Theorem ovnovollem3 40872

Description: The 1-dimensional Lebesgue outer measure agrees with the Lebesgue outer measure on subsets of Real numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovnovollem3.a	|- ( ph -> A e. V )
ovnovollem3.b	|- ( ph -> B C_ RR )
ovnovollem3.m	|- M = { z e. RR* | E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m { A } ) ^m NN ) ( ( B ^m { A } ) C_ U_ j e. NN X_ k e. { A } ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) }
ovnovollem3.n	|- N = { z e. RR* | E. f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) ( B C_ U. ran ( [,) o. f ) /\ z = (Σ^ ` ( ( vol o. [,) ) o. f ) ) ) }

Assertion

Ref	Expression
ovnovollem3	|- ( ph -> ( (voln* ` { A } ) ` ( B ^m { A } ) ) = ( vol* ` B ) )

Distinct variable groups:   A, f, i, j, k, z   B, f, i, j, k, z   z, N   k, V   ph, f, i, j, k, z

Allowed substitution hints:   M( z, f, i, j, k)   N( f, i, j, k)   V( z, f, i, j)

Proof of Theorem ovnovollem3

Dummy variables n l m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovnovollem3.a	. . . . 5 |- ( ph -> A e. V )
2		snnzg 4308	. . . . 5 |- ( A e. V -> { A } =/= (/) )
3	1, 2	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> { A } =/= (/) )
4	3	neneqd 2799	. . 3 |- ( ph -> -. { A } = (/) )
5	4	iffalsed 4097	. 2 |- ( ph -> if ( { A } = (/) , 0 , inf ( M , RR* , < ) ) = inf ( M , RR* , < ) )
6		snfi 8038	. . . 4 |- { A } e. Fin
7	6	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> { A } e. Fin )
8		reex 10027	. . . . 5 |- RR e. _V
9	8	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> RR e. _V )
10		ovnovollem3.b	. . . 4 |- ( ph -> B C_ RR )
11		mapss 7900	. . . 4 |- ( ( RR e. _V /\ B C_ RR ) -> ( B ^m { A } ) C_ ( RR ^m { A } ) )
12	9, 10, 11	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ( B ^m { A } ) C_ ( RR ^m { A } ) )
13		ovnovollem3.m	. . 3 |- M = { z e. RR* | E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m { A } ) ^m NN ) ( ( B ^m { A } ) C_ U_ j e. NN X_ k e. { A } ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) }
14	7, 12, 13	ovnval2 40759	. 2 |- ( ph -> ( (voln* ` { A } ) ` ( B ^m { A } ) ) = if ( { A } = (/) , 0 , inf ( M , RR* , < ) ) )
15		ovnovollem3.n	. . . 4 |- N = { z e. RR* | E. f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) ( B C_ U. ran ( [,) o. f ) /\ z = (Σ^ ` ( ( vol o. [,) ) o. f ) ) ) }
16	10, 15	ovolval5 40869	. . 3 |- ( ph -> ( vol* ` B ) = inf ( N , RR* , < ) )
17	1	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) ) /\ ( B C_ U. ran ( [,) o. f ) /\ z = (Σ^ ` ( ( vol o. [,) ) o. f ) ) ) ) -> A e. V )
18		simplr 792	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) ) /\ ( B C_ U. ran ( [,) o. f ) /\ z = (Σ^ ` ( ( vol o. [,) ) o. f ) ) ) ) -> f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) )
19		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = j -> ( f ` n ) = ( f ` j ) )
20	19	opeq2d 4409	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = j -> <. A , ( f ` n ) >. = <. A , ( f ` j ) >. )
21	20	sneqd 4189	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = j -> { <. A , ( f ` n ) >. } = { <. A , ( f ` j ) >. } )
22	21	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN |-> { <. A , ( f ` n ) >. } ) = ( j e. NN |-> { <. A , ( f ` j ) >. } )
23		simprl 794	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) ) /\ ( B C_ U. ran ( [,) o. f ) /\ z = (Σ^ ` ( ( vol o. [,) ) o. f ) ) ) ) -> B C_ U. ran ( [,) o. f ) )
24	9, 10	ssexd 4805	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B e. _V )
25	24	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) ) -> B e. _V )
26	25	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) ) /\ ( B C_ U. ran ( [,) o. f ) /\ z = (Σ^ ` ( ( vol o. [,) ) o. f ) ) ) ) -> B e. _V )
27		simprr 796	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) ) /\ ( B C_ U. ran ( [,) o. f ) /\ z = (Σ^ ` ( ( vol o. [,) ) o. f ) ) ) ) -> z = (Σ^ ` ( ( vol o. [,) ) o. f ) ) )
28	17, 18, 22, 23, 26, 27	ovnovollem1 40870	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) ) /\ ( B C_ U. ran ( [,) o. f ) /\ z = (Σ^ ` ( ( vol o. [,) ) o. f ) ) ) ) -> E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m { A } ) ^m NN ) ( ( B ^m { A } ) C_ U_ j e. NN X_ k e. { A } ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) )
29	28	3impa 1259	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) /\ ( B C_ U. ran ( [,) o. f ) /\ z = (Σ^ ` ( ( vol o. [,) ) o. f ) ) ) ) -> E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m { A } ) ^m NN ) ( ( B ^m { A } ) C_ U_ j e. NN X_ k e. { A } ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) )
30	29	3exp 1264	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) -> ( ( B C_ U. ran ( [,) o. f ) /\ z = (Σ^ ` ( ( vol o. [,) ) o. f ) ) ) -> E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m { A } ) ^m NN ) ( ( B ^m { A } ) C_ U_ j e. NN X_ k e. { A } ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) ) ) )
31	30	rexlimdv 3030	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) ( B C_ U. ran ( [,) o. f ) /\ z = (Σ^ ` ( ( vol o. [,) ) o. f ) ) ) -> E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m { A } ) ^m NN ) ( ( B ^m { A } ) C_ U_ j e. NN X_ k e. { A } ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) ) )
32	1	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m { A } ) ^m NN ) /\ ( ( B ^m { A } ) C_ U_ j e. NN X_ k e. { A } ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) ) -> A e. V )
33	24	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m { A } ) ^m NN ) /\ ( ( B ^m { A } ) C_ U_ j e. NN X_ k e. { A } ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) ) -> B e. _V )
34		simp2 1062	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m { A } ) ^m NN ) /\ ( ( B ^m { A } ) C_ U_ j e. NN X_ k e. { A } ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) ) -> i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m { A } ) ^m NN ) )
35		simp3l 1089	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m { A } ) ^m NN ) /\ ( ( B ^m { A } ) C_ U_ j e. NN X_ k e. { A } ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) ) -> ( B ^m { A } ) C_ U_ j e. NN X_ k e. { A } ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) )
36		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j = n -> ( i ` j ) = ( i ` n ) )
37	36	coeq2d 5284	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j = n -> ( [,) o. ( i ` j ) ) = ( [,) o. ( i ` n ) ) )
38	37	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = n -> ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) = ( ( [,) o. ( i ` n ) ) ` k ) )
39	38	ixpeq2dv 7924	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = n -> X_ k e. { A } ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) = X_ k e. { A } ( ( [,) o. ( i ` n ) ) ` k ) )
40		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = l -> ( ( [,) o. ( i ` n ) ) ` k ) = ( ( [,) o. ( i ` n ) ) ` l ) )
41	40	cbvixpv 7926	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- X_ k e. { A } ( ( [,) o. ( i ` n ) ) ` k ) = X_ l e. { A } ( ( [,) o. ( i ` n ) ) ` l )
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = n -> X_ k e. { A } ( ( [,) o. ( i ` n ) ) ` k ) = X_ l e. { A } ( ( [,) o. ( i ` n ) ) ` l ) )
43	39, 42	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = n -> X_ k e. { A } ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) = X_ l e. { A } ( ( [,) o. ( i ` n ) ) ` l ) )
44	43	cbviunv 4559	. . . . . . . . . . . . 13 |- U_ j e. NN X_ k e. { A } ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) = U_ n e. NN X_ l e. { A } ( ( [,) o. ( i ` n ) ) ` l )
45	44	sseq2i 3630	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B ^m { A } ) C_ U_ j e. NN X_ k e. { A } ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) <-> ( B ^m { A } ) C_ U_ n e. NN X_ l e. { A } ( ( [,) o. ( i ` n ) ) ` l ) )
46	45	biimpi 206	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B ^m { A } ) C_ U_ j e. NN X_ k e. { A } ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) -> ( B ^m { A } ) C_ U_ n e. NN X_ l e. { A } ( ( [,) o. ( i ` n ) ) ` l ) )
47	35, 46	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m { A } ) ^m NN ) /\ ( ( B ^m { A } ) C_ U_ j e. NN X_ k e. { A } ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) ) -> ( B ^m { A } ) C_ U_ n e. NN X_ l e. { A } ( ( [,) o. ( i ` n ) ) ` l ) )
48		simp3r 1090	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m { A } ) ^m NN ) /\ ( ( B ^m { A } ) C_ U_ j e. NN X_ k e. { A } ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) ) -> z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) )
49	38	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j = n -> ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) = ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` n ) ) ` k ) ) )
50	49	prodeq2ad 39824	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = n -> prod_ k e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) = prod_ k e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` n ) ) ` k ) ) )
51	40	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = l -> ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` n ) ) ` k ) ) = ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` n ) ) ` l ) ) )
52	51	cbvprodv 14646	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- prod_ k e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` n ) ) ` k ) ) = prod_ l e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` n ) ) ` l ) )
53	52	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = n -> prod_ k e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` n ) ) ` k ) ) = prod_ l e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` n ) ) ` l ) ) )
54	50, 53	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = n -> prod_ k e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) = prod_ l e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` n ) ) ` l ) ) )
55	54	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN |-> prod_ k e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) = ( n e. NN |-> prod_ l e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` n ) ) ` l ) ) )
56	55	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . . . 13 |- (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) = (Σ^ ` ( n e. NN |-> prod_ l e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` n ) ) ` l ) ) ) )
57	56	eqeq2i 2634	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) <-> z = (Σ^ ` ( n e. NN |-> prod_ l e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` n ) ) ` l ) ) ) ) )
58	57	biimpi 206	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) -> z = (Σ^ ` ( n e. NN |-> prod_ l e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` n ) ) ` l ) ) ) ) )
59	48, 58	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m { A } ) ^m NN ) /\ ( ( B ^m { A } ) C_ U_ j e. NN X_ k e. { A } ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) ) -> z = (Σ^ ` ( n e. NN |-> prod_ l e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` n ) ) ` l ) ) ) ) )
60		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = n -> ( i ` m ) = ( i ` n ) )
61	60	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = n -> ( ( i ` m ) ` A ) = ( ( i ` n ) ` A ) )
62	61	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. NN |-> ( ( i ` m ) ` A ) ) = ( n e. NN |-> ( ( i ` n ) ` A ) )
63	32, 33, 34, 47, 59, 62	ovnovollem2 40871	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m { A } ) ^m NN ) /\ ( ( B ^m { A } ) C_ U_ j e. NN X_ k e. { A } ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) ) -> E. f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) ( B C_ U. ran ( [,) o. f ) /\ z = (Σ^ ` ( ( vol o. [,) ) o. f ) ) ) )
64	63	3exp 1264	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m { A } ) ^m NN ) -> ( ( ( B ^m { A } ) C_ U_ j e. NN X_ k e. { A } ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) -> E. f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) ( B C_ U. ran ( [,) o. f ) /\ z = (Σ^ ` ( ( vol o. [,) ) o. f ) ) ) ) ) )
65	64	rexlimdv 3030	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m { A } ) ^m NN ) ( ( B ^m { A } ) C_ U_ j e. NN X_ k e. { A } ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) -> E. f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) ( B C_ U. ran ( [,) o. f ) /\ z = (Σ^ ` ( ( vol o. [,) ) o. f ) ) ) ) )
66	31, 65	impbid 202	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E. f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) ( B C_ U. ran ( [,) o. f ) /\ z = (Σ^ ` ( ( vol o. [,) ) o. f ) ) ) <-> E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m { A } ) ^m NN ) ( ( B ^m { A } ) C_ U_ j e. NN X_ k e. { A } ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) ) )
67	66	rabbidv 3189	. . . . 5 |- ( ph -> { z e. RR* | E. f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) ( B C_ U. ran ( [,) o. f ) /\ z = (Σ^ ` ( ( vol o. [,) ) o. f ) ) ) } = { z e. RR* | E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m { A } ) ^m NN ) ( ( B ^m { A } ) C_ U_ j e. NN X_ k e. { A } ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) } )
68	15	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> N = { z e. RR* | E. f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) ( B C_ U. ran ( [,) o. f ) /\ z = (Σ^ ` ( ( vol o. [,) ) o. f ) ) ) } )
69	13	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> M = { z e. RR* | E. i e. ( ( ( RR X. RR ) ^m { A } ) ^m NN ) ( ( B ^m { A } ) C_ U_ j e. NN X_ k e. { A } ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) /\ z = (Σ^ ` ( j e. NN |-> prod_ k e. { A } ( vol ` ( ( [,) o. ( i ` j ) ) ` k ) ) ) ) ) } )
70	67, 68, 69	3eqtr4d 2666	. . . 4 |- ( ph -> N = M )
71	70	infeq1d 8383	. . 3 |- ( ph -> inf ( N , RR* , < ) = inf ( M , RR* , < ) )
72	16, 71	eqtrd 2656	. 2 |- ( ph -> ( vol* ` B ) = inf ( M , RR* , < ) )
73	5, 14, 72	3eqtr4d 2666	1 |- ( ph -> ( (voln* ` { A } ) ` ( B ^m { A } ) ) = ( vol* ` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   {csn 4177   <.cop 4183   U.cuni 4436   U_ciun 4520   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   ran crn 5115   o. ccom 5118   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   X_cixp 7908   Fincfn 7955  infcinf 8347   RRcr 9935   0cc0 9936   RR*cxr 10073   < clt 10074   NNcn 11020   [,)cico 12177   prod_cprod 14635   vol*covol 23231   volcvol 23232  Σ^{^}csumge0 40579  voln^*covoln 40750

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-prod 14636  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cmp 21190  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-sumge0 40580  df-ovoln 40751

This theorem is referenced by:  ovnovol  40873