Theorem coeeulem 23980

Description: Lemma for coeeu 23981. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
coeeu.1	|- ( ph -> F e. (Poly ` S ) )
coeeu.2	|- ( ph -> A e. ( CC ^m NN0 ) )
coeeu.3	|- ( ph -> B e. ( CC ^m NN0 ) )
coeeu.4	|- ( ph -> M e. NN0 )
coeeu.5	|- ( ph -> N e. NN0 )
coeeu.6	|- ( ph -> ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) = { 0 } )
coeeu.7	|- ( ph -> ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } )
coeeu.8	|- ( ph -> F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
coeeu.9	|- ( ph -> F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
coeeulem	|- ( ph -> A = B )

Distinct variable groups:   z, k, B   ph, k, z   A, k, z   k, M, z   k, N, z

Allowed substitution hints:   S( z, k)   F( z, k)

Proof of Theorem coeeulem

Dummy variables y x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3624	. . . 4 |- CC C_ CC
2	1	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> CC C_ CC )
3		coeeu.4	. . . 4 |- ( ph -> M e. NN0 )
4		coeeu.5	. . . 4 |- ( ph -> N e. NN0 )
5	3, 4	nn0addcld 11355	. . 3 |- ( ph -> ( M + N ) e. NN0 )
6		subcl 10280	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x - y ) e. CC )
7	6	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( x - y ) e. CC )
8		coeeu.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. ( CC ^m NN0 ) )
9		cnex 10017	. . . . . . . 8 |- CC e. _V
10		nn0ex 11298	. . . . . . . 8 |- NN0 e. _V
11	9, 10	elmap 7886	. . . . . . 7 |- ( A e. ( CC ^m NN0 ) <-> A : NN0 --> CC )
12	8, 11	sylib 208	. . . . . 6 |- ( ph -> A : NN0 --> CC )
13		coeeu.3	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. ( CC ^m NN0 ) )
14	9, 10	elmap 7886	. . . . . . 7 |- ( B e. ( CC ^m NN0 ) <-> B : NN0 --> CC )
15	13, 14	sylib 208	. . . . . 6 |- ( ph -> B : NN0 --> CC )
16	10	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> NN0 e. _V )
17		inidm 3822	. . . . . 6 |- ( NN0 i^i NN0 ) = NN0
18	7, 12, 15, 16, 16, 17	off 6912	. . . . 5 |- ( ph -> ( A oF - B ) : NN0 --> CC )
19	9, 10	elmap 7886	. . . . 5 |- ( ( A oF - B ) e. ( CC ^m NN0 ) <-> ( A oF - B ) : NN0 --> CC )
20	18, 19	sylibr 224	. . . 4 |- ( ph -> ( A oF - B ) e. ( CC ^m NN0 ) )
21		0cn 10032	. . . . . . 7 |- 0 e. CC
22		snssi 4339	. . . . . . 7 |- ( 0 e. CC -> { 0 } C_ CC )
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . 6 |- { 0 } C_ CC
24		ssequn2 3786	. . . . . 6 |- ( { 0 } C_ CC <-> ( CC u. { 0 } ) = CC )
25	23, 24	mpbi 220	. . . . 5 |- ( CC u. { 0 } ) = CC
26	25	oveq1i 6660	. . . 4 |- ( ( CC u. { 0 } ) ^m NN0 ) = ( CC ^m NN0 )
27	20, 26	syl6eleqr 2712	. . 3 |- ( ph -> ( A oF - B ) e. ( ( CC u. { 0 } ) ^m NN0 ) )
28	5	nn0red 11352	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M + N ) e. RR )
29		nn0re 11301	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN0 -> k e. RR )
30		ltnle 10117	. . . . . . . 8 |- ( ( ( M + N ) e. RR /\ k e. RR ) -> ( ( M + N ) < k <-> -. k <_ ( M + N ) ) )
31	28, 29, 30	syl2an 494	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( M + N ) < k <-> -. k <_ ( M + N ) ) )
32		ffn 6045	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A : NN0 --> CC -> A Fn NN0 )
33	12, 32	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A Fn NN0 )
34		ffn 6045	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B : NN0 --> CC -> B Fn NN0 )
35	15, 34	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B Fn NN0 )
36		eqidd 2623	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( A ` k ) = ( A ` k ) )
37		eqidd 2623	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( B ` k ) = ( B ` k ) )
38	33, 35, 16, 16, 17, 36, 37	ofval 6906	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( A oF - B ) ` k ) = ( ( A ` k ) - ( B ` k ) ) )
39	38	adantrr 753	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( k e. NN0 /\ ( M + N ) < k ) ) -> ( ( A oF - B ) ` k ) = ( ( A ` k ) - ( B ` k ) ) )
40	3	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> M e. RR )
41	40	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( k e. NN0 /\ ( M + N ) < k ) ) -> M e. RR )
42	28	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( k e. NN0 /\ ( M + N ) < k ) ) -> ( M + N ) e. RR )
43	29	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> k e. RR )
44	43	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( k e. NN0 /\ ( M + N ) < k ) ) -> k e. RR )
45	3	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> M e. CC )
46	4	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> N e. CC )
47	45, 46	addcomd 10238	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( M + N ) = ( N + M ) )
48		nn0uz 11722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
49	4, 48	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 0 ) )
50	3	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> M e. ZZ )
51		eluzadd 11716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ M e. ZZ ) -> ( N + M ) e. ( ZZ>= ` ( 0 + M ) ) )
52	49, 50, 51	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( N + M ) e. ( ZZ>= ` ( 0 + M ) ) )
53	47, 52	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( M + N ) e. ( ZZ>= ` ( 0 + M ) ) )
54	45	addid2d 10237	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( 0 + M ) = M )
55	54	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ZZ>= ` ( 0 + M ) ) = ( ZZ>= ` M ) )
56	53, 55	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( M + N ) e. ( ZZ>= ` M ) )
57		eluzle 11700	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M + N ) e. ( ZZ>= ` M ) -> M <_ ( M + N ) )
58	56, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> M <_ ( M + N ) )
59	58	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( k e. NN0 /\ ( M + N ) < k ) ) -> M <_ ( M + N ) )
60		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( k e. NN0 /\ ( M + N ) < k ) ) -> ( M + N ) < k )
61	41, 42, 44, 59, 60	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( k e. NN0 /\ ( M + N ) < k ) ) -> M < k )
62	41, 44	ltnled 10184	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( k e. NN0 /\ ( M + N ) < k ) ) -> ( M < k <-> -. k <_ M ) )
63	61, 62	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( k e. NN0 /\ ( M + N ) < k ) ) -> -. k <_ M )
64		coeeu.6	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) = { 0 } )
65		plyco0 23948	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( M e. NN0 /\ A : NN0 --> CC ) -> ( ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) = { 0 } <-> A. k e. NN0 ( ( A ` k ) =/= 0 -> k <_ M ) ) )
66	3, 12, 65	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) = { 0 } <-> A. k e. NN0 ( ( A ` k ) =/= 0 -> k <_ M ) ) )
67	64, 66	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. k e. NN0 ( ( A ` k ) =/= 0 -> k <_ M ) )
68	67	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( A ` k ) =/= 0 -> k <_ M ) )
69	68	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( k e. NN0 /\ ( M + N ) < k ) ) -> ( ( A ` k ) =/= 0 -> k <_ M ) )
70	69	necon1bd 2812	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( k e. NN0 /\ ( M + N ) < k ) ) -> ( -. k <_ M -> ( A ` k ) = 0 ) )
71	63, 70	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( k e. NN0 /\ ( M + N ) < k ) ) -> ( A ` k ) = 0 )
72	4	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> N e. RR )
73	72	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( k e. NN0 /\ ( M + N ) < k ) ) -> N e. RR )
74	3, 48	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 0 ) )
75	4	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> N e. ZZ )
76		eluzadd 11716	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( M e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ N e. ZZ ) -> ( M + N ) e. ( ZZ>= ` ( 0 + N ) ) )
77	74, 75, 76	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( M + N ) e. ( ZZ>= ` ( 0 + N ) ) )
78	46	addid2d 10237	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( 0 + N ) = N )
79	78	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ZZ>= ` ( 0 + N ) ) = ( ZZ>= ` N ) )
80	77, 79	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( M + N ) e. ( ZZ>= ` N ) )
81		eluzle 11700	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M + N ) e. ( ZZ>= ` N ) -> N <_ ( M + N ) )
82	80, 81	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> N <_ ( M + N ) )
83	82	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( k e. NN0 /\ ( M + N ) < k ) ) -> N <_ ( M + N ) )
84	73, 42, 44, 83, 60	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( k e. NN0 /\ ( M + N ) < k ) ) -> N < k )
85	73, 44	ltnled 10184	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( k e. NN0 /\ ( M + N ) < k ) ) -> ( N < k <-> -. k <_ N ) )
86	84, 85	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( k e. NN0 /\ ( M + N ) < k ) ) -> -. k <_ N )
87		coeeu.7	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } )
88		plyco0 23948	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. NN0 /\ B : NN0 --> CC ) -> ( ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } <-> A. k e. NN0 ( ( B ` k ) =/= 0 -> k <_ N ) ) )
89	4, 15, 88	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } <-> A. k e. NN0 ( ( B ` k ) =/= 0 -> k <_ N ) ) )
90	87, 89	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. k e. NN0 ( ( B ` k ) =/= 0 -> k <_ N ) )
91	90	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( B ` k ) =/= 0 -> k <_ N ) )
92	91	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( k e. NN0 /\ ( M + N ) < k ) ) -> ( ( B ` k ) =/= 0 -> k <_ N ) )
93	92	necon1bd 2812	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( k e. NN0 /\ ( M + N ) < k ) ) -> ( -. k <_ N -> ( B ` k ) = 0 ) )
94	86, 93	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( k e. NN0 /\ ( M + N ) < k ) ) -> ( B ` k ) = 0 )
95	71, 94	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( k e. NN0 /\ ( M + N ) < k ) ) -> ( ( A ` k ) - ( B ` k ) ) = ( 0 - 0 ) )
96		0m0e0 11130	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 - 0 ) = 0
97	95, 96	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( k e. NN0 /\ ( M + N ) < k ) ) -> ( ( A ` k ) - ( B ` k ) ) = 0 )
98	39, 97	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( k e. NN0 /\ ( M + N ) < k ) ) -> ( ( A oF - B ) ` k ) = 0 )
99	98	expr 643	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( M + N ) < k -> ( ( A oF - B ) ` k ) = 0 ) )
100	31, 99	sylbird 250	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( -. k <_ ( M + N ) -> ( ( A oF - B ) ` k ) = 0 ) )
101	100	necon1ad 2811	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( A oF - B ) ` k ) =/= 0 -> k <_ ( M + N ) ) )
102	101	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ph -> A. k e. NN0 ( ( ( A oF - B ) ` k ) =/= 0 -> k <_ ( M + N ) ) )
103		plyco0 23948	. . . . 5 |- ( ( ( M + N ) e. NN0 /\ ( A oF - B ) : NN0 --> CC ) -> ( ( ( A oF - B ) " ( ZZ>= ` ( ( M + N ) + 1 ) ) ) = { 0 } <-> A. k e. NN0 ( ( ( A oF - B ) ` k ) =/= 0 -> k <_ ( M + N ) ) ) )
104	5, 18, 103	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( A oF - B ) " ( ZZ>= ` ( ( M + N ) + 1 ) ) ) = { 0 } <-> A. k e. NN0 ( ( ( A oF - B ) ` k ) =/= 0 -> k <_ ( M + N ) ) ) )
105	102, 104	mpbird 247	. . 3 |- ( ph -> ( ( A oF - B ) " ( ZZ>= ` ( ( M + N ) + 1 ) ) ) = { 0 } )
106		df-0p 23437	. . . . 5 |- 0p = ( CC X. { 0 } )
107		fconstmpt 5163	. . . . 5 |- ( CC X. { 0 } ) = ( z e. CC |-> 0 )
108	106, 107	eqtri 2644	. . . 4 |- 0p = ( z e. CC |-> 0 )
109		elfznn0 12433	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( 0 ... ( M + N ) ) -> k e. NN0 )
110	38	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( A oF - B ) ` k ) = ( ( A ` k ) - ( B ` k ) ) )
111	110	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( A oF - B ) ` k ) x. ( z ^ k ) ) = ( ( ( A ` k ) - ( B ` k ) ) x. ( z ^ k ) ) )
112	12	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> A : NN0 --> CC )
113	112	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. NN0 ) -> ( A ` k ) e. CC )
114	15	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> B : NN0 --> CC )
115	114	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. NN0 ) -> ( B ` k ) e. CC )
116		expcl 12878	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( z ^ k ) e. CC )
117	116	adantll 750	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. NN0 ) -> ( z ^ k ) e. CC )
118	113, 115, 117	subdird 10487	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( A ` k ) - ( B ` k ) ) x. ( z ^ k ) ) = ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) - ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
119	111, 118	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( A oF - B ) ` k ) x. ( z ^ k ) ) = ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) - ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
120	109, 119	sylan2 491	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> ( ( ( A oF - B ) ` k ) x. ( z ^ k ) ) = ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) - ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
121	120	sumeq2dv 14433	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( M + N ) ) ( ( ( A oF - B ) ` k ) x. ( z ^ k ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( M + N ) ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) - ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
122		fzfid 12772	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( 0 ... ( M + N ) ) e. Fin )
123	113, 117	mulcld 10060	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
124	109, 123	sylan2 491	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
125	115, 117	mulcld 10060	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
126	109, 125	sylan2 491	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
127	122, 124, 126	fsumsub 14520	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( M + N ) ) ( ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) - ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... ( M + N ) ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) - sum_ k e. ( 0 ... ( M + N ) ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
128	122, 124	fsumcl 14464	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( M + N ) ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
129		coeeu.8	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
130		coeeu.9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
131	129, 130	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
132	131	fveq1d 6193	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ` z ) = ( ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ` z ) )
133	132	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ` z ) = ( ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ` z ) )
134		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> z e. CC )
135		sumex 14418	. . . . . . . . . 10 |- sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. _V
136		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) )
137	136	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. CC /\ sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. _V ) -> ( ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ` z ) = sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) )
138	134, 135, 137	sylancl 694	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ` z ) = sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) )
139		fzss2 12381	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M + N ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( 0 ... M ) C_ ( 0 ... ( M + N ) ) )
140	56, 139	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 0 ... M ) C_ ( 0 ... ( M + N ) ) )
141	140	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( 0 ... M ) C_ ( 0 ... ( M + N ) ) )
142	141	sselda 3603	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> k e. ( 0 ... ( M + N ) ) )
143	142, 124	syldan 487	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
144		eldifn 3733	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) -> -. k e. ( 0 ... M ) )
145	144	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> -. k e. ( 0 ... M ) )
146		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) -> k e. ( 0 ... ( M + N ) ) )
147	146, 109	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) -> k e. NN0 )
148		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> k e. NN0 )
149	148, 48	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> k e. ( ZZ>= ` 0 ) )
150	50	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> M e. ZZ )
151		elfz5 12334	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ M e. ZZ ) -> ( k e. ( 0 ... M ) <-> k <_ M ) )
152	149, 150, 151	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( k e. ( 0 ... M ) <-> k <_ M ) )
153	68, 152	sylibrd 249	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( A ` k ) =/= 0 -> k e. ( 0 ... M ) ) )
154	153	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( A ` k ) =/= 0 -> k e. ( 0 ... M ) ) )
155	154	necon1bd 2812	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. NN0 ) -> ( -. k e. ( 0 ... M ) -> ( A ` k ) = 0 ) )
156	147, 155	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( -. k e. ( 0 ... M ) -> ( A ` k ) = 0 ) )
157	145, 156	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( A ` k ) = 0 )
158	157	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) = ( 0 x. ( z ^ k ) ) )
159	134, 147, 116	syl2an 494	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( z ^ k ) e. CC )
160	159	mul02d 10234	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( 0 x. ( z ^ k ) ) = 0 )
161	158, 160	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... M ) ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) = 0 )
162	141, 143, 161, 122	fsumss 14456	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( M + N ) ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) )
163	138, 162	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ` z ) = sum_ k e. ( 0 ... ( M + N ) ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) )
164		sumex 14418	. . . . . . . . . 10 |- sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. _V
165		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) )
166	165	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. CC /\ sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. _V ) -> ( ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ` z ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) )
167	134, 164, 166	sylancl 694	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ` z ) = sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) )
168		fzss2 12381	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M + N ) e. ( ZZ>= ` N ) -> ( 0 ... N ) C_ ( 0 ... ( M + N ) ) )
169	80, 168	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 0 ... N ) C_ ( 0 ... ( M + N ) ) )
170	169	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( 0 ... N ) C_ ( 0 ... ( M + N ) ) )
171	170	sselda 3603	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> k e. ( 0 ... ( M + N ) ) )
172	171, 126	syldan 487	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) e. CC )
173		eldifn 3733	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... N ) ) -> -. k e. ( 0 ... N ) )
174	173	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> -. k e. ( 0 ... N ) )
175		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... N ) ) -> k e. ( 0 ... ( M + N ) ) )
176	175, 109	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... N ) ) -> k e. NN0 )
177	75	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> N e. ZZ )
178		elfz5 12334	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ N e. ZZ ) -> ( k e. ( 0 ... N ) <-> k <_ N ) )
179	149, 177, 178	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( k e. ( 0 ... N ) <-> k <_ N ) )
180	91, 179	sylibrd 249	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( B ` k ) =/= 0 -> k e. ( 0 ... N ) ) )
181	180	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( B ` k ) =/= 0 -> k e. ( 0 ... N ) ) )
182	181	necon1bd 2812	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. NN0 ) -> ( -. k e. ( 0 ... N ) -> ( B ` k ) = 0 ) )
183	176, 182	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( -. k e. ( 0 ... N ) -> ( B ` k ) = 0 ) )
184	174, 183	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( B ` k ) = 0 )
185	184	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) = ( 0 x. ( z ^ k ) ) )
186	134, 176, 116	syl2an 494	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( z ^ k ) e. CC )
187	186	mul02d 10234	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( 0 x. ( z ^ k ) ) = 0 )
188	185, 187	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ z e. CC ) /\ k e. ( ( 0 ... ( M + N ) ) \ ( 0 ... N ) ) ) -> ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) = 0 )
189	170, 172, 188, 122	fsumss 14456	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( M + N ) ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) )
190	167, 189	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) ` z ) = sum_ k e. ( 0 ... ( M + N ) ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) )
191	133, 163, 190	3eqtr3d 2664	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( M + N ) ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( M + N ) ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) )
192	128, 191	subeq0bd 10456	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> ( sum_ k e. ( 0 ... ( M + N ) ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) - sum_ k e. ( 0 ... ( M + N ) ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) = 0 )
193	121, 127, 192	3eqtrrd 2661	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. CC ) -> 0 = sum_ k e. ( 0 ... ( M + N ) ) ( ( ( A oF - B ) ` k ) x. ( z ^ k ) ) )
194	193	mpteq2dva 4744	. . . 4 |- ( ph -> ( z e. CC |-> 0 ) = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... ( M + N ) ) ( ( ( A oF - B ) ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
195	108, 194	syl5eq 2668	. . 3 |- ( ph -> 0p = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... ( M + N ) ) ( ( ( A oF - B ) ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
196	2, 5, 27, 105, 195	plyeq0 23967	. 2 |- ( ph -> ( A oF - B ) = ( NN0 X. { 0 } ) )
197		ofsubeq0 11017	. . 3 |- ( ( NN0 e. _V /\ A : NN0 --> CC /\ B : NN0 --> CC ) -> ( ( A oF - B ) = ( NN0 X. { 0 } ) <-> A = B ) )
198	16, 12, 15, 197	syl3anc 1326	. 2 |- ( ph -> ( ( A oF - B ) = ( NN0 X. { 0 } ) <-> A = B ) )
199	196, 198	mpbid 222	1 |- ( ph -> A = B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   "cima 5117   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   ^m cmap 7857   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   ^cexp 12860   sum_csu 14416   0pc0p 23436  Polycply 23940

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-0p 23437

This theorem is referenced by:  coeeu  23981