Theorem prmreclem3 15622

Description: Lemma for prmrec 15626. The main inequality established here is # M <_ # { x e. M | ( Q ` x ) = 1 } x. sqr N, where { x e. M | ( Q ` x ) = 1 } is the set of squarefree numbers in M. This is demonstrated by the map y |-> <. y / ( Q ` y ) ^ 2 , ( Q ` y ) >. where Q ` y is the largest number whose square divides y. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
prmrec.1	|- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( 1 / n ) , 0 ) )
prmrec.2	|- ( ph -> K e. NN )
prmrec.3	|- ( ph -> N e. NN )
prmrec.4	|- M = { n e. ( 1 ... N ) | A. p e. ( Prime \ ( 1 ... K ) ) -. p || n }
prmreclem2.5	|- Q = ( n e. NN |-> sup ( { r e. NN | ( r ^ 2 ) || n } , RR , < ) )

Assertion

Ref	Expression
prmreclem3	|- ( ph -> ( # ` M ) <_ ( ( 2 ^ K ) x. ( sqr ` N ) ) )

Distinct variable groups:   n, p, r, F   n, K, p   n, M, p   ph, n, p   Q, n, p, r   n, N, p

Allowed substitution hints:   ph( r)   K( r)   M( r)   N( r)

Proof of Theorem prmreclem3

Dummy variables x y z A are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfi 12771	. . . . . 6 |- ( 1 ... N ) e. Fin
2		prmrec.4	. . . . . . 7 |- M = { n e. ( 1 ... N ) | A. p e. ( Prime \ ( 1 ... K ) ) -. p || n }
3		ssrab2 3687	. . . . . . 7 |- { n e. ( 1 ... N ) | A. p e. ( Prime \ ( 1 ... K ) ) -. p || n } C_ ( 1 ... N )
4	2, 3	eqsstri 3635	. . . . . 6 |- M C_ ( 1 ... N )
5		ssfi 8180	. . . . . 6 |- ( ( ( 1 ... N ) e. Fin /\ M C_ ( 1 ... N ) ) -> M e. Fin )
6	1, 4, 5	mp2an 708	. . . . 5 |- M e. Fin
7		hashcl 13147	. . . . 5 |- ( M e. Fin -> ( # ` M ) e. NN0 )
8	6, 7	ax-mp 5	. . . 4 |- ( # ` M ) e. NN0
9	8	nn0rei 11303	. . 3 |- ( # ` M ) e. RR
10	9	a1i 11	. 2 |- ( ph -> ( # ` M ) e. RR )
11		2nn 11185	. . . . . 6 |- 2 e. NN
12		prmrec.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> K e. NN )
13	12	nnnn0d 11351	. . . . . 6 |- ( ph -> K e. NN0 )
14		nnexpcl 12873	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. NN /\ K e. NN0 ) -> ( 2 ^ K ) e. NN )
15	11, 13, 14	sylancr 695	. . . . 5 |- ( ph -> ( 2 ^ K ) e. NN )
16	15	nnnn0d 11351	. . . 4 |- ( ph -> ( 2 ^ K ) e. NN0 )
17		prmrec.3	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. NN )
18	17	nnrpd 11870	. . . . . . 7 |- ( ph -> N e. RR+ )
19	18	rpsqrtcld 14150	. . . . . 6 |- ( ph -> ( sqr ` N ) e. RR+ )
20	19	rprege0d 11879	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( sqr ` N ) e. RR /\ 0 <_ ( sqr ` N ) ) )
21		flge0nn0 12621	. . . . 5 |- ( ( ( sqr ` N ) e. RR /\ 0 <_ ( sqr ` N ) ) -> ( |_ ` ( sqr ` N ) ) e. NN0 )
22	20, 21	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( |_ ` ( sqr ` N ) ) e. NN0 )
23	16, 22	nn0mulcld 11356	. . 3 |- ( ph -> ( ( 2 ^ K ) x. ( |_ ` ( sqr ` N ) ) ) e. NN0 )
24	23	nn0red 11352	. 2 |- ( ph -> ( ( 2 ^ K ) x. ( |_ ` ( sqr ` N ) ) ) e. RR )
25	15	nnred 11035	. . 3 |- ( ph -> ( 2 ^ K ) e. RR )
26	19	rpred 11872	. . 3 |- ( ph -> ( sqr ` N ) e. RR )
27	25, 26	remulcld 10070	. 2 |- ( ph -> ( ( 2 ^ K ) x. ( sqr ` N ) ) e. RR )
28		ssrab2 3687	. . . . . . 7 |- { x e. M | ( Q ` x ) = 1 } C_ M
29		ssfi 8180	. . . . . . 7 |- ( ( M e. Fin /\ { x e. M | ( Q ` x ) = 1 } C_ M ) -> { x e. M | ( Q ` x ) = 1 } e. Fin )
30	6, 28, 29	mp2an 708	. . . . . 6 |- { x e. M | ( Q ` x ) = 1 } e. Fin
31		hashcl 13147	. . . . . 6 |- ( { x e. M | ( Q ` x ) = 1 } e. Fin -> ( # ` { x e. M | ( Q ` x ) = 1 } ) e. NN0 )
32	30, 31	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( # ` { x e. M | ( Q ` x ) = 1 } ) e. NN0
33	32	nn0rei 11303	. . . 4 |- ( # ` { x e. M | ( Q ` x ) = 1 } ) e. RR
34	22	nn0red 11352	. . . 4 |- ( ph -> ( |_ ` ( sqr ` N ) ) e. RR )
35		remulcl 10021	. . . 4 |- ( ( ( # ` { x e. M | ( Q ` x ) = 1 } ) e. RR /\ ( |_ ` ( sqr ` N ) ) e. RR ) -> ( ( # ` { x e. M | ( Q ` x ) = 1 } ) x. ( |_ ` ( sqr ` N ) ) ) e. RR )
36	33, 34, 35	sylancr 695	. . 3 |- ( ph -> ( ( # ` { x e. M | ( Q ` x ) = 1 } ) x. ( |_ ` ( sqr ` N ) ) ) e. RR )
37		fzfi 12771	. . . . . . 7 |- ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` N ) ) ) e. Fin
38		xpfi 8231	. . . . . . 7 |- ( ( { x e. M | ( Q ` x ) = 1 } e. Fin /\ ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` N ) ) ) e. Fin ) -> ( { x e. M | ( Q ` x ) = 1 } X. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` N ) ) ) ) e. Fin )
39	30, 37, 38	mp2an 708	. . . . . 6 |- ( { x e. M | ( Q ` x ) = 1 } X. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` N ) ) ) ) e. Fin
40		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ y e. M ) -> y e. M )
41	4, 40	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ y e. M ) -> y e. ( 1 ... N ) )
42		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. ( 1 ... N ) -> y e. NN )
43	41, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ y e. M ) -> y e. NN )
44		prmreclem2.5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- Q = ( n e. NN |-> sup ( { r e. NN | ( r ^ 2 ) || n } , RR , < ) )
45	44	prmreclem1 15620	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. NN -> ( ( Q ` y ) e. NN /\ ( ( Q ` y ) ^ 2 ) || y /\ ( n e. ( ZZ>= ` 2 ) -> -. ( n ^ 2 ) || ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) ) ) )
46	45	simp2d 1074	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. NN -> ( ( Q ` y ) ^ 2 ) || y )
47	43, 46	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ y e. M ) -> ( ( Q ` y ) ^ 2 ) || y )
48	45	simp1d 1073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( y e. NN -> ( Q ` y ) e. NN )
49	43, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ y e. M ) -> ( Q ` y ) e. NN )
50	49	nnsqcld 13029	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ y e. M ) -> ( ( Q ` y ) ^ 2 ) e. NN )
51	50	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ y e. M ) -> ( ( Q ` y ) ^ 2 ) e. ZZ )
52	50	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ y e. M ) -> ( ( Q ` y ) ^ 2 ) =/= 0 )
53	43	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ y e. M ) -> y e. ZZ )
54		dvdsval2 14986	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( Q ` y ) ^ 2 ) e. ZZ /\ ( ( Q ` y ) ^ 2 ) =/= 0 /\ y e. ZZ ) -> ( ( ( Q ` y ) ^ 2 ) || y <-> ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) e. ZZ ) )
55	51, 52, 53, 54	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ y e. M ) -> ( ( ( Q ` y ) ^ 2 ) || y <-> ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) e. ZZ ) )
56	47, 55	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ y e. M ) -> ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) e. ZZ )
57		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. NN -> y e. RR )
58		nngt0 11049	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. NN -> 0 < y )
59	57, 58	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. NN -> ( y e. RR /\ 0 < y ) )
60		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( Q ` y ) ^ 2 ) e. NN -> ( ( Q ` y ) ^ 2 ) e. RR )
61		nngt0 11049	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( Q ` y ) ^ 2 ) e. NN -> 0 < ( ( Q ` y ) ^ 2 ) )
62	60, 61	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( Q ` y ) ^ 2 ) e. NN -> ( ( ( Q ` y ) ^ 2 ) e. RR /\ 0 < ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) )
63		divgt0 10891	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( y e. RR /\ 0 < y ) /\ ( ( ( Q ` y ) ^ 2 ) e. RR /\ 0 < ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) ) -> 0 < ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) )
64	59, 62, 63	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. NN /\ ( ( Q ` y ) ^ 2 ) e. NN ) -> 0 < ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) )
65	43, 50, 64	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ y e. M ) -> 0 < ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) )
66		elnnz 11387	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) e. NN <-> ( ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) e. ZZ /\ 0 < ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) ) )
67	56, 65, 66	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. M ) -> ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) e. NN )
68	67	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. M ) -> ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) e. RR )
69	43	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. M ) -> y e. RR )
70	17	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> N e. RR )
71	70	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. M ) -> N e. RR )
72		dvdsmul1 15003	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) e. ZZ /\ ( ( Q ` y ) ^ 2 ) e. ZZ ) -> ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) || ( ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) x. ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) )
73	56, 51, 72	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ y e. M ) -> ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) || ( ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) x. ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) )
74	43	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ y e. M ) -> y e. CC )
75	50	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ y e. M ) -> ( ( Q ` y ) ^ 2 ) e. CC )
76	74, 75, 52	divcan1d 10802	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ y e. M ) -> ( ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) x. ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) = y )
77	73, 76	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. M ) -> ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) || y )
78		dvdsle 15032	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) || y -> ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) <_ y ) )
79	56, 43, 78	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. M ) -> ( ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) || y -> ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) <_ y ) )
80	77, 79	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. M ) -> ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) <_ y )
81		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ( 1 ... N ) -> y <_ N )
82	41, 81	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. M ) -> y <_ N )
83	68, 69, 71, 80, 82	letrd 10194	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. M ) -> ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) <_ N )
84		nnuz 11723	. . . . . . . . . . . . . 14 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
85	67, 84	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. M ) -> ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
86	17	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> N e. ZZ )
87	86	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. M ) -> N e. ZZ )
88		elfz5 12334	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) e. ( 1 ... N ) <-> ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) <_ N ) )
89	85, 87, 88	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. M ) -> ( ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) e. ( 1 ... N ) <-> ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) <_ N ) )
90	83, 89	mpbird 247	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. M ) -> ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) e. ( 1 ... N ) )
91		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = y -> ( p || n <-> p || y ) )
92	91	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = y -> ( -. p || n <-> -. p || y ) )
93	92	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = y -> ( A. p e. ( Prime \ ( 1 ... K ) ) -. p || n <-> A. p e. ( Prime \ ( 1 ... K ) ) -. p || y ) )
94	93, 2	elrab2 3366	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. M <-> ( y e. ( 1 ... N ) /\ A. p e. ( Prime \ ( 1 ... K ) ) -. p || y ) )
95	40, 94	sylib 208	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. M ) -> ( y e. ( 1 ... N ) /\ A. p e. ( Prime \ ( 1 ... K ) ) -. p || y ) )
96	95	simprd 479	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. M ) -> A. p e. ( Prime \ ( 1 ... K ) ) -. p || y )
97	77	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. M ) /\ p e. ( Prime \ ( 1 ... K ) ) ) -> ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) || y )
98		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( p e. ( Prime \ ( 1 ... K ) ) -> p e. Prime )
99		prmz 15389	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( p e. Prime -> p e. ZZ )
100	98, 99	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( p e. ( Prime \ ( 1 ... K ) ) -> p e. ZZ )
101	100	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. M ) /\ p e. ( Prime \ ( 1 ... K ) ) ) -> p e. ZZ )
102	56	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. M ) /\ p e. ( Prime \ ( 1 ... K ) ) ) -> ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) e. ZZ )
103	53	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. M ) /\ p e. ( Prime \ ( 1 ... K ) ) ) -> y e. ZZ )
104		dvdstr 15018	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( p e. ZZ /\ ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( ( p || ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) /\ ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) || y ) -> p || y ) )
105	101, 102, 103, 104	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. M ) /\ p e. ( Prime \ ( 1 ... K ) ) ) -> ( ( p || ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) /\ ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) || y ) -> p || y ) )
106	97, 105	mpan2d 710	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ y e. M ) /\ p e. ( Prime \ ( 1 ... K ) ) ) -> ( p || ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) -> p || y ) )
107	106	con3d 148	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ y e. M ) /\ p e. ( Prime \ ( 1 ... K ) ) ) -> ( -. p || y -> -. p || ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) ) )
108	107	ralimdva 2962	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. M ) -> ( A. p e. ( Prime \ ( 1 ... K ) ) -. p || y -> A. p e. ( Prime \ ( 1 ... K ) ) -. p || ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) ) )
109	96, 108	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. M ) -> A. p e. ( Prime \ ( 1 ... K ) ) -. p || ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) )
110		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) -> ( p || n <-> p || ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) ) )
111	110	notbid 308	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) -> ( -. p || n <-> -. p || ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) ) )
112	111	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) -> ( A. p e. ( Prime \ ( 1 ... K ) ) -. p || n <-> A. p e. ( Prime \ ( 1 ... K ) ) -. p || ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) ) )
113	112, 2	elrab2 3366	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) e. M <-> ( ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) e. ( 1 ... N ) /\ A. p e. ( Prime \ ( 1 ... K ) ) -. p || ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) ) )
114	90, 109, 113	sylanbrc 698	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. M ) -> ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) e. M )
115	44	prmreclem1 15620	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) e. NN -> ( ( Q ` ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) ) e. NN /\ ( ( Q ` ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) || ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) /\ ( A e. ( ZZ>= ` 2 ) -> -. ( A ^ 2 ) || ( ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) / ( ( Q ` ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
116	115	simp2d 1074	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) e. NN -> ( ( Q ` ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) || ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) )
117	67, 116	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. M ) -> ( ( Q ` ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) || ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) )
118	115	simp1d 1073	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) e. NN -> ( Q ` ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) ) e. NN )
119	67, 118	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. M ) -> ( Q ` ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) ) e. NN )
120		elnn1uz2 11765	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Q ` ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) ) e. NN <-> ( ( Q ` ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) ) = 1 \/ ( Q ` ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) ) e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
121	119, 120	sylib 208	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. M ) -> ( ( Q ` ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) ) = 1 \/ ( Q ` ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) ) e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
122	121	ord 392	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. M ) -> ( -. ( Q ` ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) ) = 1 -> ( Q ` ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) ) e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
123	44	prmreclem1 15620	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. NN -> ( ( Q ` y ) e. NN /\ ( ( Q ` y ) ^ 2 ) || y /\ ( ( Q ` ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) ) e. ( ZZ>= ` 2 ) -> -. ( ( Q ` ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) || ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) ) ) )
124	123	simp3d 1075	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. NN -> ( ( Q ` ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) ) e. ( ZZ>= ` 2 ) -> -. ( ( Q ` ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) || ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) ) )
125	43, 122, 124	sylsyld 61	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. M ) -> ( -. ( Q ` ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) ) = 1 -> -. ( ( Q ` ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) || ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) ) )
126	117, 125	mt4d 152	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. M ) -> ( Q ` ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) ) = 1 )
127		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) -> ( Q ` x ) = ( Q ` ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) ) )
128	127	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) -> ( ( Q ` x ) = 1 <-> ( Q ` ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) ) = 1 ) )
129	128	elrab 3363	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) e. { x e. M | ( Q ` x ) = 1 } <-> ( ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) e. M /\ ( Q ` ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) ) = 1 ) )
130	114, 126, 129	sylanbrc 698	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. M ) -> ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) e. { x e. M | ( Q ` x ) = 1 } )
131	50	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. M ) -> ( ( Q ` y ) ^ 2 ) e. RR )
132		dvdsle 15032	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( Q ` y ) ^ 2 ) e. ZZ /\ y e. NN ) -> ( ( ( Q ` y ) ^ 2 ) || y -> ( ( Q ` y ) ^ 2 ) <_ y ) )
133	51, 43, 132	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ y e. M ) -> ( ( ( Q ` y ) ^ 2 ) || y -> ( ( Q ` y ) ^ 2 ) <_ y ) )
134	47, 133	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. M ) -> ( ( Q ` y ) ^ 2 ) <_ y )
135	131, 69, 71, 134, 82	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. M ) -> ( ( Q ` y ) ^ 2 ) <_ N )
136	71	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. M ) -> N e. CC )
137	136	sqsqrtd 14178	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. M ) -> ( ( sqr ` N ) ^ 2 ) = N )
138	135, 137	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. M ) -> ( ( Q ` y ) ^ 2 ) <_ ( ( sqr ` N ) ^ 2 ) )
139	49	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. M ) -> ( Q ` y ) e. RR+ )
140	19	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. M ) -> ( sqr ` N ) e. RR+ )
141		rprege0 11847	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Q ` y ) e. RR+ -> ( ( Q ` y ) e. RR /\ 0 <_ ( Q ` y ) ) )
142		rprege0 11847	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( sqr ` N ) e. RR+ -> ( ( sqr ` N ) e. RR /\ 0 <_ ( sqr ` N ) ) )
143		le2sq 12938	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( Q ` y ) e. RR /\ 0 <_ ( Q ` y ) ) /\ ( ( sqr ` N ) e. RR /\ 0 <_ ( sqr ` N ) ) ) -> ( ( Q ` y ) <_ ( sqr ` N ) <-> ( ( Q ` y ) ^ 2 ) <_ ( ( sqr ` N ) ^ 2 ) ) )
144	141, 142, 143	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( Q ` y ) e. RR+ /\ ( sqr ` N ) e. RR+ ) -> ( ( Q ` y ) <_ ( sqr ` N ) <-> ( ( Q ` y ) ^ 2 ) <_ ( ( sqr ` N ) ^ 2 ) ) )
145	139, 140, 144	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. M ) -> ( ( Q ` y ) <_ ( sqr ` N ) <-> ( ( Q ` y ) ^ 2 ) <_ ( ( sqr ` N ) ^ 2 ) ) )
146	138, 145	mpbird 247	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. M ) -> ( Q ` y ) <_ ( sqr ` N ) )
147	26	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. M ) -> ( sqr ` N ) e. RR )
148	49	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. M ) -> ( Q ` y ) e. ZZ )
149		flge 12606	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( sqr ` N ) e. RR /\ ( Q ` y ) e. ZZ ) -> ( ( Q ` y ) <_ ( sqr ` N ) <-> ( Q ` y ) <_ ( |_ ` ( sqr ` N ) ) ) )
150	147, 148, 149	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. M ) -> ( ( Q ` y ) <_ ( sqr ` N ) <-> ( Q ` y ) <_ ( |_ ` ( sqr ` N ) ) ) )
151	146, 150	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. M ) -> ( Q ` y ) <_ ( |_ ` ( sqr ` N ) ) )
152	49, 84	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. M ) -> ( Q ` y ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
153	22	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( |_ ` ( sqr ` N ) ) e. ZZ )
154	153	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. M ) -> ( |_ ` ( sqr ` N ) ) e. ZZ )
155		elfz5 12334	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( Q ` y ) e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ ( |_ ` ( sqr ` N ) ) e. ZZ ) -> ( ( Q ` y ) e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` N ) ) ) <-> ( Q ` y ) <_ ( |_ ` ( sqr ` N ) ) ) )
156	152, 154, 155	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. M ) -> ( ( Q ` y ) e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` N ) ) ) <-> ( Q ` y ) <_ ( |_ ` ( sqr ` N ) ) ) )
157	151, 156	mpbird 247	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. M ) -> ( Q ` y ) e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` N ) ) ) )
158		opelxpi 5148	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) e. { x e. M | ( Q ` x ) = 1 } /\ ( Q ` y ) e. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` N ) ) ) ) -> <. ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) , ( Q ` y ) >. e. ( { x e. M | ( Q ` x ) = 1 } X. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` N ) ) ) ) )
159	130, 157, 158	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. M ) -> <. ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) , ( Q ` y ) >. e. ( { x e. M | ( Q ` x ) = 1 } X. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` N ) ) ) ) )
160	159	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( y e. M -> <. ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) , ( Q ` y ) >. e. ( { x e. M | ( Q ` x ) = 1 } X. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` N ) ) ) ) ) )
161		ovex 6678	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) e. _V
162		fvex 6201	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Q ` y ) e. _V
163	161, 162	opth 4945	. . . . . . . . . . 11 |- ( <. ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) , ( Q ` y ) >. = <. ( z / ( ( Q ` z ) ^ 2 ) ) , ( Q ` z ) >. <-> ( ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) = ( z / ( ( Q ` z ) ^ 2 ) ) /\ ( Q ` y ) = ( Q ` z ) ) )
164		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Q ` y ) = ( Q ` z ) -> ( ( Q ` y ) ^ 2 ) = ( ( Q ` z ) ^ 2 ) )
165		oveq12 6659	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) = ( z / ( ( Q ` z ) ^ 2 ) ) /\ ( ( Q ` y ) ^ 2 ) = ( ( Q ` z ) ^ 2 ) ) -> ( ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) x. ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) = ( ( z / ( ( Q ` z ) ^ 2 ) ) x. ( ( Q ` z ) ^ 2 ) ) )
166	164, 165	sylan2 491	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) = ( z / ( ( Q ` z ) ^ 2 ) ) /\ ( Q ` y ) = ( Q ` z ) ) -> ( ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) x. ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) = ( ( z / ( ( Q ` z ) ^ 2 ) ) x. ( ( Q ` z ) ^ 2 ) ) )
167	163, 166	sylbi 207	. . . . . . . . . 10 |- ( <. ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) , ( Q ` y ) >. = <. ( z / ( ( Q ` z ) ^ 2 ) ) , ( Q ` z ) >. -> ( ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) x. ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) = ( ( z / ( ( Q ` z ) ^ 2 ) ) x. ( ( Q ` z ) ^ 2 ) ) )
168	76	adantrr 753	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. M /\ z e. M ) ) -> ( ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) x. ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) = y )
169	42	ssriv 3607	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 ... N ) C_ NN
170	4, 169	sstri 3612	. . . . . . . . . . . . . 14 |- M C_ NN
171		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( y e. M /\ z e. M ) ) -> z e. M )
172	170, 171	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( y e. M /\ z e. M ) ) -> z e. NN )
173	172	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( y e. M /\ z e. M ) ) -> z e. CC )
174	44	prmreclem1 15620	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z e. NN -> ( ( Q ` z ) e. NN /\ ( ( Q ` z ) ^ 2 ) || z /\ ( 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) -> -. ( 2 ^ 2 ) || ( z / ( ( Q ` z ) ^ 2 ) ) ) ) )
175	174	simp1d 1073	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. NN -> ( Q ` z ) e. NN )
176	172, 175	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( y e. M /\ z e. M ) ) -> ( Q ` z ) e. NN )
177	176	nnsqcld 13029	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( y e. M /\ z e. M ) ) -> ( ( Q ` z ) ^ 2 ) e. NN )
178	177	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( y e. M /\ z e. M ) ) -> ( ( Q ` z ) ^ 2 ) e. CC )
179	177	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( y e. M /\ z e. M ) ) -> ( ( Q ` z ) ^ 2 ) =/= 0 )
180	173, 178, 179	divcan1d 10802	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. M /\ z e. M ) ) -> ( ( z / ( ( Q ` z ) ^ 2 ) ) x. ( ( Q ` z ) ^ 2 ) ) = z )
181	168, 180	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. M /\ z e. M ) ) -> ( ( ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) x. ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) = ( ( z / ( ( Q ` z ) ^ 2 ) ) x. ( ( Q ` z ) ^ 2 ) ) <-> y = z ) )
182	167, 181	syl5ib 234	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. M /\ z e. M ) ) -> ( <. ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) , ( Q ` y ) >. = <. ( z / ( ( Q ` z ) ^ 2 ) ) , ( Q ` z ) >. -> y = z ) )
183		id 22	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = z -> y = z )
184		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = z -> ( Q ` y ) = ( Q ` z ) )
185	184	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = z -> ( ( Q ` y ) ^ 2 ) = ( ( Q ` z ) ^ 2 ) )
186	183, 185	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( y = z -> ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) = ( z / ( ( Q ` z ) ^ 2 ) ) )
187	186, 184	opeq12d 4410	. . . . . . . . 9 |- ( y = z -> <. ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) , ( Q ` y ) >. = <. ( z / ( ( Q ` z ) ^ 2 ) ) , ( Q ` z ) >. )
188	182, 187	impbid1 215	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. M /\ z e. M ) ) -> ( <. ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) , ( Q ` y ) >. = <. ( z / ( ( Q ` z ) ^ 2 ) ) , ( Q ` z ) >. <-> y = z ) )
189	188	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( y e. M /\ z e. M ) -> ( <. ( y / ( ( Q ` y ) ^ 2 ) ) , ( Q ` y ) >. = <. ( z / ( ( Q ` z ) ^ 2 ) ) , ( Q ` z ) >. <-> y = z ) ) )
190	160, 189	dom2d 7996	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( { x e. M | ( Q ` x ) = 1 } X. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` N ) ) ) ) e. Fin -> M ~<_ ( { x e. M | ( Q ` x ) = 1 } X. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` N ) ) ) ) ) )
191	39, 190	mpi 20	. . . . 5 |- ( ph -> M ~<_ ( { x e. M | ( Q ` x ) = 1 } X. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` N ) ) ) ) )
192		hashdom 13168	. . . . . 6 |- ( ( M e. Fin /\ ( { x e. M | ( Q ` x ) = 1 } X. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` N ) ) ) ) e. Fin ) -> ( ( # ` M ) <_ ( # ` ( { x e. M | ( Q ` x ) = 1 } X. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` N ) ) ) ) ) <-> M ~<_ ( { x e. M | ( Q ` x ) = 1 } X. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` N ) ) ) ) ) )
193	6, 39, 192	mp2an 708	. . . . 5 |- ( ( # ` M ) <_ ( # ` ( { x e. M | ( Q ` x ) = 1 } X. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` N ) ) ) ) ) <-> M ~<_ ( { x e. M | ( Q ` x ) = 1 } X. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` N ) ) ) ) )
194	191, 193	sylibr 224	. . . 4 |- ( ph -> ( # ` M ) <_ ( # ` ( { x e. M | ( Q ` x ) = 1 } X. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` N ) ) ) ) ) )
195		hashxp 13221	. . . . . 6 |- ( ( { x e. M | ( Q ` x ) = 1 } e. Fin /\ ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` N ) ) ) e. Fin ) -> ( # ` ( { x e. M | ( Q ` x ) = 1 } X. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` N ) ) ) ) ) = ( ( # ` { x e. M | ( Q ` x ) = 1 } ) x. ( # ` ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` N ) ) ) ) ) )
196	30, 37, 195	mp2an 708	. . . . 5 |- ( # ` ( { x e. M | ( Q ` x ) = 1 } X. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` N ) ) ) ) ) = ( ( # ` { x e. M | ( Q ` x ) = 1 } ) x. ( # ` ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` N ) ) ) ) )
197		hashfz1 13134	. . . . . . 7 |- ( ( |_ ` ( sqr ` N ) ) e. NN0 -> ( # ` ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` N ) ) ) ) = ( |_ ` ( sqr ` N ) ) )
198	22, 197	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( # ` ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` N ) ) ) ) = ( |_ ` ( sqr ` N ) ) )
199	198	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( # ` { x e. M | ( Q ` x ) = 1 } ) x. ( # ` ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` N ) ) ) ) ) = ( ( # ` { x e. M | ( Q ` x ) = 1 } ) x. ( |_ ` ( sqr ` N ) ) ) )
200	196, 199	syl5eq 2668	. . . 4 |- ( ph -> ( # ` ( { x e. M | ( Q ` x ) = 1 } X. ( 1 ... ( |_ ` ( sqr ` N ) ) ) ) ) = ( ( # ` { x e. M | ( Q ` x ) = 1 } ) x. ( |_ ` ( sqr ` N ) ) ) )
201	194, 200	breqtrd 4679	. . 3 |- ( ph -> ( # ` M ) <_ ( ( # ` { x e. M | ( Q ` x ) = 1 } ) x. ( |_ ` ( sqr ` N ) ) ) )
202	33	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( # ` { x e. M | ( Q ` x ) = 1 } ) e. RR )
203	22	nn0ge0d 11354	. . . 4 |- ( ph -> 0 <_ ( |_ ` ( sqr ` N ) ) )
204		prmrec.1	. . . . 5 |- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( 1 / n ) , 0 ) )
205	204, 12, 17, 2, 44	prmreclem2 15621	. . . 4 |- ( ph -> ( # ` { x e. M | ( Q ` x ) = 1 } ) <_ ( 2 ^ K ) )
206	202, 25, 34, 203, 205	lemul1ad 10963	. . 3 |- ( ph -> ( ( # ` { x e. M | ( Q ` x ) = 1 } ) x. ( |_ ` ( sqr ` N ) ) ) <_ ( ( 2 ^ K ) x. ( |_ ` ( sqr ` N ) ) ) )
207	10, 36, 24, 201, 206	letrd 10194	. 2 |- ( ph -> ( # ` M ) <_ ( ( 2 ^ K ) x. ( |_ ` ( sqr ` N ) ) ) )
208	15	nnrpd 11870	. . . 4 |- ( ph -> ( 2 ^ K ) e. RR+ )
209	208	rprege0d 11879	. . 3 |- ( ph -> ( ( 2 ^ K ) e. RR /\ 0 <_ ( 2 ^ K ) ) )
210		fllelt 12598	. . . . 5 |- ( ( sqr ` N ) e. RR -> ( ( |_ ` ( sqr ` N ) ) <_ ( sqr ` N ) /\ ( sqr ` N ) < ( ( |_ ` ( sqr ` N ) ) + 1 ) ) )
211	26, 210	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( sqr ` N ) ) <_ ( sqr ` N ) /\ ( sqr ` N ) < ( ( |_ ` ( sqr ` N ) ) + 1 ) ) )
212	211	simpld 475	. . 3 |- ( ph -> ( |_ ` ( sqr ` N ) ) <_ ( sqr ` N ) )
213		lemul2a 10878	. . 3 |- ( ( ( ( |_ ` ( sqr ` N ) ) e. RR /\ ( sqr ` N ) e. RR /\ ( ( 2 ^ K ) e. RR /\ 0 <_ ( 2 ^ K ) ) ) /\ ( |_ ` ( sqr ` N ) ) <_ ( sqr ` N ) ) -> ( ( 2 ^ K ) x. ( |_ ` ( sqr ` N ) ) ) <_ ( ( 2 ^ K ) x. ( sqr ` N ) ) )
214	34, 26, 209, 212, 213	syl31anc 1329	. 2 |- ( ph -> ( ( 2 ^ K ) x. ( |_ ` ( sqr ` N ) ) ) <_ ( ( 2 ^ K ) x. ( sqr ` N ) ) )
215	10, 24, 27, 207, 214	letrd 10194	1 |- ( ph -> ( # ` M ) <_ ( ( 2 ^ K ) x. ( sqr ` N ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   {crab 2916   \ cdif 3571   C_ wss 3574   ifcif 4086   <.cop 4183   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ~<_ cdom 7953   Fincfn 7955   supcsup 8346   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   ...cfz 12326   |_cfl 12591   ^cexp 12860   #chash 13117   sqrcsqrt 13973   || cdvds 14983   Primecprime 15385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-pc 15542

This theorem is referenced by:  prmreclem5  15624