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Theorem odz2prm2pw 41475
Description: Any power of two is coprime to any prime not being two. (Contributed by AV, 25-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
odz2prm2pw |- ( ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) /\ ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) mod P ) =/= 1 /\ ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) mod P ) = 1 ) ) -> ( ( odZ ` P ) ` 2 ) = ( 2 ^ ( N + 1 ) ) )
Proof of Theorem odz2prm2pw
Dummy variable n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldifi 3732 . . . . . 6 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. Prime )
2 2nn 11185 . . . . . . . . 9 |- 2 e. NN
32a1i 11 . . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> 2 e. NN )
4 2nn0 11309 . . . . . . . . . 10 |- 2 e. NN0
54a1i 11 . . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> 2 e. NN0 )
6 peano2nn 11032 . . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> ( N + 1 ) e. NN )
76nnnn0d 11351 . . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( N + 1 ) e. NN0 )
85, 7nn0expcld 13031 . . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( 2 ^ ( N + 1 ) ) e. NN0 )
93, 8nnexpcld 13030 . . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( 2 ^ ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) e. NN )
109nnzd 11481 . . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( 2 ^ ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) e. ZZ )
11 modprm1div 15502 . . . . . 6 |- ( ( P e. Prime /\ ( 2 ^ ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) e. ZZ ) -> ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) mod P ) = 1 <-> P || ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) - 1 ) ) )
121, 10, 11syl2anr 495 . . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) mod P ) = 1 <-> P || ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) - 1 ) ) )
13 prmnn 15388 . . . . . . . . 9 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
141, 13syl 17 . . . . . . . 8 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. NN )
1514adantl 482 . . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> P e. NN )
16 2z 11409 . . . . . . . 8 |- 2 e. ZZ
1716a1i 11 . . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> 2 e. ZZ )
18 eldifsn 4317 . . . . . . . . . 10 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) <-> ( P e. Prime /\ P =/= 2 ) )
19 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. Prime /\ P =/= 2 ) -> P =/= 2 )
2019necomd 2849 . . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. Prime /\ P =/= 2 ) -> 2 =/= P )
2118, 20sylbi 207 . . . . . . . . 9 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 2 =/= P )
22 2prm 15405 . . . . . . . . . 10 |- 2 e. Prime
23 prmrp 15424 . . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. Prime /\ P e. Prime ) -> ( ( 2 gcd P ) = 1 <-> 2 =/= P ) )
2422, 1, 23sylancr 695 . . . . . . . . 9 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( 2 gcd P ) = 1 <-> 2 =/= P ) )
2521, 24mpbird 247 . . . . . . . 8 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( 2 gcd P ) = 1 )
2625adantl 482 . . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( 2 gcd P ) = 1 )
2715, 17, 263jca 1242 . . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( P e. NN /\ 2 e. ZZ /\ ( 2 gcd P ) = 1 ) )
288adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( 2 ^ ( N + 1 ) ) e. NN0 )
29 odzdvds 15500 . . . . . 6 |- ( ( ( P e. NN /\ 2 e. ZZ /\ ( 2 gcd P ) = 1 ) /\ ( 2 ^ ( N + 1 ) ) e. NN0 ) -> ( P || ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) - 1 ) <-> ( ( odZ ` P ) ` 2 ) || ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) )
3027, 28, 29syl2anc 693 . . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( P || ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) - 1 ) <-> ( ( odZ ` P ) ` 2 ) || ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) )
3112, 30bitrd 268 . . . 4 |- ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) mod P ) = 1 <-> ( ( odZ ` P ) ` 2 ) || ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) )
32 nnnn0 11299 . . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
335, 32nn0expcld 13031 . . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> ( 2 ^ N ) e. NN0 )
343, 33nnexpcld 13030 . . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) e. NN )
3534nnzd 11481 . . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) e. ZZ )
36 modprm1div 15502 . . . . . . . . 9 |- ( ( P e. Prime /\ ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) e. ZZ ) -> ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) mod P ) = 1 <-> P || ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) - 1 ) ) )
371, 35, 36syl2anr 495 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) mod P ) = 1 <-> P || ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) - 1 ) ) )
3833adantr 481 . . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( 2 ^ N ) e. NN0 )
39 odzdvds 15500 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( P e. NN /\ 2 e. ZZ /\ ( 2 gcd P ) = 1 ) /\ ( 2 ^ N ) e. NN0 ) -> ( P || ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) - 1 ) <-> ( ( odZ ` P ) ` 2 ) || ( 2 ^ N ) ) )
4027, 38, 39syl2anc 693 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( P || ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) - 1 ) <-> ( ( odZ ` P ) ` 2 ) || ( 2 ^ N ) ) )
4137, 40bitrd 268 . . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) mod P ) = 1 <-> ( ( odZ ` P ) ` 2 ) || ( 2 ^ N ) ) )
4241necon3abid 2830 . . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) mod P ) =/= 1 <-> -. ( ( odZ ` P ) ` 2 ) || ( 2 ^ N ) ) )
43 odzcl 15498 . . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. NN /\ 2 e. ZZ /\ ( 2 gcd P ) = 1 ) -> ( ( odZ ` P ) ` 2 ) e. NN )
4427, 43syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( ( odZ ` P ) ` 2 ) e. NN )
457adantr 481 . . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( N + 1 ) e. NN0 )
46 dvdsprmpweqle 15590 . . . . . . . . 9 |- ( ( 2 e. Prime /\ ( ( odZ ` P ) ` 2 ) e. NN /\ ( N + 1 ) e. NN0 ) -> ( ( ( odZ ` P ) ` 2 ) || ( 2 ^ ( N + 1 ) ) -> E. n e. NN0 ( n <_ ( N + 1 ) /\ ( ( odZ ` P ) ` 2 ) = ( 2 ^ n ) ) ) )
4722, 44, 45, 46mp3an2i 1429 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( ( ( odZ ` P ) ` 2 ) || ( 2 ^ ( N + 1 ) ) -> E. n e. NN0 ( n <_ ( N + 1 ) /\ ( ( odZ ` P ) ` 2 ) = ( 2 ^ n ) ) ) )
48 breq1 4656 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( odZ ` P ) ` 2 ) = ( 2 ^ n ) -> ( ( ( odZ ` P ) ` 2 ) || ( 2 ^ N ) <-> ( 2 ^ n ) || ( 2 ^ N ) ) )
4948adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) /\ n e. NN0 ) /\ n <_ ( N + 1 ) ) /\ ( ( odZ ` P ) ` 2 ) = ( 2 ^ n ) ) -> ( ( ( odZ ` P ) ` 2 ) || ( 2 ^ N ) <-> ( 2 ^ n ) || ( 2 ^ N ) ) )
5049notbid 308 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) /\ n e. NN0 ) /\ n <_ ( N + 1 ) ) /\ ( ( odZ ` P ) ` 2 ) = ( 2 ^ n ) ) -> ( -. ( ( odZ ` P ) ` 2 ) || ( 2 ^ N ) <-> -. ( 2 ^ n ) || ( 2 ^ N ) ) )
51 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) /\ n e. NN0 ) /\ n <_ ( N + 1 ) ) /\ ( ( odZ ` P ) ` 2 ) = ( 2 ^ n ) ) -> ( ( odZ ` P ) ` 2 ) = ( 2 ^ n ) )
5251adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) /\ n e. NN0 ) /\ n <_ ( N + 1 ) ) /\ ( ( odZ ` P ) ` 2 ) = ( 2 ^ n ) ) /\ -. ( 2 ^ n ) || ( 2 ^ N ) ) -> ( ( odZ ` P ) ` 2 ) = ( 2 ^ n ) )
53 nn0re 11301 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. NN0 -> n e. RR )
546nnred 11035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( N e. NN -> ( N + 1 ) e. RR )
5554adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( N + 1 ) e. RR )
56 leloe 10124 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( n e. RR /\ ( N + 1 ) e. RR ) -> ( n <_ ( N + 1 ) <-> ( n < ( N + 1 ) \/ n = ( N + 1 ) ) ) )
5753, 55, 56syl2anr 495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( n <_ ( N + 1 ) <-> ( n < ( N + 1 ) \/ n = ( N + 1 ) ) ) )
58 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) /\ n e. NN0 ) -> n e. NN0 )
59 nn0z 11400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( n e. NN0 -> n e. ZZ )
6059adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) /\ n e. NN0 ) -> n e. ZZ )
6160adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) /\ n e. NN0 ) /\ n < ( N + 1 ) ) -> n e. ZZ )
62 nnz 11399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
6362adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> N e. ZZ )
6463adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) /\ n e. NN0 ) -> N e. ZZ )
6564adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) /\ n e. NN0 ) /\ n < ( N + 1 ) ) -> N e. ZZ )
66 zleltp1 11428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( n e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( n <_ N <-> n < ( N + 1 ) ) )
6759, 63, 66syl2anr 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( n <_ N <-> n < ( N + 1 ) ) )
6867biimpar 502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) /\ n e. NN0 ) /\ n < ( N + 1 ) ) -> n <_ N )
69 eluz2 11693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( N e. ( ZZ>= ` n ) <-> ( n e. ZZ /\ N e. ZZ /\ n <_ N ) )
7061, 65, 68, 69syl3anbrc 1246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) /\ n e. NN0 ) /\ n < ( N + 1 ) ) -> N e. ( ZZ>= ` n ) )
71 dvdsexp 15049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( 2 e. ZZ /\ n e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` n ) ) -> ( 2 ^ n ) || ( 2 ^ N ) )
7216, 58, 70, 71mp3an2ani 1431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) /\ n e. NN0 ) /\ n < ( N + 1 ) ) -> ( 2 ^ n ) || ( 2 ^ N ) )
7372pm2.24d 147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) /\ n e. NN0 ) /\ n < ( N + 1 ) ) -> ( -. ( 2 ^ n ) || ( 2 ^ N ) -> ( 2 ^ n ) = ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) )
7473expcom 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n < ( N + 1 ) -> ( ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( -. ( 2 ^ n ) || ( 2 ^ N ) -> ( 2 ^ n ) = ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) ) )
75 oveq2 6658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( n = ( N + 1 ) -> ( 2 ^ n ) = ( 2 ^ ( N + 1 ) ) )
76752a1d 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = ( N + 1 ) -> ( ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( -. ( 2 ^ n ) || ( 2 ^ N ) -> ( 2 ^ n ) = ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) ) )
7774, 76jaoi 394 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( n < ( N + 1 ) \/ n = ( N + 1 ) ) -> ( ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( -. ( 2 ^ n ) || ( 2 ^ N ) -> ( 2 ^ n ) = ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) ) )
7877com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( n < ( N + 1 ) \/ n = ( N + 1 ) ) -> ( -. ( 2 ^ n ) || ( 2 ^ N ) -> ( 2 ^ n ) = ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) ) )
7957, 78sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( n <_ ( N + 1 ) -> ( -. ( 2 ^ n ) || ( 2 ^ N ) -> ( 2 ^ n ) = ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) ) )
8079imp 445 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) /\ n e. NN0 ) /\ n <_ ( N + 1 ) ) -> ( -. ( 2 ^ n ) || ( 2 ^ N ) -> ( 2 ^ n ) = ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) )
8180adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) /\ n e. NN0 ) /\ n <_ ( N + 1 ) ) /\ ( ( odZ ` P ) ` 2 ) = ( 2 ^ n ) ) -> ( -. ( 2 ^ n ) || ( 2 ^ N ) -> ( 2 ^ n ) = ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) )
8281imp 445 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) /\ n e. NN0 ) /\ n <_ ( N + 1 ) ) /\ ( ( odZ ` P ) ` 2 ) = ( 2 ^ n ) ) /\ -. ( 2 ^ n ) || ( 2 ^ N ) ) -> ( 2 ^ n ) = ( 2 ^ ( N + 1 ) ) )
8352, 82eqtrd 2656 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) /\ n e. NN0 ) /\ n <_ ( N + 1 ) ) /\ ( ( odZ ` P ) ` 2 ) = ( 2 ^ n ) ) /\ -. ( 2 ^ n ) || ( 2 ^ N ) ) -> ( ( odZ ` P ) ` 2 ) = ( 2 ^ ( N + 1 ) ) )
8483ex 450 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) /\ n e. NN0 ) /\ n <_ ( N + 1 ) ) /\ ( ( odZ ` P ) ` 2 ) = ( 2 ^ n ) ) -> ( -. ( 2 ^ n ) || ( 2 ^ N ) -> ( ( odZ ` P ) ` 2 ) = ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) )
8550, 84sylbid 230 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) /\ n e. NN0 ) /\ n <_ ( N + 1 ) ) /\ ( ( odZ ` P ) ` 2 ) = ( 2 ^ n ) ) -> ( -. ( ( odZ ` P ) ` 2 ) || ( 2 ^ N ) -> ( ( odZ ` P ) ` 2 ) = ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) )
8685expl 648 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( n <_ ( N + 1 ) /\ ( ( odZ ` P ) ` 2 ) = ( 2 ^ n ) ) -> ( -. ( ( odZ ` P ) ` 2 ) || ( 2 ^ N ) -> ( ( odZ ` P ) ` 2 ) = ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) ) )
8786rexlimdva 3031 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( E. n e. NN0 ( n <_ ( N + 1 ) /\ ( ( odZ ` P ) ` 2 ) = ( 2 ^ n ) ) -> ( -. ( ( odZ ` P ) ` 2 ) || ( 2 ^ N ) -> ( ( odZ ` P ) ` 2 ) = ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) ) )
8847, 87syld 47 . . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( ( ( odZ ` P ) ` 2 ) || ( 2 ^ ( N + 1 ) ) -> ( -. ( ( odZ ` P ) ` 2 ) || ( 2 ^ N ) -> ( ( odZ ` P ) ` 2 ) = ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) ) )
8988com23 86 . . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( -. ( ( odZ ` P ) ` 2 ) || ( 2 ^ N ) -> ( ( ( odZ ` P ) ` 2 ) || ( 2 ^ ( N + 1 ) ) -> ( ( odZ ` P ) ` 2 ) = ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) ) )
9042, 89sylbid 230 . . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) mod P ) =/= 1 -> ( ( ( odZ ` P ) ` 2 ) || ( 2 ^ ( N + 1 ) ) -> ( ( odZ ` P ) ` 2 ) = ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) ) )
9190com23 86 . . . 4 |- ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( ( ( odZ ` P ) ` 2 ) || ( 2 ^ ( N + 1 ) ) -> ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) mod P ) =/= 1 -> ( ( odZ ` P ) ` 2 ) = ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) ) )
9231, 91sylbid 230 . . 3 |- ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) mod P ) = 1 -> ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) mod P ) =/= 1 -> ( ( odZ ` P ) ` 2 ) = ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) ) )
9392com23 86 . 2 |- ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) mod P ) =/= 1 -> ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) mod P ) = 1 -> ( ( odZ ` P ) ` 2 ) = ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) ) )
9493imp32 449 1 |- ( ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) /\ ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) mod P ) =/= 1 /\ ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) mod P ) = 1 ) ) -> ( ( odZ ` P ) ` 2 ) = ( 2 ^ ( N + 1 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   \ cdif 3571   {csn 4177   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   mod cmo 12668   ^cexp 12860   || cdvds 14983   gcd cgcd 15216   Primecprime 15385   odZcodz 15468
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-odz 15470  df-phi 15471  df-pc 15542
This theorem is referenced by:  fmtnoprmfac1lem  41476
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