Theorem fsumrecl 14465

Description: Closure of a finite sum of reals. (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcl.1	|- ( ph -> A e. Fin )
fsumrecl.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. RR )

Assertion

Ref	Expression
fsumrecl	|- ( ph -> sum_ k e. A B e. RR )

Distinct variable groups:   A, k   ph, k

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem fsumrecl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-resscn 9993	. . 3 |- RR C_ CC
2	1	a1i 11	. 2 |- ( ph -> RR C_ CC )
3		readdcl 10019	. . 3 |- ( ( x e. RR /\ y e. RR ) -> ( x + y ) e. RR )
4	3	adantl 482	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ y e. RR ) ) -> ( x + y ) e. RR )
5		fsumcl.1	. 2 |- ( ph -> A e. Fin )
6		fsumrecl.2	. 2 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. RR )
7		0red 10041	. 2 |- ( ph -> 0 e. RR )
8	2, 4, 5, 6, 7	fsumcllem 14463	1 |- ( ph -> sum_ k e. A B e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   e. wcel 1990   C_ wss 3574  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   + caddc 9939   sum_csu 14416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417

This theorem is referenced by:  fsumless  14528  fsumle  14531  fsumlt  14532  fsumabs  14533  o1fsum  14545  isumltss  14580  climcndslem1  14581  climcndslem2  14582  mertenslem1  14616  rpnnen2lem10  14952  prmreclem4  15623  prmreclem5  15624  lebnumlem1  22760  csbren  23182  trirn  23183  rrxmet  23191  rrxdstprj1  23192  ovolfiniun  23269  ovoliunlem1  23270  ovolscalem1  23281  ovolicc2lem4  23288  volfiniun  23315  uniioombllem3a  23352  uniioombllem4  23354  i1fd  23448  itg1cl  23452  i1fadd  23462  i1fmul  23463  dvfsumge  23785  dvfsumabs  23786  dvfsumrlimf  23788  dvfsumlem2  23790  dvfsumlem3  23791  dvfsumlem4  23792  dvfsum2  23797  aaliou3lem5  24102  mtest  24158  mtestbdd  24159  abelthlem7  24192  abelthlem8  24193  log2ublem2  24674  log2ub  24676  birthdaylem3  24680  emcllem1  24722  emcllem2  24723  emcllem3  24724  harmoniclbnd  24735  harmonicubnd  24736  harmonicbnd4  24737  fsumharmonic  24738  ftalem1  24799  ftalem4  24802  ftalem5  24803  chtf  24834  chpf  24849  chpub  24945  logfaclbnd  24947  logexprlim  24950  chtppilimlem1  25162  vmadivsum  25171  vmadivsumb  25172  rplogsumlem1  25173  rplogsumlem2  25174  rpvmasumlem  25176  dchrisumlem2  25179  dchrmusum2  25183  dchrvmasumlem2  25187  dchrvmasumlem3  25188  dchrvmasumiflem1  25190  dchrisum0ff  25196  dchrisum0flblem1  25197  dchrisum0fno1  25200  dchrisum0re  25202  dchrisum0lem1  25205  dchrisum0lem2a  25206  rplogsum  25216  dirith2  25217  mudivsum  25219  mulogsumlem  25220  mulog2sumlem1  25223  mulog2sumlem2  25224  vmalogdivsum2  25227  vmalogdivsum  25228  2vmadivsumlem  25229  logsqvma2  25232  log2sumbnd  25233  selberglem2  25235  selberg  25237  selbergb  25238  selberg2b  25241  chpdifbndlem1  25242  logdivbnd  25245  selberg3lem1  25246  selberg3lem2  25247  selberg3  25248  selberg4lem1  25249  selberg4  25250  pntrsumo1  25254  pntrsumbnd  25255  pntrsumbnd2  25256  selberg3r  25258  selberg4r  25259  selberg34r  25260  pntsf  25262  pntsval2  25265  pntrlog2bndlem1  25266  pntrlog2bndlem2  25267  pntrlog2bndlem3  25268  pntrlog2bndlem4  25269  pntrlog2bndlem5  25270  pntrlog2bndlem6  25272  pntrlog2bnd  25273  pntpbnd1  25275  pntpbnd2  25276  pntlemj  25292  pntlemf  25294  pntlemk  25295  pntlemo  25296  axsegconlem2  25798  ax5seglem3  25811  ax5seg  25818  esumpcvgval  30140  esumcvg  30148  sibfof  30402  reprlt  30697  reprgt  30699  reprinfz1  30700  hgt750lemd  30726  hgt750lemb  30734  hgt750lema  30735  hgt750leme  30736  tgoldbachgtde  30738  knoppndvlem5  32507  knoppndvlem11  32513  knoppndvlem14  32516  mettrifi  33553  geomcau  33555  rrnmet  33628  rrndstprj1  33629  rrndstprj2  33630  refsumcn  39189  fsumge0cl  39805  fsumreclf  39808  stoweidlem11  40228  stoweidlem17  40234  stoweidlem20  40237  stoweidlem26  40243  stoweidlem30  40247  stoweidlem32  40249  stoweidlem38  40255  stoweidlem44  40261  stirlinglem12  40302  dirkeritg  40319  fourierdlem73  40396  fourierdlem83  40406  fourierdlem112  40435  etransclem23  40474  etransclem35  40486  etransclem48  40499  sge0rnre  40581  sge0cl  40598  sge0fsum  40604  sge0ltfirp  40617  sge0le  40624  sge0split  40626  sge0iunmptlemfi  40630  sge0iunmptlemre  40632  sge0xaddlem1  40650  sge0xaddlem2  40651  sge0seq  40663  omeiunltfirp  40733  carageniuncllem2  40736  hoidmvlelem2  40810  hoidmvlelem3  40811  hoiqssbllem2  40837  fsummsndifre  41342  fsummmodsndifre  41344