Theorem gsum2dlem2 18370

Description: Lemma for gsum2d 18371. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Revised by AV, 8-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsum2d.b	|- B = ( Base ` G )
gsum2d.z	|- .0. = ( 0g ` G )
gsum2d.g	|- ( ph -> G e. CMnd )
gsum2d.a	|- ( ph -> A e. V )
gsum2d.r	|- ( ph -> Rel A )
gsum2d.d	|- ( ph -> D e. W )
gsum2d.s	|- ( ph -> dom A C_ D )
gsum2d.f	|- ( ph -> F : A --> B )
gsum2d.w	|- ( ph -> F finSupp .0. )

Assertion

Ref	Expression
gsum2dlem2	|- ( ph -> ( G gsumg ( F |` ( A |` dom ( F supp .0. ) ) ) ) = ( G gsumg ( j e. dom ( F supp .0. ) |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   j, k, A   j, F, k   j, G, k   ph, j, k   B, j, k   D, j, k   .0. , j, k

Allowed substitution hints:   V( j, k)   W( j, k)

Proof of Theorem gsum2dlem2

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsum2d.w	. . . 4 |- ( ph -> F finSupp .0. )
2	1	fsuppimpd 8282	. . 3 |- ( ph -> ( F supp .0. ) e. Fin )
3		dmfi 8244	. . 3 |- ( ( F supp .0. ) e. Fin -> dom ( F supp .0. ) e. Fin )
4	2, 3	syl 17	. 2 |- ( ph -> dom ( F supp .0. ) e. Fin )
5		reseq2 5391	. . . . . . . . 9 |- ( x = (/) -> ( A |` x ) = ( A |` (/) ) )
6		res0 5400	. . . . . . . . 9 |- ( A |` (/) ) = (/)
7	5, 6	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 |- ( x = (/) -> ( A |` x ) = (/) )
8	7	reseq2d 5396	. . . . . . 7 |- ( x = (/) -> ( F |` ( A |` x ) ) = ( F |` (/) ) )
9		res0 5400	. . . . . . 7 |- ( F |` (/) ) = (/)
10	8, 9	syl6eq 2672	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( F |` ( A |` x ) ) = (/) )
11	10	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( G gsumg ( F |` ( A |` x ) ) ) = ( G gsumg (/) ) )
12		mpteq1 4737	. . . . . . 7 |- ( x = (/) -> ( j e. x |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) = ( j e. (/) |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) )
13		mpt0 6021	. . . . . . 7 |- ( j e. (/) |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) = (/)
14	12, 13	syl6eq 2672	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( j e. x |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) = (/) )
15	14	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( G gsumg ( j e. x |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) = ( G gsumg (/) ) )
16	11, 15	eqeq12d 2637	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( ( G gsumg ( F |` ( A |` x ) ) ) = ( G gsumg ( j e. x |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) <-> ( G gsumg (/) ) = ( G gsumg (/) ) ) )
17	16	imbi2d 330	. . 3 |- ( x = (/) -> ( ( ph -> ( G gsumg ( F |` ( A |` x ) ) ) = ( G gsumg ( j e. x |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) ) <-> ( ph -> ( G gsumg (/) ) = ( G gsumg (/) ) ) ) )
18		reseq2 5391	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( A |` x ) = ( A |` y ) )
19	18	reseq2d 5396	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( F |` ( A |` x ) ) = ( F |` ( A |` y ) ) )
20	19	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( x = y -> ( G gsumg ( F |` ( A |` x ) ) ) = ( G gsumg ( F |` ( A |` y ) ) ) )
21		mpteq1 4737	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( j e. x |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) = ( j e. y |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) )
22	21	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( x = y -> ( G gsumg ( j e. x |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) = ( G gsumg ( j e. y |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) )
23	20, 22	eqeq12d 2637	. . . 4 |- ( x = y -> ( ( G gsumg ( F |` ( A |` x ) ) ) = ( G gsumg ( j e. x |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) <-> ( G gsumg ( F |` ( A |` y ) ) ) = ( G gsumg ( j e. y |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) ) )
24	23	imbi2d 330	. . 3 |- ( x = y -> ( ( ph -> ( G gsumg ( F |` ( A |` x ) ) ) = ( G gsumg ( j e. x |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) ) <-> ( ph -> ( G gsumg ( F |` ( A |` y ) ) ) = ( G gsumg ( j e. y |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) ) ) )
25		reseq2 5391	. . . . . . 7 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( A |` x ) = ( A |` ( y u. { z } ) ) )
26	25	reseq2d 5396	. . . . . 6 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( F |` ( A |` x ) ) = ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) )
27	26	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( G gsumg ( F |` ( A |` x ) ) ) = ( G gsumg ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) ) )
28		mpteq1 4737	. . . . . 6 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( j e. x |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) = ( j e. ( y u. { z } ) |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) )
29	28	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( G gsumg ( j e. x |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) = ( G gsumg ( j e. ( y u. { z } ) |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) )
30	27, 29	eqeq12d 2637	. . . 4 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( ( G gsumg ( F |` ( A |` x ) ) ) = ( G gsumg ( j e. x |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) <-> ( G gsumg ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) ) = ( G gsumg ( j e. ( y u. { z } ) |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) ) )
31	30	imbi2d 330	. . 3 |- ( x = ( y u. { z } ) -> ( ( ph -> ( G gsumg ( F |` ( A |` x ) ) ) = ( G gsumg ( j e. x |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) ) <-> ( ph -> ( G gsumg ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) ) = ( G gsumg ( j e. ( y u. { z } ) |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) ) ) )
32		reseq2 5391	. . . . . . 7 |- ( x = dom ( F supp .0. ) -> ( A |` x ) = ( A |` dom ( F supp .0. ) ) )
33	32	reseq2d 5396	. . . . . 6 |- ( x = dom ( F supp .0. ) -> ( F |` ( A |` x ) ) = ( F |` ( A |` dom ( F supp .0. ) ) ) )
34	33	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( x = dom ( F supp .0. ) -> ( G gsumg ( F |` ( A |` x ) ) ) = ( G gsumg ( F |` ( A |` dom ( F supp .0. ) ) ) ) )
35		mpteq1 4737	. . . . . 6 |- ( x = dom ( F supp .0. ) -> ( j e. x |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) = ( j e. dom ( F supp .0. ) |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) )
36	35	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( x = dom ( F supp .0. ) -> ( G gsumg ( j e. x |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) = ( G gsumg ( j e. dom ( F supp .0. ) |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) )
37	34, 36	eqeq12d 2637	. . . 4 |- ( x = dom ( F supp .0. ) -> ( ( G gsumg ( F |` ( A |` x ) ) ) = ( G gsumg ( j e. x |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) <-> ( G gsumg ( F |` ( A |` dom ( F supp .0. ) ) ) ) = ( G gsumg ( j e. dom ( F supp .0. ) |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) ) )
38	37	imbi2d 330	. . 3 |- ( x = dom ( F supp .0. ) -> ( ( ph -> ( G gsumg ( F |` ( A |` x ) ) ) = ( G gsumg ( j e. x |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) ) <-> ( ph -> ( G gsumg ( F |` ( A |` dom ( F supp .0. ) ) ) ) = ( G gsumg ( j e. dom ( F supp .0. ) |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) ) ) )
39		eqidd 2623	. . 3 |- ( ph -> ( G gsumg (/) ) = ( G gsumg (/) ) )
40		oveq1 6657	. . . . . 6 |- ( ( G gsumg ( F |` ( A |` y ) ) ) = ( G gsumg ( j e. y |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) -> ( ( G gsumg ( F |` ( A |` y ) ) ) ( +g ` G ) ( G gsumg ( F |` ( A |` { z } ) ) ) ) = ( ( G gsumg ( j e. y |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) ( +g ` G ) ( G gsumg ( F |` ( A |` { z } ) ) ) ) )
41		gsum2d.b	. . . . . . . . 9 |- B = ( Base ` G )
42		gsum2d.z	. . . . . . . . 9 |- .0. = ( 0g ` G )
43		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
44		gsum2d.g	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> G e. CMnd )
45	44	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> G e. CMnd )
46		gsum2d.a	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. V )
47		resexg 5442	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. V -> ( A |` ( y u. { z } ) ) e. _V )
48	46, 47	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A |` ( y u. { z } ) ) e. _V )
49	48	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> ( A |` ( y u. { z } ) ) e. _V )
50		gsum2d.f	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : A --> B )
51		resss 5422	. . . . . . . . . . 11 |- ( A |` ( y u. { z } ) ) C_ A
52		fssres 6070	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F : A --> B /\ ( A |` ( y u. { z } ) ) C_ A ) -> ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) : ( A |` ( y u. { z } ) ) --> B )
53	50, 51, 52	sylancl 694	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) : ( A |` ( y u. { z } ) ) --> B )
54	53	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) : ( A |` ( y u. { z } ) ) --> B )
55		ffun 6048	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F : A --> B -> Fun F )
56	50, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> Fun F )
57		funres 5929	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Fun F -> Fun ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) )
58	56, 57	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Fun ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) )
59	58	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> Fun ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) )
60	2	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> ( F supp .0. ) e. Fin )
61		fex 6490	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F : A --> B /\ A e. V ) -> F e. _V )
62	50, 46, 61	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> F e. _V )
63		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0g ` G ) e. _V
64	42, 63	eqeltri 2697	. . . . . . . . . . . . 13 |- .0. e. _V
65		ressuppss 7314	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F e. _V /\ .0. e. _V ) -> ( ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) supp .0. ) C_ ( F supp .0. ) )
66	62, 64, 65	sylancl 694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) supp .0. ) C_ ( F supp .0. ) )
67	66	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> ( ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) supp .0. ) C_ ( F supp .0. ) )
68		ssfi 8180	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F supp .0. ) e. Fin /\ ( ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) supp .0. ) C_ ( F supp .0. ) ) -> ( ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) supp .0. ) e. Fin )
69	60, 67, 68	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> ( ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) supp .0. ) e. Fin )
70		resexg 5442	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F e. _V -> ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) e. _V )
71	62, 70	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) e. _V )
72		isfsupp 8279	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) e. _V /\ .0. e. _V ) -> ( ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) finSupp .0. <-> ( Fun ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) /\ ( ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) supp .0. ) e. Fin ) ) )
73	71, 64, 72	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) finSupp .0. <-> ( Fun ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) /\ ( ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) supp .0. ) e. Fin ) ) )
74	73	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> ( ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) finSupp .0. <-> ( Fun ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) /\ ( ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) supp .0. ) e. Fin ) ) )
75	59, 69, 74	mpbir2and 957	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) finSupp .0. )
76		simprr 796	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> -. z e. y )
77		disjsn 4246	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y i^i { z } ) = (/) <-> -. z e. y )
78	76, 77	sylibr 224	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> ( y i^i { z } ) = (/) )
79	78	reseq2d 5396	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> ( A |` ( y i^i { z } ) ) = ( A |` (/) ) )
80		resindi 5412	. . . . . . . . . 10 |- ( A |` ( y i^i { z } ) ) = ( ( A |` y ) i^i ( A |` { z } ) )
81	79, 80, 6	3eqtr3g 2679	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> ( ( A |` y ) i^i ( A |` { z } ) ) = (/) )
82		resundi 5410	. . . . . . . . . 10 |- ( A |` ( y u. { z } ) ) = ( ( A |` y ) u. ( A |` { z } ) )
83	82	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> ( A |` ( y u. { z } ) ) = ( ( A |` y ) u. ( A |` { z } ) ) )
84	41, 42, 43, 45, 49, 54, 75, 81, 83	gsumsplit 18328	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> ( G gsumg ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) ) = ( ( G gsumg ( ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) |` ( A |` y ) ) ) ( +g ` G ) ( G gsumg ( ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) |` ( A |` { z } ) ) ) ) )
85		ssun1 3776	. . . . . . . . . . 11 |- y C_ ( y u. { z } )
86		ssres2 5425	. . . . . . . . . . 11 |- ( y C_ ( y u. { z } ) -> ( A |` y ) C_ ( A |` ( y u. { z } ) ) )
87		resabs1 5427	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A |` y ) C_ ( A |` ( y u. { z } ) ) -> ( ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) |` ( A |` y ) ) = ( F |` ( A |` y ) ) )
88	85, 86, 87	mp2b 10	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) |` ( A |` y ) ) = ( F |` ( A |` y ) )
89	88	oveq2i 6661	. . . . . . . . 9 |- ( G gsumg ( ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) |` ( A |` y ) ) ) = ( G gsumg ( F |` ( A |` y ) ) )
90		ssun2 3777	. . . . . . . . . . 11 |- { z } C_ ( y u. { z } )
91		ssres2 5425	. . . . . . . . . . 11 |- ( { z } C_ ( y u. { z } ) -> ( A |` { z } ) C_ ( A |` ( y u. { z } ) ) )
92		resabs1 5427	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A |` { z } ) C_ ( A |` ( y u. { z } ) ) -> ( ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) |` ( A |` { z } ) ) = ( F |` ( A |` { z } ) ) )
93	90, 91, 92	mp2b 10	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) |` ( A |` { z } ) ) = ( F |` ( A |` { z } ) )
94	93	oveq2i 6661	. . . . . . . . 9 |- ( G gsumg ( ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) |` ( A |` { z } ) ) ) = ( G gsumg ( F |` ( A |` { z } ) ) )
95	89, 94	oveq12i 6662	. . . . . . . 8 |- ( ( G gsumg ( ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) |` ( A |` y ) ) ) ( +g ` G ) ( G gsumg ( ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) |` ( A |` { z } ) ) ) ) = ( ( G gsumg ( F |` ( A |` y ) ) ) ( +g ` G ) ( G gsumg ( F |` ( A |` { z } ) ) ) )
96	84, 95	syl6eq 2672	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> ( G gsumg ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) ) = ( ( G gsumg ( F |` ( A |` y ) ) ) ( +g ` G ) ( G gsumg ( F |` ( A |` { z } ) ) ) ) )
97		simprl 794	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> y e. Fin )
98		gsum2d.r	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Rel A )
99		gsum2d.d	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> D e. W )
100		gsum2d.s	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> dom A C_ D )
101	41, 42, 44, 46, 98, 99, 100, 50, 1	gsum2dlem1 18369	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) e. B )
102	101	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) /\ j e. y ) -> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) e. B )
103		vex 3203	. . . . . . . . . 10 |- z e. _V
104	103	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> z e. _V )
105		sneq 4187	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = z -> { j } = { z } )
106	105	imaeq2d 5466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = z -> ( A " { j } ) = ( A " { z } ) )
107		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = z -> ( j F k ) = ( z F k ) )
108	106, 107	mpteq12dv 4733	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = z -> ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) = ( k e. ( A " { z } ) |-> ( z F k ) ) )
109	108	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = z -> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) = ( G gsumg ( k e. ( A " { z } ) |-> ( z F k ) ) ) )
110	109	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = z -> ( ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) e. B <-> ( G gsumg ( k e. ( A " { z } ) |-> ( z F k ) ) ) e. B ) )
111	110	imbi2d 330	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = z -> ( ( ph -> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) e. B ) <-> ( ph -> ( G gsumg ( k e. ( A " { z } ) |-> ( z F k ) ) ) e. B ) ) )
112	111, 101	chvarv 2263	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( G gsumg ( k e. ( A " { z } ) |-> ( z F k ) ) ) e. B )
113	112	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> ( G gsumg ( k e. ( A " { z } ) |-> ( z F k ) ) ) e. B )
114	41, 43, 45, 97, 102, 104, 76, 113, 109	gsumunsn 18359	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> ( G gsumg ( j e. ( y u. { z } ) |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) = ( ( G gsumg ( j e. y |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) ( +g ` G ) ( G gsumg ( k e. ( A " { z } ) |-> ( z F k ) ) ) ) )
115	105	reseq2d 5396	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = z -> ( A |` { j } ) = ( A |` { z } ) )
116	115	reseq2d 5396	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = z -> ( F |` ( A |` { j } ) ) = ( F |` ( A |` { z } ) ) )
117	116	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = z -> ( G gsumg ( F |` ( A |` { j } ) ) ) = ( G gsumg ( F |` ( A |` { z } ) ) ) )
118	109, 117	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = z -> ( ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) = ( G gsumg ( F |` ( A |` { j } ) ) ) <-> ( G gsumg ( k e. ( A " { z } ) |-> ( z F k ) ) ) = ( G gsumg ( F |` ( A |` { z } ) ) ) ) )
119	118	imbi2d 330	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = z -> ( ( ph -> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) = ( G gsumg ( F |` ( A |` { j } ) ) ) ) <-> ( ph -> ( G gsumg ( k e. ( A " { z } ) |-> ( z F k ) ) ) = ( G gsumg ( F |` ( A |` { z } ) ) ) ) ) )
120		imaexg 7103	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. V -> ( A " { j } ) e. _V )
121	46, 120	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( A " { j } ) e. _V )
122		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- j e. _V
123		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- k e. _V
124	122, 123	elimasn 5490	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ( A " { j } ) <-> <. j , k >. e. A )
125		df-ov 6653	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j F k ) = ( F ` <. j , k >. )
126	50	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ <. j , k >. e. A ) -> ( F ` <. j , k >. ) e. B )
127	125, 126	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ <. j , k >. e. A ) -> ( j F k ) e. B )
128	124, 127	sylan2b 492	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( A " { j } ) ) -> ( j F k ) e. B )
129		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) = ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) )
130	128, 129	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) : ( A " { j } ) --> B )
131		funmpt 5926	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- Fun ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) )
132	131	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> Fun ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) )
133		rnfi 8249	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F supp .0. ) e. Fin -> ran ( F supp .0. ) e. Fin )
134	2, 133	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ran ( F supp .0. ) e. Fin )
135	124	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. ( A " { j } ) -> <. j , k >. e. A )
136	122, 123	opelrn 5357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( <. j , k >. e. ( F supp .0. ) -> k e. ran ( F supp .0. ) )
137	136	con3i 150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( -. k e. ran ( F supp .0. ) -> -. <. j , k >. e. ( F supp .0. ) )
138	135, 137	anim12i 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( k e. ( A " { j } ) /\ -. k e. ran ( F supp .0. ) ) -> ( <. j , k >. e. A /\ -. <. j , k >. e. ( F supp .0. ) ) )
139		eldif 3584	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. ( ( A " { j } ) \ ran ( F supp .0. ) ) <-> ( k e. ( A " { j } ) /\ -. k e. ran ( F supp .0. ) ) )
140		eldif 3584	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( <. j , k >. e. ( A \ ( F supp .0. ) ) <-> ( <. j , k >. e. A /\ -. <. j , k >. e. ( F supp .0. ) ) )
141	138, 139, 140	3imtr4i 281	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ( ( A " { j } ) \ ran ( F supp .0. ) ) -> <. j , k >. e. ( A \ ( F supp .0. ) ) )
142		ssid 3624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( F supp .0. ) C_ ( F supp .0. )
143	142	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( F supp .0. ) C_ ( F supp .0. ) )
144	64	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> .0. e. _V )
145	50, 143, 46, 144	suppssr 7326	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ <. j , k >. e. ( A \ ( F supp .0. ) ) ) -> ( F ` <. j , k >. ) = .0. )
146	125, 145	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ <. j , k >. e. ( A \ ( F supp .0. ) ) ) -> ( j F k ) = .0. )
147	141, 146	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. ( ( A " { j } ) \ ran ( F supp .0. ) ) ) -> ( j F k ) = .0. )
148	147, 121	suppss2 7329	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) supp .0. ) C_ ran ( F supp .0. ) )
149		ssfi 8180	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ran ( F supp .0. ) e. Fin /\ ( ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) supp .0. ) C_ ran ( F supp .0. ) ) -> ( ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) supp .0. ) e. Fin )
150	134, 148, 149	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) supp .0. ) e. Fin )
151		mptexg 6484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A " { j } ) e. _V -> ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) e. _V )
152	121, 151	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) e. _V )
153		isfsupp 8279	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) e. _V /\ .0. e. _V ) -> ( ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) finSupp .0. <-> ( Fun ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) /\ ( ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) supp .0. ) e. Fin ) ) )
154	152, 64, 153	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) finSupp .0. <-> ( Fun ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) /\ ( ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) supp .0. ) e. Fin ) ) )
155	132, 150, 154	mpbir2and 957	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) finSupp .0. )
156		2ndconst 7266	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. _V -> ( 2nd |` ( { j } X. ( A " { j } ) ) ) : ( { j } X. ( A " { j } ) ) -1-1-onto-> ( A " { j } ) )
157	122, 156	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 2nd |` ( { j } X. ( A " { j } ) ) ) : ( { j } X. ( A " { j } ) ) -1-1-onto-> ( A " { j } ) )
158	41, 42, 44, 121, 130, 155, 157	gsumf1o 18317	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) = ( G gsumg ( ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) o. ( 2nd |` ( { j } X. ( A " { j } ) ) ) ) ) )
159		1st2nd2 7205	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ( { j } X. ( A " { j } ) ) -> x = <. ( 1st ` x ) , ( 2nd ` x ) >. )
160		xp1st 7198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. ( { j } X. ( A " { j } ) ) -> ( 1st ` x ) e. { j } )
161		elsni 4194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 1st ` x ) e. { j } -> ( 1st ` x ) = j )
162	160, 161	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ( { j } X. ( A " { j } ) ) -> ( 1st ` x ) = j )
163	162	opeq1d 4408	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ( { j } X. ( A " { j } ) ) -> <. ( 1st ` x ) , ( 2nd ` x ) >. = <. j , ( 2nd ` x ) >. )
164	159, 163	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. ( { j } X. ( A " { j } ) ) -> x = <. j , ( 2nd ` x ) >. )
165	164	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( { j } X. ( A " { j } ) ) -> ( F ` x ) = ( F ` <. j , ( 2nd ` x ) >. ) )
166		df-ov 6653	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j F ( 2nd ` x ) ) = ( F ` <. j , ( 2nd ` x ) >. )
167	165, 166	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. ( { j } X. ( A " { j } ) ) -> ( F ` x ) = ( j F ( 2nd ` x ) ) )
168	167	mpteq2ia 4740	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( { j } X. ( A " { j } ) ) |-> ( F ` x ) ) = ( x e. ( { j } X. ( A " { j } ) ) |-> ( j F ( 2nd ` x ) ) )
169	50	feqmptd 6249	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> F = ( x e. A |-> ( F ` x ) ) )
170	169	reseq1d 5395	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( F |` ( A |` { j } ) ) = ( ( x e. A |-> ( F ` x ) ) |` ( A |` { j } ) ) )
171		resss 5422	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A |` { j } ) C_ A
172		resmpt 5449	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A |` { j } ) C_ A -> ( ( x e. A |-> ( F ` x ) ) |` ( A |` { j } ) ) = ( x e. ( A |` { j } ) |-> ( F ` x ) ) )
173	171, 172	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. A |-> ( F ` x ) ) |` ( A |` { j } ) ) = ( x e. ( A |` { j } ) |-> ( F ` x ) )
174		ressn 5671	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A |` { j } ) = ( { j } X. ( A " { j } ) )
175		mpteq1 4737	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A |` { j } ) = ( { j } X. ( A " { j } ) ) -> ( x e. ( A |` { j } ) |-> ( F ` x ) ) = ( x e. ( { j } X. ( A " { j } ) ) |-> ( F ` x ) ) )
176	174, 175	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( A |` { j } ) |-> ( F ` x ) ) = ( x e. ( { j } X. ( A " { j } ) ) |-> ( F ` x ) )
177	173, 176	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. A |-> ( F ` x ) ) |` ( A |` { j } ) ) = ( x e. ( { j } X. ( A " { j } ) ) |-> ( F ` x ) )
178	170, 177	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( F |` ( A |` { j } ) ) = ( x e. ( { j } X. ( A " { j } ) ) |-> ( F ` x ) ) )
179		xp2nd 7199	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. ( { j } X. ( A " { j } ) ) -> ( 2nd ` x ) e. ( A " { j } ) )
180	179	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. ( { j } X. ( A " { j } ) ) ) -> ( 2nd ` x ) e. ( A " { j } ) )
181		fo2nd 7189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 2nd : _V -onto-> _V
182		fof 6115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 2nd : _V -onto-> _V -> 2nd : _V --> _V )
183	181, 182	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> 2nd : _V --> _V )
184	183	feqmptd 6249	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> 2nd = ( x e. _V |-> ( 2nd ` x ) ) )
185	184	reseq1d 5395	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( 2nd |` ( { j } X. ( A " { j } ) ) ) = ( ( x e. _V |-> ( 2nd ` x ) ) |` ( { j } X. ( A " { j } ) ) ) )
186		ssv 3625	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( { j } X. ( A " { j } ) ) C_ _V
187		resmpt 5449	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( { j } X. ( A " { j } ) ) C_ _V -> ( ( x e. _V |-> ( 2nd ` x ) ) |` ( { j } X. ( A " { j } ) ) ) = ( x e. ( { j } X. ( A " { j } ) ) |-> ( 2nd ` x ) ) )
188	186, 187	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. _V |-> ( 2nd ` x ) ) |` ( { j } X. ( A " { j } ) ) ) = ( x e. ( { j } X. ( A " { j } ) ) |-> ( 2nd ` x ) )
189	185, 188	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 2nd |` ( { j } X. ( A " { j } ) ) ) = ( x e. ( { j } X. ( A " { j } ) ) |-> ( 2nd ` x ) ) )
190		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) = ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) )
191		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = ( 2nd ` x ) -> ( j F k ) = ( j F ( 2nd ` x ) ) )
192	180, 189, 190, 191	fmptco 6396	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) o. ( 2nd |` ( { j } X. ( A " { j } ) ) ) ) = ( x e. ( { j } X. ( A " { j } ) ) |-> ( j F ( 2nd ` x ) ) ) )
193	168, 178, 192	3eqtr4a 2682	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( F |` ( A |` { j } ) ) = ( ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) o. ( 2nd |` ( { j } X. ( A " { j } ) ) ) ) )
194	193	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( G gsumg ( F |` ( A |` { j } ) ) ) = ( G gsumg ( ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) o. ( 2nd |` ( { j } X. ( A " { j } ) ) ) ) ) )
195	158, 194	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) = ( G gsumg ( F |` ( A |` { j } ) ) ) )
196	119, 195	chvarv 2263	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( G gsumg ( k e. ( A " { z } ) |-> ( z F k ) ) ) = ( G gsumg ( F |` ( A |` { z } ) ) ) )
197	196	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> ( G gsumg ( k e. ( A " { z } ) |-> ( z F k ) ) ) = ( G gsumg ( F |` ( A |` { z } ) ) ) )
198	197	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> ( ( G gsumg ( j e. y |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) ( +g ` G ) ( G gsumg ( k e. ( A " { z } ) |-> ( z F k ) ) ) ) = ( ( G gsumg ( j e. y |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) ( +g ` G ) ( G gsumg ( F |` ( A |` { z } ) ) ) ) )
199	114, 198	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> ( G gsumg ( j e. ( y u. { z } ) |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) = ( ( G gsumg ( j e. y |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) ( +g ` G ) ( G gsumg ( F |` ( A |` { z } ) ) ) ) )
200	96, 199	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> ( ( G gsumg ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) ) = ( G gsumg ( j e. ( y u. { z } ) |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) <-> ( ( G gsumg ( F |` ( A |` y ) ) ) ( +g ` G ) ( G gsumg ( F |` ( A |` { z } ) ) ) ) = ( ( G gsumg ( j e. y |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) ( +g ` G ) ( G gsumg ( F |` ( A |` { z } ) ) ) ) ) )
201	40, 200	syl5ibr 236	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( y e. Fin /\ -. z e. y ) ) -> ( ( G gsumg ( F |` ( A |` y ) ) ) = ( G gsumg ( j e. y |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) -> ( G gsumg ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) ) = ( G gsumg ( j e. ( y u. { z } ) |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) ) )
202	201	expcom 451	. . . 4 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( ph -> ( ( G gsumg ( F |` ( A |` y ) ) ) = ( G gsumg ( j e. y |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) -> ( G gsumg ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) ) = ( G gsumg ( j e. ( y u. { z } ) |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) ) ) )
203	202	a2d 29	. . 3 |- ( ( y e. Fin /\ -. z e. y ) -> ( ( ph -> ( G gsumg ( F |` ( A |` y ) ) ) = ( G gsumg ( j e. y |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) ) -> ( ph -> ( G gsumg ( F |` ( A |` ( y u. { z } ) ) ) ) = ( G gsumg ( j e. ( y u. { z } ) |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) ) ) )
204	17, 24, 31, 38, 39, 203	findcard2s 8201	. 2 |- ( dom ( F supp .0. ) e. Fin -> ( ph -> ( G gsumg ( F |` ( A |` dom ( F supp .0. ) ) ) ) = ( G gsumg ( j e. dom ( F supp .0. ) |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) ) )
205	4, 204	mpcom 38	1 |- ( ph -> ( G gsumg ( F |` ( A |` dom ( F supp .0. ) ) ) ) = ( G gsumg ( j e. dom ( F supp .0. ) |-> ( G gsumg ( k e. ( A " { j } ) |-> ( j F k ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   <.cop 4183   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   "cima 5117   o. ccom 5118   Rel wrel 5119   Fun wfun 5882   -->wf 5884   -onto->wfo 5886   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1stc1st 7166   2ndc2nd 7167   supp csupp 7295   Fincfn 7955   finSupp cfsupp 8275   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   0gc0g 16100   gsum_g cgsu 16101  CMndccmn 18193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195

This theorem is referenced by:  gsum2d  18371