) ) || ( ( ( ! ` N ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( D ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( D ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( D ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( D ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( D ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( D ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( D ` j ) ) ) ) ) ) ) )
12278, 121pm2.61dan 832 . 2 |- ( ph -> ( ! ` ( P - 1 ) ) || ( ( ( ! ` N ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( D ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( D ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( D ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( D ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( D ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( D ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( D ` j ) ) ) ) ) ) ) )
123 etransclem28.t . 2 |- T = ( ( ( ! ` N ) / prod_ j e. ( 0 ... M ) ( ! ` ( D ` j ) ) ) x. ( if ( ( P - 1 ) < ( D ` 0 ) , 0 , ( ( ( ! ` ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( ( P - 1 ) - ( D ` 0 ) ) ) ) x. ( J ^ ( ( P - 1 ) - ( D ` 0 ) ) ) ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) if ( P < ( D ` j ) , 0 , ( ( ( ! ` P ) / ( ! ` ( P - ( D ` j ) ) ) ) x. ( ( J - j ) ^ ( P - ( D ` j ) ) ) ) ) ) )
124122, 123syl6breqr 4695 1 |- ( ph -> ( ! ` ( P - 1 ) ) || T )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ...cfz 12326   ^cexp 12860   !cfa 13060   sum_csu 14416   prod_cprod 14635   || cdvds 14983
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-prod 14636  df-dvds 14984
This theorem is referenced by:  etransclem37  40488  etransclem38  40489
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