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Theorem fmtnoprmfac1lem 41476
Description: Lemma for fmtnoprmfac1 41477: The order of 2 modulo a prime that divides the n-th Fermat number is 2^(n+1). (Contributed by AV, 25-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtnoprmfac1lem |- ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ P || (FermatNo ` N ) ) -> ( ( odZ ` P ) ` 2 ) = ( 2 ^ ( N + 1 ) ) )
Proof of Theorem fmtnoprmfac1lem
StepHypRef Expression
1 nnnn0 11299 . . . . . . 7 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
2 fmtno 41441 . . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> (FermatNo ` N ) = ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + 1 ) )
31, 2syl 17 . . . . . 6 |- ( N e. NN -> (FermatNo ` N ) = ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + 1 ) )
43breq2d 4665 . . . . 5 |- ( N e. NN -> ( P || (FermatNo ` N ) <-> P || ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + 1 ) ) )
54adantr 481 . . . 4 |- ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( P || (FermatNo ` N ) <-> P || ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + 1 ) ) )
6 eldifi 3732 . . . . . 6 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. Prime )
7 prmnn 15388 . . . . . 6 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
86, 7syl 17 . . . . 5 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. NN )
9 2nn 11185 . . . . . . . . 9 |- 2 e. NN
109a1i 11 . . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> 2 e. NN )
11 2nn0 11309 . . . . . . . . . 10 |- 2 e. NN0
1211a1i 11 . . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> 2 e. NN0 )
1312, 1nn0expcld 13031 . . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( 2 ^ N ) e. NN0 )
1410, 13nnexpcld 13030 . . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) e. NN )
1514peano2nnd 11037 . . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + 1 ) e. NN )
1615nnzd 11481 . . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + 1 ) e. ZZ )
17 dvdsval3 14987 . . . . 5 |- ( ( P e. NN /\ ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + 1 ) e. ZZ ) -> ( P || ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + 1 ) <-> ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + 1 ) mod P ) = 0 ) )
188, 16, 17syl2anr 495 . . . 4 |- ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( P || ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + 1 ) <-> ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + 1 ) mod P ) = 0 ) )
195, 18bitrd 268 . . 3 |- ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( P || (FermatNo ` N ) <-> ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + 1 ) mod P ) = 0 ) )
2019biimp3a 1432 . 2 |- ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ P || (FermatNo ` N ) ) -> ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + 1 ) mod P ) = 0 )
2114nnzd 11481 . . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) e. ZZ )
2221adantr 481 . . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) e. ZZ )
23 1zzd 11408 . . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> 1 e. ZZ )
248adantl 482 . . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> P e. NN )
25 summodnegmod 15012 . . . . . 6 |- ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + 1 ) mod P ) = 0 <-> ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) mod P ) = ( -u 1 mod P ) ) )
2622, 23, 24, 25syl3anc 1326 . . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + 1 ) mod P ) = 0 <-> ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) mod P ) = ( -u 1 mod P ) ) )
27 neg1z 11413 . . . . . . . . . 10 |- -u 1 e. ZZ
2822, 27jctir 561 . . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) e. ZZ /\ -u 1 e. ZZ ) )
2928adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) /\ ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) mod P ) = ( -u 1 mod P ) ) -> ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) e. ZZ /\ -u 1 e. ZZ ) )
307nnrpd 11870 . . . . . . . . . . 11 |- ( P e. Prime -> P e. RR+ )
316, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. RR+ )
3212, 31anim12i 590 . . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( 2 e. NN0 /\ P e. RR+ ) )
3332adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) /\ ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) mod P ) = ( -u 1 mod P ) ) -> ( 2 e. NN0 /\ P e. RR+ ) )
34 simpr 477 . . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) /\ ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) mod P ) = ( -u 1 mod P ) ) -> ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) mod P ) = ( -u 1 mod P ) )
35 modexp 12999 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) e. ZZ /\ -u 1 e. ZZ ) /\ ( 2 e. NN0 /\ P e. RR+ ) /\ ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) mod P ) = ( -u 1 mod P ) ) -> ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) ^ 2 ) mod P ) = ( ( -u 1 ^ 2 ) mod P ) )
3629, 33, 34, 35syl3anc 1326 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) /\ ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) mod P ) = ( -u 1 mod P ) ) -> ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) ^ 2 ) mod P ) = ( ( -u 1 ^ 2 ) mod P ) )
3736ex 450 . . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) mod P ) = ( -u 1 mod P ) -> ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) ^ 2 ) mod P ) = ( ( -u 1 ^ 2 ) mod P ) ) )
38 2cnd 11093 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN -> 2 e. CC )
3938, 13, 123jca 1242 . . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> ( 2 e. CC /\ ( 2 ^ N ) e. NN0 /\ 2 e. NN0 ) )
4039adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( 2 e. CC /\ ( 2 ^ N ) e. NN0 /\ 2 e. NN0 ) )
41 expmul 12905 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. CC /\ ( 2 ^ N ) e. NN0 /\ 2 e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( ( 2 ^ N ) x. 2 ) ) = ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) ^ 2 ) )
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( 2 ^ ( ( 2 ^ N ) x. 2 ) ) = ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) ^ 2 ) )
43 2cnd 11093 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> 2 e. CC )
441adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> N e. NN0 )
4543, 44expp1d 13009 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( 2 ^ ( N + 1 ) ) = ( ( 2 ^ N ) x. 2 ) )
4645eqcomd 2628 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( ( 2 ^ N ) x. 2 ) = ( 2 ^ ( N + 1 ) ) )
4746oveq2d 6666 . . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( 2 ^ ( ( 2 ^ N ) x. 2 ) ) = ( 2 ^ ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) )
4842, 47eqtr3d 2658 . . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) ^ 2 ) = ( 2 ^ ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) )
4948oveq1d 6665 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) ^ 2 ) mod P ) = ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) mod P ) )
50 neg1sqe1 12959 . . . . . . . . . . 11 |- ( -u 1 ^ 2 ) = 1
5150a1i 11 . . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( -u 1 ^ 2 ) = 1 )
5251oveq1d 6665 . . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( ( -u 1 ^ 2 ) mod P ) = ( 1 mod P ) )
538nnred 11035 . . . . . . . . . . 11 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. RR )
54 prmgt1 15409 . . . . . . . . . . . 12 |- ( P e. Prime -> 1 < P )
556, 54syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> 1 < P )
56 1mod 12702 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( P e. RR /\ 1 < P ) -> ( 1 mod P ) = 1 )
5753, 55, 56syl2anc 693 . . . . . . . . . 10 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( 1 mod P ) = 1 )
5857adantl 482 . . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( 1 mod P ) = 1 )
5952, 58eqtrd 2656 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( ( -u 1 ^ 2 ) mod P ) = 1 )
6049, 59eqeq12d 2637 . . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) ^ 2 ) mod P ) = ( ( -u 1 ^ 2 ) mod P ) <-> ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) mod P ) = 1 ) )
61 simpll 790 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) /\ ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) mod P ) = 1 ) /\ ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + 1 ) mod P ) = 0 ) -> ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) )
6221adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. NN /\ P e. Prime ) -> ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) e. ZZ )
63 1zzd 11408 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. NN /\ P e. Prime ) -> 1 e. ZZ )
647adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. NN /\ P e. Prime ) -> P e. NN )
6562, 63, 643jca 1242 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN /\ P e. Prime ) -> ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ /\ P e. NN ) )
666, 65sylan2 491 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ /\ P e. NN ) )
6766adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) /\ ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) mod P ) = 1 ) -> ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ /\ P e. NN ) )
6867, 25syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) /\ ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) mod P ) = 1 ) -> ( ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + 1 ) mod P ) = 0 <-> ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) mod P ) = ( -u 1 mod P ) ) )
69 m1modnnsub1 12716 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( P e. NN -> ( -u 1 mod P ) = ( P - 1 ) )
7024, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( -u 1 mod P ) = ( P - 1 ) )
71 eldifsni 4320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P =/= 2 )
7271adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> P =/= 2 )
7372necomd 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> 2 =/= P )
748nncnd 11036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> P e. CC )
7574adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> P e. CC )
76 1cnd 10056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> 1 e. CC )
7775, 76, 76subadd2d 10411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( ( P - 1 ) = 1 <-> ( 1 + 1 ) = P ) )
78 1p1e2 11134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 1 + 1 ) = 2
7978eqeq1i 2627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 1 + 1 ) = P <-> 2 = P )
8077, 79syl6bb 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( ( P - 1 ) = 1 <-> 2 = P ) )
8180necon3bid 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( ( P - 1 ) =/= 1 <-> 2 =/= P ) )
8273, 81mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( P - 1 ) =/= 1 )
8370, 82eqnetrd 2861 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( -u 1 mod P ) =/= 1 )
8483adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) /\ ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) mod P ) = 1 ) -> ( -u 1 mod P ) =/= 1 )
8584adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) /\ ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) mod P ) = 1 ) /\ ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) mod P ) = ( -u 1 mod P ) ) -> ( -u 1 mod P ) =/= 1 )
86 eqeq1 2626 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) mod P ) = ( -u 1 mod P ) -> ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) mod P ) = 1 <-> ( -u 1 mod P ) = 1 ) )
8786adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) /\ ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) mod P ) = 1 ) /\ ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) mod P ) = ( -u 1 mod P ) ) -> ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) mod P ) = 1 <-> ( -u 1 mod P ) = 1 ) )
8887necon3bid 2838 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) /\ ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) mod P ) = 1 ) /\ ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) mod P ) = ( -u 1 mod P ) ) -> ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) mod P ) =/= 1 <-> ( -u 1 mod P ) =/= 1 ) )
8985, 88mpbird 247 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) /\ ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) mod P ) = 1 ) /\ ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) mod P ) = ( -u 1 mod P ) ) -> ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) mod P ) =/= 1 )
9089ex 450 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) /\ ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) mod P ) = 1 ) -> ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) mod P ) = ( -u 1 mod P ) -> ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) mod P ) =/= 1 ) )
9168, 90sylbid 230 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) /\ ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) mod P ) = 1 ) -> ( ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + 1 ) mod P ) = 0 -> ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) mod P ) =/= 1 ) )
9291imp 445 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) /\ ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) mod P ) = 1 ) /\ ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + 1 ) mod P ) = 0 ) -> ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) mod P ) =/= 1 )
93 simplr 792 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) /\ ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) mod P ) = 1 ) /\ ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + 1 ) mod P ) = 0 ) -> ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) mod P ) = 1 )
94 odz2prm2pw 41475 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) /\ ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) mod P ) =/= 1 /\ ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) mod P ) = 1 ) ) -> ( ( odZ ` P ) ` 2 ) = ( 2 ^ ( N + 1 ) ) )
9561, 92, 93, 94syl12anc 1324 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) /\ ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) mod P ) = 1 ) /\ ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + 1 ) mod P ) = 0 ) -> ( ( odZ ` P ) ` 2 ) = ( 2 ^ ( N + 1 ) ) )
9695ex 450 . . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) /\ ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) mod P ) = 1 ) -> ( ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + 1 ) mod P ) = 0 -> ( ( odZ ` P ) ` 2 ) = ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) )
9796ex 450 . . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) mod P ) = 1 -> ( ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + 1 ) mod P ) = 0 -> ( ( odZ ` P ) ` 2 ) = ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) ) )
9860, 97sylbid 230 . . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) ^ 2 ) mod P ) = ( ( -u 1 ^ 2 ) mod P ) -> ( ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + 1 ) mod P ) = 0 -> ( ( odZ ` P ) ` 2 ) = ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) ) )
9937, 98syld 47 . . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) mod P ) = ( -u 1 mod P ) -> ( ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + 1 ) mod P ) = 0 -> ( ( odZ ` P ) ` 2 ) = ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) ) )
10026, 99sylbid 230 . . . 4 |- ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + 1 ) mod P ) = 0 -> ( ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + 1 ) mod P ) = 0 -> ( ( odZ ` P ) ` 2 ) = ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) ) )
10119, 100sylbid 230 . . 3 |- ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( P || (FermatNo ` N ) -> ( ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + 1 ) mod P ) = 0 -> ( ( odZ ` P ) ` 2 ) = ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) ) )
1021013impia 1261 . 2 |- ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ P || (FermatNo ` N ) ) -> ( ( ( ( 2 ^ ( 2 ^ N ) ) + 1 ) mod P ) = 0 -> ( ( odZ ` P ) ` 2 ) = ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) )
10320, 102mpd 15 1 |- ( ( N e. NN /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) /\ P || (FermatNo ` N ) ) -> ( ( odZ ` P ) ` 2 ) = ( 2 ^ ( N + 1 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   \ cdif 3571   {csn 4177   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   - cmin 10266   -ucneg 10267   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   RR+crp 11832   mod cmo 12668   ^cexp 12860   || cdvds 14983   Primecprime 15385   odZcodz 15468  FermatNocfmtno 41439
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-odz 15470  df-phi 15471  df-pc 15542  df-fmtno 41440
This theorem is referenced by:  fmtnoprmfac1  41477  fmtnoprmfac2  41479
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