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Theorem mtest 24158
Description: The Weierstrass M-test. If F is a sequence of functions which are uniformly bounded by the convergent sequence M ( k ), then the series generated by the sequence F converges uniformly. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mtest.z |- Z = ( ZZ>= ` N )
mtest.n |- ( ph -> N e. ZZ )
mtest.s |- ( ph -> S e. V )
mtest.f |- ( ph -> F : Z --> ( CC ^m S ) )
mtest.m |- ( ph -> M e. W )
mtest.c |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( M ` k ) e. RR )
mtest.l |- ( ( ph /\ ( k e. Z /\ z e. S ) ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ ( M ` k ) )
mtest.d |- ( ph -> seq N ( + , M ) e. dom ~~> )
Assertion
Ref Expression
mtest |- ( ph -> seq N ( oF + , F ) e. dom ( ~~> u ` S ) )
Distinct variable groups:   z, k, F   k, M, z   k, N, z   ph, k, z   k, Z, z   S, k, z
Allowed substitution hints:   V( z, k)   W( z, k)
Proof of Theorem mtest
Dummy variables i j n r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mtest.n . . . 4 |- ( ph -> N e. ZZ )
2 mtest.d . . . 4 |- ( ph -> seq N ( + , M ) e. dom ~~> )
3 mtest.z . . . . 5 |- Z = ( ZZ>= ` N )
43climcau 14401 . . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ seq N ( + , M ) e. dom ~~> ) -> A. r e. RR+ E. j e. Z A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( seq N ( + , M ) ` i ) - ( seq N ( + , M ) ` j ) ) ) < r )
51, 2, 4syl2anc 693 . . 3 |- ( ph -> A. r e. RR+ E. j e. Z A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( seq N ( + , M ) ` i ) - ( seq N ( + , M ) ` j ) ) ) < r )
6 seqfn 12813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N e. ZZ -> seq N ( oF + , F ) Fn ( ZZ>= ` N ) )
71, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> seq N ( oF + , F ) Fn ( ZZ>= ` N ) )
83fneq2i 5986 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( seq N ( oF + , F ) Fn Z <-> seq N ( oF + , F ) Fn ( ZZ>= ` N ) )
97, 8sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> seq N ( oF + , F ) Fn Z )
10 mtest.s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> S e. V )
11 elex 3212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( S e. V -> S e. _V )
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> S e. _V )
1312adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ i e. Z ) -> S e. _V )
14 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ i e. Z ) -> i e. Z )
1514, 3syl6eleq 2711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ i e. Z ) -> i e. ( ZZ>= ` N ) )
16 mtest.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> F : Z --> ( CC ^m S ) )
1716adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ i e. Z ) -> F : Z --> ( CC ^m S ) )
18 elfzuz 12338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( k e. ( N ... i ) -> k e. ( ZZ>= ` N ) )
1918, 3syl6eleqr 2712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( k e. ( N ... i ) -> k e. Z )
20 ffvelrn 6357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( F : Z --> ( CC ^m S ) /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. ( CC ^m S ) )
2117, 19, 20syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ i e. Z ) /\ k e. ( N ... i ) ) -> ( F ` k ) e. ( CC ^m S ) )
22 elmapi 7879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( F ` k ) e. ( CC ^m S ) -> ( F ` k ) : S --> CC )
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ i e. Z ) /\ k e. ( N ... i ) ) -> ( F ` k ) : S --> CC )
2423feqmptd 6249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ i e. Z ) /\ k e. ( N ... i ) ) -> ( F ` k ) = ( z e. S |-> ( ( F ` k ) ` z ) ) )
2519adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ i e. Z ) /\ k e. ( N ... i ) ) -> k e. Z )
26 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( n = k -> ( F ` n ) = ( F ` k ) )
2726fveq1d 6193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( n = k -> ( ( F ` n ) ` z ) = ( ( F ` k ) ` z ) )
28 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) = ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) )
29 fvex 6201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( F ` k ) ` z ) e. _V
3027, 28, 29fvmpt 6282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( k e. Z -> ( ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ` k ) = ( ( F ` k ) ` z ) )
3125, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ i e. Z ) /\ k e. ( N ... i ) ) -> ( ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ` k ) = ( ( F ` k ) ` z ) )
3231mpteq2dv 4745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ i e. Z ) /\ k e. ( N ... i ) ) -> ( z e. S |-> ( ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ` k ) ) = ( z e. S |-> ( ( F ` k ) ` z ) ) )
3324, 32eqtr4d 2659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ i e. Z ) /\ k e. ( N ... i ) ) -> ( F ` k ) = ( z e. S |-> ( ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ` k ) ) )
3413, 15, 33seqof 12858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ i e. Z ) -> ( seq N ( oF + , F ) ` i ) = ( z e. S |-> ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` i ) ) )
351adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ z e. S ) -> N e. ZZ )
3616ffvelrnda 6359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( F ` n ) e. ( CC ^m S ) )
37 elmapi 7879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( F ` n ) e. ( CC ^m S ) -> ( F ` n ) : S --> CC )
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( F ` n ) : S --> CC )
3938ffvelrnda 6359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ z e. S ) -> ( ( F ` n ) ` z ) e. CC )
4039an32s 846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ z e. S ) /\ n e. Z ) -> ( ( F ` n ) ` z ) e. CC )
4140, 28fmptd 6385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ z e. S ) -> ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) : Z --> CC )
4241ffvelrnda 6359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ z e. S ) /\ i e. Z ) -> ( ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ` i ) e. CC )
433, 35, 42serf 12829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ z e. S ) -> seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) : Z --> CC )
4443ffvelrnda 6359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ z e. S ) /\ i e. Z ) -> ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` i ) e. CC )
4544an32s 846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ i e. Z ) /\ z e. S ) -> ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` i ) e. CC )
46 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( z e. S |-> ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` i ) ) = ( z e. S |-> ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` i ) )
4745, 46fmptd 6385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ i e. Z ) -> ( z e. S |-> ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` i ) ) : S --> CC )
48 cnex 10017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- CC e. _V
49 elmapg 7870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( CC e. _V /\ S e. _V ) -> ( ( z e. S |-> ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` i ) ) e. ( CC ^m S ) <-> ( z e. S |-> ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` i ) ) : S --> CC ) )
5048, 13, 49sylancr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ i e. Z ) -> ( ( z e. S |-> ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` i ) ) e. ( CC ^m S ) <-> ( z e. S |-> ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` i ) ) : S --> CC ) )
5147, 50mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ i e. Z ) -> ( z e. S |-> ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` i ) ) e. ( CC ^m S ) )
5234, 51eqeltrd 2701 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ i e. Z ) -> ( seq N ( oF + , F ) ` i ) e. ( CC ^m S ) )
5352ralrimiva 2966 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> A. i e. Z ( seq N ( oF + , F ) ` i ) e. ( CC ^m S ) )
54 ffnfv 6388 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( seq N ( oF + , F ) : Z --> ( CC ^m S ) <-> ( seq N ( oF + , F ) Fn Z /\ A. i e. Z ( seq N ( oF + , F ) ` i ) e. ( CC ^m S ) ) )
559, 53, 54sylanbrc 698 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> seq N ( oF + , F ) : Z --> ( CC ^m S ) )
5655ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> seq N ( oF + , F ) : Z --> ( CC ^m S ) )
573uztrn2 11705 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) -> i e. Z )
5857adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> i e. Z )
5956, 58ffvelrnd 6360 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( seq N ( oF + , F ) ` i ) e. ( CC ^m S ) )
60 elmapi 7879 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( seq N ( oF + , F ) ` i ) e. ( CC ^m S ) -> ( seq N ( oF + , F ) ` i ) : S --> CC )
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( seq N ( oF + , F ) ` i ) : S --> CC )
6261ffvelrnda 6359 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) -> ( ( seq N ( oF + , F ) ` i ) ` z ) e. CC )
63 simprl 794 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> j e. Z )
6456, 63ffvelrnd 6360 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( seq N ( oF + , F ) ` j ) e. ( CC ^m S ) )
65 elmapi 7879 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( seq N ( oF + , F ) ` j ) e. ( CC ^m S ) -> ( seq N ( oF + , F ) ` j ) : S --> CC )
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( seq N ( oF + , F ) ` j ) : S --> CC )
6766ffvelrnda 6359 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) -> ( ( seq N ( oF + , F ) ` j ) ` z ) e. CC )
6862, 67subcld 10392 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) -> ( ( ( seq N ( oF + , F ) ` i ) ` z ) - ( ( seq N ( oF + , F ) ` j ) ` z ) ) e. CC )
6968abscld 14175 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) -> ( abs ` ( ( ( seq N ( oF + , F ) ` i ) ` z ) - ( ( seq N ( oF + , F ) ` j ) ` z ) ) ) e. RR )
70 fzfid 12772 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) -> ( ( j + 1 ) ... i ) e. Fin )
71 ssun2 3777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( j + 1 ) ... i ) C_ ( ( N ... j ) u. ( ( j + 1 ) ... i ) )
7263, 3syl6eleq 2711 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> j e. ( ZZ>= ` N ) )
73 simprr 796 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> i e. ( ZZ>= ` j ) )
74 elfzuzb 12336 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j e. ( N ... i ) <-> ( j e. ( ZZ>= ` N ) /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) )
7572, 73, 74sylanbrc 698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> j e. ( N ... i ) )
76 fzsplit 12367 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j e. ( N ... i ) -> ( N ... i ) = ( ( N ... j ) u. ( ( j + 1 ) ... i ) ) )
7775, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( N ... i ) = ( ( N ... j ) u. ( ( j + 1 ) ... i ) ) )
7871, 77syl5sseqr 3654 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( ( j + 1 ) ... i ) C_ ( N ... i ) )
7978sselda 3603 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ k e. ( ( j + 1 ) ... i ) ) -> k e. ( N ... i ) )
8079adantlr 751 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) /\ k e. ( ( j + 1 ) ... i ) ) -> k e. ( N ... i ) )
8116ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> F : Z --> ( CC ^m S ) )
8281, 19, 20syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ k e. ( N ... i ) ) -> ( F ` k ) e. ( CC ^m S ) )
8382, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ k e. ( N ... i ) ) -> ( F ` k ) : S --> CC )
8483ffvelrnda 6359 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ k e. ( N ... i ) ) /\ z e. S ) -> ( ( F ` k ) ` z ) e. CC )
8584an32s 846 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) /\ k e. ( N ... i ) ) -> ( ( F ` k ) ` z ) e. CC )
8680, 85syldan 487 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) /\ k e. ( ( j + 1 ) ... i ) ) -> ( ( F ` k ) ` z ) e. CC )
8786abscld 14175 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) /\ k e. ( ( j + 1 ) ... i ) ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) e. RR )
8870, 87fsumrecl 14465 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) -> sum_ k e. ( ( j + 1 ) ... i ) ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) e. RR )
89 mtest.c . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( M ` k ) e. RR )
903, 1, 89serfre 12830 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> seq N ( + , M ) : Z --> RR )
9190ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> seq N ( + , M ) : Z --> RR )
9291, 58ffvelrnd 6360 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( seq N ( + , M ) ` i ) e. RR )
9391, 63ffvelrnd 6360 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( seq N ( + , M ) ` j ) e. RR )
9492, 93resubcld 10458 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( ( seq N ( + , M ) ` i ) - ( seq N ( + , M ) ` j ) ) e. RR )
9594recnd 10068 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( ( seq N ( + , M ) ` i ) - ( seq N ( + , M ) ` j ) ) e. CC )
9695abscld 14175 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( abs ` ( ( seq N ( + , M ) ` i ) - ( seq N ( + , M ) ` j ) ) ) e. RR )
9796adantr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) -> ( abs ` ( ( seq N ( + , M ) ` i ) - ( seq N ( + , M ) ` j ) ) ) e. RR )
9857, 34sylan2 491 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( seq N ( oF + , F ) ` i ) = ( z e. S |-> ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` i ) ) )
9998adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( seq N ( oF + , F ) ` i ) = ( z e. S |-> ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` i ) ) )
10099fveq1d 6193 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( ( seq N ( oF + , F ) ` i ) ` z ) = ( ( z e. S |-> ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` i ) ) ` z ) )
101 fvex 6201 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` i ) e. _V
10246fvmpt2 6291 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. S /\ ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` i ) e. _V ) -> ( ( z e. S |-> ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` i ) ) ` z ) = ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` i ) )
103101, 102mpan2 707 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. S -> ( ( z e. S |-> ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` i ) ) ` z ) = ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` i ) )
104100, 103sylan9eq 2676 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) -> ( ( seq N ( oF + , F ) ` i ) ` z ) = ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` i ) )
10534ralrimiva 2966 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> A. i e. Z ( seq N ( oF + , F ) ` i ) = ( z e. S |-> ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` i ) ) )
106105ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> A. i e. Z ( seq N ( oF + , F ) ` i ) = ( z e. S |-> ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` i ) ) )
107 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( i = j -> ( seq N ( oF + , F ) ` i ) = ( seq N ( oF + , F ) ` j ) )
108 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( i = j -> ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` i ) = ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` j ) )
109108mpteq2dv 4745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( i = j -> ( z e. S |-> ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` i ) ) = ( z e. S |-> ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` j ) ) )
110107, 109eqeq12d 2637 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i = j -> ( ( seq N ( oF + , F ) ` i ) = ( z e. S |-> ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` i ) ) <-> ( seq N ( oF + , F ) ` j ) = ( z e. S |-> ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` j ) ) ) )
111110rspccv 3306 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. i e. Z ( seq N ( oF + , F ) ` i ) = ( z e. S |-> ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` i ) ) -> ( j e. Z -> ( seq N ( oF + , F ) ` j ) = ( z e. S |-> ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` j ) ) ) )
112106, 63, 111sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( seq N ( oF + , F ) ` j ) = ( z e. S |-> ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` j ) ) )
113112fveq1d 6193 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( ( seq N ( oF + , F ) ` j ) ` z ) = ( ( z e. S |-> ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` j ) ) ` z ) )
114 fvex 6201 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` j ) e. _V
115 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z e. S |-> ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` j ) ) = ( z e. S |-> ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` j ) )
116115fvmpt2 6291 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. S /\ ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` j ) e. _V ) -> ( ( z e. S |-> ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` j ) ) ` z ) = ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` j ) )
117114, 116mpan2 707 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. S -> ( ( z e. S |-> ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` j ) ) ` z ) = ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` j ) )
118113, 117sylan9eq 2676 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) -> ( ( seq N ( oF + , F ) ` j ) ` z ) = ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` j ) )
119104, 118oveq12d 6668 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) -> ( ( ( seq N ( oF + , F ) ` i ) ` z ) - ( ( seq N ( oF + , F ) ` j ) ` z ) ) = ( ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` i ) - ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` j ) ) )
12019adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) /\ k e. ( N ... i ) ) -> k e. Z )
121120, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) /\ k e. ( N ... i ) ) -> ( ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ` k ) = ( ( F ` k ) ` z ) )
12258adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) -> i e. Z )
123122, 3syl6eleq 2711 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) -> i e. ( ZZ>= ` N ) )
124121, 123, 85fsumser 14461 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) -> sum_ k e. ( N ... i ) ( ( F ` k ) ` z ) = ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` i ) )
125 elfzuz 12338 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. ( N ... j ) -> k e. ( ZZ>= ` N ) )
126125, 3syl6eleqr 2712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ( N ... j ) -> k e. Z )
127126adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) /\ k e. ( N ... j ) ) -> k e. Z )
128127, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) /\ k e. ( N ... j ) ) -> ( ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ` k ) = ( ( F ` k ) ` z ) )
12963adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) -> j e. Z )
130129, 3syl6eleq 2711 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) -> j e. ( ZZ>= ` N ) )
13181, 126, 20syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ k e. ( N ... j ) ) -> ( F ` k ) e. ( CC ^m S ) )
132131, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ k e. ( N ... j ) ) -> ( F ` k ) : S --> CC )
133132ffvelrnda 6359 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ k e. ( N ... j ) ) /\ z e. S ) -> ( ( F ` k ) ` z ) e. CC )
134133an32s 846 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) /\ k e. ( N ... j ) ) -> ( ( F ` k ) ` z ) e. CC )
135128, 130, 134fsumser 14461 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) -> sum_ k e. ( N ... j ) ( ( F ` k ) ` z ) = ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` j ) )
136124, 135oveq12d 6668 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) -> ( sum_ k e. ( N ... i ) ( ( F ` k ) ` z ) - sum_ k e. ( N ... j ) ( ( F ` k ) ` z ) ) = ( ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` i ) - ( seq N ( + , ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` z ) ) ) ` j ) ) )
137 eluzelre 11698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( j e. ( ZZ>= ` N ) -> j e. RR )
13872, 137syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> j e. RR )
139138ltp1d 10954 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> j < ( j + 1 ) )
140 fzdisj 12368 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j < ( j + 1 ) -> ( ( N ... j ) i^i ( ( j + 1 ) ... i ) ) = (/) )
141139, 140syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( ( N ... j ) i^i ( ( j + 1 ) ... i ) ) = (/) )
142141adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) -> ( ( N ... j ) i^i ( ( j + 1 ) ... i ) ) = (/) )
14377adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) -> ( N ... i ) = ( ( N ... j ) u. ( ( j + 1 ) ... i ) ) )
144 fzfid 12772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) -> ( N ... i ) e. Fin )
145142, 143, 144, 85fsumsplit 14471 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) -> sum_ k e. ( N ... i ) ( ( F ` k ) ` z ) = ( sum_ k e. ( N ... j ) ( ( F ` k ) ` z ) + sum_ k e. ( ( j + 1 ) ... i ) ( ( F ` k ) ` z ) ) )
146145eqcomd 2628 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) -> ( sum_ k e. ( N ... j ) ( ( F ` k ) ` z ) + sum_ k e. ( ( j + 1 ) ... i ) ( ( F ` k ) ` z ) ) = sum_ k e. ( N ... i ) ( ( F ` k ) ` z ) )
147144, 85fsumcl 14464 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) -> sum_ k e. ( N ... i ) ( ( F ` k ) ` z ) e. CC )
148 fzfid 12772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) -> ( N ... j ) e. Fin )
149148, 134fsumcl 14464 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) -> sum_ k e. ( N ... j ) ( ( F ` k ) ` z ) e. CC )
15070, 86fsumcl 14464 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) -> sum_ k e. ( ( j + 1 ) ... i ) ( ( F ` k ) ` z ) e. CC )
151147, 149, 150subaddd 10410 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) -> ( ( sum_ k e. ( N ... i ) ( ( F ` k ) ` z ) - sum_ k e. ( N ... j ) ( ( F ` k ) ` z ) ) = sum_ k e. ( ( j + 1 ) ... i ) ( ( F ` k ) ` z ) <-> ( sum_ k e. ( N ... j ) ( ( F ` k ) ` z ) + sum_ k e. ( ( j + 1 ) ... i ) ( ( F ` k ) ` z ) ) = sum_ k e. ( N ... i ) ( ( F ` k ) ` z ) ) )
152146, 151mpbird 247 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) -> ( sum_ k e. ( N ... i ) ( ( F ` k ) ` z ) - sum_ k e. ( N ... j ) ( ( F ` k ) ` z ) ) = sum_ k e. ( ( j + 1 ) ... i ) ( ( F ` k ) ` z ) )
153119, 136, 1523eqtr2d 2662 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) -> ( ( ( seq N ( oF + , F ) ` i ) ` z ) - ( ( seq N ( oF + , F ) ` j ) ` z ) ) = sum_ k e. ( ( j + 1 ) ... i ) ( ( F ` k ) ` z ) )
154153fveq2d 6195 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) -> ( abs ` ( ( ( seq N ( oF + , F ) ` i ) ` z ) - ( ( seq N ( oF + , F ) ` j ) ` z ) ) ) = ( abs ` sum_ k e. ( ( j + 1 ) ... i ) ( ( F ` k ) ` z ) ) )
15570, 86fsumabs 14533 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ( j + 1 ) ... i ) ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ sum_ k e. ( ( j + 1 ) ... i ) ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) )
156154, 155eqbrtrd 4675 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) -> ( abs ` ( ( ( seq N ( oF + , F ) ` i ) ` z ) - ( ( seq N ( oF + , F ) ` j ) ` z ) ) ) <_ sum_ k e. ( ( j + 1 ) ... i ) ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) )
157 simpll 790 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ph )
158157, 19, 89syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ k e. ( N ... i ) ) -> ( M ` k ) e. RR )
15979, 158syldan 487 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ k e. ( ( j + 1 ) ... i ) ) -> ( M ` k ) e. RR )
160159adantlr 751 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) /\ k e. ( ( j + 1 ) ... i ) ) -> ( M ` k ) e. RR )
16180, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) /\ k e. ( ( j + 1 ) ... i ) ) -> k e. Z )
162 mtest.l . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( k e. Z /\ z e. S ) ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ ( M ` k ) )
163162adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( k e. Z /\ z e. S ) ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ ( M ` k ) )
164163adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ ( k e. Z /\ z e. S ) ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ ( M ` k ) )
165164anass1rs 849 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) /\ k e. Z ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ ( M ` k ) )
166161, 165syldan 487 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) /\ k e. ( ( j + 1 ) ... i ) ) -> ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ ( M ` k ) )
16770, 87, 160, 166fsumle 14531 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) -> sum_ k e. ( ( j + 1 ) ... i ) ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ sum_ k e. ( ( j + 1 ) ... i ) ( M ` k ) )
168 eqidd 2623 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ k e. ( N ... i ) ) -> ( M ` k ) = ( M ` k ) )
16958, 3syl6eleq 2711 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> i e. ( ZZ>= ` N ) )
170158recnd 10068 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ k e. ( N ... i ) ) -> ( M ` k ) e. CC )
171168, 169, 170fsumser 14461 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> sum_ k e. ( N ... i ) ( M ` k ) = ( seq N ( + , M ) ` i ) )
172 eqidd 2623 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ k e. ( N ... j ) ) -> ( M ` k ) = ( M ` k ) )
173157, 126, 89syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ k e. ( N ... j ) ) -> ( M ` k ) e. RR )
174173recnd 10068 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ k e. ( N ... j ) ) -> ( M ` k ) e. CC )
175172, 72, 174fsumser 14461 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> sum_ k e. ( N ... j ) ( M ` k ) = ( seq N ( + , M ) ` j ) )
176171, 175oveq12d 6668 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( sum_ k e. ( N ... i ) ( M ` k ) - sum_ k e. ( N ... j ) ( M ` k ) ) = ( ( seq N ( + , M ) ` i ) - ( seq N ( + , M ) ` j ) ) )
177 fzfid 12772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( N ... i ) e. Fin )
178141, 77, 177, 170fsumsplit 14471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> sum_ k e. ( N ... i ) ( M ` k ) = ( sum_ k e. ( N ... j ) ( M ` k ) + sum_ k e. ( ( j + 1 ) ... i ) ( M ` k ) ) )
179178eqcomd 2628 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( sum_ k e. ( N ... j ) ( M ` k ) + sum_ k e. ( ( j + 1 ) ... i ) ( M ` k ) ) = sum_ k e. ( N ... i ) ( M ` k ) )
180177, 170fsumcl 14464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> sum_ k e. ( N ... i ) ( M ` k ) e. CC )
181 fzfid 12772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( N ... j ) e. Fin )
182181, 174fsumcl 14464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> sum_ k e. ( N ... j ) ( M ` k ) e. CC )
183 fzfid 12772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( ( j + 1 ) ... i ) e. Fin )
18479, 170syldan 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ k e. ( ( j + 1 ) ... i ) ) -> ( M ` k ) e. CC )
185183, 184fsumcl 14464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> sum_ k e. ( ( j + 1 ) ... i ) ( M ` k ) e. CC )
186180, 182, 185subaddd 10410 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( ( sum_ k e. ( N ... i ) ( M ` k ) - sum_ k e. ( N ... j ) ( M ` k ) ) = sum_ k e. ( ( j + 1 ) ... i ) ( M ` k ) <-> ( sum_ k e. ( N ... j ) ( M ` k ) + sum_ k e. ( ( j + 1 ) ... i ) ( M ` k ) ) = sum_ k e. ( N ... i ) ( M ` k ) ) )
187179, 186mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( sum_ k e. ( N ... i ) ( M ` k ) - sum_ k e. ( N ... j ) ( M ` k ) ) = sum_ k e. ( ( j + 1 ) ... i ) ( M ` k ) )
188176, 187eqtr3d 2658 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( ( seq N ( + , M ) ` i ) - ( seq N ( + , M ) ` j ) ) = sum_ k e. ( ( j + 1 ) ... i ) ( M ` k ) )
189188fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( abs ` ( ( seq N ( + , M ) ` i ) - ( seq N ( + , M ) ` j ) ) ) = ( abs ` sum_ k e. ( ( j + 1 ) ... i ) ( M ` k ) ) )
190189adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) -> ( abs ` ( ( seq N ( + , M ) ` i ) - ( seq N ( + , M ) ` j ) ) ) = ( abs ` sum_ k e. ( ( j + 1 ) ... i ) ( M ` k ) ) )
191188, 94eqeltrrd 2702 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> sum_ k e. ( ( j + 1 ) ... i ) ( M ` k ) e. RR )
192191adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) -> sum_ k e. ( ( j + 1 ) ... i ) ( M ` k ) e. RR )
193 0red 10041 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) /\ k e. ( ( j + 1 ) ... i ) ) -> 0 e. RR )
19486absge0d 14183 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) /\ k e. ( ( j + 1 ) ... i ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) )
195193, 87, 160, 194, 166letrd 10194 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) /\ k e. ( ( j + 1 ) ... i ) ) -> 0 <_ ( M ` k ) )
19670, 160, 195fsumge0 14527 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) -> 0 <_ sum_ k e. ( ( j + 1 ) ... i ) ( M ` k ) )
197192, 196absidd 14161 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ( j + 1 ) ... i ) ( M ` k ) ) = sum_ k e. ( ( j + 1 ) ... i ) ( M ` k ) )
198190, 197eqtrd 2656 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) -> ( abs ` ( ( seq N ( + , M ) ` i ) - ( seq N ( + , M ) ` j ) ) ) = sum_ k e. ( ( j + 1 ) ... i ) ( M ` k ) )
199167, 198breqtrrd 4681 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) -> sum_ k e. ( ( j + 1 ) ... i ) ( abs ` ( ( F ` k ) ` z ) ) <_ ( abs ` ( ( seq N ( + , M ) ` i ) - ( seq N ( + , M ) ` j ) ) ) )
20069, 88, 97, 156, 199letrd 10194 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) -> ( abs ` ( ( ( seq N ( oF + , F ) ` i ) ` z ) - ( ( seq N ( oF + , F ) ` j ) ` z ) ) ) <_ ( abs ` ( ( seq N ( + , M ) ` i ) - ( seq N ( + , M ) ` j ) ) ) )
201 simpllr 799 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) -> r e. RR+ )
202201rpred 11872 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) -> r e. RR )
203 lelttr 10128 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( abs ` ( ( ( seq N ( oF + , F ) ` i ) ` z ) - ( ( seq N ( oF + , F ) ` j ) ` z ) ) ) e. RR /\ ( abs ` ( ( seq N ( + , M ) ` i ) - ( seq N ( + , M ) ` j ) ) ) e. RR /\ r e. RR ) -> ( ( ( abs ` ( ( ( seq N ( oF + , F ) ` i ) ` z ) - ( ( seq N ( oF + , F ) ` j ) ` z ) ) ) <_ ( abs ` ( ( seq N ( + , M ) ` i ) - ( seq N ( + , M ) ` j ) ) ) /\ ( abs ` ( ( seq N ( + , M ) ` i ) - ( seq N ( + , M ) ` j ) ) ) < r ) -> ( abs ` ( ( ( seq N ( oF + , F ) ` i ) ` z ) - ( ( seq N ( oF + , F ) ` j ) ` z ) ) ) < r ) )
20469, 97, 202, 203syl3anc 1326 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) -> ( ( ( abs ` ( ( ( seq N ( oF + , F ) ` i ) ` z ) - ( ( seq N ( oF + , F ) ` j ) ` z ) ) ) <_ ( abs ` ( ( seq N ( + , M ) ` i ) - ( seq N ( + , M ) ` j ) ) ) /\ ( abs ` ( ( seq N ( + , M ) ` i ) - ( seq N ( + , M ) ` j ) ) ) < r ) -> ( abs ` ( ( ( seq N ( oF + , F ) ` i ) ` z ) - ( ( seq N ( oF + , F ) ` j ) ` z ) ) ) < r ) )
205200, 204mpand 711 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) /\ z e. S ) -> ( ( abs ` ( ( seq N ( + , M ) ` i ) - ( seq N ( + , M ) ` j ) ) ) < r -> ( abs ` ( ( ( seq N ( oF + , F ) ` i ) ` z ) - ( ( seq N ( oF + , F ) ` j ) ` z ) ) ) < r ) )
206205ralrimdva 2969 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ ( j e. Z /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( ( abs ` ( ( seq N ( + , M ) ` i ) - ( seq N ( + , M ) ` j ) ) ) < r -> A. z e. S ( abs ` ( ( ( seq N ( oF + , F ) ` i ) ` z ) - ( ( seq N ( oF + , F ) ` j ) ` z ) ) ) < r ) )
207206anassrs 680 . . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ j e. Z ) /\ i e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( abs ` ( ( seq N ( + , M ) ` i ) - ( seq N ( + , M ) ` j ) ) ) < r -> A. z e. S ( abs ` ( ( ( seq N ( oF + , F ) ` i ) ` z ) - ( ( seq N ( oF + , F ) ` j ) ` z ) ) ) < r ) )
208207ralimdva 2962 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ r e. RR+ ) /\ j e. Z ) -> ( A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( seq N ( + , M ) ` i ) - ( seq N ( + , M ) ` j ) ) ) < r -> A. i e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( seq N ( oF + , F ) ` i ) ` z ) - ( ( seq N ( oF + , F ) ` j ) ` z ) ) ) < r ) )
209208reximdva 3017 . . . 4 |- ( ( ph /\ r e. RR+ ) -> ( E. j e. Z A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( seq N ( + , M ) ` i ) - ( seq N ( + , M ) ` j ) ) ) < r -> E. j e. Z A. i e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( seq N ( oF + , F ) ` i ) ` z ) - ( ( seq N ( oF + , F ) ` j ) ` z ) ) ) < r ) )
210209ralimdva 2962 . . 3 |- ( ph -> ( A. r e. RR+ E. j e. Z A. i e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( seq N ( + , M ) ` i ) - ( seq N ( + , M ) ` j ) ) ) < r -> A. r e. RR+ E. j e. Z A. i e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( seq N ( oF + , F ) ` i ) ` z ) - ( ( seq N ( oF + , F ) ` j ) ` z ) ) ) < r ) )
2115, 210mpd 15 . 2 |- ( ph -> A. r e. RR+ E. j e. Z A. i e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( seq N ( oF + , F ) ` i ) ` z ) - ( ( seq N ( oF + , F ) ` j ) ` z ) ) ) < r )
2123, 1, 10, 55ulmcau 24149 . 2 |- ( ph -> ( seq N ( oF + , F ) e. dom ( ~~> u ` S ) <-> A. r e. RR+ E. j e. Z A. i e. ( ZZ>= ` j ) A. z e. S ( abs ` ( ( ( seq N ( oF + , F ) ` i ) ` z ) - ( ( seq N ( oF + , F ) ` j ) ` z ) ) ) < r ) )
213211, 212mpbird 247 1 |- ( ph -> seq N ( oF + , F ) e. dom ( ~~> u ` S ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   u. cun 3572   i^i cin 3573   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   ^m cmap 7857   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   ...cfz 12326   seqcseq 12801   abscabs 13974   ~~> cli 14215   sum_csu 14416   ~~> uculm 24130
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ulm 24131
This theorem is referenced by:  pserulm  24176  lgamgulmlem6  24760  knoppcnlem6  32488
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