Theorem lgamgulmlem6 24760

Description: The series G is uniformly convergent on the compact region U, which describes a circle of radius R with holes of size 1 / R around the poles of the gamma function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgamgulm.r	|- ( ph -> R e. NN )
lgamgulm.u	|- U = { x e. CC | ( ( abs ` x ) <_ R /\ A. k e. NN0 ( 1 / R ) <_ ( abs ` ( x + k ) ) ) }
lgamgulm.g	|- G = ( m e. NN |-> ( z e. U |-> ( ( z x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) - ( log ` ( ( z / m ) + 1 ) ) ) ) )
lgamgulm.t	|- T = ( m e. NN |-> if ( ( 2 x. R ) <_ m , ( R x. ( ( 2 x. ( R + 1 ) ) / ( m ^ 2 ) ) ) , ( ( R x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) + ( ( log ` ( ( R + 1 ) x. m ) ) + pi ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
lgamgulmlem6	|- ( ph -> ( seq 1 ( oF + , G ) e. dom ( ~~> u ` U ) /\ ( seq 1 ( oF + , G ) ( ~~> u ` U ) ( z e. U |-> O ) -> E. r e. RR A. z e. U ( abs ` O ) <_ r ) ) )

Distinct variable groups:   G, r   k, m, r, x, z, R   U, m, r, z   O, r   ph, m, r, x, z   T, r

Allowed substitution hints:   ph( k)   T( x, z, k, m)   U( x, k)   G( x, z, k, m)   O( x, z, k, m)

Proof of Theorem lgamgulmlem6

Dummy variables n y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 11723	. . 3 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2		1zzd 11408	. . 3 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
3		lgamgulm.u	. . . . 5 |- U = { x e. CC | ( ( abs ` x ) <_ R /\ A. k e. NN0 ( 1 / R ) <_ ( abs ` ( x + k ) ) ) }
4		cnex 10017	. . . . 5 |- CC e. _V
5	3, 4	rabex2 4815	. . . 4 |- U e. _V
6	5	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> U e. _V )
7		lgamgulm.r	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> R e. NN )
8	7, 3	lgamgulmlem1 24755	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> U C_ ( CC \ ( ZZ \ NN ) ) )
9	8	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ z e. U ) -> U C_ ( CC \ ( ZZ \ NN ) ) )
10		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ z e. U ) -> z e. U )
11	9, 10	sseldd 3604	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ z e. U ) -> z e. ( CC \ ( ZZ \ NN ) ) )
12	11	eldifad 3586	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ z e. U ) -> z e. CC )
13		simplr 792	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ z e. U ) -> m e. NN )
14	13	peano2nnd 11037	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ z e. U ) -> ( m + 1 ) e. NN )
15	14	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ z e. U ) -> ( m + 1 ) e. RR+ )
16	13	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ z e. U ) -> m e. RR+ )
17	15, 16	rpdivcld 11889	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ z e. U ) -> ( ( m + 1 ) / m ) e. RR+ )
18	17	relogcld 24369	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ z e. U ) -> ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) e. RR )
19	18	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ z e. U ) -> ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) e. CC )
20	12, 19	mulcld 10060	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ z e. U ) -> ( z x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) e. CC )
21	13	nncnd 11036	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ z e. U ) -> m e. CC )
22	13	nnne0d 11065	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ z e. U ) -> m =/= 0 )
23	12, 21, 22	divcld 10801	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ z e. U ) -> ( z / m ) e. CC )
24		1cnd 10056	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ z e. U ) -> 1 e. CC )
25	23, 24	addcld 10059	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ z e. U ) -> ( ( z / m ) + 1 ) e. CC )
26	11, 13	dmgmdivn0 24754	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ z e. U ) -> ( ( z / m ) + 1 ) =/= 0 )
27	25, 26	logcld 24317	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ z e. U ) -> ( log ` ( ( z / m ) + 1 ) ) e. CC )
28	20, 27	subcld 10392	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ z e. U ) -> ( ( z x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) - ( log ` ( ( z / m ) + 1 ) ) ) e. CC )
29		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( z e. U |-> ( ( z x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) - ( log ` ( ( z / m ) + 1 ) ) ) ) = ( z e. U |-> ( ( z x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) - ( log ` ( ( z / m ) + 1 ) ) ) )
30	28, 29	fmptd 6385	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( z e. U |-> ( ( z x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) - ( log ` ( ( z / m ) + 1 ) ) ) ) : U --> CC )
31	4, 5	elmap 7886	. . . . 5 |- ( ( z e. U |-> ( ( z x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) - ( log ` ( ( z / m ) + 1 ) ) ) ) e. ( CC ^m U ) <-> ( z e. U |-> ( ( z x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) - ( log ` ( ( z / m ) + 1 ) ) ) ) : U --> CC )
32	30, 31	sylibr 224	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( z e. U |-> ( ( z x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) - ( log ` ( ( z / m ) + 1 ) ) ) ) e. ( CC ^m U ) )
33		lgamgulm.g	. . . 4 |- G = ( m e. NN |-> ( z e. U |-> ( ( z x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) - ( log ` ( ( z / m ) + 1 ) ) ) ) )
34	32, 33	fmptd 6385	. . 3 |- ( ph -> G : NN --> ( CC ^m U ) )
35		lgamgulm.t	. . . . 5 |- T = ( m e. NN |-> if ( ( 2 x. R ) <_ m , ( R x. ( ( 2 x. ( R + 1 ) ) / ( m ^ 2 ) ) ) , ( ( R x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) + ( ( log ` ( ( R + 1 ) x. m ) ) + pi ) ) ) )
36		nnex 11026	. . . . . 6 |- NN e. _V
37	36	mptex 6486	. . . . 5 |- ( m e. NN |-> if ( ( 2 x. R ) <_ m , ( R x. ( ( 2 x. ( R + 1 ) ) / ( m ^ 2 ) ) ) , ( ( R x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) + ( ( log ` ( ( R + 1 ) x. m ) ) + pi ) ) ) ) e. _V
38	35, 37	eqeltri 2697	. . . 4 |- T e. _V
39	38	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> T e. _V )
40	7	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> R e. NN )
41	40	nnred 11035	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> R e. RR )
42		2re 11090	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. RR
43	42	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> 2 e. RR )
44		1red 10055	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> 1 e. RR )
45	41, 44	readdcld 10069	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( R + 1 ) e. RR )
46	43, 45	remulcld 10070	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 2 x. ( R + 1 ) ) e. RR )
47		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> m e. NN )
48	47	nnsqcld 13029	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( m ^ 2 ) e. NN )
49	46, 48	nndivred 11069	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( 2 x. ( R + 1 ) ) / ( m ^ 2 ) ) e. RR )
50	41, 49	remulcld 10070	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( R x. ( ( 2 x. ( R + 1 ) ) / ( m ^ 2 ) ) ) e. RR )
51	47	peano2nnd 11037	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( m + 1 ) e. NN )
52	51	nnrpd 11870	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( m + 1 ) e. RR+ )
53	47	nnrpd 11870	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> m e. RR+ )
54	52, 53	rpdivcld 11889	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( m + 1 ) / m ) e. RR+ )
55	54	relogcld 24369	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) e. RR )
56	41, 55	remulcld 10070	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( R x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) e. RR )
57	40	peano2nnd 11037	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( R + 1 ) e. NN )
58	57	nnrpd 11870	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( R + 1 ) e. RR+ )
59	58, 53	rpmulcld 11888	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( R + 1 ) x. m ) e. RR+ )
60	59	relogcld 24369	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( log ` ( ( R + 1 ) x. m ) ) e. RR )
61		pire 24210	. . . . . . . . 9 |- pi e. RR
62	61	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> pi e. RR )
63	60, 62	readdcld 10069	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( log ` ( ( R + 1 ) x. m ) ) + pi ) e. RR )
64	56, 63	readdcld 10069	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( R x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) + ( ( log ` ( ( R + 1 ) x. m ) ) + pi ) ) e. RR )
65	50, 64	ifcld 4131	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> if ( ( 2 x. R ) <_ m , ( R x. ( ( 2 x. ( R + 1 ) ) / ( m ^ 2 ) ) ) , ( ( R x. ( log ` ( ( m + 1 ) / m ) ) ) + ( ( log ` ( ( R + 1 ) x. m ) ) + pi ) ) ) e. RR )
66	65, 35	fmptd 6385	. . . 4 |- ( ph -> T : NN --> RR )
67	66	ffvelrnda 6359	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( T ` n ) e. RR )
68	7, 3, 33, 35	lgamgulmlem5 24759	. . 3 |- ( ( ph /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( abs ` ( ( G ` n ) ` y ) ) <_ ( T ` n ) )
69	7, 3, 33, 35	lgamgulmlem4 24758	. . 3 |- ( ph -> seq 1 ( + , T ) e. dom ~~> )
70	1, 2, 6, 34, 39, 67, 68, 69	mtest 24158	. 2 |- ( ph -> seq 1 ( oF + , G ) e. dom ( ~~> u ` U ) )
71		1zzd 11408	. . . . 5 |- ( ( ph /\ seq 1 ( oF + , G ) ( ~~> u ` U ) ( z e. U |-> O ) ) -> 1 e. ZZ )
72	5	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ seq 1 ( oF + , G ) ( ~~> u ` U ) ( z e. U |-> O ) ) -> U e. _V )
73	34	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ seq 1 ( oF + , G ) ( ~~> u ` U ) ( z e. U |-> O ) ) -> G : NN --> ( CC ^m U ) )
74	38	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ seq 1 ( oF + , G ) ( ~~> u ` U ) ( z e. U |-> O ) ) -> T e. _V )
75	67	adantlr 751	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ seq 1 ( oF + , G ) ( ~~> u ` U ) ( z e. U |-> O ) ) /\ n e. NN ) -> ( T ` n ) e. RR )
76	68	adantlr 751	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ seq 1 ( oF + , G ) ( ~~> u ` U ) ( z e. U |-> O ) ) /\ ( n e. NN /\ y e. U ) ) -> ( abs ` ( ( G ` n ) ` y ) ) <_ ( T ` n ) )
77	69	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ seq 1 ( oF + , G ) ( ~~> u ` U ) ( z e. U |-> O ) ) -> seq 1 ( + , T ) e. dom ~~> )
78		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( ph /\ seq 1 ( oF + , G ) ( ~~> u ` U ) ( z e. U |-> O ) ) -> seq 1 ( oF + , G ) ( ~~> u ` U ) ( z e. U |-> O ) )
79	1, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78	mtestbdd 24159	. . . 4 |- ( ( ph /\ seq 1 ( oF + , G ) ( ~~> u ` U ) ( z e. U |-> O ) ) -> E. r e. RR A. y e. U ( abs ` ( ( z e. U |-> O ) ` y ) ) <_ r )
80		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ z abs
81		nffvmpt1 6199	. . . . . . . . 9 |- F/_ z ( ( z e. U |-> O ) ` y )
82	80, 81	nffv 6198	. . . . . . . 8 |- F/_ z ( abs ` ( ( z e. U |-> O ) ` y ) )
83		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ z <_
84		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ z r
85	82, 83, 84	nfbr 4699	. . . . . . 7 |- F/ z ( abs ` ( ( z e. U |-> O ) ` y ) ) <_ r
86		nfv 1843	. . . . . . 7 |- F/ y ( abs ` ( ( z e. U |-> O ) ` z ) ) <_ r
87		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( y = z -> ( ( z e. U |-> O ) ` y ) = ( ( z e. U |-> O ) ` z ) )
88	87	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( y = z -> ( abs ` ( ( z e. U |-> O ) ` y ) ) = ( abs ` ( ( z e. U |-> O ) ` z ) ) )
89	88	breq1d 4663	. . . . . . 7 |- ( y = z -> ( ( abs ` ( ( z e. U |-> O ) ` y ) ) <_ r <-> ( abs ` ( ( z e. U |-> O ) ` z ) ) <_ r ) )
90	85, 86, 89	cbvral 3167	. . . . . 6 |- ( A. y e. U ( abs ` ( ( z e. U |-> O ) ` y ) ) <_ r <-> A. z e. U ( abs ` ( ( z e. U |-> O ) ` z ) ) <_ r )
91		ulmcl 24135	. . . . . . . . 9 |- ( seq 1 ( oF + , G ) ( ~~> u ` U ) ( z e. U |-> O ) -> ( z e. U |-> O ) : U --> CC )
92	91	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ seq 1 ( oF + , G ) ( ~~> u ` U ) ( z e. U |-> O ) ) -> ( z e. U |-> O ) : U --> CC )
93		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( z e. U |-> O ) = ( z e. U |-> O )
94	93	fmpt 6381	. . . . . . . 8 |- ( A. z e. U O e. CC <-> ( z e. U |-> O ) : U --> CC )
95	92, 94	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ seq 1 ( oF + , G ) ( ~~> u ` U ) ( z e. U |-> O ) ) -> A. z e. U O e. CC )
96	93	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. U /\ O e. CC ) -> ( ( z e. U |-> O ) ` z ) = O )
97	96	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. U /\ O e. CC ) -> ( abs ` ( ( z e. U |-> O ) ` z ) ) = ( abs ` O ) )
98	97	breq1d 4663	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. U /\ O e. CC ) -> ( ( abs ` ( ( z e. U |-> O ) ` z ) ) <_ r <-> ( abs ` O ) <_ r ) )
99	98	ralimiaa 2951	. . . . . . 7 |- ( A. z e. U O e. CC -> A. z e. U ( ( abs ` ( ( z e. U |-> O ) ` z ) ) <_ r <-> ( abs ` O ) <_ r ) )
100		ralbi 3068	. . . . . . 7 |- ( A. z e. U ( ( abs ` ( ( z e. U |-> O ) ` z ) ) <_ r <-> ( abs ` O ) <_ r ) -> ( A. z e. U ( abs ` ( ( z e. U |-> O ) ` z ) ) <_ r <-> A. z e. U ( abs ` O ) <_ r ) )
101	95, 99, 100	3syl 18	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ seq 1 ( oF + , G ) ( ~~> u ` U ) ( z e. U |-> O ) ) -> ( A. z e. U ( abs ` ( ( z e. U |-> O ) ` z ) ) <_ r <-> A. z e. U ( abs ` O ) <_ r ) )
102	90, 101	syl5bb 272	. . . . 5 |- ( ( ph /\ seq 1 ( oF + , G ) ( ~~> u ` U ) ( z e. U |-> O ) ) -> ( A. y e. U ( abs ` ( ( z e. U |-> O ) ` y ) ) <_ r <-> A. z e. U ( abs ` O ) <_ r ) )
103	102	rexbidv 3052	. . . 4 |- ( ( ph /\ seq 1 ( oF + , G ) ( ~~> u ` U ) ( z e. U |-> O ) ) -> ( E. r e. RR A. y e. U ( abs ` ( ( z e. U |-> O ) ` y ) ) <_ r <-> E. r e. RR A. z e. U ( abs ` O ) <_ r ) )
104	79, 103	mpbid 222	. . 3 |- ( ( ph /\ seq 1 ( oF + , G ) ( ~~> u ` U ) ( z e. U |-> O ) ) -> E. r e. RR A. z e. U ( abs ` O ) <_ r )
105	104	ex 450	. 2 |- ( ph -> ( seq 1 ( oF + , G ) ( ~~> u ` U ) ( z e. U |-> O ) -> E. r e. RR A. z e. U ( abs ` O ) <_ r ) )
106	70, 105	jca 554	1 |- ( ph -> ( seq 1 ( oF + , G ) e. dom ( ~~> u ` U ) /\ ( seq 1 ( oF + , G ) ( ~~> u ` U ) ( z e. U |-> O ) -> E. r e. RR A. z e. U ( abs ` O ) <_ r ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   ^m cmap 7857   CCcc 9934   RRcr 9935   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   seqcseq 12801   ^cexp 12860   abscabs 13974   ~~> cli 14215   picpi 14797   ~~> uculm 24130   logclog 24301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-tan 14802  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-ulm 24131  df-log 24303  df-cxp 24304

This theorem is referenced by:  lgamgulm  24761  lgambdd  24763