Theorem ovolval4lem2 40864

Description: The value of the Lebesgue outer measure for subsets of the reals. Similar to ovolval3 40861, but here f is may represent unordered interval bounds. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovolval4lem2.a	|- ( ph -> A C_ RR )
ovolval4lem2.m	|- M = { y e. RR* | E. f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) ( A C_ U. ran ( (,) o. f ) /\ y = (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. f ) ) ) }
ovolval4lem2.g	|- G = ( n e. NN |-> <. ( 1st ` ( f ` n ) ) , if ( ( 1st ` ( f ` n ) ) <_ ( 2nd ` ( f ` n ) ) , ( 2nd ` ( f ` n ) ) , ( 1st ` ( f ` n ) ) ) >. )

Assertion

Ref	Expression
ovolval4lem2	|- ( ph -> ( vol* ` A ) = inf ( M , RR* , < ) )

Distinct variable groups:   A, f, y   n, G   f, n   ph, y

Allowed substitution hints:   ph( f, n)   A( n)   G( y, f)   M( y, f, n)

Proof of Theorem ovolval4lem2

Dummy variables k g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovolval4lem2.a	. 2 |- ( ph -> A C_ RR )
2		ovolval4lem2.m	. . 3 |- M = { y e. RR* | E. f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) ( A C_ U. ran ( (,) o. f ) /\ y = (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. f ) ) ) }
3		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1st ` ( f ` n ) ) <_ ( 2nd ` ( f ` n ) ) -> if ( ( 1st ` ( f ` n ) ) <_ ( 2nd ` ( f ` n ) ) , ( 2nd ` ( f ` n ) ) , ( 1st ` ( f ` n ) ) ) = ( 2nd ` ( f ` n ) ) )
4	3	opeq2d 4409	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1st ` ( f ` n ) ) <_ ( 2nd ` ( f ` n ) ) -> <. ( 1st ` ( f ` n ) ) , if ( ( 1st ` ( f ` n ) ) <_ ( 2nd ` ( f ` n ) ) , ( 2nd ` ( f ` n ) ) , ( 1st ` ( f ` n ) ) ) >. = <. ( 1st ` ( f ` n ) ) , ( 2nd ` ( f ` n ) ) >. )
5	4	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) /\ n e. NN ) /\ ( 1st ` ( f ` n ) ) <_ ( 2nd ` ( f ` n ) ) ) -> <. ( 1st ` ( f ` n ) ) , if ( ( 1st ` ( f ` n ) ) <_ ( 2nd ` ( f ` n ) ) , ( 2nd ` ( f ` n ) ) , ( 1st ` ( f ` n ) ) ) >. = <. ( 1st ` ( f ` n ) ) , ( 2nd ` ( f ` n ) ) >. )
6		df-br 4654	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1st ` ( f ` n ) ) <_ ( 2nd ` ( f ` n ) ) <-> <. ( 1st ` ( f ` n ) ) , ( 2nd ` ( f ` n ) ) >. e. <_ )
7	6	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1st ` ( f ` n ) ) <_ ( 2nd ` ( f ` n ) ) -> <. ( 1st ` ( f ` n ) ) , ( 2nd ` ( f ` n ) ) >. e. <_ )
8	7	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) /\ n e. NN ) /\ ( 1st ` ( f ` n ) ) <_ ( 2nd ` ( f ` n ) ) ) -> <. ( 1st ` ( f ` n ) ) , ( 2nd ` ( f ` n ) ) >. e. <_ )
9	5, 8	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) /\ n e. NN ) /\ ( 1st ` ( f ` n ) ) <_ ( 2nd ` ( f ` n ) ) ) -> <. ( 1st ` ( f ` n ) ) , if ( ( 1st ` ( f ` n ) ) <_ ( 2nd ` ( f ` n ) ) , ( 2nd ` ( f ` n ) ) , ( 1st ` ( f ` n ) ) ) >. e. <_ )
10		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. ( 1st ` ( f ` n ) ) <_ ( 2nd ` ( f ` n ) ) -> if ( ( 1st ` ( f ` n ) ) <_ ( 2nd ` ( f ` n ) ) , ( 2nd ` ( f ` n ) ) , ( 1st ` ( f ` n ) ) ) = ( 1st ` ( f ` n ) ) )
11	10	opeq2d 4409	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. ( 1st ` ( f ` n ) ) <_ ( 2nd ` ( f ` n ) ) -> <. ( 1st ` ( f ` n ) ) , if ( ( 1st ` ( f ` n ) ) <_ ( 2nd ` ( f ` n ) ) , ( 2nd ` ( f ` n ) ) , ( 1st ` ( f ` n ) ) ) >. = <. ( 1st ` ( f ` n ) ) , ( 1st ` ( f ` n ) ) >. )
12	11	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) /\ n e. NN ) /\ -. ( 1st ` ( f ` n ) ) <_ ( 2nd ` ( f ` n ) ) ) -> <. ( 1st ` ( f ` n ) ) , if ( ( 1st ` ( f ` n ) ) <_ ( 2nd ` ( f ` n ) ) , ( 2nd ` ( f ` n ) ) , ( 1st ` ( f ` n ) ) ) >. = <. ( 1st ` ( f ` n ) ) , ( 1st ` ( f ` n ) ) >. )
13		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) -> f : NN --> ( RR X. RR ) )
14	13	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) /\ n e. NN ) -> ( f ` n ) e. ( RR X. RR ) )
15		xp1st 7198	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( f ` n ) e. ( RR X. RR ) -> ( 1st ` ( f ` n ) ) e. RR )
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) /\ n e. NN ) -> ( 1st ` ( f ` n ) ) e. RR )
17	16	leidd 10594	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) /\ n e. NN ) -> ( 1st ` ( f ` n ) ) <_ ( 1st ` ( f ` n ) ) )
18		df-br 4654	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1st ` ( f ` n ) ) <_ ( 1st ` ( f ` n ) ) <-> <. ( 1st ` ( f ` n ) ) , ( 1st ` ( f ` n ) ) >. e. <_ )
19	17, 18	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) /\ n e. NN ) -> <. ( 1st ` ( f ` n ) ) , ( 1st ` ( f ` n ) ) >. e. <_ )
20	19	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) /\ n e. NN ) /\ -. ( 1st ` ( f ` n ) ) <_ ( 2nd ` ( f ` n ) ) ) -> <. ( 1st ` ( f ` n ) ) , ( 1st ` ( f ` n ) ) >. e. <_ )
21	12, 20	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) /\ n e. NN ) /\ -. ( 1st ` ( f ` n ) ) <_ ( 2nd ` ( f ` n ) ) ) -> <. ( 1st ` ( f ` n ) ) , if ( ( 1st ` ( f ` n ) ) <_ ( 2nd ` ( f ` n ) ) , ( 2nd ` ( f ` n ) ) , ( 1st ` ( f ` n ) ) ) >. e. <_ )
22	9, 21	pm2.61dan 832	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) /\ n e. NN ) -> <. ( 1st ` ( f ` n ) ) , if ( ( 1st ` ( f ` n ) ) <_ ( 2nd ` ( f ` n ) ) , ( 2nd ` ( f ` n ) ) , ( 1st ` ( f ` n ) ) ) >. e. <_ )
23		xp2nd 7199	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f ` n ) e. ( RR X. RR ) -> ( 2nd ` ( f ` n ) ) e. RR )
24	14, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) /\ n e. NN ) -> ( 2nd ` ( f ` n ) ) e. RR )
25	24, 16	ifcld 4131	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) /\ n e. NN ) -> if ( ( 1st ` ( f ` n ) ) <_ ( 2nd ` ( f ` n ) ) , ( 2nd ` ( f ` n ) ) , ( 1st ` ( f ` n ) ) ) e. RR )
26		opelxpi 5148	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 1st ` ( f ` n ) ) e. RR /\ if ( ( 1st ` ( f ` n ) ) <_ ( 2nd ` ( f ` n ) ) , ( 2nd ` ( f ` n ) ) , ( 1st ` ( f ` n ) ) ) e. RR ) -> <. ( 1st ` ( f ` n ) ) , if ( ( 1st ` ( f ` n ) ) <_ ( 2nd ` ( f ` n ) ) , ( 2nd ` ( f ` n ) ) , ( 1st ` ( f ` n ) ) ) >. e. ( RR X. RR ) )
27	16, 25, 26	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) /\ n e. NN ) -> <. ( 1st ` ( f ` n ) ) , if ( ( 1st ` ( f ` n ) ) <_ ( 2nd ` ( f ` n ) ) , ( 2nd ` ( f ` n ) ) , ( 1st ` ( f ` n ) ) ) >. e. ( RR X. RR ) )
28	22, 27	elind 3798	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) /\ n e. NN ) -> <. ( 1st ` ( f ` n ) ) , if ( ( 1st ` ( f ` n ) ) <_ ( 2nd ` ( f ` n ) ) , ( 2nd ` ( f ` n ) ) , ( 1st ` ( f ` n ) ) ) >. e. ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
29		ovolval4lem2.g	. . . . . . . . . . 11 |- G = ( n e. NN |-> <. ( 1st ` ( f ` n ) ) , if ( ( 1st ` ( f ` n ) ) <_ ( 2nd ` ( f ` n ) ) , ( 2nd ` ( f ` n ) ) , ( 1st ` ( f ` n ) ) ) >. )
30	28, 29	fmptd 6385	. . . . . . . . . 10 |- ( f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) -> G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) )
31		reex 10027	. . . . . . . . . . . . . 14 |- RR e. _V
32	31, 31	xpex 6962	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( RR X. RR ) e. _V
33	32	inex2 4800	. . . . . . . . . . . 12 |- ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) e. _V
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) -> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) e. _V )
35		nnex 11026	. . . . . . . . . . . 12 |- NN e. _V
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) -> NN e. _V )
37	34, 36	elmapd 7871	. . . . . . . . . 10 |- ( f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) -> ( G e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) <-> G : NN --> ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ) )
38	30, 37	mpbird 247	. . . . . . . . 9 |- ( f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) -> G e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) )
39	38	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) /\ ( A C_ U. ran ( (,) o. f ) /\ y = (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. f ) ) ) ) -> G e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) )
40		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) /\ A C_ U. ran ( (,) o. f ) ) -> A C_ U. ran ( (,) o. f ) )
41		rexpssxrxp 10084	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( RR X. RR ) C_ ( RR* X. RR* )
42	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) -> ( RR X. RR ) C_ ( RR* X. RR* ) )
43	13, 42	fssd 6057	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) -> f : NN --> ( RR* X. RR* ) )
44		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = n -> ( f ` k ) = ( f ` n ) )
45	44	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = n -> ( 1st ` ( f ` k ) ) = ( 1st ` ( f ` n ) ) )
46	44	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = n -> ( 2nd ` ( f ` k ) ) = ( 2nd ` ( f ` n ) ) )
47	45, 46	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = n -> ( ( 1st ` ( f ` k ) ) <_ ( 2nd ` ( f ` k ) ) <-> ( 1st ` ( f ` n ) ) <_ ( 2nd ` ( f ` n ) ) ) )
48	47	cbvrabv 3199	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { k e. NN | ( 1st ` ( f ` k ) ) <_ ( 2nd ` ( f ` k ) ) } = { n e. NN | ( 1st ` ( f ` n ) ) <_ ( 2nd ` ( f ` n ) ) }
49	43, 29, 48	ovolval4lem1 40863	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) -> ( U. ran ( (,) o. f ) = U. ran ( (,) o. G ) /\ ( vol o. ( (,) o. f ) ) = ( vol o. ( (,) o. G ) ) ) )
50	49	simpld 475	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) -> U. ran ( (,) o. f ) = U. ran ( (,) o. G ) )
51	50	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) /\ A C_ U. ran ( (,) o. f ) ) -> U. ran ( (,) o. f ) = U. ran ( (,) o. G ) )
52	40, 51	sseqtrd 3641	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) /\ A C_ U. ran ( (,) o. f ) ) -> A C_ U. ran ( (,) o. G ) )
53	52	adantrr 753	. . . . . . . . 9 |- ( ( f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) /\ ( A C_ U. ran ( (,) o. f ) /\ y = (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. f ) ) ) ) -> A C_ U. ran ( (,) o. G ) )
54		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) /\ y = (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. f ) ) ) -> y = (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. f ) ) )
55	49	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) -> ( vol o. ( (,) o. f ) ) = ( vol o. ( (,) o. G ) ) )
56		coass 5654	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( vol o. (,) ) o. f ) = ( vol o. ( (,) o. f ) )
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) -> ( ( vol o. (,) ) o. f ) = ( vol o. ( (,) o. f ) ) )
58		coass 5654	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( vol o. (,) ) o. G ) = ( vol o. ( (,) o. G ) )
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) -> ( ( vol o. (,) ) o. G ) = ( vol o. ( (,) o. G ) ) )
60	55, 57, 59	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) -> ( ( vol o. (,) ) o. f ) = ( ( vol o. (,) ) o. G ) )
61	60	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) -> (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. f ) ) = (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. G ) ) )
62	61	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) /\ y = (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. f ) ) ) -> (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. f ) ) = (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. G ) ) )
63	54, 62	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) /\ y = (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. f ) ) ) -> y = (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. G ) ) )
64	63	adantrl 752	. . . . . . . . 9 |- ( ( f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) /\ ( A C_ U. ran ( (,) o. f ) /\ y = (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. f ) ) ) ) -> y = (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. G ) ) )
65	53, 64	jca 554	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) /\ ( A C_ U. ran ( (,) o. f ) /\ y = (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. f ) ) ) ) -> ( A C_ U. ran ( (,) o. G ) /\ y = (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. G ) ) ) )
66		coeq2 5280	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g = G -> ( (,) o. g ) = ( (,) o. G ) )
67	66	rneqd 5353	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g = G -> ran ( (,) o. g ) = ran ( (,) o. G ) )
68	67	unieqd 4446	. . . . . . . . . . 11 |- ( g = G -> U. ran ( (,) o. g ) = U. ran ( (,) o. G ) )
69	68	sseq2d 3633	. . . . . . . . . 10 |- ( g = G -> ( A C_ U. ran ( (,) o. g ) <-> A C_ U. ran ( (,) o. G ) ) )
70		coeq2 5280	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g = G -> ( ( vol o. (,) ) o. g ) = ( ( vol o. (,) ) o. G ) )
71	70	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( g = G -> (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. g ) ) = (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. G ) ) )
72	71	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . 10 |- ( g = G -> ( y = (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. g ) ) <-> y = (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. G ) ) ) )
73	69, 72	anbi12d 747	. . . . . . . . 9 |- ( g = G -> ( ( A C_ U. ran ( (,) o. g ) /\ y = (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. g ) ) ) <-> ( A C_ U. ran ( (,) o. G ) /\ y = (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. G ) ) ) ) )
74	73	rspcev 3309	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) /\ ( A C_ U. ran ( (,) o. G ) /\ y = (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. G ) ) ) ) -> E. g e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) ( A C_ U. ran ( (,) o. g ) /\ y = (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. g ) ) ) )
75	39, 65, 74	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) /\ ( A C_ U. ran ( (,) o. f ) /\ y = (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. f ) ) ) ) -> E. g e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) ( A C_ U. ran ( (,) o. g ) /\ y = (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. g ) ) ) )
76	75	rexlimiva 3028	. . . . . 6 |- ( E. f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) ( A C_ U. ran ( (,) o. f ) /\ y = (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. f ) ) ) -> E. g e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) ( A C_ U. ran ( (,) o. g ) /\ y = (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. g ) ) ) )
77		inss2 3834	. . . . . . . . . . 11 |- ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) C_ ( RR X. RR )
78		mapss 7900	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( RR X. RR ) e. _V /\ ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) C_ ( RR X. RR ) ) -> ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) C_ ( ( RR X. RR ) ^m NN ) )
79	32, 77, 78	mp2an 708	. . . . . . . . . 10 |- ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) C_ ( ( RR X. RR ) ^m NN )
80	79	sseli 3599	. . . . . . . . 9 |- ( g e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) -> g e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) )
81	80	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( g e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) /\ ( A C_ U. ran ( (,) o. g ) /\ y = (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. g ) ) ) ) -> g e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) )
82		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( g e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) /\ ( A C_ U. ran ( (,) o. g ) /\ y = (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. g ) ) ) ) -> ( A C_ U. ran ( (,) o. g ) /\ y = (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. g ) ) ) )
83		coeq2 5280	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = g -> ( (,) o. f ) = ( (,) o. g ) )
84	83	rneqd 5353	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = g -> ran ( (,) o. f ) = ran ( (,) o. g ) )
85	84	unieqd 4446	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = g -> U. ran ( (,) o. f ) = U. ran ( (,) o. g ) )
86	85	sseq2d 3633	. . . . . . . . . 10 |- ( f = g -> ( A C_ U. ran ( (,) o. f ) <-> A C_ U. ran ( (,) o. g ) ) )
87		coeq2 5280	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = g -> ( ( vol o. (,) ) o. f ) = ( ( vol o. (,) ) o. g ) )
88	87	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = g -> (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. f ) ) = (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. g ) ) )
89	88	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . 10 |- ( f = g -> ( y = (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. f ) ) <-> y = (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. g ) ) ) )
90	86, 89	anbi12d 747	. . . . . . . . 9 |- ( f = g -> ( ( A C_ U. ran ( (,) o. f ) /\ y = (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. f ) ) ) <-> ( A C_ U. ran ( (,) o. g ) /\ y = (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. g ) ) ) ) )
91	90	rspcev 3309	. . . . . . . 8 |- ( ( g e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) /\ ( A C_ U. ran ( (,) o. g ) /\ y = (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. g ) ) ) ) -> E. f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) ( A C_ U. ran ( (,) o. f ) /\ y = (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. f ) ) ) )
92	81, 82, 91	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( g e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) /\ ( A C_ U. ran ( (,) o. g ) /\ y = (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. g ) ) ) ) -> E. f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) ( A C_ U. ran ( (,) o. f ) /\ y = (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. f ) ) ) )
93	92	rexlimiva 3028	. . . . . 6 |- ( E. g e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) ( A C_ U. ran ( (,) o. g ) /\ y = (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. g ) ) ) -> E. f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) ( A C_ U. ran ( (,) o. f ) /\ y = (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. f ) ) ) )
94	76, 93	impbii 199	. . . . 5 |- ( E. f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) ( A C_ U. ran ( (,) o. f ) /\ y = (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. f ) ) ) <-> E. g e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) ( A C_ U. ran ( (,) o. g ) /\ y = (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. g ) ) ) )
95	94	a1i 11	. . . 4 |- ( y e. RR* -> ( E. f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) ( A C_ U. ran ( (,) o. f ) /\ y = (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. f ) ) ) <-> E. g e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) ( A C_ U. ran ( (,) o. g ) /\ y = (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. g ) ) ) ) )
96	95	rabbiia 3185	. . 3 |- { y e. RR* | E. f e. ( ( RR X. RR ) ^m NN ) ( A C_ U. ran ( (,) o. f ) /\ y = (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. f ) ) ) } = { y e. RR* | E. g e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) ( A C_ U. ran ( (,) o. g ) /\ y = (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. g ) ) ) }
97	2, 96	eqtri 2644	. 2 |- M = { y e. RR* | E. g e. ( ( <_ i^i ( RR X. RR ) ) ^m NN ) ( A C_ U. ran ( (,) o. g ) /\ y = (Σ^ ` ( ( vol o. (,) ) o. g ) ) ) }
98	1, 97	ovolval3 40861	1 |- ( ph -> ( vol* ` A ) = inf ( M , RR* , < ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ifcif 4086   <.cop 4183   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   ran crn 5115   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1stc1st 7166   2ndc2nd 7167   ^m cmap 7857  infcinf 8347   RRcr 9935   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   NNcn 11020   (,)cioo 12175   vol*covol 23231   volcvol 23232  Σ^{^}csumge0 40579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cmp 21190  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-sumge0 40580

This theorem is referenced by:  ovolval4  40865