Theorem mdetr0 20411

Description: The determinant of a matrix with a row containing only 0's is 0. (Contributed by SO, 16-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdetr0.d	|- D = ( N maDet R )
mdetr0.k	|- K = ( Base ` R )
mdetr0.z	|- .0. = ( 0g ` R )
mdetr0.r	|- ( ph -> R e. CRing )
mdetr0.n	|- ( ph -> N e. Fin )
mdetr0.x	|- ( ( ph /\ i e. N /\ j e. N ) -> X e. K )
mdetr0.i	|- ( ph -> I e. N )

Assertion

Ref	Expression
mdetr0	|- ( ph -> ( D ` ( i e. N , j e. N |-> if ( i = I , .0. , X ) ) ) = .0. )

Distinct variable groups:   ph, i, j   i, K, j   i, N, j   i, I, j   .0. , i, j   R, i, j

Allowed substitution hints:   D( i, j)   X( i, j)

Proof of Theorem mdetr0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdetr0.d	. . 3 |- D = ( N maDet R )
2		mdetr0.k	. . 3 |- K = ( Base ` R )
3		eqid 2622	. . 3 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
4		mdetr0.r	. . 3 |- ( ph -> R e. CRing )
5		mdetr0.n	. . 3 |- ( ph -> N e. Fin )
6		crngring 18558	. . . . . 6 |- ( R e. CRing -> R e. Ring )
7	4, 6	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> R e. Ring )
8		mdetr0.z	. . . . . 6 |- .0. = ( 0g ` R )
9	2, 8	ring0cl 18569	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> .0. e. K )
10	7, 9	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> .0. e. K )
11	10	3ad2ant1 1082	. . 3 |- ( ( ph /\ i e. N /\ j e. N ) -> .0. e. K )
12		mdetr0.x	. . 3 |- ( ( ph /\ i e. N /\ j e. N ) -> X e. K )
13		mdetr0.i	. . 3 |- ( ph -> I e. N )
14	1, 2, 3, 4, 5, 11, 12, 10, 13	mdetrsca2 20410	. 2 |- ( ph -> ( D ` ( i e. N , j e. N |-> if ( i = I , ( .0. ( .r ` R ) .0. ) , X ) ) ) = ( .0. ( .r ` R ) ( D ` ( i e. N , j e. N |-> if ( i = I , .0. , X ) ) ) ) )
15	2, 3, 8	ringlz 18587	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ .0. e. K ) -> ( .0. ( .r ` R ) .0. ) = .0. )
16	7, 10, 15	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> ( .0. ( .r ` R ) .0. ) = .0. )
17	16	ifeq1d 4104	. . . 4 |- ( ph -> if ( i = I , ( .0. ( .r ` R ) .0. ) , X ) = if ( i = I , .0. , X ) )
18	17	mpt2eq3dv 6721	. . 3 |- ( ph -> ( i e. N , j e. N |-> if ( i = I , ( .0. ( .r ` R ) .0. ) , X ) ) = ( i e. N , j e. N |-> if ( i = I , .0. , X ) ) )
19	18	fveq2d 6195	. 2 |- ( ph -> ( D ` ( i e. N , j e. N |-> if ( i = I , ( .0. ( .r ` R ) .0. ) , X ) ) ) = ( D ` ( i e. N , j e. N |-> if ( i = I , .0. , X ) ) ) )
20		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( N Mat R ) = ( N Mat R )
21		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( Base ` ( N Mat R ) ) = ( Base ` ( N Mat R ) )
22	1, 20, 21, 2	mdetf 20401	. . . . 5 |- ( R e. CRing -> D : ( Base ` ( N Mat R ) ) --> K )
23	4, 22	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> D : ( Base ` ( N Mat R ) ) --> K )
24	11, 12	ifcld 4131	. . . . 5 |- ( ( ph /\ i e. N /\ j e. N ) -> if ( i = I , .0. , X ) e. K )
25	20, 2, 21, 5, 4, 24	matbas2d 20229	. . . 4 |- ( ph -> ( i e. N , j e. N |-> if ( i = I , .0. , X ) ) e. ( Base ` ( N Mat R ) ) )
26	23, 25	ffvelrnd 6360	. . 3 |- ( ph -> ( D ` ( i e. N , j e. N |-> if ( i = I , .0. , X ) ) ) e. K )
27	2, 3, 8	ringlz 18587	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ ( D ` ( i e. N , j e. N |-> if ( i = I , .0. , X ) ) ) e. K ) -> ( .0. ( .r ` R ) ( D ` ( i e. N , j e. N |-> if ( i = I , .0. , X ) ) ) ) = .0. )
28	7, 26, 27	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> ( .0. ( .r ` R ) ( D ` ( i e. N , j e. N |-> if ( i = I , .0. , X ) ) ) ) = .0. )
29	14, 19, 28	3eqtr3d 2664	1 |- ( ph -> ( D ` ( i e. N , j e. N |-> if ( i = I , .0. , X ) ) ) = .0. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   ifcif 4086   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   Fincfn 7955   Basecbs 15857   .rcmulr 15942   0gc0g 16100   Ringcrg 18547   CRingccrg 18548   Mat cmat 20213   maDet cmdat 20390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-xor 1465  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-word 13299  df-lsw 13300  df-concat 13301  df-s1 13302  df-substr 13303  df-splice 13304  df-reverse 13305  df-s2 13593  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-gim 17701  df-cntz 17750  df-oppg 17776  df-symg 17798  df-pmtr 17862  df-psgn 17911  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-rnghom 18715  df-drng 18749  df-subrg 18778  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-cnfld 19747  df-zring 19819  df-zrh 19852  df-dsmm 20076  df-frlm 20091  df-mat 20214  df-mdet 20391

This theorem is referenced by:  mdet0  20412  madugsum  20449  matunitlindflem1  33405