Theorem basellem2 24808

Description: Lemma for basel 24816. Show that P is a polynomial of degree M, and compute its coefficient function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
basel.n	|- N = ( ( 2 x. M ) + 1 )
basel.p	|- P = ( t e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( N _C ( 2 x. j ) ) x. ( -u 1 ^ ( M - j ) ) ) x. ( t ^ j ) ) )

Assertion

Ref	Expression
basellem2	|- ( M e. NN -> ( P e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` P ) = M /\ (coeff ` P ) = ( n e. NN0 |-> ( ( N _C ( 2 x. n ) ) x. ( -u 1 ^ ( M - n ) ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   t, j, n, M   j, N, n, t   P, n

Allowed substitution hints:   P( t, j)

Proof of Theorem basellem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basel.p	. . 3 |- P = ( t e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( N _C ( 2 x. j ) ) x. ( -u 1 ^ ( M - j ) ) ) x. ( t ^ j ) ) )
2		ssid 3624	. . . . 5 |- CC C_ CC
3	2	a1i 11	. . . 4 |- ( M e. NN -> CC C_ CC )
4		nnnn0 11299	. . . 4 |- ( M e. NN -> M e. NN0 )
5		elfznn0 12433	. . . . . . 7 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> j e. NN0 )
6		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 |- ( n = j -> ( 2 x. n ) = ( 2 x. j ) )
7	6	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( n = j -> ( N _C ( 2 x. n ) ) = ( N _C ( 2 x. j ) ) )
8		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 |- ( n = j -> ( M - n ) = ( M - j ) )
9	8	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( n = j -> ( -u 1 ^ ( M - n ) ) = ( -u 1 ^ ( M - j ) ) )
10	7, 9	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( n = j -> ( ( N _C ( 2 x. n ) ) x. ( -u 1 ^ ( M - n ) ) ) = ( ( N _C ( 2 x. j ) ) x. ( -u 1 ^ ( M - j ) ) ) )
11		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN0 |-> ( ( N _C ( 2 x. n ) ) x. ( -u 1 ^ ( M - n ) ) ) ) = ( n e. NN0 |-> ( ( N _C ( 2 x. n ) ) x. ( -u 1 ^ ( M - n ) ) ) )
12		ovex 6678	. . . . . . . 8 |- ( ( N _C ( 2 x. j ) ) x. ( -u 1 ^ ( M - j ) ) ) e. _V
13	10, 11, 12	fvmpt 6282	. . . . . . 7 |- ( j e. NN0 -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( N _C ( 2 x. n ) ) x. ( -u 1 ^ ( M - n ) ) ) ) ` j ) = ( ( N _C ( 2 x. j ) ) x. ( -u 1 ^ ( M - j ) ) ) )
14	5, 13	syl 17	. . . . . 6 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( N _C ( 2 x. n ) ) x. ( -u 1 ^ ( M - n ) ) ) ) ` j ) = ( ( N _C ( 2 x. j ) ) x. ( -u 1 ^ ( M - j ) ) ) )
15	14	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( N _C ( 2 x. n ) ) x. ( -u 1 ^ ( M - n ) ) ) ) ` j ) = ( ( N _C ( 2 x. j ) ) x. ( -u 1 ^ ( M - j ) ) ) )
16		basel.n	. . . . . . . . . . . 12 |- N = ( ( 2 x. M ) + 1 )
17		2nn 11185	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. NN
18		nnmulcl 11043	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 e. NN /\ M e. NN ) -> ( 2 x. M ) e. NN )
19	17, 18	mpan 706	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. NN -> ( 2 x. M ) e. NN )
20	19	peano2nnd 11037	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. NN -> ( ( 2 x. M ) + 1 ) e. NN )
21	16, 20	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. NN -> N e. NN )
22	21	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN -> N e. NN0 )
23		2z 11409	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. ZZ
24		nn0z 11400	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN0 -> n e. ZZ )
25		zmulcl 11426	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( 2 x. n ) e. ZZ )
26	23, 24, 25	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN0 -> ( 2 x. n ) e. ZZ )
27		bccl 13109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ ( 2 x. n ) e. ZZ ) -> ( N _C ( 2 x. n ) ) e. NN0 )
28	22, 26, 27	syl2an 494	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ n e. NN0 ) -> ( N _C ( 2 x. n ) ) e. NN0 )
29	28	nn0cnd 11353	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ n e. NN0 ) -> ( N _C ( 2 x. n ) ) e. CC )
30		nnz 11399	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN -> M e. ZZ )
31		zsubcl 11419	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( M - n ) e. ZZ )
32	30, 24, 31	syl2an 494	. . . . . . . . 9 |- ( ( M e. NN /\ n e. NN0 ) -> ( M - n ) e. ZZ )
33		neg1cn 11124	. . . . . . . . . 10 |- -u 1 e. CC
34		neg1ne0 11126	. . . . . . . . . 10 |- -u 1 =/= 0
35		expclz 12885	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u 1 e. CC /\ -u 1 =/= 0 /\ ( M - n ) e. ZZ ) -> ( -u 1 ^ ( M - n ) ) e. CC )
36	33, 34, 35	mp3an12 1414	. . . . . . . . 9 |- ( ( M - n ) e. ZZ -> ( -u 1 ^ ( M - n ) ) e. CC )
37	32, 36	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. NN /\ n e. NN0 ) -> ( -u 1 ^ ( M - n ) ) e. CC )
38	29, 37	mulcld 10060	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ n e. NN0 ) -> ( ( N _C ( 2 x. n ) ) x. ( -u 1 ^ ( M - n ) ) ) e. CC )
39	38, 11	fmptd 6385	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> ( n e. NN0 |-> ( ( N _C ( 2 x. n ) ) x. ( -u 1 ^ ( M - n ) ) ) ) : NN0 --> CC )
40		ffvelrn 6357	. . . . . 6 |- ( ( ( n e. NN0 |-> ( ( N _C ( 2 x. n ) ) x. ( -u 1 ^ ( M - n ) ) ) ) : NN0 --> CC /\ j e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( N _C ( 2 x. n ) ) x. ( -u 1 ^ ( M - n ) ) ) ) ` j ) e. CC )
41	39, 5, 40	syl2an 494	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( N _C ( 2 x. n ) ) x. ( -u 1 ^ ( M - n ) ) ) ) ` j ) e. CC )
42	15, 41	eqeltrrd 2702	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( N _C ( 2 x. j ) ) x. ( -u 1 ^ ( M - j ) ) ) e. CC )
43	3, 4, 42	elplyd 23958	. . 3 |- ( M e. NN -> ( t e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( N _C ( 2 x. j ) ) x. ( -u 1 ^ ( M - j ) ) ) x. ( t ^ j ) ) ) e. (Poly ` CC ) )
44	1, 43	syl5eqel 2705	. 2 |- ( M e. NN -> P e. (Poly ` CC ) )
45		nnre 11027	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> M e. RR )
46		nn0re 11301	. . . . . . . 8 |- ( j e. NN0 -> j e. RR )
47		ltnle 10117	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. RR /\ j e. RR ) -> ( M < j <-> -. j <_ M ) )
48	45, 46, 47	syl2an 494	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ j e. NN0 ) -> ( M < j <-> -. j <_ M ) )
49	13	ad2antlr 763	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. NN /\ j e. NN0 ) /\ M < j ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( N _C ( 2 x. n ) ) x. ( -u 1 ^ ( M - n ) ) ) ) ` j ) = ( ( N _C ( 2 x. j ) ) x. ( -u 1 ^ ( M - j ) ) ) )
50	22	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. NN /\ j e. NN0 ) /\ M < j ) -> N e. NN0 )
51		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN0 -> j e. ZZ )
52	51	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M e. NN /\ j e. NN0 ) /\ M < j ) -> j e. ZZ )
53		zmulcl 11426	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 e. ZZ /\ j e. ZZ ) -> ( 2 x. j ) e. ZZ )
54	23, 52, 53	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. NN /\ j e. NN0 ) /\ M < j ) -> ( 2 x. j ) e. ZZ )
55		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 e. CC
56	55	2timesi 11147	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 2 x. 1 ) = ( 1 + 1 )
57	56	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 2 x. M ) + ( 2 x. 1 ) ) = ( ( 2 x. M ) + ( 1 + 1 ) )
58		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( M e. NN /\ j e. NN0 ) /\ M < j ) -> 2 e. CC )
59		nncn 11028	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( M e. NN -> M e. CC )
60	59	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( M e. NN /\ j e. NN0 ) /\ M < j ) -> M e. CC )
61	55	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( M e. NN /\ j e. NN0 ) /\ M < j ) -> 1 e. CC )
62	58, 60, 61	adddid 10064	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( M e. NN /\ j e. NN0 ) /\ M < j ) -> ( 2 x. ( M + 1 ) ) = ( ( 2 x. M ) + ( 2 x. 1 ) ) )
63	16	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N + 1 ) = ( ( ( 2 x. M ) + 1 ) + 1 )
64	19	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( M e. NN /\ j e. NN0 ) /\ M < j ) -> ( 2 x. M ) e. NN )
65	64	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( M e. NN /\ j e. NN0 ) /\ M < j ) -> ( 2 x. M ) e. CC )
66	65, 61, 61	addassd 10062	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( M e. NN /\ j e. NN0 ) /\ M < j ) -> ( ( ( 2 x. M ) + 1 ) + 1 ) = ( ( 2 x. M ) + ( 1 + 1 ) ) )
67	63, 66	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( M e. NN /\ j e. NN0 ) /\ M < j ) -> ( N + 1 ) = ( ( 2 x. M ) + ( 1 + 1 ) ) )
68	57, 62, 67	3eqtr4a 2682	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. NN /\ j e. NN0 ) /\ M < j ) -> ( 2 x. ( M + 1 ) ) = ( N + 1 ) )
69		zltp1le 11427	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( M e. ZZ /\ j e. ZZ ) -> ( M < j <-> ( M + 1 ) <_ j ) )
70	30, 51, 69	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. NN /\ j e. NN0 ) -> ( M < j <-> ( M + 1 ) <_ j ) )
71	70	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( M e. NN /\ j e. NN0 ) /\ M < j ) -> ( M + 1 ) <_ j )
72	45	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( M e. NN /\ j e. NN0 ) /\ M < j ) -> M e. RR )
73		peano2re 10209	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( M e. RR -> ( M + 1 ) e. RR )
74	72, 73	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( M e. NN /\ j e. NN0 ) /\ M < j ) -> ( M + 1 ) e. RR )
75	46	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( M e. NN /\ j e. NN0 ) /\ M < j ) -> j e. RR )
76		2re 11090	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 2 e. RR
77		2pos 11112	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 0 < 2
78	76, 77	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
79	78	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( M e. NN /\ j e. NN0 ) /\ M < j ) -> ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) )
80		lemul2 10876	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( M + 1 ) e. RR /\ j e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( M + 1 ) <_ j <-> ( 2 x. ( M + 1 ) ) <_ ( 2 x. j ) ) )
81	74, 75, 79, 80	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( M e. NN /\ j e. NN0 ) /\ M < j ) -> ( ( M + 1 ) <_ j <-> ( 2 x. ( M + 1 ) ) <_ ( 2 x. j ) ) )
82	71, 81	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. NN /\ j e. NN0 ) /\ M < j ) -> ( 2 x. ( M + 1 ) ) <_ ( 2 x. j ) )
83	68, 82	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. NN /\ j e. NN0 ) /\ M < j ) -> ( N + 1 ) <_ ( 2 x. j ) )
84	21	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( M e. NN -> N e. ZZ )
85	84	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. NN /\ j e. NN0 ) /\ M < j ) -> N e. ZZ )
86		zltp1le 11427	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. ZZ /\ ( 2 x. j ) e. ZZ ) -> ( N < ( 2 x. j ) <-> ( N + 1 ) <_ ( 2 x. j ) ) )
87	85, 54, 86	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. NN /\ j e. NN0 ) /\ M < j ) -> ( N < ( 2 x. j ) <-> ( N + 1 ) <_ ( 2 x. j ) ) )
88	83, 87	mpbird 247	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M e. NN /\ j e. NN0 ) /\ M < j ) -> N < ( 2 x. j ) )
89	88	olcd 408	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. NN /\ j e. NN0 ) /\ M < j ) -> ( ( 2 x. j ) < 0 \/ N < ( 2 x. j ) ) )
90		bcval4 13094	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ ( 2 x. j ) e. ZZ /\ ( ( 2 x. j ) < 0 \/ N < ( 2 x. j ) ) ) -> ( N _C ( 2 x. j ) ) = 0 )
91	50, 54, 89, 90	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. NN /\ j e. NN0 ) /\ M < j ) -> ( N _C ( 2 x. j ) ) = 0 )
92	91	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. NN /\ j e. NN0 ) /\ M < j ) -> ( ( N _C ( 2 x. j ) ) x. ( -u 1 ^ ( M - j ) ) ) = ( 0 x. ( -u 1 ^ ( M - j ) ) ) )
93		zsubcl 11419	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. ZZ /\ j e. ZZ ) -> ( M - j ) e. ZZ )
94	30, 51, 93	syl2an 494	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. NN /\ j e. NN0 ) -> ( M - j ) e. ZZ )
95		expclz 12885	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -u 1 e. CC /\ -u 1 =/= 0 /\ ( M - j ) e. ZZ ) -> ( -u 1 ^ ( M - j ) ) e. CC )
96	33, 34, 95	mp3an12 1414	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M - j ) e. ZZ -> ( -u 1 ^ ( M - j ) ) e. CC )
97	94, 96	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN /\ j e. NN0 ) -> ( -u 1 ^ ( M - j ) ) e. CC )
98	97	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. NN /\ j e. NN0 ) /\ M < j ) -> ( -u 1 ^ ( M - j ) ) e. CC )
99	98	mul02d 10234	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( M e. NN /\ j e. NN0 ) /\ M < j ) -> ( 0 x. ( -u 1 ^ ( M - j ) ) ) = 0 )
100	49, 92, 99	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M e. NN /\ j e. NN0 ) /\ M < j ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( N _C ( 2 x. n ) ) x. ( -u 1 ^ ( M - n ) ) ) ) ` j ) = 0 )
101	100	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( M e. NN /\ j e. NN0 ) -> ( M < j -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( N _C ( 2 x. n ) ) x. ( -u 1 ^ ( M - n ) ) ) ) ` j ) = 0 ) )
102	48, 101	sylbird 250	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ j e. NN0 ) -> ( -. j <_ M -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( N _C ( 2 x. n ) ) x. ( -u 1 ^ ( M - n ) ) ) ) ` j ) = 0 ) )
103	102	necon1ad 2811	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( n e. NN0 |-> ( ( N _C ( 2 x. n ) ) x. ( -u 1 ^ ( M - n ) ) ) ) ` j ) =/= 0 -> j <_ M ) )
104	103	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( M e. NN -> A. j e. NN0 ( ( ( n e. NN0 |-> ( ( N _C ( 2 x. n ) ) x. ( -u 1 ^ ( M - n ) ) ) ) ` j ) =/= 0 -> j <_ M ) )
105		plyco0 23948	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ ( n e. NN0 |-> ( ( N _C ( 2 x. n ) ) x. ( -u 1 ^ ( M - n ) ) ) ) : NN0 --> CC ) -> ( ( ( n e. NN0 |-> ( ( N _C ( 2 x. n ) ) x. ( -u 1 ^ ( M - n ) ) ) ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) = { 0 } <-> A. j e. NN0 ( ( ( n e. NN0 |-> ( ( N _C ( 2 x. n ) ) x. ( -u 1 ^ ( M - n ) ) ) ) ` j ) =/= 0 -> j <_ M ) ) )
106	4, 39, 105	syl2anc 693	. . . 4 |- ( M e. NN -> ( ( ( n e. NN0 |-> ( ( N _C ( 2 x. n ) ) x. ( -u 1 ^ ( M - n ) ) ) ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) = { 0 } <-> A. j e. NN0 ( ( ( n e. NN0 |-> ( ( N _C ( 2 x. n ) ) x. ( -u 1 ^ ( M - n ) ) ) ) ` j ) =/= 0 -> j <_ M ) ) )
107	104, 106	mpbird 247	. . 3 |- ( M e. NN -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( N _C ( 2 x. n ) ) x. ( -u 1 ^ ( M - n ) ) ) ) " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) = { 0 } )
108	14	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> ( ( ( n e. NN0 |-> ( ( N _C ( 2 x. n ) ) x. ( -u 1 ^ ( M - n ) ) ) ) ` j ) x. ( t ^ j ) ) = ( ( ( N _C ( 2 x. j ) ) x. ( -u 1 ^ ( M - j ) ) ) x. ( t ^ j ) ) )
109	108	sumeq2i 14429	. . . . . 6 |- sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( n e. NN0 |-> ( ( N _C ( 2 x. n ) ) x. ( -u 1 ^ ( M - n ) ) ) ) ` j ) x. ( t ^ j ) ) = sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( N _C ( 2 x. j ) ) x. ( -u 1 ^ ( M - j ) ) ) x. ( t ^ j ) )
110	109	mpteq2i 4741	. . . . 5 |- ( t e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( n e. NN0 |-> ( ( N _C ( 2 x. n ) ) x. ( -u 1 ^ ( M - n ) ) ) ) ` j ) x. ( t ^ j ) ) ) = ( t e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( N _C ( 2 x. j ) ) x. ( -u 1 ^ ( M - j ) ) ) x. ( t ^ j ) ) )
111	1, 110	eqtr4i 2647	. . . 4 |- P = ( t e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( n e. NN0 |-> ( ( N _C ( 2 x. n ) ) x. ( -u 1 ^ ( M - n ) ) ) ) ` j ) x. ( t ^ j ) ) )
112	111	a1i 11	. . 3 |- ( M e. NN -> P = ( t e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( n e. NN0 |-> ( ( N _C ( 2 x. n ) ) x. ( -u 1 ^ ( M - n ) ) ) ) ` j ) x. ( t ^ j ) ) ) )
113		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( n = M -> ( 2 x. n ) = ( 2 x. M ) )
114	113	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( n = M -> ( N _C ( 2 x. n ) ) = ( N _C ( 2 x. M ) ) )
115		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( n = M -> ( M - n ) = ( M - M ) )
116	115	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( n = M -> ( -u 1 ^ ( M - n ) ) = ( -u 1 ^ ( M - M ) ) )
117	114, 116	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( n = M -> ( ( N _C ( 2 x. n ) ) x. ( -u 1 ^ ( M - n ) ) ) = ( ( N _C ( 2 x. M ) ) x. ( -u 1 ^ ( M - M ) ) ) )
118		ovex 6678	. . . . . . 7 |- ( ( N _C ( 2 x. M ) ) x. ( -u 1 ^ ( M - M ) ) ) e. _V
119	117, 11, 118	fvmpt 6282	. . . . . 6 |- ( M e. NN0 -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( N _C ( 2 x. n ) ) x. ( -u 1 ^ ( M - n ) ) ) ) ` M ) = ( ( N _C ( 2 x. M ) ) x. ( -u 1 ^ ( M - M ) ) ) )
120	4, 119	syl 17	. . . . 5 |- ( M e. NN -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( N _C ( 2 x. n ) ) x. ( -u 1 ^ ( M - n ) ) ) ) ` M ) = ( ( N _C ( 2 x. M ) ) x. ( -u 1 ^ ( M - M ) ) ) )
121	59	subidd 10380	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> ( M - M ) = 0 )
122	121	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> ( -u 1 ^ ( M - M ) ) = ( -u 1 ^ 0 ) )
123		exp0 12864	. . . . . . . 8 |- ( -u 1 e. CC -> ( -u 1 ^ 0 ) = 1 )
124	33, 123	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( -u 1 ^ 0 ) = 1
125	122, 124	syl6eq 2672	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> ( -u 1 ^ ( M - M ) ) = 1 )
126	125	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( M e. NN -> ( ( N _C ( 2 x. M ) ) x. ( -u 1 ^ ( M - M ) ) ) = ( ( N _C ( 2 x. M ) ) x. 1 ) )
127	19	nnred 11035	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. NN -> ( 2 x. M ) e. RR )
128	127	lep1d 10955	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN -> ( 2 x. M ) <_ ( ( 2 x. M ) + 1 ) )
129	128, 16	syl6breqr 4695	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> ( 2 x. M ) <_ N )
130	19	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. NN -> ( 2 x. M ) e. NN0 )
131		nn0uz 11722	. . . . . . . . . . 11 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
132	130, 131	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. NN -> ( 2 x. M ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
133		elfz5 12334	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 2 x. M ) e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( 2 x. M ) e. ( 0 ... N ) <-> ( 2 x. M ) <_ N ) )
134	132, 84, 133	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> ( ( 2 x. M ) e. ( 0 ... N ) <-> ( 2 x. M ) <_ N ) )
135	129, 134	mpbird 247	. . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> ( 2 x. M ) e. ( 0 ... N ) )
136		bccl2 13110	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 x. M ) e. ( 0 ... N ) -> ( N _C ( 2 x. M ) ) e. NN )
137	135, 136	syl 17	. . . . . . 7 |- ( M e. NN -> ( N _C ( 2 x. M ) ) e. NN )
138	137	nncnd 11036	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> ( N _C ( 2 x. M ) ) e. CC )
139	138	mulid1d 10057	. . . . 5 |- ( M e. NN -> ( ( N _C ( 2 x. M ) ) x. 1 ) = ( N _C ( 2 x. M ) ) )
140	120, 126, 139	3eqtrd 2660	. . . 4 |- ( M e. NN -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( N _C ( 2 x. n ) ) x. ( -u 1 ^ ( M - n ) ) ) ) ` M ) = ( N _C ( 2 x. M ) ) )
141	137	nnne0d 11065	. . . 4 |- ( M e. NN -> ( N _C ( 2 x. M ) ) =/= 0 )
142	140, 141	eqnetrd 2861	. . 3 |- ( M e. NN -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( N _C ( 2 x. n ) ) x. ( -u 1 ^ ( M - n ) ) ) ) ` M ) =/= 0 )
143	44, 4, 39, 107, 112, 142	dgreq 24000	. 2 |- ( M e. NN -> (deg ` P ) = M )
144	44, 4, 39, 107, 112	coeeq 23983	. 2 |- ( M e. NN -> (coeff ` P ) = ( n e. NN0 |-> ( ( N _C ( 2 x. n ) ) x. ( -u 1 ^ ( M - n ) ) ) ) )
145	44, 143, 144	3jca 1242	1 |- ( M e. NN -> ( P e. (Poly ` CC ) /\ (deg ` P ) = M /\ (coeff ` P ) = ( n e. NN0 |-> ( ( N _C ( 2 x. n ) ) x. ( -u 1 ^ ( M - n ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   C_ wss 3574   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   "cima 5117   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   ^cexp 12860   _C cbc 13089   sum_csu 14416  Polycply 23940  coeffccoe 23942  degcdgr 23943

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-0p 23437  df-ply 23944  df-coe 23946  df-dgr 23947

This theorem is referenced by:  basellem4  24810  basellem5  24811