Theorem proththd 41531

Description: Proth's theorem (1878). If P is a Proth number, i.e. a number of the form k2^n+1 with k less than 2^n, and if there exists an integer x for which x^((P-1)/2) is -1 modulo P, then P is prime. Such a prime is called a Proth prime. Like Pocklington's theorem (see pockthg 15610), Proth's theorem allows for a convenient method for verifying large primes. (Contributed by AV, 5-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
proththd.n	|- ( ph -> N e. NN )
proththd.k	|- ( ph -> K e. NN )
proththd.p	|- ( ph -> P = ( ( K x. ( 2 ^ N ) ) + 1 ) )
proththd.l	|- ( ph -> K < ( 2 ^ N ) )
proththd.x	|- ( ph -> E. x e. ZZ ( ( x ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) mod P ) = ( -u 1 mod P ) )

Assertion

Ref	Expression
proththd	|- ( ph -> P e. Prime )

Distinct variable groups:   x, N   x, P   ph, x

Allowed substitution hint:   K( x)

Proof of Theorem proththd

Dummy variable p is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 11185	. . . 4 |- 2 e. NN
2	1	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> 2 e. NN )
3		proththd.n	. . . 4 |- ( ph -> N e. NN )
4	3	nnnn0d 11351	. . 3 |- ( ph -> N e. NN0 )
5	2, 4	nnexpcld 13030	. 2 |- ( ph -> ( 2 ^ N ) e. NN )
6		proththd.k	. 2 |- ( ph -> K e. NN )
7		proththd.l	. 2 |- ( ph -> K < ( 2 ^ N ) )
8		proththd.p	. . 3 |- ( ph -> P = ( ( K x. ( 2 ^ N ) ) + 1 ) )
9	6	nncnd 11036	. . . . 5 |- ( ph -> K e. CC )
10	5	nncnd 11036	. . . . 5 |- ( ph -> ( 2 ^ N ) e. CC )
11	9, 10	mulcomd 10061	. . . 4 |- ( ph -> ( K x. ( 2 ^ N ) ) = ( ( 2 ^ N ) x. K ) )
12	11	oveq1d 6665	. . 3 |- ( ph -> ( ( K x. ( 2 ^ N ) ) + 1 ) = ( ( ( 2 ^ N ) x. K ) + 1 ) )
13	8, 12	eqtrd 2656	. 2 |- ( ph -> P = ( ( ( 2 ^ N ) x. K ) + 1 ) )
14		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> p e. Prime )
15		2prm 15405	. . . . . 6 |- 2 e. Prime
16	15	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> 2 e. Prime )
17	3	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> N e. NN )
18		prmdvdsexpb 15428	. . . . 5 |- ( ( p e. Prime /\ 2 e. Prime /\ N e. NN ) -> ( p || ( 2 ^ N ) <-> p = 2 ) )
19	14, 16, 17, 18	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( p || ( 2 ^ N ) <-> p = 2 ) )
20		proththd.x	. . . . . 6 |- ( ph -> E. x e. ZZ ( ( x ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) mod P ) = ( -u 1 mod P ) )
21	3, 6, 8	proththdlem 41530	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( P e. NN /\ 1 < P /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN ) )
22	21	simp1d 1073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> P e. NN )
23	22	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> P e. CC )
24		peano2cnm 10347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( P e. CC -> ( P - 1 ) e. CC )
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( P - 1 ) e. CC )
26	25	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> ( P - 1 ) e. CC )
27		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> 2 e. CC )
28		2ne0 11113	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 2 =/= 0
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> 2 =/= 0 )
30	26, 27, 29	divcan1d 10802	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) x. 2 ) = ( P - 1 ) )
31	30	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> ( P - 1 ) = ( ( ( P - 1 ) / 2 ) x. 2 ) )
32	31	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> ( x ^ ( P - 1 ) ) = ( x ^ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) x. 2 ) ) )
33		zcn 11382	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ZZ -> x e. CC )
34	33	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> x e. CC )
35		2nn0 11309	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2 e. NN0
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> 2 e. NN0 )
37	21	simp3d 1075	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN )
38	37	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN0 )
39	38	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN0 )
40	34, 36, 39	expmuld 13011	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> ( x ^ ( ( ( P - 1 ) / 2 ) x. 2 ) ) = ( ( x ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ^ 2 ) )
41	32, 40	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. ZZ ) -> ( x ^ ( P - 1 ) ) = ( ( x ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ^ 2 ) )
42	41	ad4ant13 1292	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ p = 2 ) /\ x e. ZZ ) /\ ( ( x ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) mod P ) = ( -u 1 mod P ) ) -> ( x ^ ( P - 1 ) ) = ( ( x ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ^ 2 ) )
43	42	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ p = 2 ) /\ x e. ZZ ) /\ ( ( x ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) mod P ) = ( -u 1 mod P ) ) -> ( ( x ^ ( P - 1 ) ) mod P ) = ( ( ( x ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ^ 2 ) mod P ) )
44	38	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ p = 2 ) -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN0 )
45	44	anim1i 592	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ p = 2 ) /\ x e. ZZ ) -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN0 /\ x e. ZZ ) )
46	45	ancomd 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ p = 2 ) /\ x e. ZZ ) -> ( x e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) )
47		zexpcl 12875	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( x ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
48	46, 47	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ p = 2 ) /\ x e. ZZ ) -> ( x ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
49	48	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ p = 2 ) /\ x e. ZZ ) /\ ( ( x ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) mod P ) = ( -u 1 mod P ) ) -> ( x ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
50	22	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> P e. RR+ )
51	50	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ p = 2 ) /\ x e. ZZ ) /\ ( ( x ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) mod P ) = ( -u 1 mod P ) ) -> P e. RR+ )
52	21	simp2d 1074	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 1 < P )
53	52	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ p = 2 ) /\ x e. ZZ ) /\ ( ( x ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) mod P ) = ( -u 1 mod P ) ) -> 1 < P )
54		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ p = 2 ) /\ x e. ZZ ) /\ ( ( x ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) mod P ) = ( -u 1 mod P ) ) -> ( ( x ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) mod P ) = ( -u 1 mod P ) )
55	49, 51, 53, 54	modexp2m1d 41529	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ p = 2 ) /\ x e. ZZ ) /\ ( ( x ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) mod P ) = ( -u 1 mod P ) ) -> ( ( ( x ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) ^ 2 ) mod P ) = 1 )
56	43, 55	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ p = 2 ) /\ x e. ZZ ) /\ ( ( x ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) mod P ) = ( -u 1 mod P ) ) -> ( ( x ^ ( P - 1 ) ) mod P ) = 1 )
57		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( p = 2 -> ( ( P - 1 ) / p ) = ( ( P - 1 ) / 2 ) )
58	57	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( p = 2 -> ( ( ( P - 1 ) / p ) e. NN0 <-> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) )
59	58	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ p = 2 ) -> ( ( ( P - 1 ) / p ) e. NN0 <-> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) )
60	44, 59	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ p = 2 ) -> ( ( P - 1 ) / p ) e. NN0 )
61	60	anim2i 593	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. ZZ /\ ( ph /\ p = 2 ) ) -> ( x e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / p ) e. NN0 ) )
62	61	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ p = 2 ) /\ x e. ZZ ) -> ( x e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / p ) e. NN0 ) )
63		zexpcl 12875	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. ZZ /\ ( ( P - 1 ) / p ) e. NN0 ) -> ( x ^ ( ( P - 1 ) / p ) ) e. ZZ )
64	62, 63	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ p = 2 ) /\ x e. ZZ ) -> ( x ^ ( ( P - 1 ) / p ) ) e. ZZ )
65	64	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ p = 2 ) /\ x e. ZZ ) -> ( x ^ ( ( P - 1 ) / p ) ) e. RR )
66	65	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ p = 2 ) /\ x e. ZZ ) /\ ( ( x ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) mod P ) = ( -u 1 mod P ) ) -> ( x ^ ( ( P - 1 ) / p ) ) e. RR )
67		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ p = 2 ) /\ x e. ZZ ) /\ ( ( x ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) mod P ) = ( -u 1 mod P ) ) -> 1 e. RR )
68	67	renegcld 10457	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ p = 2 ) /\ x e. ZZ ) /\ ( ( x ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) mod P ) = ( -u 1 mod P ) ) -> -u 1 e. RR )
69		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 2 = p -> ( ( P - 1 ) / 2 ) = ( ( P - 1 ) / p ) )
70	69	eqcoms 2630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( p = 2 -> ( ( P - 1 ) / 2 ) = ( ( P - 1 ) / p ) )
71	70	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( p = 2 -> ( x ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) = ( x ^ ( ( P - 1 ) / p ) ) )
72	71	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( p = 2 -> ( ( x ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) mod P ) = ( ( x ^ ( ( P - 1 ) / p ) ) mod P ) )
73	72	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( p = 2 -> ( ( ( x ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) mod P ) = ( -u 1 mod P ) <-> ( ( x ^ ( ( P - 1 ) / p ) ) mod P ) = ( -u 1 mod P ) ) )
74	73	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ p = 2 ) -> ( ( ( x ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) mod P ) = ( -u 1 mod P ) <-> ( ( x ^ ( ( P - 1 ) / p ) ) mod P ) = ( -u 1 mod P ) ) )
75	74	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ p = 2 ) /\ x e. ZZ ) -> ( ( ( x ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) mod P ) = ( -u 1 mod P ) <-> ( ( x ^ ( ( P - 1 ) / p ) ) mod P ) = ( -u 1 mod P ) ) )
76	75	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ p = 2 ) /\ x e. ZZ ) /\ ( ( x ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) mod P ) = ( -u 1 mod P ) ) -> ( ( x ^ ( ( P - 1 ) / p ) ) mod P ) = ( -u 1 mod P ) )
77		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ p = 2 ) /\ x e. ZZ ) /\ ( ( x ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) mod P ) = ( -u 1 mod P ) ) -> ( 1 mod P ) = ( 1 mod P ) )
78	66, 68, 67, 67, 51, 76, 77	modsub12d 12727	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ p = 2 ) /\ x e. ZZ ) /\ ( ( x ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) mod P ) = ( -u 1 mod P ) ) -> ( ( ( x ^ ( ( P - 1 ) / p ) ) - 1 ) mod P ) = ( ( -u 1 - 1 ) mod P ) )
79	78	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ p = 2 ) /\ x e. ZZ ) /\ ( ( x ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) mod P ) = ( -u 1 mod P ) ) -> ( ( ( ( x ^ ( ( P - 1 ) / p ) ) - 1 ) mod P ) gcd P ) = ( ( ( -u 1 - 1 ) mod P ) gcd P ) )
80		peano2zm 11420	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x ^ ( ( P - 1 ) / p ) ) e. ZZ -> ( ( x ^ ( ( P - 1 ) / p ) ) - 1 ) e. ZZ )
81	64, 80	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ p = 2 ) /\ x e. ZZ ) -> ( ( x ^ ( ( P - 1 ) / p ) ) - 1 ) e. ZZ )
82	22	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ p = 2 ) /\ x e. ZZ ) -> P e. NN )
83		modgcd 15253	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x ^ ( ( P - 1 ) / p ) ) - 1 ) e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( ( ( ( x ^ ( ( P - 1 ) / p ) ) - 1 ) mod P ) gcd P ) = ( ( ( x ^ ( ( P - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd P ) )
84	81, 82, 83	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ p = 2 ) /\ x e. ZZ ) -> ( ( ( ( x ^ ( ( P - 1 ) / p ) ) - 1 ) mod P ) gcd P ) = ( ( ( x ^ ( ( P - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd P ) )
85	84	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ p = 2 ) /\ x e. ZZ ) /\ ( ( x ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) mod P ) = ( -u 1 mod P ) ) -> ( ( ( ( x ^ ( ( P - 1 ) / p ) ) - 1 ) mod P ) gcd P ) = ( ( ( x ^ ( ( P - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd P ) )
86		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 1 e. CC
87		negdi2 10339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 1 e. CC /\ 1 e. CC ) -> -u ( 1 + 1 ) = ( -u 1 - 1 ) )
88	87	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 1 e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( -u 1 - 1 ) = -u ( 1 + 1 ) )
89	86, 86, 88	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -u 1 - 1 ) = -u ( 1 + 1 )
90		1p1e2 11134	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 1 + 1 ) = 2
91	90	negeqi 10274	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- -u ( 1 + 1 ) = -u 2
92	89, 91	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -u 1 - 1 ) = -u 2
93	92	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( -u 1 - 1 ) = -u 2 )
94	93	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( -u 1 - 1 ) mod P ) = ( -u 2 mod P ) )
95	94	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( -u 1 - 1 ) mod P ) gcd P ) = ( ( -u 2 mod P ) gcd P ) )
96		nnnegz 11380	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 2 e. NN -> -u 2 e. ZZ )
97	2, 96	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> -u 2 e. ZZ )
98		modgcd 15253	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( -u 2 e. ZZ /\ P e. NN ) -> ( ( -u 2 mod P ) gcd P ) = ( -u 2 gcd P ) )
99	97, 22, 98	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( -u 2 mod P ) gcd P ) = ( -u 2 gcd P ) )
100		2z 11409	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2 e. ZZ
101	22	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> P e. ZZ )
102		neggcd 15244	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 2 e. ZZ /\ P e. ZZ ) -> ( -u 2 gcd P ) = ( 2 gcd P ) )
103	100, 101, 102	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( -u 2 gcd P ) = ( 2 gcd P ) )
104		nnz 11399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( P e. NN -> P e. ZZ )
105		oddm1d2 15084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( P e. ZZ -> ( -. 2 || P <-> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
106	104, 105	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( P e. NN -> ( -. 2 || P <-> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
107	106	biimprd 238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( P e. NN -> ( ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ -> -. 2 || P ) )
108		nnz 11399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN -> ( ( P - 1 ) / 2 ) e. ZZ )
109	107, 108	impel 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( P e. NN /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN ) -> -. 2 || P )
110		isoddgcd1 15439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( P e. ZZ -> ( -. 2 || P <-> ( 2 gcd P ) = 1 ) )
111	104, 110	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( P e. NN -> ( -. 2 || P <-> ( 2 gcd P ) = 1 ) )
112	111	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( P e. NN /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN ) -> ( -. 2 || P <-> ( 2 gcd P ) = 1 ) )
113	109, 112	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( P e. NN /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN ) -> ( 2 gcd P ) = 1 )
114	113	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( P e. NN /\ 1 < P /\ ( ( P - 1 ) / 2 ) e. NN ) -> ( 2 gcd P ) = 1 )
115	21, 114	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 2 gcd P ) = 1 )
116	103, 115	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( -u 2 gcd P ) = 1 )
117	99, 116	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( -u 2 mod P ) gcd P ) = 1 )
118	95, 117	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( -u 1 - 1 ) mod P ) gcd P ) = 1 )
119	118	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ p = 2 ) /\ x e. ZZ ) /\ ( ( x ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) mod P ) = ( -u 1 mod P ) ) -> ( ( ( -u 1 - 1 ) mod P ) gcd P ) = 1 )
120	79, 85, 119	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ p = 2 ) /\ x e. ZZ ) /\ ( ( x ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) mod P ) = ( -u 1 mod P ) ) -> ( ( ( x ^ ( ( P - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd P ) = 1 )
121	56, 120	jca 554	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ p = 2 ) /\ x e. ZZ ) /\ ( ( x ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) mod P ) = ( -u 1 mod P ) ) -> ( ( ( x ^ ( P - 1 ) ) mod P ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( P - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd P ) = 1 ) )
122	121	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ p = 2 ) /\ x e. ZZ ) -> ( ( ( x ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) mod P ) = ( -u 1 mod P ) -> ( ( ( x ^ ( P - 1 ) ) mod P ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( P - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd P ) = 1 ) ) )
123	122	reximdva 3017	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ p = 2 ) -> ( E. x e. ZZ ( ( x ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) mod P ) = ( -u 1 mod P ) -> E. x e. ZZ ( ( ( x ^ ( P - 1 ) ) mod P ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( P - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd P ) = 1 ) ) )
124	123	ex 450	. . . . . 6 |- ( ph -> ( p = 2 -> ( E. x e. ZZ ( ( x ^ ( ( P - 1 ) / 2 ) ) mod P ) = ( -u 1 mod P ) -> E. x e. ZZ ( ( ( x ^ ( P - 1 ) ) mod P ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( P - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd P ) = 1 ) ) ) )
125	20, 124	mpid 44	. . . . 5 |- ( ph -> ( p = 2 -> E. x e. ZZ ( ( ( x ^ ( P - 1 ) ) mod P ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( P - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd P ) = 1 ) ) )
126	125	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( p = 2 -> E. x e. ZZ ( ( ( x ^ ( P - 1 ) ) mod P ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( P - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd P ) = 1 ) ) )
127	19, 126	sylbid 230	. . 3 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( p || ( 2 ^ N ) -> E. x e. ZZ ( ( ( x ^ ( P - 1 ) ) mod P ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( P - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd P ) = 1 ) ) )
128	127	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ph -> A. p e. Prime ( p || ( 2 ^ N ) -> E. x e. ZZ ( ( ( x ^ ( P - 1 ) ) mod P ) = 1 /\ ( ( ( x ^ ( ( P - 1 ) / p ) ) - 1 ) gcd P ) = 1 ) ) )
129	5, 6, 7, 13, 128	pockthg 15610	1 |- ( ph -> P e. Prime )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   RR+crp 11832   mod cmo 12668   ^cexp 12860   || cdvds 14983   gcd cgcd 15216   Primecprime 15385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-odz 15470  df-phi 15471  df-pc 15542

This theorem is referenced by:  41prothprm  41536