ovolval3 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem ovolval3 40861

Description: The value of the Lebesgue outer measure for subsets of the reals, expressed using Σ^{^} and

. See ovolval 23242 and ovolval2 40858 for alternative expressions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
ovolval3.a
ovolval3.m	$/\$ Σ^{^}

**Assertion**
Ref	Expression
ovolval3	inf

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

Proof of Theorem ovolval3 Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovolval3.a	. . 3
2		eqid 2622	. . 3 $/\$ Σ^{^} $/\$ Σ^{^}
3	1, 2	ovolval2 40858	. 2 inf $/\$ Σ^{^}
4		ovolval3.m	. . . . 5 $/\$ Σ^{^}
5		reex 10027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6	5, 5	xpex 6962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7		inss2 3834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
8		mapss 7900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
9	6, 7, 8	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
10	9	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
11		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
13	12	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
14		1st2nd2 7205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
16	15	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
17		df-ov 6653	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
18	17	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
20	16, 19	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
21	20	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
22		xp1st 7198	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
23	13, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
24		xp2nd 7199	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
25	13, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
26		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
27	26	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
28		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
29		ovolfcl 23235	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
30	27, 28, 29	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
31	30	simp3d 1075	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
32		volioo 23337	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
33	23, 25, 31, 32	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
34	21, 33	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
35		ioof 12271	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
36		ffun 6048	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
37	35, 36	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
39		rexpssxrxp 10084	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
40	39, 13	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
41	35	fdmi 6052	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
42	41	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
44	40, 43	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
45		fvco 6274	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
46	38, 44, 45	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
47	15	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
48		df-ov 6653	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
49	48	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . . . . 16
50	49	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
51	23	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
52	25	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
53		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
54	53	cnmetdval 22574	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
55	51, 52, 54	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
56		abssub 14066	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
57	51, 52, 56	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
58	23, 25, 31	abssubge0d 14170	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
59	55, 57, 58	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
60	47, 50, 59	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
61	34, 46, 60	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
62	61	mpteq2dva 4744	. . . . . . . . . . . 12
63		volioof 40204	. . . . . . . . . . . . . 14
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13
65	39	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14
66	12, 65	fssd 6057	. . . . . . . . . . . . 13
67		fcompt 6400	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
68	64, 66, 67	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12
69		absf 14077	. . . . . . . . . . . . . . 15
70		subf 10283	. . . . . . . . . . . . . . 15
71		fco 6058	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
72	69, 70, 71	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . 14
73	72	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13
74		rr2sscn2 39582	. . . . . . . . . . . . . . 15
75	74	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14
76	12, 75	fssd 6057	. . . . . . . . . . . . 13
77		fcompt 6400	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
78	73, 76, 77	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12
79	62, 68, 78	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . 11
80	79	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 Σ^{^} Σ^{^}
81	80	eqeq2d 2632	. . . . . . . . 9 Σ^{^} Σ^{^}
82	81	anbi2d 740	. . . . . . . 8 $/\$ Σ^{^} $/\$ Σ^{^}
83	82	rexbiia 3040	. . . . . . 7 $/\$ Σ^{^} $/\$ Σ^{^}
84	83	a1i 11	. . . . . 6 $/\$ Σ^{^} $/\$ Σ^{^}
85	84	rabbiia 3185	. . . . 5 $/\$ Σ^{^} $/\$ Σ^{^}
86	4, 85	eqtr2i 2645	. . . 4 $/\$ Σ^{^}
87	86	infeq1i 8384	. . 3 inf $/\$ Σ^{^} inf
88	87	a1i 11	. 2 inf $/\$ Σ^{^} inf
89	3, 88	eqtrd 2656	1 inf

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wrex 2913

crab 2916

cvv 3200

cin 3573

wss 3574

cpw 4158

cop 4183

cuni 4436 class class class wbr 4653

cmpt 4729

cxp 5112

cdm 5114

crn 5115

ccom 5118

wfun 5882

wf 5884

cfv 5888 (class class class)co 6650

c1st 7166

c2nd 7167

cmap 7857 infcinf 8347

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

cpnf 10071

cxr 10073

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cn 11020

cioo 12175

cicc 12178

cabs 13974

covol 23231

cvol 23232 Σ^{^}csumge0 40579

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-fi 8317 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-xneg 11946 df-xadd 11947 df-xmul 11948 df-ioo 12179 df-ico 12181 df-icc 12182 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-seq 12802 df-exp 12861 df-hash 13118 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-clim 14219 df-rlim 14220 df-sum 14417 df-rest 16083 df-topgen 16104 df-psmet 19738 df-xmet 19739 df-met 19740 df-bl 19741 df-mopn 19742 df-top 20699 df-topon 20716 df-bases 20750 df-cmp 21190 df-ovol 23233 df-vol 23234 df-sumge0 40580

This theorem is referenced by: ovolval4lem2 40864

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