poimirlem14 - Mathbox for Brendan Leahy

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Theorem poimirlem14 33423

Description: Lemma for poimir 33442- for at most one simplex associated with a shared face is the opposite vertex last on the walk. (Contributed by Brendan Leahy, 21-Aug-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
poimir.0
poimirlem22.s	..^
poimirlem22.1

**Assertion**
Ref	Expression
poimirlem14

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

(

)

Proof of Theorem poimirlem14 Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		poimir.0	. . . . . . . . 9
2	1	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
3		poimirlem22.s	. . . . . . . 8 ..^
4		simplrl 800	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
5	1	nngt0d 11064	. . . . . . . . . 10
6		breq2 4657	. . . . . . . . . . 11
7	6	biimparc 504	. . . . . . . . . 10 $/\$
8	5, 7	sylan 488	. . . . . . . . 9 $/\$
9	8	ad2ant2r 783	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
10	2, 3, 4, 9	poimirlem5 33414	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
11		simplrr 801	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
12		breq2 4657	. . . . . . . . . . 11
13	12	biimparc 504	. . . . . . . . . 10 $/\$
14	5, 13	sylan 488	. . . . . . . . 9 $/\$
15	14	ad2ant2rl 785	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
16	2, 3, 11, 15	poimirlem5 33414	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
17	10, 16	eqtr3d 2658	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
18		elrabi 3359	. . . . . . . . . . . . 13 ..^ ..^
19	18, 3	eleq2s 2719	. . . . . . . . . . . 12 ..^
20		xp1st 7198	. . . . . . . . . . . 12 ..^ ..^
21		xp2nd 7199	. . . . . . . . . . . 12 ..^
22	19, 20, 21	3syl 18	. . . . . . . . . . 11
23		fvex 6201	. . . . . . . . . . . 12
24		f1oeq1 6127	. . . . . . . . . . . 12
25	23, 24	elab 3350	. . . . . . . . . . 11
26	22, 25	sylib 208	. . . . . . . . . 10
27		f1ofn 6138	. . . . . . . . . 10
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . 9
29	28	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$
30	29	ad2antlr 763	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
31		elrabi 3359	. . . . . . . . . . . . 13 ..^ ..^
32	31, 3	eleq2s 2719	. . . . . . . . . . . 12 ..^
33		xp1st 7198	. . . . . . . . . . . 12 ..^ ..^
34		xp2nd 7199	. . . . . . . . . . . 12 ..^
35	32, 33, 34	3syl 18	. . . . . . . . . . 11
36		fvex 6201	. . . . . . . . . . . 12
37		f1oeq1 6127	. . . . . . . . . . . 12
38	36, 37	elab 3350	. . . . . . . . . . 11
39	35, 38	sylib 208	. . . . . . . . . 10
40		f1ofn 6138	. . . . . . . . . 10
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . . 9
42	41	adantl 482	. . . . . . . 8 $/\$
43	42	ad2antlr 763	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
44		simpllr 799	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
45		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . 16
46	45	imaeq2d 5466	. . . . . . . . . . . . . . 15
47		f1ofo 6144	. . . . . . . . . . . . . . . 16
48		foima 6120	. . . . . . . . . . . . . . . 16
49	26, 47, 48	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15
50	46, 49	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
51	50	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
52	45	imaeq2d 5466	. . . . . . . . . . . . . . 15
53		f1ofo 6144	. . . . . . . . . . . . . . . 16
54		foima 6120	. . . . . . . . . . . . . . . 16
55	39, 53, 54	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15
56	52, 55	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
57	56	adantll 750	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
58	51, 57	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
59	44, 58	sylan 488	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
60		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61		elnnuz 11724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
62	1, 61	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
63		fzm1 12420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $\/$
64	62, 63	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $\/$
65	64	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $\/$ $/\$
66	65	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $\/$ $/\$
67		df-ne 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
68	67	anbi2i 730	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\/$ $/\$ $\/$ $/\$
69		pm5.61 749	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\/$ $/\$ $/\$
70	68, 69	bitri 264	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\/$ $/\$ $/\$
71	66, 70	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
72		1eluzge0 11732	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
73		fzss1 12380	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
74	72, 73	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
75	74	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . . . 16
76	75	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
77	71, 76	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
78	60, 77	sylan 488	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
79		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . 16
80	79	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
81		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
82	81	imaeq2d 5466	. . . . . . . . . . . . . . . 16
83	81	imaeq2d 5466	. . . . . . . . . . . . . . . 16
84	82, 83	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . . 15
85	80, 84	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
86	1	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
87		poimirlem22.1	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
88	87	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
89		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
90	89	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
91		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
92		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
93	92	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
94		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
95		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
96	86, 3, 88, 90, 91, 93, 94, 95	poimirlem12 33421	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
97	86, 3, 88, 93, 94, 90, 91, 95	poimirlem12 33421	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
98	96, 97	eqssd 3620	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
99	85, 98	chvarv 2263	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
100	78, 99	syldan 487	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
101	100	anassrs 680	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
102	59, 101	pm2.61dane 2881	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
103		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
104		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . 14
105	1	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . 14
106		elfzm1b 12418	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
107	104, 105, 106	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
108	103, 107	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
109	60, 108	sylan 488	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
110		ovex 6678	. . . . . . . . . . . 12
111		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . 14
112	111	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
113		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . 15
114	113	imaeq2d 5466	. . . . . . . . . . . . . 14
115	113	imaeq2d 5466	. . . . . . . . . . . . . 14
116	114, 115	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . 13
117	112, 116	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
118	110, 117, 98	vtocl 3259	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
119	109, 118	syldan 487	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
120	102, 119	difeq12d 3729	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$ $\$
121		fnsnfv 6258	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
122	28, 121	sylan 488	. . . . . . . . . . 11 $/\$
123		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . 14
124		uncom 3757	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
125	124	difeq1i 3724	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\$ $\$
126		difun2 4048	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\$ $\$
127	125, 126	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\$ $\$
128		nncn 11028	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
129		npcan1 10455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
130	128, 129	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
131		elnnuz 11724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
132	131	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
133	130, 132	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
134		nnm1nn0 11334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
135	134	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
136		uzid 11702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
137		peano2uz 11741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
138	135, 136, 137	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
139	130, 138	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
140		fzsplit2 12366	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
141	133, 139, 140	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
142	130	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
143		nnz 11399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
144		fzsn 12383	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
145	143, 144	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
146	142, 145	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
147	146	uneq2d 3767	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
148	141, 147	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . 16
149	148	difeq1d 3727	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\$ $\$
150		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
151		ltm1 10863	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
152		peano2rem 10348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
153		ltnle 10117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
154	152, 153	mpancom 703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
155	151, 154	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
156		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
157	155, 156	nsyl 135	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
158	150, 157	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16
159		incom 3805	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
160	159	eqeq1i 2627	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
161		disjsn 4246	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
162		disj3 4021	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $\$
163	160, 161, 162	3bitr3i 290	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $\$
164	158, 163	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\$
165	127, 149, 164	3eqtr4a 2682	. . . . . . . . . . . . . 14 $\$
166	123, 165	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 $\$
167	166	imaeq2d 5466	. . . . . . . . . . . 12 $\$
168	167	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\$
169		dff1o3 6143	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
170	169	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . 13
171		imadif 5973	. . . . . . . . . . . . 13 $\$ $\$
172	26, 170, 171	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 $\$ $\$
173	172	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\$ $\$
174	122, 168, 173	3eqtr2d 2662	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$
175	4, 174	sylan 488	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
176		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . 13
177	176	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
178		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16
179	178	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15
180	179	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . 14
181	180	sneqd 4189	. . . . . . . . . . . . 13
182	179	imaeq1d 5465	. . . . . . . . . . . . . 14
183	179	imaeq1d 5465	. . . . . . . . . . . . . 14
184	182, 183	difeq12d 3729	. . . . . . . . . . . . 13 $\$ $\$
185	181, 184	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . 12 $\$ $\$
186	177, 185	imbi12d 334	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\$ $/\$ $\$
187	186, 174	chvarv 2263	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$
188	11, 187	sylan 488	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\$
189	120, 175, 188	3eqtr4d 2666	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
190		fvex 6201	. . . . . . . . 9
191	190	sneqr 4371	. . . . . . . 8
192	189, 191	syl 17	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
193	30, 43, 192	eqfnfvd 6314	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
194	19, 20	syl 17	. . . . . . . 8 ..^
195	32, 33	syl 17	. . . . . . . 8 ..^
196		xpopth 7207	. . . . . . . 8 ..^ $/\$ ..^ $/\$
197	194, 195, 196	syl2an 494	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
198	197	ad2antlr 763	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
199	17, 193, 198	mpbi2and 956	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
200		eqtr3 2643	. . . . . 6 $/\$
201	200	adantl 482	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
202		xpopth 7207	. . . . . . 7 ..^ $/\$ ..^ $/\$
203	19, 32, 202	syl2an 494	. . . . . 6 $/\$ $/\$
204	203	ad2antlr 763	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
205	199, 201, 204	mpbi2and 956	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
206	205	ex 450	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
207	206	ralrimivva 2971	. 2 $/\$
208		fveq2 6191	. . . 4
209	208	eqeq1d 2624	. . 3
210	209	rmo4 3399	. 2 $/\$
211	207, 210	sylibr 224	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $\/$ wo 383 $/\$ wa 384

wceq 1483

wcel 1990

cab 2608

wne 2794

wral 2912

wrmo 2915

crab 2916

csb 3533 $\$ cdif 3571

cun 3572

cin 3573

wss 3574

c0 3915

cif 4086

csn 4177 class class class wbr 4653

cmpt 4729

cxp 5112

ccnv 5113

cima 5117

wfun 5882

wfn 5883

wf 5884

wfo 5886

wf1o 5887

cfv 5888 (class class class)co 6650

cof 6895

c1st 7166

c2nd 7167

cmap 7857

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cn 11020

cz 11377

cuz 11687

cfz 12326 ..^cfzo 12465

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-er 7742 df-map 7859 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-nn 11021 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-fz 12327 df-fzo 12466

This theorem is referenced by: poimirlem18 33427 poimirlem21 33430

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