Theorem prmreclem1 15620

Description: Lemma for prmrec 15626. Properties of the "square part" function, which extracts the m of the decomposition N = r m ^ 2, with m maximal and r squarefree. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Aug-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
prmreclem1.1	|- Q = ( n e. NN |-> sup ( { r e. NN | ( r ^ 2 ) || n } , RR , < ) )

Assertion

Ref	Expression
prmreclem1	|- ( N e. NN -> ( ( Q ` N ) e. NN /\ ( ( Q ` N ) ^ 2 ) || N /\ ( K e. ( ZZ>= ` 2 ) -> -. ( K ^ 2 ) || ( N / ( ( Q ` N ) ^ 2 ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   K, r   n, r, N   Q, r

Allowed substitution hints:   Q( n)   K( n)

Proof of Theorem prmreclem1

Dummy variables x z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssrab2 3687	. . 3 |- { r e. NN | ( r ^ 2 ) || N } C_ NN
2		breq2 4657	. . . . . . 7 |- ( n = N -> ( ( r ^ 2 ) || n <-> ( r ^ 2 ) || N ) )
3	2	rabbidv 3189	. . . . . 6 |- ( n = N -> { r e. NN | ( r ^ 2 ) || n } = { r e. NN | ( r ^ 2 ) || N } )
4	3	supeq1d 8352	. . . . 5 |- ( n = N -> sup ( { r e. NN | ( r ^ 2 ) || n } , RR , < ) = sup ( { r e. NN | ( r ^ 2 ) || N } , RR , < ) )
5		prmreclem1.1	. . . . 5 |- Q = ( n e. NN |-> sup ( { r e. NN | ( r ^ 2 ) || n } , RR , < ) )
6		ltso 10118	. . . . . 6 |- < Or RR
7	6	supex 8369	. . . . 5 |- sup ( { r e. NN | ( r ^ 2 ) || N } , RR , < ) e. _V
8	4, 5, 7	fvmpt 6282	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( Q ` N ) = sup ( { r e. NN | ( r ^ 2 ) || N } , RR , < ) )
9		nnssz 11397	. . . . . . 7 |- NN C_ ZZ
10	1, 9	sstri 3612	. . . . . 6 |- { r e. NN | ( r ^ 2 ) || N } C_ ZZ
11	10	a1i 11	. . . . 5 |- ( N e. NN -> { r e. NN | ( r ^ 2 ) || N } C_ ZZ )
12		1nn 11031	. . . . . . . 8 |- 1 e. NN
13	12	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> 1 e. NN )
14		nnz 11399	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
15		1dvds 14996	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> 1 || N )
16	14, 15	syl 17	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> 1 || N )
17		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 |- ( r = 1 -> ( r ^ 2 ) = ( 1 ^ 2 ) )
18		sq1 12958	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 ^ 2 ) = 1
19	17, 18	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9 |- ( r = 1 -> ( r ^ 2 ) = 1 )
20	19	breq1d 4663	. . . . . . . 8 |- ( r = 1 -> ( ( r ^ 2 ) || N <-> 1 || N ) )
21	20	elrab 3363	. . . . . . 7 |- ( 1 e. { r e. NN | ( r ^ 2 ) || N } <-> ( 1 e. NN /\ 1 || N ) )
22	13, 16, 21	sylanbrc 698	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> 1 e. { r e. NN | ( r ^ 2 ) || N } )
23		ne0i 3921	. . . . . 6 |- ( 1 e. { r e. NN | ( r ^ 2 ) || N } -> { r e. NN | ( r ^ 2 ) || N } =/= (/) )
24	22, 23	syl 17	. . . . 5 |- ( N e. NN -> { r e. NN | ( r ^ 2 ) || N } =/= (/) )
25		nnz 11399	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. NN -> z e. ZZ )
26		zsqcl 12934	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ZZ -> ( z ^ 2 ) e. ZZ )
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. NN -> ( z ^ 2 ) e. ZZ )
28		id 22	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> N e. NN )
29		dvdsle 15032	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z ^ 2 ) e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( z ^ 2 ) || N -> ( z ^ 2 ) <_ N ) )
30	27, 28, 29	syl2anr 495	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ z e. NN ) -> ( ( z ^ 2 ) || N -> ( z ^ 2 ) <_ N ) )
31		nnlesq 12968	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. NN -> z <_ ( z ^ 2 ) )
32	31	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ z e. NN ) -> z <_ ( z ^ 2 ) )
33		nnre 11027	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. NN -> z e. RR )
34	33	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ z e. NN ) -> z e. RR )
35	34	resqcld 13035	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ z e. NN ) -> ( z ^ 2 ) e. RR )
36		nnre 11027	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> N e. RR )
37	36	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ z e. NN ) -> N e. RR )
38		letr 10131	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. RR /\ ( z ^ 2 ) e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( z <_ ( z ^ 2 ) /\ ( z ^ 2 ) <_ N ) -> z <_ N ) )
39	34, 35, 37, 38	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ z e. NN ) -> ( ( z <_ ( z ^ 2 ) /\ ( z ^ 2 ) <_ N ) -> z <_ N ) )
40	32, 39	mpand 711	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ z e. NN ) -> ( ( z ^ 2 ) <_ N -> z <_ N ) )
41	30, 40	syld 47	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ z e. NN ) -> ( ( z ^ 2 ) || N -> z <_ N ) )
42	41	ralrimiva 2966	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> A. z e. NN ( ( z ^ 2 ) || N -> z <_ N ) )
43		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( r = z -> ( r ^ 2 ) = ( z ^ 2 ) )
44	43	breq1d 4663	. . . . . . . 8 |- ( r = z -> ( ( r ^ 2 ) || N <-> ( z ^ 2 ) || N ) )
45	44	ralrab 3368	. . . . . . 7 |- ( A. z e. { r e. NN | ( r ^ 2 ) || N } z <_ N <-> A. z e. NN ( ( z ^ 2 ) || N -> z <_ N ) )
46	42, 45	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> A. z e. { r e. NN | ( r ^ 2 ) || N } z <_ N )
47		breq2 4657	. . . . . . . 8 |- ( x = N -> ( z <_ x <-> z <_ N ) )
48	47	ralbidv 2986	. . . . . . 7 |- ( x = N -> ( A. z e. { r e. NN | ( r ^ 2 ) || N } z <_ x <-> A. z e. { r e. NN | ( r ^ 2 ) || N } z <_ N ) )
49	48	rspcev 3309	. . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ A. z e. { r e. NN | ( r ^ 2 ) || N } z <_ N ) -> E. x e. ZZ A. z e. { r e. NN | ( r ^ 2 ) || N } z <_ x )
50	14, 46, 49	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( N e. NN -> E. x e. ZZ A. z e. { r e. NN | ( r ^ 2 ) || N } z <_ x )
51		suprzcl2 11778	. . . . 5 |- ( ( { r e. NN | ( r ^ 2 ) || N } C_ ZZ /\ { r e. NN | ( r ^ 2 ) || N } =/= (/) /\ E. x e. ZZ A. z e. { r e. NN | ( r ^ 2 ) || N } z <_ x ) -> sup ( { r e. NN | ( r ^ 2 ) || N } , RR , < ) e. { r e. NN | ( r ^ 2 ) || N } )
52	11, 24, 50, 51	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( N e. NN -> sup ( { r e. NN | ( r ^ 2 ) || N } , RR , < ) e. { r e. NN | ( r ^ 2 ) || N } )
53	8, 52	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( N e. NN -> ( Q ` N ) e. { r e. NN | ( r ^ 2 ) || N } )
54	1, 53	sseldi 3601	. 2 |- ( N e. NN -> ( Q ` N ) e. NN )
55		oveq1 6657	. . . . . 6 |- ( z = ( Q ` N ) -> ( z ^ 2 ) = ( ( Q ` N ) ^ 2 ) )
56	55	breq1d 4663	. . . . 5 |- ( z = ( Q ` N ) -> ( ( z ^ 2 ) || N <-> ( ( Q ` N ) ^ 2 ) || N ) )
57	44	cbvrabv 3199	. . . . 5 |- { r e. NN | ( r ^ 2 ) || N } = { z e. NN | ( z ^ 2 ) || N }
58	56, 57	elrab2 3366	. . . 4 |- ( ( Q ` N ) e. { r e. NN | ( r ^ 2 ) || N } <-> ( ( Q ` N ) e. NN /\ ( ( Q ` N ) ^ 2 ) || N ) )
59	53, 58	sylib 208	. . 3 |- ( N e. NN -> ( ( Q ` N ) e. NN /\ ( ( Q ` N ) ^ 2 ) || N ) )
60	59	simprd 479	. 2 |- ( N e. NN -> ( ( Q ` N ) ^ 2 ) || N )
61	54	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( Q ` N ) e. NN )
62	61	nncnd 11036	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( Q ` N ) e. CC )
63	62	mulid1d 10057	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( Q ` N ) x. 1 ) = ( Q ` N ) )
64		eluz2b2 11761	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( K e. NN /\ 1 < K ) )
65	64	simprbi 480	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 < K )
66	65	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 1 < K )
67		1red 10055	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 1 e. RR )
68		eluz2nn 11726	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ( ZZ>= ` 2 ) -> K e. NN )
69	68	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> K e. NN )
70	69	nnred 11035	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> K e. RR )
71	61	nnred 11035	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( Q ` N ) e. RR )
72	61	nngt0d 11064	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> 0 < ( Q ` N ) )
73		ltmul2 10874	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. RR /\ K e. RR /\ ( ( Q ` N ) e. RR /\ 0 < ( Q ` N ) ) ) -> ( 1 < K <-> ( ( Q ` N ) x. 1 ) < ( ( Q ` N ) x. K ) ) )
74	67, 70, 71, 72, 73	syl112anc 1330	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( 1 < K <-> ( ( Q ` N ) x. 1 ) < ( ( Q ` N ) x. K ) ) )
75	66, 74	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( Q ` N ) x. 1 ) < ( ( Q ` N ) x. K ) )
76	63, 75	eqbrtrrd 4677	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( Q ` N ) < ( ( Q ` N ) x. K ) )
77		nnmulcl 11043	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Q ` N ) e. NN /\ K e. NN ) -> ( ( Q ` N ) x. K ) e. NN )
78	54, 68, 77	syl2an 494	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( Q ` N ) x. K ) e. NN )
79	78	nnred 11035	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( Q ` N ) x. K ) e. RR )
80	71, 79	ltnled 10184	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> ( ( Q ` N ) < ( ( Q ` N ) x. K ) <-> -. ( ( Q ` N ) x. K ) <_ ( Q ` N ) ) )
81	76, 80	mpbid 222	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> -. ( ( Q ` N ) x. K ) <_ ( Q ` N ) )
82	10	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( K ^ 2 ) || ( N / ( ( Q ` N ) ^ 2 ) ) ) -> { r e. NN | ( r ^ 2 ) || N } C_ ZZ )
83	50	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( K ^ 2 ) || ( N / ( ( Q ` N ) ^ 2 ) ) ) -> E. x e. ZZ A. z e. { r e. NN | ( r ^ 2 ) || N } z <_ x )
84	78	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( K ^ 2 ) || ( N / ( ( Q ` N ) ^ 2 ) ) ) -> ( ( Q ` N ) x. K ) e. NN )
85		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( K ^ 2 ) || ( N / ( ( Q ` N ) ^ 2 ) ) ) -> ( K ^ 2 ) || ( N / ( ( Q ` N ) ^ 2 ) ) )
86	69	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( K ^ 2 ) || ( N / ( ( Q ` N ) ^ 2 ) ) ) -> K e. NN )
87	86	nnsqcld 13029	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( K ^ 2 ) || ( N / ( ( Q ` N ) ^ 2 ) ) ) -> ( K ^ 2 ) e. NN )
88		nnz 11399	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K ^ 2 ) e. NN -> ( K ^ 2 ) e. ZZ )
89	87, 88	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( K ^ 2 ) || ( N / ( ( Q ` N ) ^ 2 ) ) ) -> ( K ^ 2 ) e. ZZ )
90	54	nnsqcld 13029	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN -> ( ( Q ` N ) ^ 2 ) e. NN )
91	9, 90	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN -> ( ( Q ` N ) ^ 2 ) e. ZZ )
92	90	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN -> ( ( Q ` N ) ^ 2 ) =/= 0 )
93		dvdsval2 14986	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( Q ` N ) ^ 2 ) e. ZZ /\ ( ( Q ` N ) ^ 2 ) =/= 0 /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( Q ` N ) ^ 2 ) || N <-> ( N / ( ( Q ` N ) ^ 2 ) ) e. ZZ ) )
94	91, 92, 14, 93	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> ( ( ( Q ` N ) ^ 2 ) || N <-> ( N / ( ( Q ` N ) ^ 2 ) ) e. ZZ ) )
95	60, 94	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN -> ( N / ( ( Q ` N ) ^ 2 ) ) e. ZZ )
96	95	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( K ^ 2 ) || ( N / ( ( Q ` N ) ^ 2 ) ) ) -> ( N / ( ( Q ` N ) ^ 2 ) ) e. ZZ )
97	91	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( K ^ 2 ) || ( N / ( ( Q ` N ) ^ 2 ) ) ) -> ( ( Q ` N ) ^ 2 ) e. ZZ )
98		dvdscmul 15008	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K ^ 2 ) e. ZZ /\ ( N / ( ( Q ` N ) ^ 2 ) ) e. ZZ /\ ( ( Q ` N ) ^ 2 ) e. ZZ ) -> ( ( K ^ 2 ) || ( N / ( ( Q ` N ) ^ 2 ) ) -> ( ( ( Q ` N ) ^ 2 ) x. ( K ^ 2 ) ) || ( ( ( Q ` N ) ^ 2 ) x. ( N / ( ( Q ` N ) ^ 2 ) ) ) ) )
99	89, 96, 97, 98	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( K ^ 2 ) || ( N / ( ( Q ` N ) ^ 2 ) ) ) -> ( ( K ^ 2 ) || ( N / ( ( Q ` N ) ^ 2 ) ) -> ( ( ( Q ` N ) ^ 2 ) x. ( K ^ 2 ) ) || ( ( ( Q ` N ) ^ 2 ) x. ( N / ( ( Q ` N ) ^ 2 ) ) ) ) )
100	85, 99	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( K ^ 2 ) || ( N / ( ( Q ` N ) ^ 2 ) ) ) -> ( ( ( Q ` N ) ^ 2 ) x. ( K ^ 2 ) ) || ( ( ( Q ` N ) ^ 2 ) x. ( N / ( ( Q ` N ) ^ 2 ) ) ) )
101	62	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( K ^ 2 ) || ( N / ( ( Q ` N ) ^ 2 ) ) ) -> ( Q ` N ) e. CC )
102	86	nncnd 11036	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( K ^ 2 ) || ( N / ( ( Q ` N ) ^ 2 ) ) ) -> K e. CC )
103	101, 102	sqmuld 13020	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( K ^ 2 ) || ( N / ( ( Q ` N ) ^ 2 ) ) ) -> ( ( ( Q ` N ) x. K ) ^ 2 ) = ( ( ( Q ` N ) ^ 2 ) x. ( K ^ 2 ) ) )
104	103	eqcomd 2628	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( K ^ 2 ) || ( N / ( ( Q ` N ) ^ 2 ) ) ) -> ( ( ( Q ` N ) ^ 2 ) x. ( K ^ 2 ) ) = ( ( ( Q ` N ) x. K ) ^ 2 ) )
105		nncn 11028	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> N e. CC )
106	105	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( K ^ 2 ) || ( N / ( ( Q ` N ) ^ 2 ) ) ) -> N e. CC )
107	90	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( K ^ 2 ) || ( N / ( ( Q ` N ) ^ 2 ) ) ) -> ( ( Q ` N ) ^ 2 ) e. NN )
108	107	nncnd 11036	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( K ^ 2 ) || ( N / ( ( Q ` N ) ^ 2 ) ) ) -> ( ( Q ` N ) ^ 2 ) e. CC )
109	92	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( K ^ 2 ) || ( N / ( ( Q ` N ) ^ 2 ) ) ) -> ( ( Q ` N ) ^ 2 ) =/= 0 )
110	106, 108, 109	divcan2d 10803	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( K ^ 2 ) || ( N / ( ( Q ` N ) ^ 2 ) ) ) -> ( ( ( Q ` N ) ^ 2 ) x. ( N / ( ( Q ` N ) ^ 2 ) ) ) = N )
111	100, 104, 110	3brtr3d 4684	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( K ^ 2 ) || ( N / ( ( Q ` N ) ^ 2 ) ) ) -> ( ( ( Q ` N ) x. K ) ^ 2 ) || N )
112		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( r = ( ( Q ` N ) x. K ) -> ( r ^ 2 ) = ( ( ( Q ` N ) x. K ) ^ 2 ) )
113	112	breq1d 4663	. . . . . . . 8 |- ( r = ( ( Q ` N ) x. K ) -> ( ( r ^ 2 ) || N <-> ( ( ( Q ` N ) x. K ) ^ 2 ) || N ) )
114	113	elrab 3363	. . . . . . 7 |- ( ( ( Q ` N ) x. K ) e. { r e. NN | ( r ^ 2 ) || N } <-> ( ( ( Q ` N ) x. K ) e. NN /\ ( ( ( Q ` N ) x. K ) ^ 2 ) || N ) )
115	84, 111, 114	sylanbrc 698	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( K ^ 2 ) || ( N / ( ( Q ` N ) ^ 2 ) ) ) -> ( ( Q ` N ) x. K ) e. { r e. NN | ( r ^ 2 ) || N } )
116		suprzub 11779	. . . . . 6 |- ( ( { r e. NN | ( r ^ 2 ) || N } C_ ZZ /\ E. x e. ZZ A. z e. { r e. NN | ( r ^ 2 ) || N } z <_ x /\ ( ( Q ` N ) x. K ) e. { r e. NN | ( r ^ 2 ) || N } ) -> ( ( Q ` N ) x. K ) <_ sup ( { r e. NN | ( r ^ 2 ) || N } , RR , < ) )
117	82, 83, 115, 116	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( K ^ 2 ) || ( N / ( ( Q ` N ) ^ 2 ) ) ) -> ( ( Q ` N ) x. K ) <_ sup ( { r e. NN | ( r ^ 2 ) || N } , RR , < ) )
118	8	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( K ^ 2 ) || ( N / ( ( Q ` N ) ^ 2 ) ) ) -> ( Q ` N ) = sup ( { r e. NN | ( r ^ 2 ) || N } , RR , < ) )
119	117, 118	breqtrrd 4681	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( K ^ 2 ) || ( N / ( ( Q ` N ) ^ 2 ) ) ) -> ( ( Q ` N ) x. K ) <_ ( Q ` N ) )
120	81, 119	mtand 691	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> -. ( K ^ 2 ) || ( N / ( ( Q ` N ) ^ 2 ) ) )
121	120	ex 450	. 2 |- ( N e. NN -> ( K e. ( ZZ>= ` 2 ) -> -. ( K ^ 2 ) || ( N / ( ( Q ` N ) ^ 2 ) ) ) )
122	54, 60, 121	3jca 1242	1 |- ( N e. NN -> ( ( Q ` N ) e. NN /\ ( ( Q ` N ) ^ 2 ) || N /\ ( K e. ( ZZ>= ` 2 ) -> -. ( K ^ 2 ) || ( N / ( ( Q ` N ) ^ 2 ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   supcsup 8346   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ^cexp 12860   || cdvds 14983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-seq 12802  df-exp 12861  df-dvds 14984

This theorem is referenced by:  prmreclem2  15621  prmreclem3  15622