Theorem fprodcnlem 39831

Description: A finite product of functions to complex numbers from a common topological space is continuous. Induction step. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodcnlem.1	|- F/ k ph
fprodcnlem.k	|- K = ( TopOpen ` ℂfld )
fprodcnlem.j	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
fprodcnlem.a	|- ( ph -> A e. Fin )
fprodcnlem.b	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn K ) )
fprodcnlem.z	|- ( ph -> Z C_ A )
fprodcnlem.w	|- ( ph -> W e. ( A \ Z ) )
fprodcnlem.p	|- ( ph -> ( x e. X |-> prod_ k e. Z B ) e. ( J Cn K ) )

Assertion

Ref	Expression
fprodcnlem	|- ( ph -> ( x e. X |-> prod_ k e. ( Z u. { W } ) B ) e. ( J Cn K ) )

Distinct variable groups:   A, k   k, J, x   k, K, x   k, W, x   k, X, x   k, Z   ph, x

Allowed substitution hints:   ph( k)   A( x)   B( x, k)   Z( x)

Proof of Theorem fprodcnlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodcnlem.1	. . . . 5 |- F/ k ph
2		nfv 1843	. . . . 5 |- F/ k x e. X
3	1, 2	nfan 1828	. . . 4 |- F/ k ( ph /\ x e. X )
4		nfcsb1v 3549	. . . 4 |- F/_ k [_ W / k ]_ B
5		fprodcnlem.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. Fin )
6		fprodcnlem.z	. . . . . 6 |- ( ph -> Z C_ A )
7	5, 6	ssfid 8183	. . . . 5 |- ( ph -> Z e. Fin )
8	7	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> Z e. Fin )
9		fprodcnlem.w	. . . . 5 |- ( ph -> W e. ( A \ Z ) )
10	9	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> W e. ( A \ Z ) )
11	10	eldifbd 3587	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> -. W e. Z )
12	6	sselda 3603	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> k e. A )
13	12	adantlr 751	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ k e. Z ) -> k e. A )
14		fprodcnlem.j	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
15	14	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> J e. (TopOn ` X ) )
16		fprodcnlem.k	. . . . . . . . . . 11 |- K = ( TopOpen ` ℂfld )
17	16	cnfldtopon 22586	. . . . . . . . . 10 |- K e. (TopOn ` CC )
18	17	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> K e. (TopOn ` CC ) )
19		fprodcnlem.b	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn K ) )
20		cnf2 21053	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` CC ) /\ ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn K ) ) -> ( x e. X |-> B ) : X --> CC )
21	15, 18, 19, 20	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( x e. X |-> B ) : X --> CC )
22		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( x e. X |-> B ) = ( x e. X |-> B )
23	22	fmpt 6381	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. X B e. CC <-> ( x e. X |-> B ) : X --> CC )
24	21, 23	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> A. x e. X B e. CC )
25	24	adantlr 751	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ k e. A ) -> A. x e. X B e. CC )
26		simplr 792	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ k e. A ) -> x e. X )
27		rspa 2930	. . . . . 6 |- ( ( A. x e. X B e. CC /\ x e. X ) -> B e. CC )
28	25, 26, 27	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ k e. A ) -> B e. CC )
29	13, 28	syldan 487	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ k e. Z ) -> B e. CC )
30		csbeq1a 3542	. . . 4 |- ( k = W -> B = [_ W / k ]_ B )
31	10	eldifad 3586	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> W e. A )
32		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ W e. A ) -> W e. A )
33		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ k W
34		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ k W e. A
35	3, 34	nfan 1828	. . . . . . . 8 |- F/ k ( ( ph /\ x e. X ) /\ W e. A )
36	4	nfel1 2779	. . . . . . . 8 |- F/ k [_ W / k ]_ B e. CC
37	35, 36	nfim 1825	. . . . . . 7 |- F/ k ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ W e. A ) -> [_ W / k ]_ B e. CC )
38		eleq1 2689	. . . . . . . . 9 |- ( k = W -> ( k e. A <-> W e. A ) )
39	38	anbi2d 740	. . . . . . . 8 |- ( k = W -> ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ k e. A ) <-> ( ( ph /\ x e. X ) /\ W e. A ) ) )
40	30	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( k = W -> ( B e. CC <-> [_ W / k ]_ B e. CC ) )
41	39, 40	imbi12d 334	. . . . . . 7 |- ( k = W -> ( ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ k e. A ) -> B e. CC ) <-> ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ W e. A ) -> [_ W / k ]_ B e. CC ) ) )
42	33, 37, 41, 28	vtoclgf 3264	. . . . . 6 |- ( W e. A -> ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ W e. A ) -> [_ W / k ]_ B e. CC ) )
43	32, 42	mpcom 38	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. X ) /\ W e. A ) -> [_ W / k ]_ B e. CC )
44	31, 43	mpdan 702	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> [_ W / k ]_ B e. CC )
45	3, 4, 8, 10, 11, 29, 30, 44	fprodsplitsn 14720	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> prod_ k e. ( Z u. { W } ) B = ( prod_ k e. Z B x. [_ W / k ]_ B ) )
46	45	mpteq2dva 4744	. 2 |- ( ph -> ( x e. X |-> prod_ k e. ( Z u. { W } ) B ) = ( x e. X |-> ( prod_ k e. Z B x. [_ W / k ]_ B ) ) )
47		fprodcnlem.p	. . 3 |- ( ph -> ( x e. X |-> prod_ k e. Z B ) e. ( J Cn K ) )
48	9	eldifad 3586	. . . 4 |- ( ph -> W e. A )
49	1, 34	nfan 1828	. . . . . . 7 |- F/ k ( ph /\ W e. A )
50		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ k X
51	50, 4	nfmpt 4746	. . . . . . . 8 |- F/_ k ( x e. X |-> [_ W / k ]_ B )
52		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ k ( J Cn K )
53	51, 52	nfel 2777	. . . . . . 7 |- F/ k ( x e. X |-> [_ W / k ]_ B ) e. ( J Cn K )
54	49, 53	nfim 1825	. . . . . 6 |- F/ k ( ( ph /\ W e. A ) -> ( x e. X |-> [_ W / k ]_ B ) e. ( J Cn K ) )
55	38	anbi2d 740	. . . . . . 7 |- ( k = W -> ( ( ph /\ k e. A ) <-> ( ph /\ W e. A ) ) )
56	30	mpteq2dv 4745	. . . . . . . 8 |- ( k = W -> ( x e. X |-> B ) = ( x e. X |-> [_ W / k ]_ B ) )
57	56	eleq1d 2686	. . . . . . 7 |- ( k = W -> ( ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn K ) <-> ( x e. X |-> [_ W / k ]_ B ) e. ( J Cn K ) ) )
58	55, 57	imbi12d 334	. . . . . 6 |- ( k = W -> ( ( ( ph /\ k e. A ) -> ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn K ) ) <-> ( ( ph /\ W e. A ) -> ( x e. X |-> [_ W / k ]_ B ) e. ( J Cn K ) ) ) )
59	19	idi 2	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( x e. X |-> B ) e. ( J Cn K ) )
60	33, 54, 58, 59	vtoclgf 3264	. . . . 5 |- ( W e. A -> ( ( ph /\ W e. A ) -> ( x e. X |-> [_ W / k ]_ B ) e. ( J Cn K ) ) )
61	60	anabsi7 860	. . . 4 |- ( ( ph /\ W e. A ) -> ( x e. X |-> [_ W / k ]_ B ) e. ( J Cn K ) )
62	48, 61	mpdan 702	. . 3 |- ( ph -> ( x e. X |-> [_ W / k ]_ B ) e. ( J Cn K ) )
63	16	mulcn 22670	. . . 4 |- x. e. ( ( K tX K ) Cn K )
64	63	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> x. e. ( ( K tX K ) Cn K ) )
65	14, 47, 62, 64	cnmpt12f 21469	. 2 |- ( ph -> ( x e. X |-> ( prod_ k e. Z B x. [_ W / k ]_ B ) ) e. ( J Cn K ) )
66	46, 65	eqeltrd 2701	1 |- ( ph -> ( x e. X |-> prod_ k e. ( Z u. { W } ) B ) e. ( J Cn K ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   A.wral 2912   [_csb 3533   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   {csn 4177   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   CCcc 9934   x. cmul 9941   prod_cprod 14635   TopOpenctopn 16082  ℂ_fldccnfld 19746  TopOnctopon 20715   Cn ccn 21028   tX ctx 21363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-prod 14636  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127

This theorem is referenced by:  fprodcn  39832