Theorem madugsum 20449

Description: The determinant of a matrix with a row L consisting of the same element X is the sum of the elements of the L-th column of the adjunct of the matrix multiplied with X. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
maduf.a	|- A = ( N Mat R )
maduf.j	|- J = ( N maAdju R )
maduf.b	|- B = ( Base ` A )
madugsum.d	|- D = ( N maDet R )
madugsum.t	|- .x. = ( .r ` R )
madugsum.k	|- K = ( Base ` R )
madugsum.m	|- ( ph -> M e. B )
madugsum.r	|- ( ph -> R e. CRing )
madugsum.x	|- ( ( ph /\ i e. N ) -> X e. K )
madugsum.l	|- ( ph -> L e. N )

Assertion

Ref	Expression
madugsum	|- ( ph -> ( R gsumg ( i e. N |-> ( X .x. ( i ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( D ` ( j e. N , i e. N |-> if ( j = L , X , ( j M i ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   i, N, j   R, i, j   B, i, j   ph, i, j   i, J   i, K, j   i, M, j   j, X   .x. , i   i, L, j

Allowed substitution hints:   A( i, j)   D( i, j)   .x. ( j)   J( j)   X( i)

Proof of Theorem madugsum

Dummy variables a b c d e are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpteq1 4737	. . . . 5 |- ( c = (/) -> ( b e. c |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) = ( b e. (/) |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) )
2	1	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( c = (/) -> ( R gsumg ( b e. c |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( R gsumg ( b e. (/) |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) )
3		eleq2 2690	. . . . . . . 8 |- ( c = (/) -> ( b e. c <-> b e. (/) ) )
4	3	ifbid 4108	. . . . . . 7 |- ( c = (/) -> if ( b e. c , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) = if ( b e. (/) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) )
5	4	ifeq1d 4104	. . . . . 6 |- ( c = (/) -> if ( a = L , if ( b e. c , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) = if ( a = L , if ( b e. (/) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) )
6	5	mpt2eq3dv 6721	. . . . 5 |- ( c = (/) -> ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. c , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) = ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. (/) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) )
7	6	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( c = (/) -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. c , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. (/) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) )
8	2, 7	eqeq12d 2637	. . 3 |- ( c = (/) -> ( ( R gsumg ( b e. c |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. c , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) <-> ( R gsumg ( b e. (/) |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. (/) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) ) )
9		mpteq1 4737	. . . . 5 |- ( c = d -> ( b e. c |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) = ( b e. d |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) )
10	9	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( c = d -> ( R gsumg ( b e. c |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( R gsumg ( b e. d |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) )
11		eleq2 2690	. . . . . . . 8 |- ( c = d -> ( b e. c <-> b e. d ) )
12	11	ifbid 4108	. . . . . . 7 |- ( c = d -> if ( b e. c , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) = if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) )
13	12	ifeq1d 4104	. . . . . 6 |- ( c = d -> if ( a = L , if ( b e. c , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) = if ( a = L , if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) )
14	13	mpt2eq3dv 6721	. . . . 5 |- ( c = d -> ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. c , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) = ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) )
15	14	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( c = d -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. c , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) )
16	10, 15	eqeq12d 2637	. . 3 |- ( c = d -> ( ( R gsumg ( b e. c |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. c , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) <-> ( R gsumg ( b e. d |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) ) )
17		mpteq1 4737	. . . . 5 |- ( c = ( d u. { e } ) -> ( b e. c |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) = ( b e. ( d u. { e } ) |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) )
18	17	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( c = ( d u. { e } ) -> ( R gsumg ( b e. c |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( R gsumg ( b e. ( d u. { e } ) |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) )
19		eleq2 2690	. . . . . . . 8 |- ( c = ( d u. { e } ) -> ( b e. c <-> b e. ( d u. { e } ) ) )
20	19	ifbid 4108	. . . . . . 7 |- ( c = ( d u. { e } ) -> if ( b e. c , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) = if ( b e. ( d u. { e } ) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) )
21	20	ifeq1d 4104	. . . . . 6 |- ( c = ( d u. { e } ) -> if ( a = L , if ( b e. c , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) = if ( a = L , if ( b e. ( d u. { e } ) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) )
22	21	mpt2eq3dv 6721	. . . . 5 |- ( c = ( d u. { e } ) -> ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. c , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) = ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. ( d u. { e } ) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) )
23	22	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( c = ( d u. { e } ) -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. c , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. ( d u. { e } ) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) )
24	18, 23	eqeq12d 2637	. . 3 |- ( c = ( d u. { e } ) -> ( ( R gsumg ( b e. c |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. c , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) <-> ( R gsumg ( b e. ( d u. { e } ) |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. ( d u. { e } ) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) ) )
25		mpteq1 4737	. . . . 5 |- ( c = N -> ( b e. c |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) = ( b e. N |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) )
26	25	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( c = N -> ( R gsumg ( b e. c |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( R gsumg ( b e. N |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) )
27		eleq2 2690	. . . . . . . 8 |- ( c = N -> ( b e. c <-> b e. N ) )
28	27	ifbid 4108	. . . . . . 7 |- ( c = N -> if ( b e. c , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) = if ( b e. N , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) )
29	28	ifeq1d 4104	. . . . . 6 |- ( c = N -> if ( a = L , if ( b e. c , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) = if ( a = L , if ( b e. N , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) )
30	29	mpt2eq3dv 6721	. . . . 5 |- ( c = N -> ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. c , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) = ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. N , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) )
31	30	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( c = N -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. c , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. N , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) )
32	26, 31	eqeq12d 2637	. . 3 |- ( c = N -> ( ( R gsumg ( b e. c |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. c , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) <-> ( R gsumg ( b e. N |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. N , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) ) )
33		noel 3919	. . . . . . . . 9 |- -. b e. (/)
34		iffalse 4095	. . . . . . . . 9 |- ( -. b e. (/) -> if ( b e. (/) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) )
35	33, 34	mp1i 13	. . . . . . . 8 |- ( ( a e. N /\ b e. N ) -> if ( b e. (/) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) )
36	35	ifeq1d 4104	. . . . . . 7 |- ( ( a e. N /\ b e. N ) -> if ( a = L , if ( b e. (/) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) = if ( a = L , ( 0g ` R ) , ( a M b ) ) )
37	36	mpt2eq3ia 6720	. . . . . 6 |- ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. (/) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) = ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , ( 0g ` R ) , ( a M b ) ) )
38	37	fveq2i 6194	. . . . 5 |- ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. (/) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , ( 0g ` R ) , ( a M b ) ) ) )
39		madugsum.d	. . . . . 6 |- D = ( N maDet R )
40		madugsum.k	. . . . . 6 |- K = ( Base ` R )
41		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
42		madugsum.r	. . . . . 6 |- ( ph -> R e. CRing )
43		madugsum.m	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. B )
44		maduf.a	. . . . . . . . 9 |- A = ( N Mat R )
45		maduf.b	. . . . . . . . 9 |- B = ( Base ` A )
46	44, 45	matrcl 20218	. . . . . . . 8 |- ( M e. B -> ( N e. Fin /\ R e. _V ) )
47	43, 46	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( N e. Fin /\ R e. _V ) )
48	47	simpld 475	. . . . . 6 |- ( ph -> N e. Fin )
49	44, 40, 45	matbas2i 20228	. . . . . . . . 9 |- ( M e. B -> M e. ( K ^m ( N X. N ) ) )
50		elmapi 7879	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ( K ^m ( N X. N ) ) -> M : ( N X. N ) --> K )
51	43, 49, 50	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M : ( N X. N ) --> K )
52	51	fovrnda 6805	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a e. N /\ b e. N ) ) -> ( a M b ) e. K )
53	52	3impb 1260	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. N /\ b e. N ) -> ( a M b ) e. K )
54		madugsum.l	. . . . . 6 |- ( ph -> L e. N )
55	39, 40, 41, 42, 48, 53, 54	mdetr0 20411	. . . . 5 |- ( ph -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , ( 0g ` R ) , ( a M b ) ) ) ) = ( 0g ` R ) )
56	38, 55	syl5eq 2668	. . . 4 |- ( ph -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. (/) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) = ( 0g ` R ) )
57		mpt0 6021	. . . . . 6 |- ( b e. (/) |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) = (/)
58	57	oveq2i 6661	. . . . 5 |- ( R gsumg ( b e. (/) |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( R gsumg (/) )
59	41	gsum0 17278	. . . . 5 |- ( R gsumg (/) ) = ( 0g ` R )
60	58, 59	eqtri 2644	. . . 4 |- ( R gsumg ( b e. (/) |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( 0g ` R )
61	56, 60	syl6reqr 2675	. . 3 |- ( ph -> ( R gsumg ( b e. (/) |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. (/) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) )
62		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( +g ` R ) = ( +g ` R )
63	42	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> R e. CRing )
64		crngring 18558	. . . . . . . . 9 |- ( R e. CRing -> R e. Ring )
65	63, 64	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> R e. Ring )
66		ringcmn 18581	. . . . . . . 8 |- ( R e. Ring -> R e. CMnd )
67	65, 66	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> R e. CMnd )
68	48	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> N e. Fin )
69		simprl 794	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> d C_ N )
70		ssfi 8180	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. Fin /\ d C_ N ) -> d e. Fin )
71	68, 69, 70	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> d e. Fin )
72	65	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ b e. d ) -> R e. Ring )
73	69	sselda 3603	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ b e. d ) -> b e. N )
74		madugsum.x	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. N ) -> X e. K )
75	74	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. i e. N X e. K )
76	75	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ b e. d ) -> A. i e. N X e. K )
77		rspcsbela 4006	. . . . . . . . 9 |- ( ( b e. N /\ A. i e. N X e. K ) -> [_ b / i ]_ X e. K )
78	73, 76, 77	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ b e. d ) -> [_ b / i ]_ X e. K )
79		maduf.j	. . . . . . . . . . . . . 14 |- J = ( N maAdju R )
80	44, 79, 45	maduf 20447	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( R e. CRing -> J : B --> B )
81	42, 80	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> J : B --> B )
82	81, 43	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( J ` M ) e. B )
83	44, 40, 45	matbas2i 20228	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J ` M ) e. B -> ( J ` M ) e. ( K ^m ( N X. N ) ) )
84		elmapi 7879	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J ` M ) e. ( K ^m ( N X. N ) ) -> ( J ` M ) : ( N X. N ) --> K )
85	82, 83, 84	3syl 18	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( J ` M ) : ( N X. N ) --> K )
86	85	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ b e. d ) -> ( J ` M ) : ( N X. N ) --> K )
87	54	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ b e. d ) -> L e. N )
88	86, 73, 87	fovrnd 6806	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ b e. d ) -> ( b ( J ` M ) L ) e. K )
89		madugsum.t	. . . . . . . . 9 |- .x. = ( .r ` R )
90	40, 89	ringcl 18561	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ [_ b / i ]_ X e. K /\ ( b ( J ` M ) L ) e. K ) -> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) e. K )
91	72, 78, 88, 90	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ b e. d ) -> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) e. K )
92		vex 3203	. . . . . . . 8 |- e e. _V
93	92	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> e e. _V )
94		eldifn 3733	. . . . . . . 8 |- ( e e. ( N \ d ) -> -. e e. d )
95	94	ad2antll 765	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> -. e e. d )
96		eldifi 3732	. . . . . . . . . 10 |- ( e e. ( N \ d ) -> e e. N )
97	96	ad2antll 765	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> e e. N )
98	75	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> A. i e. N X e. K )
99		rspcsbela 4006	. . . . . . . . 9 |- ( ( e e. N /\ A. i e. N X e. K ) -> [_ e / i ]_ X e. K )
100	97, 98, 99	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> [_ e / i ]_ X e. K )
101	85	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> ( J ` M ) : ( N X. N ) --> K )
102	54	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> L e. N )
103	101, 97, 102	fovrnd 6806	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> ( e ( J ` M ) L ) e. K )
104	40, 89	ringcl 18561	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ [_ e / i ]_ X e. K /\ ( e ( J ` M ) L ) e. K ) -> ( [_ e / i ]_ X .x. ( e ( J ` M ) L ) ) e. K )
105	65, 100, 103, 104	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> ( [_ e / i ]_ X .x. ( e ( J ` M ) L ) ) e. K )
106		csbeq1 3536	. . . . . . . 8 |- ( b = e -> [_ b / i ]_ X = [_ e / i ]_ X )
107		oveq1 6657	. . . . . . . 8 |- ( b = e -> ( b ( J ` M ) L ) = ( e ( J ` M ) L ) )
108	106, 107	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( b = e -> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) = ( [_ e / i ]_ X .x. ( e ( J ` M ) L ) ) )
109	40, 62, 67, 71, 91, 93, 95, 105, 108	gsumunsn 18359	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> ( R gsumg ( b e. ( d u. { e } ) |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( ( R gsumg ( b e. d |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) ( +g ` R ) ( [_ e / i ]_ X .x. ( e ( J ` M ) L ) ) ) )
110	109	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ ( R gsumg ( b e. d |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) ) -> ( R gsumg ( b e. ( d u. { e } ) |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( ( R gsumg ( b e. d |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) ( +g ` R ) ( [_ e / i ]_ X .x. ( e ( J ` M ) L ) ) ) )
111		oveq1 6657	. . . . . 6 |- ( ( R gsumg ( b e. d |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) -> ( ( R gsumg ( b e. d |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) ( +g ` R ) ( [_ e / i ]_ X .x. ( e ( J ` M ) L ) ) ) = ( ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) ( +g ` R ) ( [_ e / i ]_ X .x. ( e ( J ` M ) L ) ) ) )
112	111	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ ( R gsumg ( b e. d |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) ) -> ( ( R gsumg ( b e. d |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) ( +g ` R ) ( [_ e / i ]_ X .x. ( e ( J ` M ) L ) ) ) = ( ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) ( +g ` R ) ( [_ e / i ]_ X .x. ( e ( J ` M ) L ) ) ) )
113		elun 3753	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b e. ( d u. { e } ) <-> ( b e. d \/ b e. { e } ) )
114		velsn 4193	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b e. { e } <-> b = e )
115	114	orbi2i 541	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( b e. d \/ b e. { e } ) <-> ( b e. d \/ b = e ) )
116	113, 115	bitri 264	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b e. ( d u. { e } ) <-> ( b e. d \/ b = e ) )
117		ifbi 4107	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( b e. ( d u. { e } ) <-> ( b e. d \/ b = e ) ) -> if ( b e. ( d u. { e } ) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) = if ( ( b e. d \/ b = e ) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) )
118	116, 117	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- if ( b e. ( d u. { e } ) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) = if ( ( b e. d \/ b = e ) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) )
119		ringmnd 18556	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( R e. Ring -> R e. Mnd )
120	65, 119	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> R e. Mnd )
121	120	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> R e. Mnd )
122		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> b e. N )
123	98	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> A. i e. N X e. K )
124	122, 123, 77	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> [_ b / i ]_ X e. K )
125		elequ1 1997	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( b = e -> ( b e. d <-> e e. d ) )
126	125	biimpac 503	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( b e. d /\ b = e ) -> e e. d )
127	95, 126	nsyl 135	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> -. ( b e. d /\ b = e ) )
128	127	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> -. ( b e. d /\ b = e ) )
129	40, 41, 62	mndifsplit 20442	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. Mnd /\ [_ b / i ]_ X e. K /\ -. ( b e. d /\ b = e ) ) -> if ( ( b e. d \/ b = e ) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) = ( if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) ( +g ` R ) if ( b = e , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) ) )
130	121, 124, 128, 129	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> if ( ( b e. d \/ b = e ) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) = ( if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) ( +g ` R ) if ( b = e , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) ) )
131	118, 130	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> if ( b e. ( d u. { e } ) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) = ( if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) ( +g ` R ) if ( b = e , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) ) )
132	106	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ b = e ) -> [_ b / i ]_ X = [_ e / i ]_ X )
133	132	ifeq1da 4116	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> if ( b = e , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) = if ( b = e , [_ e / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) )
134		ovif2 6738	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( [_ e / i ]_ X .x. if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) = if ( b = e , ( [_ e / i ]_ X .x. ( 1r ` R ) ) , ( [_ e / i ]_ X .x. ( 0g ` R ) ) )
135		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
136	40, 89, 135	ringridm 18572	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. Ring /\ [_ e / i ]_ X e. K ) -> ( [_ e / i ]_ X .x. ( 1r ` R ) ) = [_ e / i ]_ X )
137	65, 100, 136	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> ( [_ e / i ]_ X .x. ( 1r ` R ) ) = [_ e / i ]_ X )
138	40, 89, 41	ringrz 18588	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. Ring /\ [_ e / i ]_ X e. K ) -> ( [_ e / i ]_ X .x. ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) )
139	65, 100, 138	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> ( [_ e / i ]_ X .x. ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) )
140	137, 139	ifeq12d 4106	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> if ( b = e , ( [_ e / i ]_ X .x. ( 1r ` R ) ) , ( [_ e / i ]_ X .x. ( 0g ` R ) ) ) = if ( b = e , [_ e / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) )
141	134, 140	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> ( [_ e / i ]_ X .x. if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) = if ( b = e , [_ e / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) )
142	133, 141	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> if ( b = e , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) = ( [_ e / i ]_ X .x. if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) )
143	142	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> ( if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) ( +g ` R ) if ( b = e , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) ) = ( if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) ( +g ` R ) ( [_ e / i ]_ X .x. if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) ) )
144	143	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> ( if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) ( +g ` R ) if ( b = e , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) ) = ( if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) ( +g ` R ) ( [_ e / i ]_ X .x. if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) ) )
145	131, 144	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> if ( b e. ( d u. { e } ) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) = ( if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) ( +g ` R ) ( [_ e / i ]_ X .x. if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) ) )
146	145	ifeq1d 4104	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> if ( a = L , if ( b e. ( d u. { e } ) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) = if ( a = L , ( if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) ( +g ` R ) ( [_ e / i ]_ X .x. if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) ) , ( a M b ) ) )
147	146	mpt2eq3dva 6719	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. ( d u. { e } ) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) = ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , ( if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) ( +g ` R ) ( [_ e / i ]_ X .x. if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) ) , ( a M b ) ) ) )
148	147	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. ( d u. { e } ) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , ( if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) ( +g ` R ) ( [_ e / i ]_ X .x. if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) ) , ( a M b ) ) ) ) )
149	40, 41	ring0cl 18569	. . . . . . . . . . 11 |- ( R e. Ring -> ( 0g ` R ) e. K )
150	65, 149	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> ( 0g ` R ) e. K )
151	150	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> ( 0g ` R ) e. K )
152	124, 151	ifcld 4131	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) e. K )
153	40, 135	ringidcl 18568	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R e. Ring -> ( 1r ` R ) e. K )
154	65, 153	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> ( 1r ` R ) e. K )
155	154, 150	ifcld 4131	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) e. K )
156	40, 89	ringcl 18561	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ [_ e / i ]_ X e. K /\ if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) e. K ) -> ( [_ e / i ]_ X .x. if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) e. K )
157	65, 100, 155, 156	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> ( [_ e / i ]_ X .x. if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) e. K )
158	157	3ad2ant1 1082	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> ( [_ e / i ]_ X .x. if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) e. K )
159	51	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> M : ( N X. N ) --> K )
160	159	fovrnda 6805	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ ( a e. N /\ b e. N ) ) -> ( a M b ) e. K )
161	160	3impb 1260	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> ( a M b ) e. K )
162	39, 40, 62, 63, 68, 152, 158, 161, 102	mdetrlin2 20413	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , ( if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) ( +g ` R ) ( [_ e / i ]_ X .x. if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) ) , ( a M b ) ) ) ) = ( ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) ( +g ` R ) ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , ( [_ e / i ]_ X .x. if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) , ( a M b ) ) ) ) ) )
163	155	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ a e. N /\ b e. N ) -> if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) e. K )
164	39, 40, 89, 63, 68, 163, 161, 100, 102	mdetrsca2 20410	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , ( [_ e / i ]_ X .x. if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) , ( a M b ) ) ) ) = ( [_ e / i ]_ X .x. ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) ) )
165	43	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> M e. B )
166	44, 39, 79, 45, 135, 41	maducoeval 20445	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. B /\ e e. N /\ L e. N ) -> ( e ( J ` M ) L ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) )
167	165, 97, 102, 166	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> ( e ( J ` M ) L ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) )
168	167	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> ( [_ e / i ]_ X .x. ( e ( J ` M ) L ) ) = ( [_ e / i ]_ X .x. ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) ) )
169	164, 168	eqtr4d 2659	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , ( [_ e / i ]_ X .x. if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) , ( a M b ) ) ) ) = ( [_ e / i ]_ X .x. ( e ( J ` M ) L ) ) )
170	169	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> ( ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) ( +g ` R ) ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , ( [_ e / i ]_ X .x. if ( b = e , ( 1r ` R ) , ( 0g ` R ) ) ) , ( a M b ) ) ) ) ) = ( ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) ( +g ` R ) ( [_ e / i ]_ X .x. ( e ( J ` M ) L ) ) ) )
171	148, 162, 170	3eqtrrd 2661	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> ( ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) ( +g ` R ) ( [_ e / i ]_ X .x. ( e ( J ` M ) L ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. ( d u. { e } ) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) )
172	171	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ ( R gsumg ( b e. d |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) ) -> ( ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) ( +g ` R ) ( [_ e / i ]_ X .x. ( e ( J ` M ) L ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. ( d u. { e } ) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) )
173	110, 112, 172	3eqtrd 2660	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) /\ ( R gsumg ( b e. d |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) ) -> ( R gsumg ( b e. ( d u. { e } ) |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. ( d u. { e } ) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) )
174	173	ex 450	. . 3 |- ( ( ph /\ ( d C_ N /\ e e. ( N \ d ) ) ) -> ( ( R gsumg ( b e. d |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. d , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) -> ( R gsumg ( b e. ( d u. { e } ) |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. ( d u. { e } ) , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) ) )
175	8, 16, 24, 32, 61, 174, 48	findcard2d 8202	. 2 |- ( ph -> ( R gsumg ( b e. N |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. N , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) ) )
176		nfcv 2764	. . . 4 |- F/_ b ( X .x. ( i ( J ` M ) L ) )
177		nfcsb1v 3549	. . . . 5 |- F/_ i [_ b / i ]_ X
178		nfcv 2764	. . . . 5 |- F/_ i .x.
179		nfcv 2764	. . . . 5 |- F/_ i ( b ( J ` M ) L )
180	177, 178, 179	nfov 6676	. . . 4 |- F/_ i ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) )
181		csbeq1a 3542	. . . . 5 |- ( i = b -> X = [_ b / i ]_ X )
182		oveq1 6657	. . . . 5 |- ( i = b -> ( i ( J ` M ) L ) = ( b ( J ` M ) L ) )
183	181, 182	oveq12d 6668	. . . 4 |- ( i = b -> ( X .x. ( i ( J ` M ) L ) ) = ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) )
184	176, 180, 183	cbvmpt 4749	. . 3 |- ( i e. N |-> ( X .x. ( i ( J ` M ) L ) ) ) = ( b e. N |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) )
185	184	oveq2i 6661	. 2 |- ( R gsumg ( i e. N |-> ( X .x. ( i ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( R gsumg ( b e. N |-> ( [_ b / i ]_ X .x. ( b ( J ` M ) L ) ) ) )
186		nfcv 2764	. . . . 5 |- F/_ a if ( j = L , X , ( j M i ) )
187		nfcv 2764	. . . . 5 |- F/_ b if ( j = L , X , ( j M i ) )
188		nfcv 2764	. . . . 5 |- F/_ j if ( a = L , [_ b / i ]_ X , ( a M b ) )
189		nfv 1843	. . . . . 6 |- F/ i a = L
190		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ i ( a M b )
191	189, 177, 190	nfif 4115	. . . . 5 |- F/_ i if ( a = L , [_ b / i ]_ X , ( a M b ) )
192		eqeq1 2626	. . . . . . 7 |- ( j = a -> ( j = L <-> a = L ) )
193	192	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( j = a /\ i = b ) -> ( j = L <-> a = L ) )
194	181	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( j = a /\ i = b ) -> X = [_ b / i ]_ X )
195		oveq12 6659	. . . . . 6 |- ( ( j = a /\ i = b ) -> ( j M i ) = ( a M b ) )
196	193, 194, 195	ifbieq12d 4113	. . . . 5 |- ( ( j = a /\ i = b ) -> if ( j = L , X , ( j M i ) ) = if ( a = L , [_ b / i ]_ X , ( a M b ) ) )
197	186, 187, 188, 191, 196	cbvmpt2 6734	. . . 4 |- ( j e. N , i e. N |-> if ( j = L , X , ( j M i ) ) ) = ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , [_ b / i ]_ X , ( a M b ) ) )
198		iftrue 4092	. . . . . . . 8 |- ( b e. N -> if ( b e. N , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) = [_ b / i ]_ X )
199	198	eqcomd 2628	. . . . . . 7 |- ( b e. N -> [_ b / i ]_ X = if ( b e. N , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) )
200	199	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( a e. N /\ b e. N ) -> [_ b / i ]_ X = if ( b e. N , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) )
201	200	ifeq1d 4104	. . . . 5 |- ( ( a e. N /\ b e. N ) -> if ( a = L , [_ b / i ]_ X , ( a M b ) ) = if ( a = L , if ( b e. N , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) )
202	201	mpt2eq3ia 6720	. . . 4 |- ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , [_ b / i ]_ X , ( a M b ) ) ) = ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. N , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) )
203	197, 202	eqtri 2644	. . 3 |- ( j e. N , i e. N |-> if ( j = L , X , ( j M i ) ) ) = ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. N , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) )
204	203	fveq2i 6194	. 2 |- ( D ` ( j e. N , i e. N |-> if ( j = L , X , ( j M i ) ) ) ) = ( D ` ( a e. N , b e. N |-> if ( a = L , if ( b e. N , [_ b / i ]_ X , ( 0g ` R ) ) , ( a M b ) ) ) )
205	175, 185, 204	3eqtr4g 2681	1 |- ( ph -> ( R gsumg ( i e. N |-> ( X .x. ( i ( J ` M ) L ) ) ) ) = ( D ` ( j e. N , i e. N |-> if ( j = L , X , ( j M i ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   [_csb 3533   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   {csn 4177   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942   0gc0g 16100   gsum_g cgsu 16101   Mndcmnd 17294  CMndccmn 18193   1rcur 18501   Ringcrg 18547   CRingccrg 18548   Mat cmat 20213   maDet cmdat 20390   maAdju cmadu 20438

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-xor 1465  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-word 13299  df-lsw 13300  df-concat 13301  df-s1 13302  df-substr 13303  df-splice 13304  df-reverse 13305  df-s2 13593  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-gim 17701  df-cntz 17750  df-oppg 17776  df-symg 17798  df-pmtr 17862  df-psgn 17911  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-rnghom 18715  df-drng 18749  df-subrg 18778  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-cnfld 19747  df-zring 19819  df-zrh 19852  df-dsmm 20076  df-frlm 20091  df-mat 20214  df-mdet 20391  df-madu 20440

This theorem is referenced by:  madurid  20450  mdetlap1  29892