Theorem orvclteel 30534

Description: Preimage maps produced by the "lower than or equal" relation are measurable sets. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Feb-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
dstfrv.1	|- ( ph -> P e. Prob )
dstfrv.2	|- ( ph -> X e. (rRndVar ` P ) )
orvclteel.1	|- ( ph -> A e. RR )

Assertion

Ref	Expression
orvclteel	|- ( ph -> ( X∘RV/𝑐 <_ A ) e. dom P )

Proof of Theorem orvclteel

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dstfrv.1	. 2 |- ( ph -> P e. Prob )
2		dstfrv.2	. 2 |- ( ph -> X e. (rRndVar ` P ) )
3		orvclteel.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
4		rexr 10085	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR -> x e. RR* )
5	4	ad2antrl 764	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ x <_ A ) ) -> x e. RR* )
6		mnflt 11957	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR -> -oo < x )
7	6	ad2antrl 764	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ x <_ A ) ) -> -oo < x )
8		simprr 796	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ x <_ A ) ) -> x <_ A )
9	7, 8	jca 554	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ x <_ A ) ) -> ( -oo < x /\ x <_ A ) )
10	5, 9	jca 554	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ x <_ A ) ) -> ( x e. RR* /\ ( -oo < x /\ x <_ A ) ) )
11		simprl 794	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ ( -oo < x /\ x <_ A ) ) ) -> x e. RR* )
12	3	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ ( -oo < x /\ x <_ A ) ) ) -> A e. RR )
13		simprrl 804	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ ( -oo < x /\ x <_ A ) ) ) -> -oo < x )
14		simprrr 805	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ ( -oo < x /\ x <_ A ) ) ) -> x <_ A )
15		xrre 12000	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. RR* /\ A e. RR ) /\ ( -oo < x /\ x <_ A ) ) -> x e. RR )
16	11, 12, 13, 14, 15	syl22anc 1327	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ ( -oo < x /\ x <_ A ) ) ) -> x e. RR )
17	16, 14	jca 554	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. RR* /\ ( -oo < x /\ x <_ A ) ) ) -> ( x e. RR /\ x <_ A ) )
18	10, 17	impbida 877	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( x e. RR /\ x <_ A ) <-> ( x e. RR* /\ ( -oo < x /\ x <_ A ) ) ) )
19	18	rabbidva2 3186	. . . 4 |- ( ph -> { x e. RR | x <_ A } = { x e. RR* | ( -oo < x /\ x <_ A ) } )
20		mnfxr 10096	. . . . 5 |- -oo e. RR*
21	3	rexrd 10089	. . . . 5 |- ( ph -> A e. RR* )
22		iocval 12212	. . . . 5 |- ( ( -oo e. RR* /\ A e. RR* ) -> ( -oo (,] A ) = { x e. RR* | ( -oo < x /\ x <_ A ) } )
23	20, 21, 22	sylancr 695	. . . 4 |- ( ph -> ( -oo (,] A ) = { x e. RR* | ( -oo < x /\ x <_ A ) } )
24	19, 23	eqtr4d 2659	. . 3 |- ( ph -> { x e. RR | x <_ A } = ( -oo (,] A ) )
25		iocmnfcld 22572	. . . 4 |- ( A e. RR -> ( -oo (,] A ) e. ( Clsd ` ( topGen ` ran (,) ) ) )
26	3, 25	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( -oo (,] A ) e. ( Clsd ` ( topGen ` ran (,) ) ) )
27	24, 26	eqeltrd 2701	. 2 |- ( ph -> { x e. RR | x <_ A } e. ( Clsd ` ( topGen ` ran (,) ) ) )
28	1, 2, 3, 27	orrvccel 30528	1 |- ( ph -> ( X∘RV/𝑐 <_ A ) e. dom P )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   ran crn 5115   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   -oocmnf 10072   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   (,)cioo 12175   (,]cioc 12176   topGenctg 16098   Clsdccld 20820  Probcprb 30469  rRndVarcrrv 30502  ∘_RV/𝑐corvc 30517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-ac2 9285  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-topgen 16104  df-top 20699  df-bases 20750  df-cld 20823  df-esum 30090  df-siga 30171  df-sigagen 30202  df-brsiga 30245  df-meas 30259  df-mbfm 30313  df-prob 30470  df-rrv 30503  df-orvc 30518

This theorem is referenced by:  dstfrvunirn  30536  dstfrvinc  30538  dstfrvclim1  30539