Theorem prmreclem2 15621

Description: Lemma for prmrec 15626. There are at most 2 ^ K squarefree numbers which divide no primes larger than K. (We could strengthen this to 2 ^ # ( Prime i^i ( 1 ... K ) ) but there's no reason to.) We establish the inequality by showing that the prime counts of the number up to K completely determine it because all higher prime counts are zero, and they are all at most 1 because no square divides the number, so there are at most 2 ^ K possibilities. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
prmrec.1	|- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( 1 / n ) , 0 ) )
prmrec.2	|- ( ph -> K e. NN )
prmrec.3	|- ( ph -> N e. NN )
prmrec.4	|- M = { n e. ( 1 ... N ) | A. p e. ( Prime \ ( 1 ... K ) ) -. p || n }
prmreclem2.5	|- Q = ( n e. NN |-> sup ( { r e. NN | ( r ^ 2 ) || n } , RR , < ) )

Assertion

Ref	Expression
prmreclem2	|- ( ph -> ( # ` { x e. M | ( Q ` x ) = 1 } ) <_ ( 2 ^ K ) )

Distinct variable groups:   n, p, r, x, F   n, K, p, x   n, M, p, x   ph, n, p, x   Q, n, p, r, x   n, N, p, x

Allowed substitution hints:   ph( r)   K( r)   M( r)   N( r)

Proof of Theorem prmreclem2

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 6678	. . . 4 |- ( { 0 , 1 } ^m ( 1 ... K ) ) e. _V
2		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( Q ` x ) = ( Q ` y ) )
3	2	eqeq1d 2624	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( ( Q ` x ) = 1 <-> ( Q ` y ) = 1 ) )
4	3	elrab 3363	. . . . . 6 |- ( y e. { x e. M | ( Q ` x ) = 1 } <-> ( y e. M /\ ( Q ` y ) = 1 ) )
5		prmrec.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- M = { n e. ( 1 ... N ) | A. p e. ( Prime \ ( 1 ... K ) ) -. p || n }
6		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- { n e. ( 1 ... N ) | A. p e. ( Prime \ ( 1 ... K ) ) -. p || n } C_ ( 1 ... N )
7	5, 6	eqsstri 3635	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- M C_ ( 1 ... N )
8		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( y e. M /\ ( Q ` y ) = 1 ) ) -> y e. M )
9	8	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. M /\ ( Q ` y ) = 1 ) ) /\ n e. ( 1 ... K ) ) /\ n e. Prime ) -> y e. M )
10	7, 9	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. M /\ ( Q ` y ) = 1 ) ) /\ n e. ( 1 ... K ) ) /\ n e. Prime ) -> y e. ( 1 ... N ) )
11		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. ( 1 ... N ) -> y e. NN )
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. M /\ ( Q ` y ) = 1 ) ) /\ n e. ( 1 ... K ) ) /\ n e. Prime ) -> y e. NN )
13		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. M /\ ( Q ` y ) = 1 ) ) /\ n e. ( 1 ... K ) ) /\ n e. Prime ) -> n e. Prime )
14		prmuz2 15408	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. Prime -> n e. ( ZZ>= ` 2 ) )
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. M /\ ( Q ` y ) = 1 ) ) /\ n e. ( 1 ... K ) ) /\ n e. Prime ) -> n e. ( ZZ>= ` 2 ) )
16		prmreclem2.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- Q = ( n e. NN |-> sup ( { r e. NN | ( r ^ 2 ) || n } , RR , < ) )
17	16	prmreclem1 15620	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. NN -> ( ( Q ` y ) e. NN /\ ( ( Q ` y ) ^ 2 ) || y /\ ( n e. ( ZZ>= ` 2 ) -> -. ( n ^ 2 ) || ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) ) ) )
18	17	simp3d 1075	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. NN -> ( n e. ( ZZ>= ` 2 ) -> -. ( n ^ 2 ) || ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) ) )
19	12, 15, 18	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. M /\ ( Q ` y ) = 1 ) ) /\ n e. ( 1 ... K ) ) /\ n e. Prime ) -> -. ( n ^ 2 ) || ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) )
20		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ ( y e. M /\ ( Q ` y ) = 1 ) ) -> ( Q ` y ) = 1 )
21	20	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. M /\ ( Q ` y ) = 1 ) ) /\ n e. ( 1 ... K ) ) /\ n e. Prime ) -> ( Q ` y ) = 1 )
22	21	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. M /\ ( Q ` y ) = 1 ) ) /\ n e. ( 1 ... K ) ) /\ n e. Prime ) -> ( ( Q ` y ) ^ 2 ) = ( 1 ^ 2 ) )
23		sq1 12958	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 1 ^ 2 ) = 1
24	22, 23	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. M /\ ( Q ` y ) = 1 ) ) /\ n e. ( 1 ... K ) ) /\ n e. Prime ) -> ( ( Q ` y ) ^ 2 ) = 1 )
25	24	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. M /\ ( Q ` y ) = 1 ) ) /\ n e. ( 1 ... K ) ) /\ n e. Prime ) -> ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) = ( y / 1 ) )
26	12	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. M /\ ( Q ` y ) = 1 ) ) /\ n e. ( 1 ... K ) ) /\ n e. Prime ) -> y e. CC )
27	26	div1d 10793	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. M /\ ( Q ` y ) = 1 ) ) /\ n e. ( 1 ... K ) ) /\ n e. Prime ) -> ( y / 1 ) = y )
28	25, 27	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. M /\ ( Q ` y ) = 1 ) ) /\ n e. ( 1 ... K ) ) /\ n e. Prime ) -> ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) = y )
29	28	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. M /\ ( Q ` y ) = 1 ) ) /\ n e. ( 1 ... K ) ) /\ n e. Prime ) -> ( ( n ^ 2 ) || ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) <-> ( n ^ 2 ) || y ) )
30	12	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. M /\ ( Q ` y ) = 1 ) ) /\ n e. ( 1 ... K ) ) /\ n e. Prime ) -> y e. ZZ )
31		2nn0 11309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 2 e. NN0
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. M /\ ( Q ` y ) = 1 ) ) /\ n e. ( 1 ... K ) ) /\ n e. Prime ) -> 2 e. NN0 )
33		pcdvdsb 15573	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( n e. Prime /\ y e. ZZ /\ 2 e. NN0 ) -> ( 2 <_ ( n pCnt y ) <-> ( n ^ 2 ) || y ) )
34	13, 30, 32, 33	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. M /\ ( Q ` y ) = 1 ) ) /\ n e. ( 1 ... K ) ) /\ n e. Prime ) -> ( 2 <_ ( n pCnt y ) <-> ( n ^ 2 ) || y ) )
35	29, 34	bitr4d 271	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. M /\ ( Q ` y ) = 1 ) ) /\ n e. ( 1 ... K ) ) /\ n e. Prime ) -> ( ( n ^ 2 ) || ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) <-> 2 <_ ( n pCnt y ) ) )
36	19, 35	mtbid 314	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. M /\ ( Q ` y ) = 1 ) ) /\ n e. ( 1 ... K ) ) /\ n e. Prime ) -> -. 2 <_ ( n pCnt y ) )
37	13, 12	pccld 15555	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. M /\ ( Q ` y ) = 1 ) ) /\ n e. ( 1 ... K ) ) /\ n e. Prime ) -> ( n pCnt y ) e. NN0 )
38	37	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. M /\ ( Q ` y ) = 1 ) ) /\ n e. ( 1 ... K ) ) /\ n e. Prime ) -> ( n pCnt y ) e. RR )
39		2re 11090	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2 e. RR
40		ltnle 10117	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( n pCnt y ) e. RR /\ 2 e. RR ) -> ( ( n pCnt y ) < 2 <-> -. 2 <_ ( n pCnt y ) ) )
41	38, 39, 40	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. M /\ ( Q ` y ) = 1 ) ) /\ n e. ( 1 ... K ) ) /\ n e. Prime ) -> ( ( n pCnt y ) < 2 <-> -. 2 <_ ( n pCnt y ) ) )
42	36, 41	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. M /\ ( Q ` y ) = 1 ) ) /\ n e. ( 1 ... K ) ) /\ n e. Prime ) -> ( n pCnt y ) < 2 )
43		df-2 11079	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 = ( 1 + 1 )
44	42, 43	syl6breq 4694	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. M /\ ( Q ` y ) = 1 ) ) /\ n e. ( 1 ... K ) ) /\ n e. Prime ) -> ( n pCnt y ) < ( 1 + 1 ) )
45	37	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. M /\ ( Q ` y ) = 1 ) ) /\ n e. ( 1 ... K ) ) /\ n e. Prime ) -> ( n pCnt y ) e. ZZ )
46		1z 11407	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. ZZ
47		zleltp1 11428	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( n pCnt y ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( ( n pCnt y ) <_ 1 <-> ( n pCnt y ) < ( 1 + 1 ) ) )
48	45, 46, 47	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. M /\ ( Q ` y ) = 1 ) ) /\ n e. ( 1 ... K ) ) /\ n e. Prime ) -> ( ( n pCnt y ) <_ 1 <-> ( n pCnt y ) < ( 1 + 1 ) ) )
49	44, 48	mpbird 247	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. M /\ ( Q ` y ) = 1 ) ) /\ n e. ( 1 ... K ) ) /\ n e. Prime ) -> ( n pCnt y ) <_ 1 )
50		nn0uz 11722	. . . . . . . . . . . . . 14 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
51	37, 50	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. M /\ ( Q ` y ) = 1 ) ) /\ n e. ( 1 ... K ) ) /\ n e. Prime ) -> ( n pCnt y ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
52		elfz5 12334	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( n pCnt y ) e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ 1 e. ZZ ) -> ( ( n pCnt y ) e. ( 0 ... 1 ) <-> ( n pCnt y ) <_ 1 ) )
53	51, 46, 52	sylancl 694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. M /\ ( Q ` y ) = 1 ) ) /\ n e. ( 1 ... K ) ) /\ n e. Prime ) -> ( ( n pCnt y ) e. ( 0 ... 1 ) <-> ( n pCnt y ) <_ 1 ) )
54	49, 53	mpbird 247	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. M /\ ( Q ` y ) = 1 ) ) /\ n e. ( 1 ... K ) ) /\ n e. Prime ) -> ( n pCnt y ) e. ( 0 ... 1 ) )
55		0z 11388	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. ZZ
56		fzpr 12396	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 e. ZZ -> ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) = { 0 , ( 0 + 1 ) } )
57	55, 56	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 ... ( 0 + 1 ) ) = { 0 , ( 0 + 1 ) }
58		1e0p1 11552	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 = ( 0 + 1 )
59	58	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 ... 1 ) = ( 0 ... ( 0 + 1 ) )
60	58	preq2i 4272	. . . . . . . . . . . 12 |- { 0 , 1 } = { 0 , ( 0 + 1 ) }
61	57, 59, 60	3eqtr4i 2654	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 ... 1 ) = { 0 , 1 }
62	54, 61	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. M /\ ( Q ` y ) = 1 ) ) /\ n e. ( 1 ... K ) ) /\ n e. Prime ) -> ( n pCnt y ) e. { 0 , 1 } )
63		c0ex 10034	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. _V
64	63	prid1 4297	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. { 0 , 1 }
65	64	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. M /\ ( Q ` y ) = 1 ) ) /\ n e. ( 1 ... K ) ) /\ -. n e. Prime ) -> 0 e. { 0 , 1 } )
66	62, 65	ifclda 4120	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y e. M /\ ( Q ` y ) = 1 ) ) /\ n e. ( 1 ... K ) ) -> if ( n e. Prime , ( n pCnt y ) , 0 ) e. { 0 , 1 } )
67		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( 1 ... K ) |-> if ( n e. Prime , ( n pCnt y ) , 0 ) ) = ( n e. ( 1 ... K ) |-> if ( n e. Prime , ( n pCnt y ) , 0 ) )
68	66, 67	fmptd 6385	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. M /\ ( Q ` y ) = 1 ) ) -> ( n e. ( 1 ... K ) |-> if ( n e. Prime , ( n pCnt y ) , 0 ) ) : ( 1 ... K ) --> { 0 , 1 } )
69		prex 4909	. . . . . . . . 9 |- { 0 , 1 } e. _V
70		ovex 6678	. . . . . . . . 9 |- ( 1 ... K ) e. _V
71	69, 70	elmap 7886	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. ( 1 ... K ) |-> if ( n e. Prime , ( n pCnt y ) , 0 ) ) e. ( { 0 , 1 } ^m ( 1 ... K ) ) <-> ( n e. ( 1 ... K ) |-> if ( n e. Prime , ( n pCnt y ) , 0 ) ) : ( 1 ... K ) --> { 0 , 1 } )
72	68, 71	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. M /\ ( Q ` y ) = 1 ) ) -> ( n e. ( 1 ... K ) |-> if ( n e. Prime , ( n pCnt y ) , 0 ) ) e. ( { 0 , 1 } ^m ( 1 ... K ) ) )
73	72	ex 450	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( y e. M /\ ( Q ` y ) = 1 ) -> ( n e. ( 1 ... K ) |-> if ( n e. Prime , ( n pCnt y ) , 0 ) ) e. ( { 0 , 1 } ^m ( 1 ... K ) ) ) )
74	4, 73	syl5bi 232	. . . . 5 |- ( ph -> ( y e. { x e. M | ( Q ` x ) = 1 } -> ( n e. ( 1 ... K ) |-> if ( n e. Prime , ( n pCnt y ) , 0 ) ) e. ( { 0 , 1 } ^m ( 1 ... K ) ) ) )
75		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( Q ` x ) = ( Q ` z ) )
76	75	eqeq1d 2624	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( ( Q ` x ) = 1 <-> ( Q ` z ) = 1 ) )
77	76	elrab 3363	. . . . . . 7 |- ( z e. { x e. M | ( Q ` x ) = 1 } <-> ( z e. M /\ ( Q ` z ) = 1 ) )
78	4, 77	anbi12i 733	. . . . . 6 |- ( ( y e. { x e. M | ( Q ` x ) = 1 } /\ z e. { x e. M | ( Q ` x ) = 1 } ) <-> ( ( y e. M /\ ( Q ` y ) = 1 ) /\ ( z e. M /\ ( Q ` z ) = 1 ) ) )
79		ovex 6678	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n pCnt y ) e. _V
80	79, 63	ifex 4156	. . . . . . . . . . 11 |- if ( n e. Prime , ( n pCnt y ) , 0 ) e. _V
81	80, 67	fnmpti 6022	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( 1 ... K ) |-> if ( n e. Prime , ( n pCnt y ) , 0 ) ) Fn ( 1 ... K )
82		ovex 6678	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n pCnt z ) e. _V
83	82, 63	ifex 4156	. . . . . . . . . . 11 |- if ( n e. Prime , ( n pCnt z ) , 0 ) e. _V
84		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( 1 ... K ) |-> if ( n e. Prime , ( n pCnt z ) , 0 ) ) = ( n e. ( 1 ... K ) |-> if ( n e. Prime , ( n pCnt z ) , 0 ) )
85	83, 84	fnmpti 6022	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( 1 ... K ) |-> if ( n e. Prime , ( n pCnt z ) , 0 ) ) Fn ( 1 ... K )
86		eqfnfv 6311	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( n e. ( 1 ... K ) |-> if ( n e. Prime , ( n pCnt y ) , 0 ) ) Fn ( 1 ... K ) /\ ( n e. ( 1 ... K ) |-> if ( n e. Prime , ( n pCnt z ) , 0 ) ) Fn ( 1 ... K ) ) -> ( ( n e. ( 1 ... K ) |-> if ( n e. Prime , ( n pCnt y ) , 0 ) ) = ( n e. ( 1 ... K ) |-> if ( n e. Prime , ( n pCnt z ) , 0 ) ) <-> A. p e. ( 1 ... K ) ( ( n e. ( 1 ... K ) |-> if ( n e. Prime , ( n pCnt y ) , 0 ) ) ` p ) = ( ( n e. ( 1 ... K ) |-> if ( n e. Prime , ( n pCnt z ) , 0 ) ) ` p ) ) )
87	81, 85, 86	mp2an 708	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. ( 1 ... K ) |-> if ( n e. Prime , ( n pCnt y ) , 0 ) ) = ( n e. ( 1 ... K ) |-> if ( n e. Prime , ( n pCnt z ) , 0 ) ) <-> A. p e. ( 1 ... K ) ( ( n e. ( 1 ... K ) |-> if ( n e. Prime , ( n pCnt y ) , 0 ) ) ` p ) = ( ( n e. ( 1 ... K ) |-> if ( n e. Prime , ( n pCnt z ) , 0 ) ) ` p ) )
88		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = p -> ( n e. Prime <-> p e. Prime ) )
89		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = p -> ( n pCnt y ) = ( p pCnt y ) )
90	88, 89	ifbieq1d 4109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = p -> if ( n e. Prime , ( n pCnt y ) , 0 ) = if ( p e. Prime , ( p pCnt y ) , 0 ) )
91		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( p pCnt y ) e. _V
92	91, 63	ifex 4156	. . . . . . . . . . . 12 |- if ( p e. Prime , ( p pCnt y ) , 0 ) e. _V
93	90, 67, 92	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . 11 |- ( p e. ( 1 ... K ) -> ( ( n e. ( 1 ... K ) |-> if ( n e. Prime , ( n pCnt y ) , 0 ) ) ` p ) = if ( p e. Prime , ( p pCnt y ) , 0 ) )
94		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = p -> ( n pCnt z ) = ( p pCnt z ) )
95	88, 94	ifbieq1d 4109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = p -> if ( n e. Prime , ( n pCnt z ) , 0 ) = if ( p e. Prime , ( p pCnt z ) , 0 ) )
96		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( p pCnt z ) e. _V
97	96, 63	ifex 4156	. . . . . . . . . . . 12 |- if ( p e. Prime , ( p pCnt z ) , 0 ) e. _V
98	95, 84, 97	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . 11 |- ( p e. ( 1 ... K ) -> ( ( n e. ( 1 ... K ) |-> if ( n e. Prime , ( n pCnt z ) , 0 ) ) ` p ) = if ( p e. Prime , ( p pCnt z ) , 0 ) )
99	93, 98	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . 10 |- ( p e. ( 1 ... K ) -> ( ( ( n e. ( 1 ... K ) |-> if ( n e. Prime , ( n pCnt y ) , 0 ) ) ` p ) = ( ( n e. ( 1 ... K ) |-> if ( n e. Prime , ( n pCnt z ) , 0 ) ) ` p ) <-> if ( p e. Prime , ( p pCnt y ) , 0 ) = if ( p e. Prime , ( p pCnt z ) , 0 ) ) )
100	99	ralbiia 2979	. . . . . . . . 9 |- ( A. p e. ( 1 ... K ) ( ( n e. ( 1 ... K ) |-> if ( n e. Prime , ( n pCnt y ) , 0 ) ) ` p ) = ( ( n e. ( 1 ... K ) |-> if ( n e. Prime , ( n pCnt z ) , 0 ) ) ` p ) <-> A. p e. ( 1 ... K ) if ( p e. Prime , ( p pCnt y ) , 0 ) = if ( p e. Prime , ( p pCnt z ) , 0 ) )
101	87, 100	bitri 264	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. ( 1 ... K ) |-> if ( n e. Prime , ( n pCnt y ) , 0 ) ) = ( n e. ( 1 ... K ) |-> if ( n e. Prime , ( n pCnt z ) , 0 ) ) <-> A. p e. ( 1 ... K ) if ( p e. Prime , ( p pCnt y ) , 0 ) = if ( p e. Prime , ( p pCnt z ) , 0 ) )
102		simprll 802	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( y e. M /\ ( Q ` y ) = 1 ) /\ ( z e. M /\ ( Q ` z ) = 1 ) ) ) -> y e. M )
103		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = y -> ( p || n <-> p || y ) )
104	103	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = y -> ( -. p || n <-> -. p || y ) )
105	104	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = y -> ( A. p e. ( Prime \ ( 1 ... K ) ) -. p || n <-> A. p e. ( Prime \ ( 1 ... K ) ) -. p || y ) )
106	105, 5	elrab2 3366	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. M <-> ( y e. ( 1 ... N ) /\ A. p e. ( Prime \ ( 1 ... K ) ) -. p || y ) )
107	106	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. M -> A. p e. ( Prime \ ( 1 ... K ) ) -. p || y )
108	102, 107	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( y e. M /\ ( Q ` y ) = 1 ) /\ ( z e. M /\ ( Q ` z ) = 1 ) ) ) -> A. p e. ( Prime \ ( 1 ... K ) ) -. p || y )
109		simprrl 804	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( y e. M /\ ( Q ` y ) = 1 ) /\ ( z e. M /\ ( Q ` z ) = 1 ) ) ) -> z e. M )
110		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = z -> ( p || n <-> p || z ) )
111	110	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = z -> ( -. p || n <-> -. p || z ) )
112	111	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = z -> ( A. p e. ( Prime \ ( 1 ... K ) ) -. p || n <-> A. p e. ( Prime \ ( 1 ... K ) ) -. p || z ) )
113	112, 5	elrab2 3366	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. M <-> ( z e. ( 1 ... N ) /\ A. p e. ( Prime \ ( 1 ... K ) ) -. p || z ) )
114	113	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. M -> A. p e. ( Prime \ ( 1 ... K ) ) -. p || z )
115	109, 114	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( y e. M /\ ( Q ` y ) = 1 ) /\ ( z e. M /\ ( Q ` z ) = 1 ) ) ) -> A. p e. ( Prime \ ( 1 ... K ) ) -. p || z )
116		r19.26 3064	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. p e. ( Prime \ ( 1 ... K ) ) ( -. p || y /\ -. p || z ) <-> ( A. p e. ( Prime \ ( 1 ... K ) ) -. p || y /\ A. p e. ( Prime \ ( 1 ... K ) ) -. p || z ) )
117		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( p e. ( Prime \ ( 1 ... K ) ) -> p e. Prime )
118		fz1ssnn 12372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 1 ... N ) C_ NN
119	7, 118	sstri 3612	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- M C_ NN
120	119, 102	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( y e. M /\ ( Q ` y ) = 1 ) /\ ( z e. M /\ ( Q ` z ) = 1 ) ) ) -> y e. NN )
121		pceq0 15575	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( p e. Prime /\ y e. NN ) -> ( ( p pCnt y ) = 0 <-> -. p || y ) )
122	117, 120, 121	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( ( y e. M /\ ( Q ` y ) = 1 ) /\ ( z e. M /\ ( Q ` z ) = 1 ) ) ) /\ p e. ( Prime \ ( 1 ... K ) ) ) -> ( ( p pCnt y ) = 0 <-> -. p || y ) )
123	119, 109	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ( y e. M /\ ( Q ` y ) = 1 ) /\ ( z e. M /\ ( Q ` z ) = 1 ) ) ) -> z e. NN )
124		pceq0 15575	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( p e. Prime /\ z e. NN ) -> ( ( p pCnt z ) = 0 <-> -. p || z ) )
125	117, 123, 124	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( ( y e. M /\ ( Q ` y ) = 1 ) /\ ( z e. M /\ ( Q ` z ) = 1 ) ) ) /\ p e. ( Prime \ ( 1 ... K ) ) ) -> ( ( p pCnt z ) = 0 <-> -. p || z ) )
126	122, 125	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( ( y e. M /\ ( Q ` y ) = 1 ) /\ ( z e. M /\ ( Q ` z ) = 1 ) ) ) /\ p e. ( Prime \ ( 1 ... K ) ) ) -> ( ( ( p pCnt y ) = 0 /\ ( p pCnt z ) = 0 ) <-> ( -. p || y /\ -. p || z ) ) )
127		eqtr3 2643	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( p pCnt y ) = 0 /\ ( p pCnt z ) = 0 ) -> ( p pCnt y ) = ( p pCnt z ) )
128	126, 127	syl6bir 244	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( ( y e. M /\ ( Q ` y ) = 1 ) /\ ( z e. M /\ ( Q ` z ) = 1 ) ) ) /\ p e. ( Prime \ ( 1 ... K ) ) ) -> ( ( -. p || y /\ -. p || z ) -> ( p pCnt y ) = ( p pCnt z ) ) )
129	128	ralimdva 2962	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( y e. M /\ ( Q ` y ) = 1 ) /\ ( z e. M /\ ( Q ` z ) = 1 ) ) ) -> ( A. p e. ( Prime \ ( 1 ... K ) ) ( -. p || y /\ -. p || z ) -> A. p e. ( Prime \ ( 1 ... K ) ) ( p pCnt y ) = ( p pCnt z ) ) )
130	116, 129	syl5bir 233	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( y e. M /\ ( Q ` y ) = 1 ) /\ ( z e. M /\ ( Q ` z ) = 1 ) ) ) -> ( ( A. p e. ( Prime \ ( 1 ... K ) ) -. p || y /\ A. p e. ( Prime \ ( 1 ... K ) ) -. p || z ) -> A. p e. ( Prime \ ( 1 ... K ) ) ( p pCnt y ) = ( p pCnt z ) ) )
131	108, 115, 130	mp2and 715	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( y e. M /\ ( Q ` y ) = 1 ) /\ ( z e. M /\ ( Q ` z ) = 1 ) ) ) -> A. p e. ( Prime \ ( 1 ... K ) ) ( p pCnt y ) = ( p pCnt z ) )
132	131	biantrud 528	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( y e. M /\ ( Q ` y ) = 1 ) /\ ( z e. M /\ ( Q ` z ) = 1 ) ) ) -> ( A. p e. ( Prime i^i ( 1 ... K ) ) ( p pCnt y ) = ( p pCnt z ) <-> ( A. p e. ( Prime i^i ( 1 ... K ) ) ( p pCnt y ) = ( p pCnt z ) /\ A. p e. ( Prime \ ( 1 ... K ) ) ( p pCnt y ) = ( p pCnt z ) ) ) )
133		incom 3805	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Prime i^i ( 1 ... K ) ) = ( ( 1 ... K ) i^i Prime )
134	133	uneq1i 3763	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Prime i^i ( 1 ... K ) ) u. ( ( 1 ... K ) \ Prime ) ) = ( ( ( 1 ... K ) i^i Prime ) u. ( ( 1 ... K ) \ Prime ) )
135		inundif 4046	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( 1 ... K ) i^i Prime ) u. ( ( 1 ... K ) \ Prime ) ) = ( 1 ... K )
136	134, 135	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Prime i^i ( 1 ... K ) ) u. ( ( 1 ... K ) \ Prime ) ) = ( 1 ... K )
137	136	raleqi 3142	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. p e. ( ( Prime i^i ( 1 ... K ) ) u. ( ( 1 ... K ) \ Prime ) ) if ( p e. Prime , ( p pCnt y ) , 0 ) = if ( p e. Prime , ( p pCnt z ) , 0 ) <-> A. p e. ( 1 ... K ) if ( p e. Prime , ( p pCnt y ) , 0 ) = if ( p e. Prime , ( p pCnt z ) , 0 ) )
138		ralunb 3794	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. p e. ( ( Prime i^i ( 1 ... K ) ) u. ( ( 1 ... K ) \ Prime ) ) if ( p e. Prime , ( p pCnt y ) , 0 ) = if ( p e. Prime , ( p pCnt z ) , 0 ) <-> ( A. p e. ( Prime i^i ( 1 ... K ) ) if ( p e. Prime , ( p pCnt y ) , 0 ) = if ( p e. Prime , ( p pCnt z ) , 0 ) /\ A. p e. ( ( 1 ... K ) \ Prime ) if ( p e. Prime , ( p pCnt y ) , 0 ) = if ( p e. Prime , ( p pCnt z ) , 0 ) ) )
139	137, 138	bitr3i 266	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. p e. ( 1 ... K ) if ( p e. Prime , ( p pCnt y ) , 0 ) = if ( p e. Prime , ( p pCnt z ) , 0 ) <-> ( A. p e. ( Prime i^i ( 1 ... K ) ) if ( p e. Prime , ( p pCnt y ) , 0 ) = if ( p e. Prime , ( p pCnt z ) , 0 ) /\ A. p e. ( ( 1 ... K ) \ Prime ) if ( p e. Prime , ( p pCnt y ) , 0 ) = if ( p e. Prime , ( p pCnt z ) , 0 ) ) )
140		eldifn 3733	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( p e. ( ( 1 ... K ) \ Prime ) -> -. p e. Prime )
141		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. p e. Prime -> if ( p e. Prime , ( p pCnt y ) , 0 ) = 0 )
142		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. p e. Prime -> if ( p e. Prime , ( p pCnt z ) , 0 ) = 0 )
143	141, 142	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. p e. Prime -> if ( p e. Prime , ( p pCnt y ) , 0 ) = if ( p e. Prime , ( p pCnt z ) , 0 ) )
144	140, 143	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( p e. ( ( 1 ... K ) \ Prime ) -> if ( p e. Prime , ( p pCnt y ) , 0 ) = if ( p e. Prime , ( p pCnt z ) , 0 ) )
145	144	rgen 2922	. . . . . . . . . . . . 13 |- A. p e. ( ( 1 ... K ) \ Prime ) if ( p e. Prime , ( p pCnt y ) , 0 ) = if ( p e. Prime , ( p pCnt z ) , 0 )
146	145	biantru 526	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. p e. ( Prime i^i ( 1 ... K ) ) if ( p e. Prime , ( p pCnt y ) , 0 ) = if ( p e. Prime , ( p pCnt z ) , 0 ) <-> ( A. p e. ( Prime i^i ( 1 ... K ) ) if ( p e. Prime , ( p pCnt y ) , 0 ) = if ( p e. Prime , ( p pCnt z ) , 0 ) /\ A. p e. ( ( 1 ... K ) \ Prime ) if ( p e. Prime , ( p pCnt y ) , 0 ) = if ( p e. Prime , ( p pCnt z ) , 0 ) ) )
147		elinel1 3799	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( p e. ( Prime i^i ( 1 ... K ) ) -> p e. Prime )
148		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( p e. Prime -> if ( p e. Prime , ( p pCnt y ) , 0 ) = ( p pCnt y ) )
149		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( p e. Prime -> if ( p e. Prime , ( p pCnt z ) , 0 ) = ( p pCnt z ) )
150	148, 149	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( p e. Prime -> ( if ( p e. Prime , ( p pCnt y ) , 0 ) = if ( p e. Prime , ( p pCnt z ) , 0 ) <-> ( p pCnt y ) = ( p pCnt z ) ) )
151	147, 150	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( p e. ( Prime i^i ( 1 ... K ) ) -> ( if ( p e. Prime , ( p pCnt y ) , 0 ) = if ( p e. Prime , ( p pCnt z ) , 0 ) <-> ( p pCnt y ) = ( p pCnt z ) ) )
152	151	ralbiia 2979	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. p e. ( Prime i^i ( 1 ... K ) ) if ( p e. Prime , ( p pCnt y ) , 0 ) = if ( p e. Prime , ( p pCnt z ) , 0 ) <-> A. p e. ( Prime i^i ( 1 ... K ) ) ( p pCnt y ) = ( p pCnt z ) )
153	146, 152	bitr3i 266	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. p e. ( Prime i^i ( 1 ... K ) ) if ( p e. Prime , ( p pCnt y ) , 0 ) = if ( p e. Prime , ( p pCnt z ) , 0 ) /\ A. p e. ( ( 1 ... K ) \ Prime ) if ( p e. Prime , ( p pCnt y ) , 0 ) = if ( p e. Prime , ( p pCnt z ) , 0 ) ) <-> A. p e. ( Prime i^i ( 1 ... K ) ) ( p pCnt y ) = ( p pCnt z ) )
154	139, 153	bitri 264	. . . . . . . . . 10 |- ( A. p e. ( 1 ... K ) if ( p e. Prime , ( p pCnt y ) , 0 ) = if ( p e. Prime , ( p pCnt z ) , 0 ) <-> A. p e. ( Prime i^i ( 1 ... K ) ) ( p pCnt y ) = ( p pCnt z ) )
155		inundif 4046	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Prime i^i ( 1 ... K ) ) u. ( Prime \ ( 1 ... K ) ) ) = Prime
156	155	raleqi 3142	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. p e. ( ( Prime i^i ( 1 ... K ) ) u. ( Prime \ ( 1 ... K ) ) ) ( p pCnt y ) = ( p pCnt z ) <-> A. p e. Prime ( p pCnt y ) = ( p pCnt z ) )
157		ralunb 3794	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. p e. ( ( Prime i^i ( 1 ... K ) ) u. ( Prime \ ( 1 ... K ) ) ) ( p pCnt y ) = ( p pCnt z ) <-> ( A. p e. ( Prime i^i ( 1 ... K ) ) ( p pCnt y ) = ( p pCnt z ) /\ A. p e. ( Prime \ ( 1 ... K ) ) ( p pCnt y ) = ( p pCnt z ) ) )
158	156, 157	bitr3i 266	. . . . . . . . . 10 |- ( A. p e. Prime ( p pCnt y ) = ( p pCnt z ) <-> ( A. p e. ( Prime i^i ( 1 ... K ) ) ( p pCnt y ) = ( p pCnt z ) /\ A. p e. ( Prime \ ( 1 ... K ) ) ( p pCnt y ) = ( p pCnt z ) ) )
159	132, 154, 158	3bitr4g 303	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( y e. M /\ ( Q ` y ) = 1 ) /\ ( z e. M /\ ( Q ` z ) = 1 ) ) ) -> ( A. p e. ( 1 ... K ) if ( p e. Prime , ( p pCnt y ) , 0 ) = if ( p e. Prime , ( p pCnt z ) , 0 ) <-> A. p e. Prime ( p pCnt y ) = ( p pCnt z ) ) )
160	120	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( y e. M /\ ( Q ` y ) = 1 ) /\ ( z e. M /\ ( Q ` z ) = 1 ) ) ) -> y e. NN0 )
161	123	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( y e. M /\ ( Q ` y ) = 1 ) /\ ( z e. M /\ ( Q ` z ) = 1 ) ) ) -> z e. NN0 )
162		pc11 15584	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. NN0 /\ z e. NN0 ) -> ( y = z <-> A. p e. Prime ( p pCnt y ) = ( p pCnt z ) ) )
163	160, 161, 162	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( y e. M /\ ( Q ` y ) = 1 ) /\ ( z e. M /\ ( Q ` z ) = 1 ) ) ) -> ( y = z <-> A. p e. Prime ( p pCnt y ) = ( p pCnt z ) ) )
164	159, 163	bitr4d 271	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( y e. M /\ ( Q ` y ) = 1 ) /\ ( z e. M /\ ( Q ` z ) = 1 ) ) ) -> ( A. p e. ( 1 ... K ) if ( p e. Prime , ( p pCnt y ) , 0 ) = if ( p e. Prime , ( p pCnt z ) , 0 ) <-> y = z ) )
165	101, 164	syl5bb 272	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( y e. M /\ ( Q ` y ) = 1 ) /\ ( z e. M /\ ( Q ` z ) = 1 ) ) ) -> ( ( n e. ( 1 ... K ) |-> if ( n e. Prime , ( n pCnt y ) , 0 ) ) = ( n e. ( 1 ... K ) |-> if ( n e. Prime , ( n pCnt z ) , 0 ) ) <-> y = z ) )
166	165	ex 450	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( y e. M /\ ( Q ` y ) = 1 ) /\ ( z e. M /\ ( Q ` z ) = 1 ) ) -> ( ( n e. ( 1 ... K ) |-> if ( n e. Prime , ( n pCnt y ) , 0 ) ) = ( n e. ( 1 ... K ) |-> if ( n e. Prime , ( n pCnt z ) , 0 ) ) <-> y = z ) ) )
167	78, 166	syl5bi 232	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( y e. { x e. M | ( Q ` x ) = 1 } /\ z e. { x e. M | ( Q ` x ) = 1 } ) -> ( ( n e. ( 1 ... K ) |-> if ( n e. Prime , ( n pCnt y ) , 0 ) ) = ( n e. ( 1 ... K ) |-> if ( n e. Prime , ( n pCnt z ) , 0 ) ) <-> y = z ) ) )
168	74, 167	dom2d 7996	. . . 4 |- ( ph -> ( ( { 0 , 1 } ^m ( 1 ... K ) ) e. _V -> { x e. M | ( Q ` x ) = 1 } ~<_ ( { 0 , 1 } ^m ( 1 ... K ) ) ) )
169	1, 168	mpi 20	. . 3 |- ( ph -> { x e. M | ( Q ` x ) = 1 } ~<_ ( { 0 , 1 } ^m ( 1 ... K ) ) )
170		fzfi 12771	. . . . . . 7 |- ( 1 ... N ) e. Fin
171		ssfi 8180	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1 ... N ) e. Fin /\ { n e. ( 1 ... N ) | A. p e. ( Prime \ ( 1 ... K ) ) -. p || n } C_ ( 1 ... N ) ) -> { n e. ( 1 ... N ) | A. p e. ( Prime \ ( 1 ... K ) ) -. p || n } e. Fin )
172	170, 6, 171	mp2an 708	. . . . . 6 |- { n e. ( 1 ... N ) | A. p e. ( Prime \ ( 1 ... K ) ) -. p || n } e. Fin
173	5, 172	eqeltri 2697	. . . . 5 |- M e. Fin
174		ssrab2 3687	. . . . 5 |- { x e. M | ( Q ` x ) = 1 } C_ M
175		ssfi 8180	. . . . 5 |- ( ( M e. Fin /\ { x e. M | ( Q ` x ) = 1 } C_ M ) -> { x e. M | ( Q ` x ) = 1 } e. Fin )
176	173, 174, 175	mp2an 708	. . . 4 |- { x e. M | ( Q ` x ) = 1 } e. Fin
177		prfi 8235	. . . . 5 |- { 0 , 1 } e. Fin
178		fzfid 12772	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 ... K ) e. Fin )
179		mapfi 8262	. . . . 5 |- ( ( { 0 , 1 } e. Fin /\ ( 1 ... K ) e. Fin ) -> ( { 0 , 1 } ^m ( 1 ... K ) ) e. Fin )
180	177, 178, 179	sylancr 695	. . . 4 |- ( ph -> ( { 0 , 1 } ^m ( 1 ... K ) ) e. Fin )
181		hashdom 13168	. . . 4 |- ( ( { x e. M | ( Q ` x ) = 1 } e. Fin /\ ( { 0 , 1 } ^m ( 1 ... K ) ) e. Fin ) -> ( ( # ` { x e. M | ( Q ` x ) = 1 } ) <_ ( # ` ( { 0 , 1 } ^m ( 1 ... K ) ) ) <-> { x e. M | ( Q ` x ) = 1 } ~<_ ( { 0 , 1 } ^m ( 1 ... K ) ) ) )
182	176, 180, 181	sylancr 695	. . 3 |- ( ph -> ( ( # ` { x e. M | ( Q ` x ) = 1 } ) <_ ( # ` ( { 0 , 1 } ^m ( 1 ... K ) ) ) <-> { x e. M | ( Q ` x ) = 1 } ~<_ ( { 0 , 1 } ^m ( 1 ... K ) ) ) )
183	169, 182	mpbird 247	. 2 |- ( ph -> ( # ` { x e. M | ( Q ` x ) = 1 } ) <_ ( # ` ( { 0 , 1 } ^m ( 1 ... K ) ) ) )
184		hashmap 13222	. . . 4 |- ( ( { 0 , 1 } e. Fin /\ ( 1 ... K ) e. Fin ) -> ( # ` ( { 0 , 1 } ^m ( 1 ... K ) ) ) = ( ( # ` { 0 , 1 } ) ^ ( # ` ( 1 ... K ) ) ) )
185	177, 178, 184	sylancr 695	. . 3 |- ( ph -> ( # ` ( { 0 , 1 } ^m ( 1 ... K ) ) ) = ( ( # ` { 0 , 1 } ) ^ ( # ` ( 1 ... K ) ) ) )
186		prhash2ex 13187	. . . . 5 |- ( # ` { 0 , 1 } ) = 2
187	186	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( # ` { 0 , 1 } ) = 2 )
188		prmrec.2	. . . . . 6 |- ( ph -> K e. NN )
189	188	nnnn0d 11351	. . . . 5 |- ( ph -> K e. NN0 )
190		hashfz1 13134	. . . . 5 |- ( K e. NN0 -> ( # ` ( 1 ... K ) ) = K )
191	189, 190	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( # ` ( 1 ... K ) ) = K )
192	187, 191	oveq12d 6668	. . 3 |- ( ph -> ( ( # ` { 0 , 1 } ) ^ ( # ` ( 1 ... K ) ) ) = ( 2 ^ K ) )
193	185, 192	eqtrd 2656	. 2 |- ( ph -> ( # ` ( { 0 , 1 } ^m ( 1 ... K ) ) ) = ( 2 ^ K ) )
194	183, 193	breqtrd 4679	1 |- ( ph -> ( # ` { x e. M | ( Q ` x ) = 1 } ) <_ ( 2 ^ K ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ifcif 4086   {cpr 4179   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   ~<_ cdom 7953   Fincfn 7955   supcsup 8346   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   ^cexp 12860   #chash 13117   || cdvds 14983   Primecprime 15385   pCnt cpc 15541

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-pc 15542

This theorem is referenced by:  prmreclem3  15622