Theorem fourierdlem42 40366

Description: The set of points in a moved partition are finite. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.) (Revised by AV, 29-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem42.b	|- ( ph -> B e. RR )
fourierdlem42.c	|- ( ph -> C e. RR )
fourierdlem42.bc	|- ( ph -> B < C )
fourierdlem42.t	|- T = ( C - B )
fourierdlem42.a	|- ( ph -> A C_ ( B [,] C ) )
fourierdlem42.af	|- ( ph -> A e. Fin )
fourierdlem42.ba	|- ( ph -> B e. A )
fourierdlem42.ca	|- ( ph -> C e. A )
fourierdlem42.d	|- D = ( abs o. - )
fourierdlem42.i	|- I = ( ( A X. A ) \ _I )
fourierdlem42.r	|- R = ran ( D |` I )
fourierdlem42.e	|- E = inf ( R , RR , < )
fourierdlem42.x	|- ( ph -> X e. RR )
fourierdlem42.y	|- ( ph -> Y e. RR )
fourierdlem42.j	|- J = ( topGen ` ran (,) )
fourierdlem42.k	|- K = ( J ↾t ( X [,] Y ) )
fourierdlem42.h	|- H = { x e. ( X [,] Y ) | E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. A }
fourierdlem42.15	|- ( ps <-> ( ( ph /\ ( a e. RR /\ b e. RR /\ a < b ) ) /\ E. j e. ZZ E. k e. ZZ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem42	|- ( ph -> H e. Fin )

Distinct variable groups:   x, k   A, a, b, j, k, x   x, B   x, C   x, D   E, a, b, j, k   H, a, b, x   x, I   J, a, b   K, a, b, x   x, R   T, a, b, j, k, x   x, X   x, Y   ph, a, b, x   ps, j, k

Allowed substitution hints:   ph( j, k)   ps( x, a, b)   B( j, k, a, b)   C( j, k, a, b)   D( j, k, a, b)   R( j, k, a, b)   E( x)   H( j, k)   I( j, k, a, b)   J( x, j, k)   K( j, k)   X( j, k, a, b)   Y( j, k, a, b)

Proof of Theorem fourierdlem42

Dummy variables c d i l y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem42.x	. . . . 5 |- ( ph -> X e. RR )
2		fourierdlem42.y	. . . . 5 |- ( ph -> Y e. RR )
3		fourierdlem42.j	. . . . . 6 |- J = ( topGen ` ran (,) )
4		fourierdlem42.k	. . . . . 6 |- K = ( J ↾t ( X [,] Y ) )
5	3, 4	icccmp 22628	. . . . 5 |- ( ( X e. RR /\ Y e. RR ) -> K e. Comp )
6	1, 2, 5	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> K e. Comp )
7	6	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ -. H e. Fin ) -> K e. Comp )
8		fourierdlem42.h	. . . . . 6 |- H = { x e. ( X [,] Y ) | E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. A }
9		ssrab2 3687	. . . . . . 7 |- { x e. ( X [,] Y ) | E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. A } C_ ( X [,] Y )
10	9	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> { x e. ( X [,] Y ) | E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. A } C_ ( X [,] Y ) )
11	8, 10	syl5eqss 3649	. . . . 5 |- ( ph -> H C_ ( X [,] Y ) )
12		retop 22565	. . . . . . . 8 |- ( topGen ` ran (,) ) e. Top
13	3, 12	eqeltri 2697	. . . . . . 7 |- J e. Top
14	1, 2	iccssred 39727	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( X [,] Y ) C_ RR )
15		uniretop 22566	. . . . . . . . 9 |- RR = U. ( topGen ` ran (,) )
16	3	unieqi 4445	. . . . . . . . 9 |- U. J = U. ( topGen ` ran (,) )
17	15, 16	eqtr4i 2647	. . . . . . . 8 |- RR = U. J
18	17	restuni 20966	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ ( X [,] Y ) C_ RR ) -> ( X [,] Y ) = U. ( J ↾t ( X [,] Y ) ) )
19	13, 14, 18	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ph -> ( X [,] Y ) = U. ( J ↾t ( X [,] Y ) ) )
20	4	unieqi 4445	. . . . . . 7 |- U. K = U. ( J ↾t ( X [,] Y ) )
21	20	eqcomi 2631	. . . . . 6 |- U. ( J ↾t ( X [,] Y ) ) = U. K
22	19, 21	syl6eq 2672	. . . . 5 |- ( ph -> ( X [,] Y ) = U. K )
23	11, 22	sseqtrd 3641	. . . 4 |- ( ph -> H C_ U. K )
24	23	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ -. H e. Fin ) -> H C_ U. K )
25		simpr 477	. . 3 |- ( ( ph /\ -. H e. Fin ) -> -. H e. Fin )
26		eqid 2622	. . . 4 |- U. K = U. K
27	26	bwth 21213	. . 3 |- ( ( K e. Comp /\ H C_ U. K /\ -. H e. Fin ) -> E. x e. U. K x e. ( ( limPt ` K ) ` H ) )
28	7, 24, 25, 27	syl3anc 1326	. 2 |- ( ( ph /\ -. H e. Fin ) -> E. x e. U. K x e. ( ( limPt ` K ) ` H ) )
29	11, 14	sstrd 3613	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> H C_ RR )
30	29	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. U. K ) /\ x e. ( ( limPt ` J ) ` H ) ) -> H C_ RR )
31		ne0i 3921	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( ( limPt ` J ) ` H ) -> ( ( limPt ` J ) ` H ) =/= (/) )
32	31	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. U. K ) /\ x e. ( ( limPt ` J ) ` H ) ) -> ( ( limPt ` J ) ` H ) =/= (/) )
33		fourierdlem42.e	. . . . . . . . . . 11 |- E = inf ( R , RR , < )
34		fourierdlem42.r	. . . . . . . . . . . . 13 |- R = ran ( D |` I )
35		absf 14077	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- abs : CC --> RR
36		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( abs : CC --> RR -> abs Fn CC )
37	35, 36	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- abs Fn CC
38		subf 10283	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- - : ( CC X. CC ) --> CC
39		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( - : ( CC X. CC ) --> CC -> - Fn ( CC X. CC ) )
40	38, 39	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- - Fn ( CC X. CC )
41		frn 6053	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( - : ( CC X. CC ) --> CC -> ran - C_ CC )
42	38, 41	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ran - C_ CC
43		fnco 5999	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( abs Fn CC /\ - Fn ( CC X. CC ) /\ ran - C_ CC ) -> ( abs o. - ) Fn ( CC X. CC ) )
44	37, 40, 42, 43	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( abs o. - ) Fn ( CC X. CC )
45		fourierdlem42.d	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- D = ( abs o. - )
46	45	fneq1i 5985	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( D Fn ( CC X. CC ) <-> ( abs o. - ) Fn ( CC X. CC ) )
47	44, 46	mpbir 221	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- D Fn ( CC X. CC )
48		fourierdlem42.i	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- I = ( ( A X. A ) \ _I )
49		fourierdlem42.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> A C_ ( B [,] C ) )
50		fourierdlem42.b	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> B e. RR )
51		fourierdlem42.c	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> C e. RR )
52	50, 51	iccssred 39727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( B [,] C ) C_ RR )
53		ax-resscn 9993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- RR C_ CC
54	52, 53	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( B [,] C ) C_ CC )
55	49, 54	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> A C_ CC )
56		xpss12 5225	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A C_ CC /\ A C_ CC ) -> ( A X. A ) C_ ( CC X. CC ) )
57	55, 55, 56	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( A X. A ) C_ ( CC X. CC ) )
58	57	ssdifssd 3748	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( A X. A ) \ _I ) C_ ( CC X. CC ) )
59	48, 58	syl5eqss 3649	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> I C_ ( CC X. CC ) )
60		fnssres 6004	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( D Fn ( CC X. CC ) /\ I C_ ( CC X. CC ) ) -> ( D |` I ) Fn I )
61	47, 59, 60	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( D |` I ) Fn I )
62		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. I -> ( ( D |` I ) ` x ) = ( D ` x ) )
63	62	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( ( D |` I ) ` x ) = ( D ` x ) )
64	45	fveq1i 6192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( D ` x ) = ( ( abs o. - ) ` x )
65	64	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( D ` x ) = ( ( abs o. - ) ` x ) )
66		ffun 6048	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( - : ( CC X. CC ) --> CC -> Fun - )
67	38, 66	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- Fun -
68	59	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> x e. ( CC X. CC ) )
69	38	fdmi 6052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- dom - = ( CC X. CC )
70	68, 69	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> x e. dom - )
71		fvco 6274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( Fun - /\ x e. dom - ) -> ( ( abs o. - ) ` x ) = ( abs ` ( - ` x ) ) )
72	67, 70, 71	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( ( abs o. - ) ` x ) = ( abs ` ( - ` x ) ) )
73	63, 65, 72	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( ( D |` I ) ` x ) = ( abs ` ( - ` x ) ) )
74	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> - : ( CC X. CC ) --> CC )
75	74, 68	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( - ` x ) e. CC )
76	75	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( abs ` ( - ` x ) ) e. RR )
77	73, 76	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( ( D |` I ) ` x ) e. RR )
78		elxp2 5132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. ( CC X. CC ) <-> E. y e. CC E. z e. CC x = <. y , z >. )
79	68, 78	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> E. y e. CC E. z e. CC x = <. y , z >. )
80		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x = <. y , z >. -> ( - ` x ) = ( - ` <. y , z >. ) )
81	80	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ x e. I ) /\ ( y e. CC /\ z e. CC ) /\ x = <. y , z >. ) -> ( - ` x ) = ( - ` <. y , z >. ) )
82		df-ov 6653	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( y - z ) = ( - ` <. y , z >. )
83		simp1l 1085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ x e. I ) /\ ( y e. CC /\ z e. CC ) /\ x = <. y , z >. ) -> ph )
84		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( x e. I /\ x = <. y , z >. ) -> x = <. y , z >. )
85		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( x e. I /\ x = <. y , z >. ) -> x e. I )
86	84, 85	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( x e. I /\ x = <. y , z >. ) -> <. y , z >. e. I )
87	86	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ x e. I ) /\ x = <. y , z >. ) -> <. y , z >. e. I )
88	87	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ x e. I ) /\ ( y e. CC /\ z e. CC ) /\ x = <. y , z >. ) -> <. y , z >. e. I )
89	55	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ <. y , z >. e. I ) -> A C_ CC )
90	48	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( <. y , z >. e. I <-> <. y , z >. e. ( ( A X. A ) \ _I ) )
91		eldif 3584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( <. y , z >. e. ( ( A X. A ) \ _I ) <-> ( <. y , z >. e. ( A X. A ) /\ -. <. y , z >. e. _I ) )
92	90, 91	sylbb 209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( <. y , z >. e. I -> ( <. y , z >. e. ( A X. A ) /\ -. <. y , z >. e. _I ) )
93	92	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( <. y , z >. e. I -> <. y , z >. e. ( A X. A ) )
94		opelxp 5146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( <. y , z >. e. ( A X. A ) <-> ( y e. A /\ z e. A ) )
95	93, 94	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( <. y , z >. e. I -> ( y e. A /\ z e. A ) )
96	95	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ph /\ <. y , z >. e. I ) -> ( y e. A /\ z e. A ) )
97	96	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ <. y , z >. e. I ) -> y e. A )
98	89, 97	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ <. y , z >. e. I ) -> y e. CC )
99	96	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ <. y , z >. e. I ) -> z e. A )
100	89, 99	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ <. y , z >. e. I ) -> z e. CC )
101	92	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( <. y , z >. e. I -> -. <. y , z >. e. _I )
102		df-br 4654	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( y _I z <-> <. y , z >. e. _I )
103	101, 102	sylnibr 319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( <. y , z >. e. I -> -. y _I z )
104		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- z e. _V
105	104	ideq 5274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( y _I z <-> y = z )
106	103, 105	sylnib 318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( <. y , z >. e. I -> -. y = z )
107	106	neqned 2801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( <. y , z >. e. I -> y =/= z )
108	107	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ <. y , z >. e. I ) -> y =/= z )
109	98, 100, 108	subne0d 10401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ <. y , z >. e. I ) -> ( y - z ) =/= 0 )
110	83, 88, 109	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ x e. I ) /\ ( y e. CC /\ z e. CC ) /\ x = <. y , z >. ) -> ( y - z ) =/= 0 )
111	82, 110	syl5eqner 2869	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ x e. I ) /\ ( y e. CC /\ z e. CC ) /\ x = <. y , z >. ) -> ( - ` <. y , z >. ) =/= 0 )
112	81, 111	eqnetrd 2861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ x e. I ) /\ ( y e. CC /\ z e. CC ) /\ x = <. y , z >. ) -> ( - ` x ) =/= 0 )
113	112	3exp 1264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( ( y e. CC /\ z e. CC ) -> ( x = <. y , z >. -> ( - ` x ) =/= 0 ) ) )
114	113	rexlimdvv 3037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( E. y e. CC E. z e. CC x = <. y , z >. -> ( - ` x ) =/= 0 ) )
115	79, 114	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( - ` x ) =/= 0 )
116		absgt0 14064	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( - ` x ) e. CC -> ( ( - ` x ) =/= 0 <-> 0 < ( abs ` ( - ` x ) ) ) )
117	75, 116	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( ( - ` x ) =/= 0 <-> 0 < ( abs ` ( - ` x ) ) ) )
118	115, 117	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> 0 < ( abs ` ( - ` x ) ) )
119	73	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( abs ` ( - ` x ) ) = ( ( D |` I ) ` x ) )
120	118, 119	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> 0 < ( ( D |` I ) ` x ) )
121	77, 120	elrpd 11869	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( ( D |` I ) ` x ) e. RR+ )
122	121	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. x e. I ( ( D |` I ) ` x ) e. RR+ )
123		fnfvrnss 6390	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( D |` I ) Fn I /\ A. x e. I ( ( D |` I ) ` x ) e. RR+ ) -> ran ( D |` I ) C_ RR+ )
124	61, 122, 123	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ran ( D |` I ) C_ RR+ )
125	34, 124	syl5eqss 3649	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> R C_ RR+ )
126		ltso 10118	. . . . . . . . . . . . . 14 |- < Or RR
127	126	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> < Or RR )
128		fourierdlem42.af	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> A e. Fin )
129		xpfi 8231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. Fin /\ A e. Fin ) -> ( A X. A ) e. Fin )
130	128, 128, 129	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( A X. A ) e. Fin )
131		diffi 8192	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A X. A ) e. Fin -> ( ( A X. A ) \ _I ) e. Fin )
132	130, 131	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( A X. A ) \ _I ) e. Fin )
133	48, 132	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> I e. Fin )
134		fnfi 8238	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( D |` I ) Fn I /\ I e. Fin ) -> ( D |` I ) e. Fin )
135	61, 133, 134	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( D |` I ) e. Fin )
136		rnfi 8249	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( D |` I ) e. Fin -> ran ( D |` I ) e. Fin )
137	135, 136	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ran ( D |` I ) e. Fin )
138	34, 137	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> R e. Fin )
139	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> R = ran ( D |` I ) )
140	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> D = ( abs o. - ) )
141	140	reseq1d 5395	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( D |` I ) = ( ( abs o. - ) |` I ) )
142	141	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( D |` I ) ` <. B , C >. ) = ( ( ( abs o. - ) |` I ) ` <. B , C >. ) )
143		fourierdlem42.ba	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> B e. A )
144		fourierdlem42.ca	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> C e. A )
145		opelxp 5146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( <. B , C >. e. ( A X. A ) <-> ( B e. A /\ C e. A ) )
146	143, 144, 145	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> <. B , C >. e. ( A X. A ) )
147		fourierdlem42.bc	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> B < C )
148	50, 147	ltned 10173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> B =/= C )
149	148	neneqd 2799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> -. B = C )
150		ideqg 5273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( C e. A -> ( B _I C <-> B = C ) )
151	144, 150	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( B _I C <-> B = C ) )
152	149, 151	mtbird 315	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> -. B _I C )
153		df-br 4654	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( B _I C <-> <. B , C >. e. _I )
154	152, 153	sylnib 318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> -. <. B , C >. e. _I )
155	146, 154	eldifd 3585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> <. B , C >. e. ( ( A X. A ) \ _I ) )
156	155, 48	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> <. B , C >. e. I )
157		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( <. B , C >. e. I -> ( ( ( abs o. - ) |` I ) ` <. B , C >. ) = ( ( abs o. - ) ` <. B , C >. ) )
158	156, 157	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( ( abs o. - ) |` I ) ` <. B , C >. ) = ( ( abs o. - ) ` <. B , C >. ) )
159	50	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> B e. CC )
160	51	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> C e. CC )
161		opelxp 5146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( <. B , C >. e. ( CC X. CC ) <-> ( B e. CC /\ C e. CC ) )
162	159, 160, 161	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> <. B , C >. e. ( CC X. CC ) )
163	162, 69	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> <. B , C >. e. dom - )
164		fvco 6274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( Fun - /\ <. B , C >. e. dom - ) -> ( ( abs o. - ) ` <. B , C >. ) = ( abs ` ( - ` <. B , C >. ) ) )
165	67, 163, 164	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( abs o. - ) ` <. B , C >. ) = ( abs ` ( - ` <. B , C >. ) ) )
166		df-ov 6653	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( B - C ) = ( - ` <. B , C >. )
167	166	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( - ` <. B , C >. ) = ( B - C )
168	167	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( - ` <. B , C >. ) = ( B - C ) )
169	168	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( abs ` ( - ` <. B , C >. ) ) = ( abs ` ( B - C ) ) )
170	165, 169	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( abs o. - ) ` <. B , C >. ) = ( abs ` ( B - C ) ) )
171	142, 158, 170	3eqtrrd 2661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( abs ` ( B - C ) ) = ( ( D |` I ) ` <. B , C >. ) )
172		fnfvelrn 6356	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( D |` I ) Fn I /\ <. B , C >. e. I ) -> ( ( D |` I ) ` <. B , C >. ) e. ran ( D |` I ) )
173	61, 156, 172	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( D |` I ) ` <. B , C >. ) e. ran ( D |` I ) )
174	171, 173	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( abs ` ( B - C ) ) e. ran ( D |` I ) )
175		ne0i 3921	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( abs ` ( B - C ) ) e. ran ( D |` I ) -> ran ( D |` I ) =/= (/) )
176	174, 175	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ran ( D |` I ) =/= (/) )
177	139, 176	eqnetrd 2861	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> R =/= (/) )
178		resss 5422	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( D |` I ) C_ D
179		rnss 5354	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( D |` I ) C_ D -> ran ( D |` I ) C_ ran D )
180	178, 179	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ran ( D |` I ) C_ ran D
181	45	rneqi 5352	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ran D = ran ( abs o. - )
182		rncoss 5386	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ran ( abs o. - ) C_ ran abs
183		frn 6053	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( abs : CC --> RR -> ran abs C_ RR )
184	35, 183	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ran abs C_ RR
185	182, 184	sstri 3612	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ran ( abs o. - ) C_ RR
186	181, 185	eqsstri 3635	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ran D C_ RR
187	180, 186	sstri 3612	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ran ( D |` I ) C_ RR
188	34, 187	eqsstri 3635	. . . . . . . . . . . . . 14 |- R C_ RR
189	188	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> R C_ RR )
190		fiinfcl 8407	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( < Or RR /\ ( R e. Fin /\ R =/= (/) /\ R C_ RR ) ) -> inf ( R , RR , < ) e. R )
191	127, 138, 177, 189, 190	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> inf ( R , RR , < ) e. R )
192	125, 191	sseldd 3604	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> inf ( R , RR , < ) e. RR+ )
193	33, 192	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> E e. RR+ )
194	193	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. U. K ) /\ x e. ( ( limPt ` J ) ` H ) ) -> E e. RR+ )
195	3, 30, 32, 194	lptre2pt 39872	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. U. K ) /\ x e. ( ( limPt ` J ) ` H ) ) -> E. y e. H E. z e. H ( y =/= z /\ ( abs ` ( y - z ) ) < E ) )
196		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( y e. H /\ z e. H ) ) /\ y =/= z ) -> ph )
197	29	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ y e. H ) -> y e. RR )
198	197	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( y e. H /\ z e. H ) ) -> y e. RR )
199	198	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( y e. H /\ z e. H ) ) /\ y =/= z ) -> y e. RR )
200	29	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ z e. H ) -> z e. RR )
201	200	adantrl 752	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( y e. H /\ z e. H ) ) -> z e. RR )
202	201	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( y e. H /\ z e. H ) ) /\ y =/= z ) -> z e. RR )
203		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( y e. H /\ z e. H ) ) /\ y =/= z ) -> y =/= z )
204	199, 202, 203	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( y e. H /\ z e. H ) ) /\ y =/= z ) -> ( y e. RR /\ z e. RR /\ y =/= z ) )
205	8	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. H <-> y e. { x e. ( X [,] Y ) | E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. A } )
206		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x = y -> ( x + ( k x. T ) ) = ( y + ( k x. T ) ) )
207	206	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = y -> ( ( x + ( k x. T ) ) e. A <-> ( y + ( k x. T ) ) e. A ) )
208	207	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = y -> ( E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. A <-> E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. A ) )
209		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( k = j -> ( k x. T ) = ( j x. T ) )
210	209	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( k = j -> ( y + ( k x. T ) ) = ( y + ( j x. T ) ) )
211	210	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k = j -> ( ( y + ( k x. T ) ) e. A <-> ( y + ( j x. T ) ) e. A ) )
212	211	cbvrexv 3172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( E. k e. ZZ ( y + ( k x. T ) ) e. A <-> E. j e. ZZ ( y + ( j x. T ) ) e. A )
213	208, 212	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = y -> ( E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. A <-> E. j e. ZZ ( y + ( j x. T ) ) e. A ) )
214	213	elrab 3363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. { x e. ( X [,] Y ) | E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. A } <-> ( y e. ( X [,] Y ) /\ E. j e. ZZ ( y + ( j x. T ) ) e. A ) )
215	205, 214	sylbb 209	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. H -> ( y e. ( X [,] Y ) /\ E. j e. ZZ ( y + ( j x. T ) ) e. A ) )
216	215	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. H -> E. j e. ZZ ( y + ( j x. T ) ) e. A )
217	216	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. H /\ z e. H ) -> E. j e. ZZ ( y + ( j x. T ) ) e. A )
218	8	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z e. H <-> z e. { x e. ( X [,] Y ) | E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. A } )
219		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = z -> ( x + ( k x. T ) ) = ( z + ( k x. T ) ) )
220	219	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = z -> ( ( x + ( k x. T ) ) e. A <-> ( z + ( k x. T ) ) e. A ) )
221	220	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = z -> ( E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. A <-> E. k e. ZZ ( z + ( k x. T ) ) e. A ) )
222	221	elrab 3363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( z e. { x e. ( X [,] Y ) | E. k e. ZZ ( x + ( k x. T ) ) e. A } <-> ( z e. ( X [,] Y ) /\ E. k e. ZZ ( z + ( k x. T ) ) e. A ) )
223	218, 222	sylbb 209	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. H -> ( z e. ( X [,] Y ) /\ E. k e. ZZ ( z + ( k x. T ) ) e. A ) )
224	223	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z e. H -> E. k e. ZZ ( z + ( k x. T ) ) e. A )
225	224	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. H /\ z e. H ) -> E. k e. ZZ ( z + ( k x. T ) ) e. A )
226		reeanv 3107	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( E. j e. ZZ E. k e. ZZ ( ( y + ( j x. T ) ) e. A /\ ( z + ( k x. T ) ) e. A ) <-> ( E. j e. ZZ ( y + ( j x. T ) ) e. A /\ E. k e. ZZ ( z + ( k x. T ) ) e. A ) )
227	217, 225, 226	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. H /\ z e. H ) -> E. j e. ZZ E. k e. ZZ ( ( y + ( j x. T ) ) e. A /\ ( z + ( k x. T ) ) e. A ) )
228	227	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( y e. H /\ z e. H ) ) /\ y =/= z ) -> E. j e. ZZ E. k e. ZZ ( ( y + ( j x. T ) ) e. A /\ ( z + ( k x. T ) ) e. A ) )
229		simplll 798	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y =/= z ) ) /\ E. j e. ZZ E. k e. ZZ ( ( y + ( j x. T ) ) e. A /\ ( z + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ y < z ) -> ph )
230		simpl1 1064	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( y e. RR /\ z e. RR /\ y =/= z ) /\ y < z ) -> y e. RR )
231		simpl2 1065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( y e. RR /\ z e. RR /\ y =/= z ) /\ y < z ) -> z e. RR )
232		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( y e. RR /\ z e. RR /\ y =/= z ) /\ y < z ) -> y < z )
233	230, 231, 232	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( y e. RR /\ z e. RR /\ y =/= z ) /\ y < z ) -> ( y e. RR /\ z e. RR /\ y < z ) )
234	233	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y =/= z ) ) /\ y < z ) -> ( y e. RR /\ z e. RR /\ y < z ) )
235	234	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y =/= z ) ) /\ E. j e. ZZ E. k e. ZZ ( ( y + ( j x. T ) ) e. A /\ ( z + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ y < z ) -> ( y e. RR /\ z e. RR /\ y < z ) )
236		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y =/= z ) ) /\ E. j e. ZZ E. k e. ZZ ( ( y + ( j x. T ) ) e. A /\ ( z + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ y < z ) -> E. j e. ZZ E. k e. ZZ ( ( y + ( j x. T ) ) e. A /\ ( z + ( k x. T ) ) e. A ) )
237		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( b = z -> ( b e. RR <-> z e. RR ) )
238		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( b = z -> ( y < b <-> y < z ) )
239	237, 238	3anbi23d 1402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( b = z -> ( ( y e. RR /\ b e. RR /\ y < b ) <-> ( y e. RR /\ z e. RR /\ y < z ) ) )
240	239	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( b = z -> ( ( ph /\ ( y e. RR /\ b e. RR /\ y < b ) ) <-> ( ph /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y < z ) ) ) )
241		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( b = z -> ( b + ( k x. T ) ) = ( z + ( k x. T ) ) )
242	241	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( b = z -> ( ( b + ( k x. T ) ) e. A <-> ( z + ( k x. T ) ) e. A ) )
243	242	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( b = z -> ( ( ( y + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) <-> ( ( y + ( j x. T ) ) e. A /\ ( z + ( k x. T ) ) e. A ) ) )
244	243	2rexbidv 3057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( b = z -> ( E. j e. ZZ E. k e. ZZ ( ( y + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) <-> E. j e. ZZ E. k e. ZZ ( ( y + ( j x. T ) ) e. A /\ ( z + ( k x. T ) ) e. A ) ) )
245	240, 244	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( b = z -> ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ b e. RR /\ y < b ) ) /\ E. j e. ZZ E. k e. ZZ ( ( y + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) <-> ( ( ph /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y < z ) ) /\ E. j e. ZZ E. k e. ZZ ( ( y + ( j x. T ) ) e. A /\ ( z + ( k x. T ) ) e. A ) ) ) )
246		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( b = z -> ( y - b ) = ( y - z ) )
247	246	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( b = z -> ( abs ` ( y - b ) ) = ( abs ` ( y - z ) ) )
248	247	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( b = z -> ( E <_ ( abs ` ( y - b ) ) <-> E <_ ( abs ` ( y - z ) ) ) )
249	245, 248	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( b = z -> ( ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ b e. RR /\ y < b ) ) /\ E. j e. ZZ E. k e. ZZ ( ( y + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) -> E <_ ( abs ` ( y - b ) ) ) <-> ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y < z ) ) /\ E. j e. ZZ E. k e. ZZ ( ( y + ( j x. T ) ) e. A /\ ( z + ( k x. T ) ) e. A ) ) -> E <_ ( abs ` ( y - z ) ) ) ) )
250		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( a = y -> ( a e. RR <-> y e. RR ) )
251		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( a = y -> ( a < b <-> y < b ) )
252	250, 251	3anbi13d 1401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( a = y -> ( ( a e. RR /\ b e. RR /\ a < b ) <-> ( y e. RR /\ b e. RR /\ y < b ) ) )
253	252	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( a = y -> ( ( ph /\ ( a e. RR /\ b e. RR /\ a < b ) ) <-> ( ph /\ ( y e. RR /\ b e. RR /\ y < b ) ) ) )
254		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( a = y -> ( a + ( j x. T ) ) = ( y + ( j x. T ) ) )
255	254	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( a = y -> ( ( a + ( j x. T ) ) e. A <-> ( y + ( j x. T ) ) e. A ) )
256	255	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( a = y -> ( ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) <-> ( ( y + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) )
257	256	2rexbidv 3057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( a = y -> ( E. j e. ZZ E. k e. ZZ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) <-> E. j e. ZZ E. k e. ZZ ( ( y + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) )
258	253, 257	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( a = y -> ( ( ( ph /\ ( a e. RR /\ b e. RR /\ a < b ) ) /\ E. j e. ZZ E. k e. ZZ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) <-> ( ( ph /\ ( y e. RR /\ b e. RR /\ y < b ) ) /\ E. j e. ZZ E. k e. ZZ ( ( y + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) ) )
259		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( a = y -> ( a - b ) = ( y - b ) )
260	259	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( a = y -> ( abs ` ( a - b ) ) = ( abs ` ( y - b ) ) )
261	260	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( a = y -> ( E <_ ( abs ` ( a - b ) ) <-> E <_ ( abs ` ( y - b ) ) ) )
262	258, 261	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( a = y -> ( ( ( ( ph /\ ( a e. RR /\ b e. RR /\ a < b ) ) /\ E. j e. ZZ E. k e. ZZ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) -> E <_ ( abs ` ( a - b ) ) ) <-> ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ b e. RR /\ y < b ) ) /\ E. j e. ZZ E. k e. ZZ ( ( y + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) -> E <_ ( abs ` ( y - b ) ) ) ) )
263		fourierdlem42.15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ps <-> ( ( ph /\ ( a e. RR /\ b e. RR /\ a < b ) ) /\ E. j e. ZZ E. k e. ZZ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) )
264	263	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ps -> E. j e. ZZ E. k e. ZZ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) )
265	263	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ps -> ( ( ph /\ ( a e. RR /\ b e. RR /\ a < b ) ) /\ E. j e. ZZ E. k e. ZZ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) )
266	265	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ps -> ( ph /\ ( a e. RR /\ b e. RR /\ a < b ) ) )
267	266	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ps -> ph )
268	267, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ps -> B e. RR )
269	268	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ps /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) -> B e. RR )
270	267, 51	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ps -> C e. RR )
271	270	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ps /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) -> C e. RR )
272	267, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ps -> A C_ ( B [,] C ) )
273	272	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ps /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) -> ( b + ( k x. T ) ) e. ( B [,] C ) )
274	273	adantrl 752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ps /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) -> ( b + ( k x. T ) ) e. ( B [,] C ) )
275	272	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ps /\ ( a + ( j x. T ) ) e. A ) -> ( a + ( j x. T ) ) e. ( B [,] C ) )
276	275	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ps /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) -> ( a + ( j x. T ) ) e. ( B [,] C ) )
277	269, 271, 274, 276	iccsuble 39745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ps /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) -> ( ( b + ( k x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) <_ ( C - B ) )
278		fourierdlem42.t	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- T = ( C - B )
279	277, 278	syl6breqr 4695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ps /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) -> ( ( b + ( k x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) <_ T )
280	279	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) -> ( ( b + ( k x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) <_ T )
281	280	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ -. k <_ j ) -> ( ( b + ( k x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) <_ T )
282		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) /\ -. k <_ j ) -> -. k <_ j )
283		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( j e. ZZ -> j e. RR )
284	283	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> j e. RR )
285	284	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) /\ -. k <_ j ) -> j e. RR )
286		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( k e. ZZ -> k e. RR )
287	286	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> k e. RR )
288	287	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) /\ -. k <_ j ) -> k e. RR )
289	285, 288	ltnled 10184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) /\ -. k <_ j ) -> ( j < k <-> -. k <_ j ) )
290	282, 289	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) /\ -. k <_ j ) -> j < k )
291	51, 50	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ph -> ( C - B ) e. RR )
292	278, 291	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ph -> T e. RR )
293	267, 292	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ps -> T e. RR )
294	293	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) /\ j < k ) -> T e. RR )
295	287	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) -> k e. RR )
296	284	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) -> j e. RR )
297	295, 296	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) -> ( k - j ) e. RR )
298	293	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) -> T e. RR )
299	297, 298	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) -> ( ( k - j ) x. T ) e. RR )
300	299	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) /\ j < k ) -> ( ( k - j ) x. T ) e. RR )
301	266	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ps -> ( a e. RR /\ b e. RR /\ a < b ) )
302	301	simp2d 1074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ps -> b e. RR )
303	302	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) -> b e. RR )
304	286	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ps /\ k e. ZZ ) -> k e. RR )
305	293	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ps /\ k e. ZZ ) -> T e. RR )
306	304, 305	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ps /\ k e. ZZ ) -> ( k x. T ) e. RR )
307	306	adantrl 752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) -> ( k x. T ) e. RR )
308	303, 307	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) -> ( b + ( k x. T ) ) e. RR )
309	301	simp1d 1073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ps -> a e. RR )
310	309	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) -> a e. RR )
311	283	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ps /\ j e. ZZ ) -> j e. RR )
312	293	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ps /\ j e. ZZ ) -> T e. RR )
313	311, 312	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ps /\ j e. ZZ ) -> ( j x. T ) e. RR )
314	313	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) -> ( j x. T ) e. RR )
315	310, 314	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) -> ( a + ( j x. T ) ) e. RR )
316	308, 315	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) -> ( ( b + ( k x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) e. RR )
317	316	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) /\ j < k ) -> ( ( b + ( k x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) e. RR )
318	293	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ps -> T e. CC )
319	318	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ps -> ( 1 x. T ) = T )
320	319	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ps -> T = ( 1 x. T ) )
321	320	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) /\ j < k ) -> T = ( 1 x. T ) )
322		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) /\ j < k ) -> j < k )
323		zltlem1 11430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( j < k <-> j <_ ( k - 1 ) ) )
324	323	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) /\ j < k ) -> ( j < k <-> j <_ ( k - 1 ) ) )
325	322, 324	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) /\ j < k ) -> j <_ ( k - 1 ) )
326	284	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) /\ j <_ ( k - 1 ) ) -> j e. RR )
327		peano2rem 10348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( k e. RR -> ( k - 1 ) e. RR )
328	295, 327	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) -> ( k - 1 ) e. RR )
329	328	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) /\ j <_ ( k - 1 ) ) -> ( k - 1 ) e. RR )
330		1re 10039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- 1 e. RR
331		resubcl 10345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( 1 e. RR /\ j e. RR ) -> ( 1 - j ) e. RR )
332	330, 326, 331	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) /\ j <_ ( k - 1 ) ) -> ( 1 - j ) e. RR )
333		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) /\ j <_ ( k - 1 ) ) -> j <_ ( k - 1 ) )
334	326, 329, 332, 333	leadd1dd 10641	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) /\ j <_ ( k - 1 ) ) -> ( j + ( 1 - j ) ) <_ ( ( k - 1 ) + ( 1 - j ) ) )
335		zcn 11382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( j e. ZZ -> j e. CC )
336	335	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> j e. CC )
337		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> 1 e. CC )
338	336, 337	pncan3d 10395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( j + ( 1 - j ) ) = 1 )
339	338	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) /\ j <_ ( k - 1 ) ) -> ( j + ( 1 - j ) ) = 1 )
340		zcn 11382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( k e. ZZ -> k e. CC )
341	340	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> k e. CC )
342	341, 337, 336	npncand 10416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( k - 1 ) + ( 1 - j ) ) = ( k - j ) )
343	342	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) /\ j <_ ( k - 1 ) ) -> ( ( k - 1 ) + ( 1 - j ) ) = ( k - j ) )
344	334, 339, 343	3brtr3d 4684	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) /\ j <_ ( k - 1 ) ) -> 1 <_ ( k - j ) )
345	325, 344	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) /\ j < k ) -> 1 <_ ( k - j ) )
346	330	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) /\ j < k ) -> 1 e. RR )
347	297	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) /\ j < k ) -> ( k - j ) e. RR )
348	50, 51	posdifd 10614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ph -> ( B < C <-> 0 < ( C - B ) ) )
349	147, 348	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ph -> 0 < ( C - B ) )
350	349, 278	syl6breqr 4695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ph -> 0 < T )
351	292, 350	elrpd 11869	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ph -> T e. RR+ )
352	267, 351	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ps -> T e. RR+ )
353	352	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) /\ j < k ) -> T e. RR+ )
354	346, 347, 353	lemul1d 11915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) /\ j < k ) -> ( 1 <_ ( k - j ) <-> ( 1 x. T ) <_ ( ( k - j ) x. T ) ) )
355	345, 354	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) /\ j < k ) -> ( 1 x. T ) <_ ( ( k - j ) x. T ) )
356	321, 355	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) /\ j < k ) -> T <_ ( ( k - j ) x. T ) )
357	302, 309	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ps -> ( b - a ) e. RR )
358	301	simp3d 1075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ps -> a < b )
359	309, 302	posdifd 10614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ps -> ( a < b <-> 0 < ( b - a ) ) )
360	358, 359	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ps -> 0 < ( b - a ) )
361	357, 360	elrpd 11869	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ps -> ( b - a ) e. RR+ )
362	361	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) -> ( b - a ) e. RR+ )
363	299, 362	ltaddrp2d 11906	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) -> ( ( k - j ) x. T ) < ( ( b - a ) + ( ( k - j ) x. T ) ) )
364	302	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ps -> b e. CC )
365	364	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) -> b e. CC )
366	306	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ps /\ k e. ZZ ) -> ( k x. T ) e. CC )
367	366	adantrl 752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) -> ( k x. T ) e. CC )
368	309	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ps -> a e. CC )
369	368	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) -> a e. CC )
370	313	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ps /\ j e. ZZ ) -> ( j x. T ) e. CC )
371	370	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) -> ( j x. T ) e. CC )
372	365, 367, 369, 371	addsub4d 10439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) -> ( ( b + ( k x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) = ( ( b - a ) + ( ( k x. T ) - ( j x. T ) ) ) )
373	340	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) -> k e. CC )
374	335	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) -> j e. CC )
375	318	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) -> T e. CC )
376	373, 374, 375	subdird 10487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) -> ( ( k - j ) x. T ) = ( ( k x. T ) - ( j x. T ) ) )
377	376	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) -> ( ( k x. T ) - ( j x. T ) ) = ( ( k - j ) x. T ) )
378	377	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) -> ( ( b - a ) + ( ( k x. T ) - ( j x. T ) ) ) = ( ( b - a ) + ( ( k - j ) x. T ) ) )
379	372, 378	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) -> ( ( b - a ) + ( ( k - j ) x. T ) ) = ( ( b + ( k x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) )
380	363, 379	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) -> ( ( k - j ) x. T ) < ( ( b + ( k x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) )
381	380	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) /\ j < k ) -> ( ( k - j ) x. T ) < ( ( b + ( k x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) )
382	294, 300, 317, 356, 381	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) /\ j < k ) -> T < ( ( b + ( k x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) )
383	294, 317	ltnled 10184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) /\ j < k ) -> ( T < ( ( b + ( k x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) <-> -. ( ( b + ( k x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) <_ T ) )
384	382, 383	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) /\ j < k ) -> -. ( ( b + ( k x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) <_ T )
385	290, 384	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) /\ -. k <_ j ) -> -. ( ( b + ( k x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) <_ T )
386	385	3adantl3 1219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ -. k <_ j ) -> -. ( ( b + ( k x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) <_ T )
387	281, 386	condan 835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) -> k <_ j )
388	188, 191	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ph -> inf ( R , RR , < ) e. RR )
389	33, 388	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ph -> E e. RR )
390	267, 389	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ps -> E e. RR )
391	390	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) -> E e. RR )
392	391	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ k <_ j ) /\ ( a + ( j x. T ) ) = ( b + ( k x. T ) ) ) -> E e. RR )
393	293	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) -> T e. RR )
394	393	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ k <_ j ) /\ ( a + ( j x. T ) ) = ( b + ( k x. T ) ) ) -> T e. RR )
395	284, 287	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( j - k ) e. RR )
396	395	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) -> ( j - k ) e. RR )
397	396, 298	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) -> ( ( j - k ) x. T ) e. RR )
398	397	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) -> ( ( j - k ) x. T ) e. RR )
399	398	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ k <_ j ) /\ ( a + ( j x. T ) ) = ( b + ( k x. T ) ) ) -> ( ( j - k ) x. T ) e. RR )
400		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ph -> ph )
401	143, 144	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ph -> ( B e. A /\ C e. A ) )
402	400, 401, 147	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ph -> ( ph /\ ( B e. A /\ C e. A ) /\ B < C ) )
403		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( d = C -> ( d e. A <-> C e. A ) )
404	403	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( d = C -> ( ( B e. A /\ d e. A ) <-> ( B e. A /\ C e. A ) ) )
405		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( d = C -> ( B < d <-> B < C ) )
406	404, 405	3anbi23d 1402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( d = C -> ( ( ph /\ ( B e. A /\ d e. A ) /\ B < d ) <-> ( ph /\ ( B e. A /\ C e. A ) /\ B < C ) ) )
407		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( d = C -> ( d - B ) = ( C - B ) )
408	407	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( d = C -> ( E <_ ( d - B ) <-> E <_ ( C - B ) ) )
409	406, 408	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( d = C -> ( ( ( ph /\ ( B e. A /\ d e. A ) /\ B < d ) -> E <_ ( d - B ) ) <-> ( ( ph /\ ( B e. A /\ C e. A ) /\ B < C ) -> E <_ ( C - B ) ) ) )
410		simp2l 1087	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( ph /\ ( B e. A /\ d e. A ) /\ B < d ) -> B e. A )
411		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 |- ( c = B -> ( c e. A <-> B e. A ) )
412	411	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 |- ( c = B -> ( ( c e. A /\ d e. A ) <-> ( B e. A /\ d e. A ) ) )
413		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 |- ( c = B -> ( c < d <-> B < d ) )
414	412, 413	3anbi23d 1402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( c = B -> ( ( ph /\ ( c e. A /\ d e. A ) /\ c < d ) <-> ( ph /\ ( B e. A /\ d e. A ) /\ B < d ) ) )
415		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 |- ( c = B -> ( d - c ) = ( d - B ) )
416	415	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( c = B -> ( E <_ ( d - c ) <-> E <_ ( d - B ) ) )
417	414, 416	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( c = B -> ( ( ( ph /\ ( c e. A /\ d e. A ) /\ c < d ) -> E <_ ( d - c ) ) <-> ( ( ph /\ ( B e. A /\ d e. A ) /\ B < d ) -> E <_ ( d - B ) ) ) )
418	188	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 |- ( ( ph /\ ( c e. A /\ d e. A ) /\ c < d ) -> R C_ RR )
419		0re 10040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 |- 0 e. RR
420	34	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 |- ( y e. R <-> y e. ran ( D |` I ) )
421	420	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 |- ( y e. R -> y e. ran ( D |` I ) )
422	421	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 |- ( ( ph /\ y e. R ) -> y e. ran ( D |` I ) )
423	61	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 |- ( ( ph /\ y e. R ) -> ( D |` I ) Fn I )
424		fvelrnb 6243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 |- ( ( D |` I ) Fn I -> ( y e. ran ( D |` I ) <-> E. x e. I ( ( D |` I ) ` x ) = y ) )
425	423, 424	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 |- ( ( ph /\ y e. R ) -> ( y e. ran ( D |` I ) <-> E. x e. I ( ( D |` I ) ` x ) = y ) )
426	422, 425	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 |- ( ( ph /\ y e. R ) -> E. x e. I ( ( D |` I ) ` x ) = y )
427	121	rpge0d 11876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> 0 <_ ( ( D |` I ) ` x ) )
428	427	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 |- ( ( ph /\ x e. I /\ ( ( D |` I ) ` x ) = y ) -> 0 <_ ( ( D |` I ) ` x ) )
429		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 |- ( ( ph /\ x e. I /\ ( ( D |` I ) ` x ) = y ) -> ( ( D |` I ) ` x ) = y )
430	428, 429	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 |- ( ( ph /\ x e. I /\ ( ( D |` I ) ` x ) = y ) -> 0 <_ y )
431	430	3exp 1264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 |- ( ph -> ( x e. I -> ( ( ( D |` I ) ` x ) = y -> 0 <_ y ) ) )
432	431	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 |- ( ( ph /\ y e. R ) -> ( x e. I -> ( ( ( D |` I ) ` x ) = y -> 0 <_ y ) ) )
433	432	rexlimdv 3030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 |- ( ( ph /\ y e. R ) -> ( E. x e. I ( ( D |` I ) ` x ) = y -> 0 <_ y ) )
434	426, 433	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 |- ( ( ph /\ y e. R ) -> 0 <_ y )
435	434	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 |- ( ph -> A. y e. R 0 <_ y )
436		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 |- ( x = 0 -> ( x <_ y <-> 0 <_ y ) )
437	436	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 |- ( x = 0 -> ( A. y e. R x <_ y <-> A. y e. R 0 <_ y ) )
438	437	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 |- ( ( 0 e. RR /\ A. y e. R 0 <_ y ) -> E. x e. RR A. y e. R x <_ y )
439	419, 435, 438	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 |- ( ph -> E. x e. RR A. y e. R x <_ y )
440	439	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 |- ( ( ph /\ ( c e. A /\ d e. A ) /\ c < d ) -> E. x e. RR A. y e. R x <_ y )
441		pm3.22 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 |- ( ( c e. A /\ d e. A ) -> ( d e. A /\ c e. A ) )
442		opelxp 5146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 |- ( <. d , c >. e. ( A X. A ) <-> ( d e. A /\ c e. A ) )
443	441, 442	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 |- ( ( c e. A /\ d e. A ) -> <. d , c >. e. ( A X. A ) )
444	443	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 |- ( ( ph /\ ( c e. A /\ d e. A ) /\ c < d ) -> <. d , c >. e. ( A X. A ) )
445	49, 52	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 |- ( ph -> A C_ RR )
446	445	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 |- ( ( ph /\ c e. A ) -> c e. RR )
447	446	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 |- ( ( ph /\ ( c e. A /\ d e. A ) ) -> c e. RR )
448	447	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 |- ( ( ph /\ ( c e. A /\ d e. A ) /\ c < d ) -> c e. RR )
449		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 |- ( ( ph /\ ( c e. A /\ d e. A ) /\ c < d ) -> c < d )
450	448, 449	gtned 10172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 |- ( ( ph /\ ( c e. A /\ d e. A ) /\ c < d ) -> d =/= c )
451	450	neneqd 2799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 |- ( ( ph /\ ( c e. A /\ d e. A ) /\ c < d ) -> -. d = c )
452		df-br 4654	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 |- ( d _I c <-> <. d , c >. e. _I )
453		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 |- c e. _V
454	453	ideq 5274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 |- ( d _I c <-> d = c )
455	452, 454	bitr3i 266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 |- ( <. d , c >. e. _I <-> d = c )
456	451, 455	sylnibr 319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 |- ( ( ph /\ ( c e. A /\ d e. A ) /\ c < d ) -> -. <. d , c >. e. _I )
457	444, 456	eldifd 3585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 |- ( ( ph /\ ( c e. A /\ d e. A ) /\ c < d ) -> <. d , c >. e. ( ( A X. A ) \ _I ) )
458	457, 48	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 |- ( ( ph /\ ( c e. A /\ d e. A ) /\ c < d ) -> <. d , c >. e. I )
459	448, 449	ltned 10173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 |- ( ( ph /\ ( c e. A /\ d e. A ) /\ c < d ) -> c =/= d )
460	141	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 |- ( ( ph /\ ( c e. A /\ d e. A ) /\ c =/= d ) -> ( D |` I ) = ( ( abs o. - ) |` I ) )
461	460	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 |- ( ( ph /\ ( c e. A /\ d e. A ) /\ c =/= d ) -> ( ( D |` I ) ` <. d , c >. ) = ( ( ( abs o. - ) |` I ) ` <. d , c >. ) )
462	443	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 |- ( ( ph /\ ( c e. A /\ d e. A ) /\ c =/= d ) -> <. d , c >. e. ( A X. A ) )
463		necom 2847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 |- ( c =/= d <-> d =/= c )
464	463	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 |- ( c =/= d -> d =/= c )
465	464	neneqd 2799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 |- ( c =/= d -> -. d = c )
466	465	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 |- ( ( ph /\ ( c e. A /\ d e. A ) /\ c =/= d ) -> -. d = c )
467	466, 455	sylnibr 319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 |- ( ( ph /\ ( c e. A /\ d e. A ) /\ c =/= d ) -> -. <. d , c >. e. _I )
468	462, 467	eldifd 3585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 |- ( ( ph /\ ( c e. A /\ d e. A ) /\ c =/= d ) -> <. d , c >. e. ( ( A X. A ) \ _I ) )
469	468, 48	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 |- ( ( ph /\ ( c e. A /\ d e. A ) /\ c =/= d ) -> <. d , c >. e. I )
470		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 |- ( <. d , c >. e. I -> ( ( ( abs o. - ) |` I ) ` <. d , c >. ) = ( ( abs o. - ) ` <. d , c >. ) )
471	469, 470	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 |- ( ( ph /\ ( c e. A /\ d e. A ) /\ c =/= d ) -> ( ( ( abs o. - ) |` I ) ` <. d , c >. ) = ( ( abs o. - ) ` <. d , c >. ) )
472		simp1 1061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 |- ( ( ph /\ ( c e. A /\ d e. A ) /\ c =/= d ) -> ph )
473	472, 469	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 |- ( ( ph /\ ( c e. A /\ d e. A ) /\ c =/= d ) -> ( ph /\ <. d , c >. e. I ) )
474		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 |- ( x = <. d , c >. -> ( x e. I <-> <. d , c >. e. I ) )
475	474	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 |- ( x = <. d , c >. -> ( ( ph /\ x e. I ) <-> ( ph /\ <. d , c >. e. I ) ) )
476		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 |- ( x = <. d , c >. -> ( x e. dom - <-> <. d , c >. e. dom - ) )
477	475, 476	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 |- ( x = <. d , c >. -> ( ( ( ph /\ x e. I ) -> x e. dom - ) <-> ( ( ph /\ <. d , c >. e. I ) -> <. d , c >. e. dom - ) ) )
478	477, 70	vtoclg 3266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 |- ( <. d , c >. e. I -> ( ( ph /\ <. d , c >. e. I ) -> <. d , c >. e. dom - ) )
479	469, 473, 478	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 |- ( ( ph /\ ( c e. A /\ d e. A ) /\ c =/= d ) -> <. d , c >. e. dom - )
480		fvco 6274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 |- ( ( Fun - /\ <. d , c >. e. dom - ) -> ( ( abs o. - ) ` <. d , c >. ) = ( abs ` ( - ` <. d , c >. ) ) )
481	67, 479, 480	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 |- ( ( ph /\ ( c e. A /\ d e. A ) /\ c =/= d ) -> ( ( abs o. - ) ` <. d , c >. ) = ( abs ` ( - ` <. d , c >. ) ) )
482		df-ov 6653	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 |- ( d - c ) = ( - ` <. d , c >. )
483	482	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 |- ( - ` <. d , c >. ) = ( d - c )
484	483	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 |- ( abs ` ( - ` <. d , c >. ) ) = ( abs ` ( d - c ) )
485	481, 484	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 |- ( ( ph /\ ( c e. A /\ d e. A ) /\ c =/= d ) -> ( ( abs o. - ) ` <. d , c >. ) = ( abs ` ( d - c ) ) )
486	461, 471, 485	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 |- ( ( ph /\ ( c e. A /\ d e. A ) /\ c =/= d ) -> ( ( D |` I ) ` <. d , c >. ) = ( abs ` ( d - c ) ) )
487	459, 486	syld3an3 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 |- ( ( ph /\ ( c e. A /\ d e. A ) /\ c < d ) -> ( ( D |` I ) ` <. d , c >. ) = ( abs ` ( d - c ) ) )
488	445	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 |- ( ( ph /\ d e. A ) -> d e. RR )
489	488	adantrl 752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 |- ( ( ph /\ ( c e. A /\ d e. A ) ) -> d e. RR )
490	489	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 |- ( ( ph /\ ( c e. A /\ d e. A ) /\ c < d ) -> d e. RR )
491	448, 490, 449	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 |- ( ( ph /\ ( c e. A /\ d e. A ) /\ c < d ) -> c <_ d )
492	448, 490, 491	abssubge0d 14170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 |- ( ( ph /\ ( c e. A /\ d e. A ) /\ c < d ) -> ( abs ` ( d - c ) ) = ( d - c ) )
493	487, 492	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 |- ( ( ph /\ ( c e. A /\ d e. A ) /\ c < d ) -> ( ( D |` I ) ` <. d , c >. ) = ( d - c ) )
494		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 |- ( x = <. d , c >. -> ( ( D |` I ) ` x ) = ( ( D |` I ) ` <. d , c >. ) )
495	494	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 |- ( x = <. d , c >. -> ( ( ( D |` I ) ` x ) = ( d - c ) <-> ( ( D |` I ) ` <. d , c >. ) = ( d - c ) ) )
496	495	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 |- ( ( <. d , c >. e. I /\ ( ( D |` I ) ` <. d , c >. ) = ( d - c ) ) -> E. x e. I ( ( D |` I ) ` x ) = ( d - c ) )
497	458, 493, 496	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 |- ( ( ph /\ ( c e. A /\ d e. A ) /\ c < d ) -> E. x e. I ( ( D |` I ) ` x ) = ( d - c ) )
498	489, 447	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 |- ( ( ph /\ ( c e. A /\ d e. A ) ) -> ( d - c ) e. RR )
499		elex 3212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 |- ( ( d - c ) e. RR -> ( d - c ) e. _V )
500	498, 499	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 |- ( ( ph /\ ( c e. A /\ d e. A ) ) -> ( d - c ) e. _V )
501	500	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 |- ( ( ph /\ ( c e. A /\ d e. A ) /\ c < d ) -> ( d - c ) e. _V )
502		simp1 1061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 |- ( ( ph /\ ( c e. A /\ d e. A ) /\ c < d ) -> ph )
503		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 |- ( y = ( d - c ) -> ( y e. ran ( D |` I ) <-> ( d - c ) e. ran ( D |` I ) ) )
504		eqeq2 2633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 |- ( y = ( d - c ) -> ( ( ( D |` I ) ` x ) = y <-> ( ( D |` I ) ` x ) = ( d - c ) ) )
505	504	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 |- ( y = ( d - c ) -> ( E. x e. I ( ( D |` I ) ` x ) = y <-> E. x e. I ( ( D |` I ) ` x ) = ( d - c ) ) )
506	503, 505	bibi12d 335	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 |- ( y = ( d - c ) -> ( ( y e. ran ( D |` I ) <-> E. x e. I ( ( D |` I ) ` x ) = y ) <-> ( ( d - c ) e. ran ( D |` I ) <-> E. x e. I ( ( D |` I ) ` x ) = ( d - c ) ) ) )
507	506	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 |- ( y = ( d - c ) -> ( ( ph -> ( y e. ran ( D |` I ) <-> E. x e. I ( ( D |` I ) ` x ) = y ) ) <-> ( ph -> ( ( d - c ) e. ran ( D |` I ) <-> E. x e. I ( ( D |` I ) ` x ) = ( d - c ) ) ) ) )
508	61, 424	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 |- ( ph -> ( y e. ran ( D |` I ) <-> E. x e. I ( ( D |` I ) ` x ) = y ) )
509	507, 508	vtoclg 3266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 |- ( ( d - c ) e. _V -> ( ph -> ( ( d - c ) e. ran ( D |` I ) <-> E. x e. I ( ( D |` I ) ` x ) = ( d - c ) ) ) )
510	501, 502, 509	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 |- ( ( ph /\ ( c e. A /\ d e. A ) /\ c < d ) -> ( ( d - c ) e. ran ( D |` I ) <-> E. x e. I ( ( D |` I ) ` x ) = ( d - c ) ) )
511	497, 510	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 |- ( ( ph /\ ( c e. A /\ d e. A ) /\ c < d ) -> ( d - c ) e. ran ( D |` I ) )
512	511, 34	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 |- ( ( ph /\ ( c e. A /\ d e. A ) /\ c < d ) -> ( d - c ) e. R )
513		infrelb 11008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 |- ( ( R C_ RR /\ E. x e. RR A. y e. R x <_ y /\ ( d - c ) e. R ) -> inf ( R , RR , < ) <_ ( d - c ) )
514	418, 440, 512, 513	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( ( ph /\ ( c e. A /\ d e. A ) /\ c < d ) -> inf ( R , RR , < ) <_ ( d - c ) )
515	33, 514	syl5eqbr 4688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( ph /\ ( c e. A /\ d e. A ) /\ c < d ) -> E <_ ( d - c ) )
516	417, 515	vtoclg 3266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( B e. A -> ( ( ph /\ ( B e. A /\ d e. A ) /\ B < d ) -> E <_ ( d - B ) ) )
517	410, 516	mpcom 38	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( ph /\ ( B e. A /\ d e. A ) /\ B < d ) -> E <_ ( d - B ) )
518	409, 517	vtoclg 3266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( C e. A -> ( ( ph /\ ( B e. A /\ C e. A ) /\ B < C ) -> E <_ ( C - B ) ) )
519	144, 402, 518	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ph -> E <_ ( C - B ) )
520	519, 278	syl6breqr 4695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ph -> E <_ T )
521	267, 520	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ps -> E <_ T )
522	521	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) -> E <_ T )
523	522	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ k <_ j ) /\ ( a + ( j x. T ) ) = ( b + ( k x. T ) ) ) -> E <_ T )
524	364	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 |- ( ( ps /\ k e. ZZ ) -> b e. CC )
525	524, 366	pncan2d 10394	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( ( ps /\ k e. ZZ ) -> ( ( b + ( k x. T ) ) - b ) = ( k x. T ) )
526	525	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( ps /\ k e. ZZ ) -> ( ( ( b + ( k x. T ) ) - b ) / T ) = ( ( k x. T ) / T ) )
527	340	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( ( ps /\ k e. ZZ ) -> k e. CC )
528	318	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( ( ps /\ k e. ZZ ) -> T e. CC )
529	419	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 |- ( ph -> 0 e. RR )
530	529, 350	gtned 10172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 |- ( ph -> T =/= 0 )
531	267, 530	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 |- ( ps -> T =/= 0 )
532	531	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( ( ps /\ k e. ZZ ) -> T =/= 0 )
533	527, 528, 532	divcan4d 10807	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( ps /\ k e. ZZ ) -> ( ( k x. T ) / T ) = k )
534	526, 533	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( ps /\ k e. ZZ ) -> k = ( ( ( b + ( k x. T ) ) - b ) / T ) )
535	534	adantrl 752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) -> k = ( ( ( b + ( k x. T ) ) - b ) / T ) )
536	535	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) /\ ( a + ( j x. T ) ) = ( b + ( k x. T ) ) ) -> k = ( ( ( b + ( k x. T ) ) - b ) / T ) )
537		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( a + ( j x. T ) ) = ( b + ( k x. T ) ) -> ( ( a + ( j x. T ) ) - b ) = ( ( b + ( k x. T ) ) - b ) )
538	537	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( a + ( j x. T ) ) = ( b + ( k x. T ) ) -> ( ( ( a + ( j x. T ) ) - b ) / T ) = ( ( ( b + ( k x. T ) ) - b ) / T ) )
539	538	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) /\ ( a + ( j x. T ) ) = ( b + ( k x. T ) ) ) -> ( ( ( a + ( j x. T ) ) - b ) / T ) = ( ( ( b + ( k x. T ) ) - b ) / T ) )
540	368	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 |- ( ( ps /\ j e. ZZ ) -> a e. CC )
541	364	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 |- ( ( ps /\ j e. ZZ ) -> b e. CC )
542	540, 370, 541	addsubd 10413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 |- ( ( ps /\ j e. ZZ ) -> ( ( a + ( j x. T ) ) - b ) = ( ( a - b ) + ( j x. T ) ) )
543	540, 541	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 |- ( ( ps /\ j e. ZZ ) -> ( a - b ) e. CC )
544	543, 370	addcomd 10238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 |- ( ( ps /\ j e. ZZ ) -> ( ( a - b ) + ( j x. T ) ) = ( ( j x. T ) + ( a - b ) ) )
545	542, 544	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( ( ps /\ j e. ZZ ) -> ( ( a + ( j x. T ) ) - b ) = ( ( j x. T ) + ( a - b ) ) )
546	545	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( ps /\ j e. ZZ ) -> ( ( ( a + ( j x. T ) ) - b ) / T ) = ( ( ( j x. T ) + ( a - b ) ) / T ) )
547	318	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( ( ps /\ j e. ZZ ) -> T e. CC )
548	531	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( ( ps /\ j e. ZZ ) -> T =/= 0 )
549	370, 543, 547, 548	divdird 10839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( ps /\ j e. ZZ ) -> ( ( ( j x. T ) + ( a - b ) ) / T ) = ( ( ( j x. T ) / T ) + ( ( a - b ) / T ) ) )
550	335	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 |- ( ( ps /\ j e. ZZ ) -> j e. CC )
551	550, 547, 548	divcan4d 10807	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( ( ps /\ j e. ZZ ) -> ( ( j x. T ) / T ) = j )
552	551	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( ps /\ j e. ZZ ) -> ( ( ( j x. T ) / T ) + ( ( a - b ) / T ) ) = ( j + ( ( a - b ) / T ) ) )
553	546, 549, 552	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( ps /\ j e. ZZ ) -> ( ( ( a + ( j x. T ) ) - b ) / T ) = ( j + ( ( a - b ) / T ) ) )
554	553	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) -> ( ( ( a + ( j x. T ) ) - b ) / T ) = ( j + ( ( a - b ) / T ) ) )
555	554	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) /\ ( a + ( j x. T ) ) = ( b + ( k x. T ) ) ) -> ( ( ( a + ( j x. T ) ) - b ) / T ) = ( j + ( ( a - b ) / T ) ) )
556	536, 539, 555	3eqtr2d 2662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) /\ ( a + ( j x. T ) ) = ( b + ( k x. T ) ) ) -> k = ( j + ( ( a - b ) / T ) ) )
557	309, 302	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 |- ( ps -> ( a - b ) e. RR )
558	309, 302	sublt0d 10653	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 |- ( ps -> ( ( a - b ) < 0 <-> a < b ) )
559	358, 558	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 |- ( ps -> ( a - b ) < 0 )
560	557, 352, 559	divlt0gt0d 39498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( ps -> ( ( a - b ) / T ) < 0 )
561	560	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( ps /\ j e. ZZ ) -> ( ( a - b ) / T ) < 0 )
562	335	subidd 10380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 |- ( j e. ZZ -> ( j - j ) = 0 )
563	562	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( j e. ZZ -> 0 = ( j - j ) )
564	563	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( ps /\ j e. ZZ ) -> 0 = ( j - j ) )
565	561, 564	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( ps /\ j e. ZZ ) -> ( ( a - b ) / T ) < ( j - j ) )
566	557, 293, 531	redivcld 10853	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( ps -> ( ( a - b ) / T ) e. RR )
567	566	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( ps /\ j e. ZZ ) -> ( ( a - b ) / T ) e. RR )
568	311, 567, 311	ltaddsub2d 10628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( ps /\ j e. ZZ ) -> ( ( j + ( ( a - b ) / T ) ) < j <-> ( ( a - b ) / T ) < ( j - j ) ) )
569	565, 568	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( ps /\ j e. ZZ ) -> ( j + ( ( a - b ) / T ) ) < j )
570	569	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) -> ( j + ( ( a - b ) / T ) ) < j )
571	570	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) /\ ( a + ( j x. T ) ) = ( b + ( k x. T ) ) ) -> ( j + ( ( a - b ) / T ) ) < j )
572	556, 571	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) /\ ( a + ( j x. T ) ) = ( b + ( k x. T ) ) ) -> k < j )
573	320	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) /\ k < j ) -> T = ( 1 x. T ) )
574		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ k < j ) -> k < j )
575		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( ( ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ k < j ) -> k e. ZZ )
576		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( ( ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ k < j ) -> j e. ZZ )
577		zltp1le 11427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( ( k e. ZZ /\ j e. ZZ ) -> ( k < j <-> ( k + 1 ) <_ j ) )
578	575, 576, 577	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ k < j ) -> ( k < j <-> ( k + 1 ) <_ j ) )
579	574, 578	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ k < j ) -> ( k + 1 ) <_ j )
580	286	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ k < j ) -> k e. RR )
581	330	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ k < j ) -> 1 e. RR )
582	283	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ k < j ) -> j e. RR )
583	580, 581, 582	leaddsub2d 10629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ k < j ) -> ( ( k + 1 ) <_ j <-> 1 <_ ( j - k ) ) )
584	579, 583	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ k < j ) -> 1 <_ ( j - k ) )
585	584	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) /\ k < j ) -> 1 <_ ( j - k ) )
586	330	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) /\ k < j ) -> 1 e. RR )
587	395	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) /\ k < j ) -> ( j - k ) e. RR )
588	352	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) /\ k < j ) -> T e. RR+ )
589	586, 587, 588	lemul1d 11915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) /\ k < j ) -> ( 1 <_ ( j - k ) <-> ( 1 x. T ) <_ ( ( j - k ) x. T ) ) )
590	585, 589	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) /\ k < j ) -> ( 1 x. T ) <_ ( ( j - k ) x. T ) )
591	573, 590	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) /\ k < j ) -> T <_ ( ( j - k ) x. T ) )
592	572, 591	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) /\ ( a + ( j x. T ) ) = ( b + ( k x. T ) ) ) -> T <_ ( ( j - k ) x. T ) )
593	592	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) /\ k <_ j ) /\ ( a + ( j x. T ) ) = ( b + ( k x. T ) ) ) -> T <_ ( ( j - k ) x. T ) )
594	593	3adantll3 39203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ k <_ j ) /\ ( a + ( j x. T ) ) = ( b + ( k x. T ) ) ) -> T <_ ( ( j - k ) x. T ) )
595	392, 394, 399, 523, 594	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ k <_ j ) /\ ( a + ( j x. T ) ) = ( b + ( k x. T ) ) ) -> E <_ ( ( j - k ) x. T ) )
596		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( a + ( j x. T ) ) = ( b + ( k x. T ) ) -> ( ( b + ( k x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) = ( ( b + ( k x. T ) ) - ( b + ( k x. T ) ) ) )
597	596	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( a + ( j x. T ) ) = ( b + ( k x. T ) ) -> ( ( ( b + ( k x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) + ( ( j - k ) x. T ) ) = ( ( ( b + ( k x. T ) ) - ( b + ( k x. T ) ) ) + ( ( j - k ) x. T ) ) )
598	597	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ps /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ ( a + ( j x. T ) ) = ( b + ( k x. T ) ) ) -> ( ( ( b + ( k x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) + ( ( j - k ) x. T ) ) = ( ( ( b + ( k x. T ) ) - ( b + ( k x. T ) ) ) + ( ( j - k ) x. T ) ) )
599	267, 445	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( ps -> A C_ RR )
600	599	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( ps /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) -> ( b + ( k x. T ) ) e. RR )
601	600	adantrl 752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( ps /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) -> ( b + ( k x. T ) ) e. RR )
602	601	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( ps /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) -> ( b + ( k x. T ) ) e. CC )
603	602	subidd 10380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ps /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) -> ( ( b + ( k x. T ) ) - ( b + ( k x. T ) ) ) = 0 )
604	603	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ps /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) -> ( ( ( b + ( k x. T ) ) - ( b + ( k x. T ) ) ) + ( ( j - k ) x. T ) ) = ( 0 + ( ( j - k ) x. T ) ) )
605	604	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ps /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ ( a + ( j x. T ) ) = ( b + ( k x. T ) ) ) -> ( ( ( b + ( k x. T ) ) - ( b + ( k x. T ) ) ) + ( ( j - k ) x. T ) ) = ( 0 + ( ( j - k ) x. T ) ) )
606	598, 605	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ps /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ ( a + ( j x. T ) ) = ( b + ( k x. T ) ) ) -> ( ( ( b + ( k x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) + ( ( j - k ) x. T ) ) = ( 0 + ( ( j - k ) x. T ) ) )
607	606	3adantl2 1218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ ( a + ( j x. T ) ) = ( b + ( k x. T ) ) ) -> ( ( ( b + ( k x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) + ( ( j - k ) x. T ) ) = ( 0 + ( ( j - k ) x. T ) ) )
608	607	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ k <_ j ) /\ ( a + ( j x. T ) ) = ( b + ( k x. T ) ) ) -> ( ( ( b + ( k x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) + ( ( j - k ) x. T ) ) = ( 0 + ( ( j - k ) x. T ) ) )
609	374, 373	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) -> ( j - k ) e. CC )
610	609, 375	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) -> ( ( j - k ) x. T ) e. CC )
611	610	addid2d 10237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) -> ( 0 + ( ( j - k ) x. T ) ) = ( ( j - k ) x. T ) )
612	611	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) -> ( 0 + ( ( j - k ) x. T ) ) = ( ( j - k ) x. T ) )
613	612	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ k <_ j ) /\ ( a + ( j x. T ) ) = ( b + ( k x. T ) ) ) -> ( 0 + ( ( j - k ) x. T ) ) = ( ( j - k ) x. T ) )
614	608, 613	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ k <_ j ) /\ ( a + ( j x. T ) ) = ( b + ( k x. T ) ) ) -> ( ( j - k ) x. T ) = ( ( ( b + ( k x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) + ( ( j - k ) x. T ) ) )
615	595, 614	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ k <_ j ) /\ ( a + ( j x. T ) ) = ( b + ( k x. T ) ) ) -> E <_ ( ( ( b + ( k x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) + ( ( j - k ) x. T ) ) )
616	615	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ k <_ j ) /\ ( a + ( j x. T ) ) <_ ( b + ( k x. T ) ) ) /\ ( a + ( j x. T ) ) = ( b + ( k x. T ) ) ) -> E <_ ( ( ( b + ( k x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) + ( ( j - k ) x. T ) ) )
617	391	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ k <_ j ) /\ ( a + ( j x. T ) ) <_ ( b + ( k x. T ) ) ) /\ -. ( a + ( j x. T ) ) = ( b + ( k x. T ) ) ) -> E e. RR )
618	599	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ps /\ ( a + ( j x. T ) ) e. A ) -> ( a + ( j x. T ) ) e. RR )
619	618	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ps /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) -> ( a + ( j x. T ) ) e. RR )
620	601, 619	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ps /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) -> ( ( b + ( k x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) e. RR )
621	620	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) -> ( ( b + ( k x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) e. RR )
622	621	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ k <_ j ) /\ ( a + ( j x. T ) ) <_ ( b + ( k x. T ) ) ) /\ -. ( a + ( j x. T ) ) = ( b + ( k x. T ) ) ) -> ( ( b + ( k x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) e. RR )
623	621, 398	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) -> ( ( ( b + ( k x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) + ( ( j - k ) x. T ) ) e. RR )
624	623	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ k <_ j ) /\ ( a + ( j x. T ) ) <_ ( b + ( k x. T ) ) ) /\ -. ( a + ( j x. T ) ) = ( b + ( k x. T ) ) ) -> ( ( ( b + ( k x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) + ( ( j - k ) x. T ) ) e. RR )
625	267	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ps /\ k <_ j ) -> ph )
626	625	3ad2antl1 1223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ k <_ j ) -> ph )
627	626	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ k <_ j ) /\ ( a + ( j x. T ) ) <_ ( b + ( k x. T ) ) ) /\ -. ( a + ( j x. T ) ) = ( b + ( k x. T ) ) ) -> ph )
628		simpl3 1066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ k <_ j ) -> ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) )
629	628	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ k <_ j ) /\ ( a + ( j x. T ) ) <_ ( b + ( k x. T ) ) ) /\ -. ( a + ( j x. T ) ) = ( b + ( k x. T ) ) ) -> ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) )
630		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ( ( ps /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ ( a + ( j x. T ) ) <_ ( b + ( k x. T ) ) ) /\ -. ( a + ( j x. T ) ) = ( b + ( k x. T ) ) ) -> ( a + ( j x. T ) ) <_ ( b + ( k x. T ) ) )
631	619	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( ( ( ps /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ ( a + ( j x. T ) ) <_ ( b + ( k x. T ) ) ) /\ -. ( a + ( j x. T ) ) = ( b + ( k x. T ) ) ) -> ( a + ( j x. T ) ) e. RR )
632	601	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( ( ( ps /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ ( a + ( j x. T ) ) <_ ( b + ( k x. T ) ) ) /\ -. ( a + ( j x. T ) ) = ( b + ( k x. T ) ) ) -> ( b + ( k x. T ) ) e. RR )
633	631, 632	lenltd 10183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ( ( ps /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ ( a + ( j x. T ) ) <_ ( b + ( k x. T ) ) ) /\ -. ( a + ( j x. T ) ) = ( b + ( k x. T ) ) ) -> ( ( a + ( j x. T ) ) <_ ( b + ( k x. T ) ) <-> -. ( b + ( k x. T ) ) < ( a + ( j x. T ) ) ) )
634	630, 633	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( ( ps /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ ( a + ( j x. T ) ) <_ ( b + ( k x. T ) ) ) /\ -. ( a + ( j x. T ) ) = ( b + ( k x. T ) ) ) -> -. ( b + ( k x. T ) ) < ( a + ( j x. T ) ) )
635		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( a + ( j x. T ) ) = ( b + ( k x. T ) ) <-> ( b + ( k x. T ) ) = ( a + ( j x. T ) ) )
636	635	notbii 310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( -. ( a + ( j x. T ) ) = ( b + ( k x. T ) ) <-> -. ( b + ( k x. T ) ) = ( a + ( j x. T ) ) )
637	636	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( -. ( a + ( j x. T ) ) = ( b + ( k x. T ) ) -> -. ( b + ( k x. T ) ) = ( a + ( j x. T ) ) )
638	637	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( ( ps /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ ( a + ( j x. T ) ) <_ ( b + ( k x. T ) ) ) /\ -. ( a + ( j x. T ) ) = ( b + ( k x. T ) ) ) -> -. ( b + ( k x. T ) ) = ( a + ( j x. T ) ) )
639		ioran 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( -. ( ( b + ( k x. T ) ) < ( a + ( j x. T ) ) \/ ( b + ( k x. T ) ) = ( a + ( j x. T ) ) ) <-> ( -. ( b + ( k x. T ) ) < ( a + ( j x. T ) ) /\ -. ( b + ( k x. T ) ) = ( a + ( j x. T ) ) ) )
640	634, 638, 639	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ( ps /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ ( a + ( j x. T ) ) <_ ( b + ( k x. T ) ) ) /\ -. ( a + ( j x. T ) ) = ( b + ( k x. T ) ) ) -> -. ( ( b + ( k x. T ) ) < ( a + ( j x. T ) ) \/ ( b + ( k x. T ) ) = ( a + ( j x. T ) ) ) )
641	632, 631	leloed 10180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ( ps /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ ( a + ( j x. T ) ) <_ ( b + ( k x. T ) ) ) /\ -. ( a + ( j x. T ) ) = ( b + ( k x. T ) ) ) -> ( ( b + ( k x. T ) ) <_ ( a + ( j x. T ) ) <-> ( ( b + ( k x. T ) ) < ( a + ( j x. T ) ) \/ ( b + ( k x. T ) ) = ( a + ( j x. T ) ) ) ) )
642	640, 641	mtbird 315	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ( ps /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ ( a + ( j x. T ) ) <_ ( b + ( k x. T ) ) ) /\ -. ( a + ( j x. T ) ) = ( b + ( k x. T ) ) ) -> -. ( b + ( k x. T ) ) <_ ( a + ( j x. T ) ) )
643	642	3adantll2 39202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ ( a + ( j x. T ) ) <_ ( b + ( k x. T ) ) ) /\ -. ( a + ( j x. T ) ) = ( b + ( k x. T ) ) ) -> -. ( b + ( k x. T ) ) <_ ( a + ( j x. T ) ) )
644	643	adantllr 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ k <_ j ) /\ ( a + ( j x. T ) ) <_ ( b + ( k x. T ) ) ) /\ -. ( a + ( j x. T ) ) = ( b + ( k x. T ) ) ) -> -. ( b + ( k x. T ) ) <_ ( a + ( j x. T ) ) )
645	619	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ps /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ k <_ j ) -> ( a + ( j x. T ) ) e. RR )
646	645	3adantl2 1218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ k <_ j ) -> ( a + ( j x. T ) ) e. RR )
647	646	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ k <_ j ) /\ ( a + ( j x. T ) ) <_ ( b + ( k x. T ) ) ) /\ -. ( a + ( j x. T ) ) = ( b + ( k x. T ) ) ) -> ( a + ( j x. T ) ) e. RR )
648	601	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ps /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ k <_ j ) -> ( b + ( k x. T ) ) e. RR )
649	648	3adantl2 1218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ k <_ j ) -> ( b + ( k x. T ) ) e. RR )
650	649	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ k <_ j ) /\ ( a + ( j x. T ) ) <_ ( b + ( k x. T ) ) ) /\ -. ( a + ( j x. T ) ) = ( b + ( k x. T ) ) ) -> ( b + ( k x. T ) ) e. RR )
651	647, 650	ltnled 10184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ k <_ j ) /\ ( a + ( j x. T ) ) <_ ( b + ( k x. T ) ) ) /\ -. ( a + ( j x. T ) ) = ( b + ( k x. T ) ) ) -> ( ( a + ( j x. T ) ) < ( b + ( k x. T ) ) <-> -. ( b + ( k x. T ) ) <_ ( a + ( j x. T ) ) ) )
652	644, 651	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ k <_ j ) /\ ( a + ( j x. T ) ) <_ ( b + ( k x. T ) ) ) /\ -. ( a + ( j x. T ) ) = ( b + ( k x. T ) ) ) -> ( a + ( j x. T ) ) < ( b + ( k x. T ) ) )
653		simp2l 1087	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ph /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) /\ ( a + ( j x. T ) ) < ( b + ( k x. T ) ) ) -> ( a + ( j x. T ) ) e. A )
654		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( c = ( a + ( j x. T ) ) -> ( c e. A <-> ( a + ( j x. T ) ) e. A ) )
655	654	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( c = ( a + ( j x. T ) ) -> ( ( c e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) <-> ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) )
656		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( c = ( a + ( j x. T ) ) -> ( c < ( b + ( k x. T ) ) <-> ( a + ( j x. T ) ) < ( b + ( k x. T ) ) ) )
657	655, 656	3anbi23d 1402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( c = ( a + ( j x. T ) ) -> ( ( ph /\ ( c e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) /\ c < ( b + ( k x. T ) ) ) <-> ( ph /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) /\ ( a + ( j x. T ) ) < ( b + ( k x. T ) ) ) ) )
658		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( c = ( a + ( j x. T ) ) -> ( ( b + ( k x. T ) ) - c ) = ( ( b + ( k x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) )
659	658	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( c = ( a + ( j x. T ) ) -> ( E <_ ( ( b + ( k x. T ) ) - c ) <-> E <_ ( ( b + ( k x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) ) )
660	657, 659	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( c = ( a + ( j x. T ) ) -> ( ( ( ph /\ ( c e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) /\ c < ( b + ( k x. T ) ) ) -> E <_ ( ( b + ( k x. T ) ) - c ) ) <-> ( ( ph /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) /\ ( a + ( j x. T ) ) < ( b + ( k x. T ) ) ) -> E <_ ( ( b + ( k x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) ) ) )
661		simp2r 1088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ph /\ ( c e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) /\ c < ( b + ( k x. T ) ) ) -> ( b + ( k x. T ) ) e. A )
662		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( d = ( b + ( k x. T ) ) -> ( d e. A <-> ( b + ( k x. T ) ) e. A ) )
663	662	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( d = ( b + ( k x. T ) ) -> ( ( c e. A /\ d e. A ) <-> ( c e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) )
664		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( d = ( b + ( k x. T ) ) -> ( c < d <-> c < ( b + ( k x. T ) ) ) )
665	663, 664	3anbi23d 1402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( d = ( b + ( k x. T ) ) -> ( ( ph /\ ( c e. A /\ d e. A ) /\ c < d ) <-> ( ph /\ ( c e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) /\ c < ( b + ( k x. T ) ) ) ) )
666		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( d = ( b + ( k x. T ) ) -> ( d - c ) = ( ( b + ( k x. T ) ) - c ) )
667	666	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( d = ( b + ( k x. T ) ) -> ( E <_ ( d - c ) <-> E <_ ( ( b + ( k x. T ) ) - c ) ) )
668	665, 667	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( d = ( b + ( k x. T ) ) -> ( ( ( ph /\ ( c e. A /\ d e. A ) /\ c < d ) -> E <_ ( d - c ) ) <-> ( ( ph /\ ( c e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) /\ c < ( b + ( k x. T ) ) ) -> E <_ ( ( b + ( k x. T ) ) - c ) ) ) )
669	668, 515	vtoclg 3266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( b + ( k x. T ) ) e. A -> ( ( ph /\ ( c e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) /\ c < ( b + ( k x. T ) ) ) -> E <_ ( ( b + ( k x. T ) ) - c ) ) )
670	661, 669	mpcom 38	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ph /\ ( c e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) /\ c < ( b + ( k x. T ) ) ) -> E <_ ( ( b + ( k x. T ) ) - c ) )
671	660, 670	vtoclg 3266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( a + ( j x. T ) ) e. A -> ( ( ph /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) /\ ( a + ( j x. T ) ) < ( b + ( k x. T ) ) ) -> E <_ ( ( b + ( k x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) ) )
672	653, 671	mpcom 38	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ph /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) /\ ( a + ( j x. T ) ) < ( b + ( k x. T ) ) ) -> E <_ ( ( b + ( k x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) )
673	627, 629, 652, 672	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ k <_ j ) /\ ( a + ( j x. T ) ) <_ ( b + ( k x. T ) ) ) /\ -. ( a + ( j x. T ) ) = ( b + ( k x. T ) ) ) -> E <_ ( ( b + ( k x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) )
674	395	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) /\ k <_ j ) -> ( j - k ) e. RR )
675	293	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) /\ k <_ j ) -> T e. RR )
676		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ k <_ j ) -> k <_ j )
677	283	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ k <_ j ) -> j e. RR )
678	286	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ k <_ j ) -> k e. RR )
679	677, 678	subge0d 10617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ k <_ j ) -> ( 0 <_ ( j - k ) <-> k <_ j ) )
680	676, 679	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ k <_ j ) -> 0 <_ ( j - k ) )
681	680	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) /\ k <_ j ) -> 0 <_ ( j - k ) )
682	352	rpge0d 11876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ps -> 0 <_ T )
683	682	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) /\ k <_ j ) -> 0 <_ T )
684	674, 675, 681, 683	mulge0d 10604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) /\ k <_ j ) -> 0 <_ ( ( j - k ) x. T ) )
685	684	3adantl3 1219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ k <_ j ) -> 0 <_ ( ( j - k ) x. T ) )
686	621	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ k <_ j ) -> ( ( b + ( k x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) e. RR )
687	398	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ k <_ j ) -> ( ( j - k ) x. T ) e. RR )
688	686, 687	addge01d 10615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ k <_ j ) -> ( 0 <_ ( ( j - k ) x. T ) <-> ( ( b + ( k x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) <_ ( ( ( b + ( k x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) + ( ( j - k ) x. T ) ) ) )
689	685, 688	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ k <_ j ) -> ( ( b + ( k x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) <_ ( ( ( b + ( k x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) + ( ( j - k ) x. T ) ) )
690	689	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ k <_ j ) /\ ( a + ( j x. T ) ) <_ ( b + ( k x. T ) ) ) /\ -. ( a + ( j x. T ) ) = ( b + ( k x. T ) ) ) -> ( ( b + ( k x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) <_ ( ( ( b + ( k x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) + ( ( j - k ) x. T ) ) )
691	617, 622, 624, 673, 690	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ k <_ j ) /\ ( a + ( j x. T ) ) <_ ( b + ( k x. T ) ) ) /\ -. ( a + ( j x. T ) ) = ( b + ( k x. T ) ) ) -> E <_ ( ( ( b + ( k x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) + ( ( j - k ) x. T ) ) )
692	616, 691	pm2.61dan 832	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ k <_ j ) /\ ( a + ( j x. T ) ) <_ ( b + ( k x. T ) ) ) -> E <_ ( ( ( b + ( k x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) + ( ( j - k ) x. T ) ) )
693	372, 378	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) -> ( ( b + ( k x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) = ( ( b - a ) + ( ( k - j ) x. T ) ) )
694	693	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) -> ( ( ( b + ( k x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) + ( ( j - k ) x. T ) ) = ( ( ( b - a ) + ( ( k - j ) x. T ) ) + ( ( j - k ) x. T ) ) )
695	365, 369	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) -> ( b - a ) e. CC )
696	373, 374	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) -> ( k - j ) e. CC )
697	696, 375	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) -> ( ( k - j ) x. T ) e. CC )
698	695, 697, 610	addassd 10062	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) -> ( ( ( b - a ) + ( ( k - j ) x. T ) ) + ( ( j - k ) x. T ) ) = ( ( b - a ) + ( ( ( k - j ) x. T ) + ( ( j - k ) x. T ) ) ) )
699	341, 336, 336, 341	subadd4b 39494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( k - j ) + ( j - k ) ) = ( ( k - k ) + ( j - j ) ) )
700	699	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) -> ( ( k - j ) + ( j - k ) ) = ( ( k - k ) + ( j - j ) ) )
701	700	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) -> ( ( ( k - j ) + ( j - k ) ) x. T ) = ( ( ( k - k ) + ( j - j ) ) x. T ) )
702	696, 609, 375	adddird 10065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) -> ( ( ( k - j ) + ( j - k ) ) x. T ) = ( ( ( k - j ) x. T ) + ( ( j - k ) x. T ) ) )
703	340	subidd 10380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( k e. ZZ -> ( k - k ) = 0 )
704	703	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( k - k ) = 0 )
705	562	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( j - j ) = 0 )
706	704, 705	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( k - k ) + ( j - j ) ) = ( 0 + 0 ) )
707		00id 10211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( 0 + 0 ) = 0
708	706, 707	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( k - k ) + ( j - j ) ) = 0 )
709	708	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( ( k - k ) + ( j - j ) ) x. T ) = ( 0 x. T ) )
710	709	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) -> ( ( ( k - k ) + ( j - j ) ) x. T ) = ( 0 x. T ) )
711	701, 702, 710	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) -> ( ( ( k - j ) x. T ) + ( ( j - k ) x. T ) ) = ( 0 x. T ) )
712	711	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) -> ( ( b - a ) + ( ( ( k - j ) x. T ) + ( ( j - k ) x. T ) ) ) = ( ( b - a ) + ( 0 x. T ) ) )
713	318	mul02d 10234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ps -> ( 0 x. T ) = 0 )
714	713	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ps -> ( ( b - a ) + ( 0 x. T ) ) = ( ( b - a ) + 0 ) )
715	364, 368	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ps -> ( b - a ) e. CC )
716	715	addid1d 10236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ps -> ( ( b - a ) + 0 ) = ( b - a ) )
717	714, 716	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ps -> ( ( b - a ) + ( 0 x. T ) ) = ( b - a ) )
718	717	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) -> ( ( b - a ) + ( 0 x. T ) ) = ( b - a ) )
719	712, 718	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) -> ( ( b - a ) + ( ( ( k - j ) x. T ) + ( ( j - k ) x. T ) ) ) = ( b - a ) )
720	694, 698, 719	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) -> ( ( ( b + ( k x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) + ( ( j - k ) x. T ) ) = ( b - a ) )
721	720	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) -> ( ( ( b + ( k x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) + ( ( j - k ) x. T ) ) = ( b - a ) )
722	721	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ k <_ j ) /\ ( a + ( j x. T ) ) <_ ( b + ( k x. T ) ) ) -> ( ( ( b + ( k x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) + ( ( j - k ) x. T ) ) = ( b - a ) )
723	692, 722	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ k <_ j ) /\ ( a + ( j x. T ) ) <_ ( b + ( k x. T ) ) ) -> E <_ ( b - a ) )
724		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ k <_ j ) /\ -. ( a + ( j x. T ) ) <_ ( b + ( k x. T ) ) ) -> ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) )
725		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ -. ( a + ( j x. T ) ) <_ ( b + ( k x. T ) ) ) -> -. ( a + ( j x. T ) ) <_ ( b + ( k x. T ) ) )
726	601	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) -> ( b + ( k x. T ) ) e. RR )
727	726	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ -. ( a + ( j x. T ) ) <_ ( b + ( k x. T ) ) ) -> ( b + ( k x. T ) ) e. RR )
728	619	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) -> ( a + ( j x. T ) ) e. RR )
729	728	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ -. ( a + ( j x. T ) ) <_ ( b + ( k x. T ) ) ) -> ( a + ( j x. T ) ) e. RR )
730	727, 729	ltnled 10184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ -. ( a + ( j x. T ) ) <_ ( b + ( k x. T ) ) ) -> ( ( b + ( k x. T ) ) < ( a + ( j x. T ) ) <-> -. ( a + ( j x. T ) ) <_ ( b + ( k x. T ) ) ) )
731	725, 730	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ -. ( a + ( j x. T ) ) <_ ( b + ( k x. T ) ) ) -> ( b + ( k x. T ) ) < ( a + ( j x. T ) ) )
732	731	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ k <_ j ) /\ -. ( a + ( j x. T ) ) <_ ( b + ( k x. T ) ) ) -> ( b + ( k x. T ) ) < ( a + ( j x. T ) ) )
733	535	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) -> k = ( ( ( b + ( k x. T ) ) - b ) / T ) )
734	733	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ ( b + ( k x. T ) ) < ( a + ( j x. T ) ) ) -> k = ( ( ( b + ( k x. T ) ) - b ) / T ) )
735	600	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ps /\ k e. ZZ /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) -> ( b + ( k x. T ) ) e. RR )
736	302	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ps /\ k e. ZZ /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) -> b e. RR )
737	735, 736	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ps /\ k e. ZZ /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) -> ( ( b + ( k x. T ) ) - b ) e. RR )
738	293	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ps /\ k e. ZZ /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) -> T e. RR )
739	531	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ps /\ k e. ZZ /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) -> T =/= 0 )
740	737, 738, 739	redivcld 10853	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ps /\ k e. ZZ /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) -> ( ( ( b + ( k x. T ) ) - b ) / T ) e. RR )
741	740	3adant3l 1322	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ps /\ k e. ZZ /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) -> ( ( ( b + ( k x. T ) ) - b ) / T ) e. RR )
742	741	3adant2l 1320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) -> ( ( ( b + ( k x. T ) ) - b ) / T ) e. RR )
743	742	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ ( b + ( k x. T ) ) < ( a + ( j x. T ) ) ) -> ( ( ( b + ( k x. T ) ) - b ) / T ) e. RR )
744	618	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ps /\ j e. ZZ /\ ( a + ( j x. T ) ) e. A ) -> ( a + ( j x. T ) ) e. RR )
745	302	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ps /\ j e. ZZ /\ ( a + ( j x. T ) ) e. A ) -> b e. RR )
746	744, 745	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ps /\ j e. ZZ /\ ( a + ( j x. T ) ) e. A ) -> ( ( a + ( j x. T ) ) - b ) e. RR )
747	293	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ps /\ j e. ZZ /\ ( a + ( j x. T ) ) e. A ) -> T e. RR )
748	531	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ps /\ j e. ZZ /\ ( a + ( j x. T ) ) e. A ) -> T =/= 0 )
749	746, 747, 748	redivcld 10853	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ps /\ j e. ZZ /\ ( a + ( j x. T ) ) e. A ) -> ( ( ( a + ( j x. T ) ) - b ) / T ) e. RR )
750	749	3adant3r 1323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ps /\ j e. ZZ /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) -> ( ( ( a + ( j x. T ) ) - b ) / T ) e. RR )
751	750	3adant2r 1321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) -> ( ( ( a + ( j x. T ) ) - b ) / T ) e. RR )
752	751	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ ( b + ( k x. T ) ) < ( a + ( j x. T ) ) ) -> ( ( ( a + ( j x. T ) ) - b ) / T ) e. RR )
753	284	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) -> j e. RR )
754	753	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ ( b + ( k x. T ) ) < ( a + ( j x. T ) ) ) -> j e. RR )
755	726	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ ( b + ( k x. T ) ) < ( a + ( j x. T ) ) ) -> ( b + ( k x. T ) ) e. RR )
756	302	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) -> b e. RR )
757	756	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ ( b + ( k x. T ) ) < ( a + ( j x. T ) ) ) -> b e. RR )
758	755, 757	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ ( b + ( k x. T ) ) < ( a + ( j x. T ) ) ) -> ( ( b + ( k x. T ) ) - b ) e. RR )
759	728	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ ( b + ( k x. T ) ) < ( a + ( j x. T ) ) ) -> ( a + ( j x. T ) ) e. RR )
760	759, 757	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ ( b + ( k x. T ) ) < ( a + ( j x. T ) ) ) -> ( ( a + ( j x. T ) ) - b ) e. RR )
761	352	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) -> T e. RR+ )
762	761	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ ( b + ( k x. T ) ) < ( a + ( j x. T ) ) ) -> T e. RR+ )
763	601	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ps /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ ( b + ( k x. T ) ) < ( a + ( j x. T ) ) ) -> ( b + ( k x. T ) ) e. RR )
764	619	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ps /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ ( b + ( k x. T ) ) < ( a + ( j x. T ) ) ) -> ( a + ( j x. T ) ) e. RR )
765	302	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ps /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ ( b + ( k x. T ) ) < ( a + ( j x. T ) ) ) -> b e. RR )
766		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ps /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ ( b + ( k x. T ) ) < ( a + ( j x. T ) ) ) -> ( b + ( k x. T ) ) < ( a + ( j x. T ) ) )
767	763, 764, 765, 766	ltsub1dd 10639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ps /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ ( b + ( k x. T ) ) < ( a + ( j x. T ) ) ) -> ( ( b + ( k x. T ) ) - b ) < ( ( a + ( j x. T ) ) - b ) )
768	767	3adantl2 1218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ ( b + ( k x. T ) ) < ( a + ( j x. T ) ) ) -> ( ( b + ( k x. T ) ) - b ) < ( ( a + ( j x. T ) ) - b ) )
769	758, 760, 762, 768	ltdiv1dd 11929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ ( b + ( k x. T ) ) < ( a + ( j x. T ) ) ) -> ( ( ( b + ( k x. T ) ) - b ) / T ) < ( ( ( a + ( j x. T ) ) - b ) / T ) )
770	554, 570	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) -> ( ( ( a + ( j x. T ) ) - b ) / T ) < j )
771	770	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) -> ( ( ( a + ( j x. T ) ) - b ) / T ) < j )
772	771	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ ( b + ( k x. T ) ) < ( a + ( j x. T ) ) ) -> ( ( ( a + ( j x. T ) ) - b ) / T ) < j )
773	743, 752, 754, 769, 772	lttrd 10198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ ( b + ( k x. T ) ) < ( a + ( j x. T ) ) ) -> ( ( ( b + ( k x. T ) ) - b ) / T ) < j )
774	734, 773	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ ( b + ( k x. T ) ) < ( a + ( j x. T ) ) ) -> k < j )
775	774	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ k <_ j ) /\ ( b + ( k x. T ) ) < ( a + ( j x. T ) ) ) -> k < j )
776	732, 775	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ k <_ j ) /\ -. ( a + ( j x. T ) ) <_ ( b + ( k x. T ) ) ) -> k < j )
777	391	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ k < ( j - 1 ) ) -> E e. RR )
778	393	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ k < ( j - 1 ) ) -> T e. RR )
779	623	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ k < ( j - 1 ) ) -> ( ( ( b + ( k x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) + ( ( j - k ) x. T ) ) e. RR )
780	522	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ k < ( j - 1 ) ) -> E <_ T )
781		peano2rem 10348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( j e. RR -> ( j - 1 ) e. RR )
782	753, 781	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) -> ( j - 1 ) e. RR )
783	287	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) -> k e. RR )
784	782, 783	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) -> ( ( j - 1 ) - k ) e. RR )
785	784, 393	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) -> ( ( ( j - 1 ) - k ) x. T ) e. RR )
786	785	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ k < ( j - 1 ) ) -> ( ( ( j - 1 ) - k ) x. T ) e. RR )
787	753	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ k < ( j - 1 ) ) -> j e. RR )
788	330	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ k < ( j - 1 ) ) -> 1 e. RR )
789	787, 788	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ k < ( j - 1 ) ) -> ( j - 1 ) e. RR )
790	286	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ k < ( j - 1 ) ) -> k e. RR )
791	790	3ad2antl2 1224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ k < ( j - 1 ) ) -> k e. RR )
792	789, 791	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ k < ( j - 1 ) ) -> ( ( j - 1 ) - k ) e. RR )
793	682	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ps /\ k < ( j - 1 ) ) -> 0 <_ T )
794	793	3ad2antl1 1223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ k < ( j - 1 ) ) -> 0 <_ T )
795	283	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ k < ( j - 1 ) ) -> j e. RR )
796	330	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ k < ( j - 1 ) ) -> 1 e. RR )
797	795, 796	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ k < ( j - 1 ) ) -> ( j - 1 ) e. RR )
798		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ k < ( j - 1 ) ) -> k < ( j - 1 ) )
799		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ k < ( j - 1 ) ) -> k e. ZZ )
800		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ k < ( j - 1 ) ) -> j e. ZZ )
801		1zzd 11408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ k < ( j - 1 ) ) -> 1 e. ZZ )
802	800, 801	zsubcld 11487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ k < ( j - 1 ) ) -> ( j - 1 ) e. ZZ )
803		zltlem1 11430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( k e. ZZ /\ ( j - 1 ) e. ZZ ) -> ( k < ( j - 1 ) <-> k <_ ( ( j - 1 ) - 1 ) ) )
804	799, 802, 803	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ k < ( j - 1 ) ) -> ( k < ( j - 1 ) <-> k <_ ( ( j - 1 ) - 1 ) ) )
805	798, 804	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ k < ( j - 1 ) ) -> k <_ ( ( j - 1 ) - 1 ) )
806	790, 797, 796, 805	lesubd 10631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ k < ( j - 1 ) ) -> 1 <_ ( ( j - 1 ) - k ) )
807	806	3ad2antl2 1224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ k < ( j - 1 ) ) -> 1 <_ ( ( j - 1 ) - k ) )
808	778, 792, 794, 807	lemulge12d 10962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ k < ( j - 1 ) ) -> T <_ ( ( ( j - 1 ) - k ) x. T ) )
809	336, 337, 341	sub32d 10424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( j - 1 ) - k ) = ( ( j - k ) - 1 ) )
810	809	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( ( j - 1 ) - k ) x. T ) = ( ( ( j - k ) - 1 ) x. T ) )
811	810	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) -> ( ( ( j - 1 ) - k ) x. T ) = ( ( ( j - k ) - 1 ) x. T ) )
812		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) -> 1 e. CC )
813	609, 812, 375	subdird 10487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) -> ( ( ( j - k ) - 1 ) x. T ) = ( ( ( j - k ) x. T ) - ( 1 x. T ) ) )
814	319	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ps -> ( ( ( j - k ) x. T ) - ( 1 x. T ) ) = ( ( ( j - k ) x. T ) - T ) )
815	814	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) -> ( ( ( j - k ) x. T ) - ( 1 x. T ) ) = ( ( ( j - k ) x. T ) - T ) )
816	811, 813, 815	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) -> ( ( ( j - 1 ) - k ) x. T ) = ( ( ( j - k ) x. T ) - T ) )
817	816	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) -> ( ( ( j - 1 ) - k ) x. T ) = ( ( ( j - k ) x. T ) - T ) )
818	728, 726	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) -> ( ( a + ( j x. T ) ) - ( b + ( k x. T ) ) ) e. RR )
819	269, 271, 276, 274	iccsuble 39745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( ps /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) -> ( ( a + ( j x. T ) ) - ( b + ( k x. T ) ) ) <_ ( C - B ) )
820	819, 278	syl6breqr 4695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( ps /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) -> ( ( a + ( j x. T ) ) - ( b + ( k x. T ) ) ) <_ T )
821	820	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) -> ( ( a + ( j x. T ) ) - ( b + ( k x. T ) ) ) <_ T )
822	818, 393, 398, 821	lesub2dd 10644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) -> ( ( ( j - k ) x. T ) - T ) <_ ( ( ( j - k ) x. T ) - ( ( a + ( j x. T ) ) - ( b + ( k x. T ) ) ) ) )
823	817, 822	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) -> ( ( ( j - 1 ) - k ) x. T ) <_ ( ( ( j - k ) x. T ) - ( ( a + ( j x. T ) ) - ( b + ( k x. T ) ) ) ) )
824	610	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) -> ( ( j - k ) x. T ) e. CC )
825	728	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) -> ( a + ( j x. T ) ) e. CC )
826	602	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) -> ( b + ( k x. T ) ) e. CC )
827	824, 825, 826	subsub2d 10421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) -> ( ( ( j - k ) x. T ) - ( ( a + ( j x. T ) ) - ( b + ( k x. T ) ) ) ) = ( ( ( j - k ) x. T ) + ( ( b + ( k x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) ) )
828	621	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) -> ( ( b + ( k x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) e. CC )
829	824, 828	addcomd 10238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) -> ( ( ( j - k ) x. T ) + ( ( b + ( k x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) ) = ( ( ( b + ( k x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) + ( ( j - k ) x. T ) ) )
830	827, 829	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) -> ( ( ( j - k ) x. T ) - ( ( a + ( j x. T ) ) - ( b + ( k x. T ) ) ) ) = ( ( ( b + ( k x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) + ( ( j - k ) x. T ) ) )
831	823, 830	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) -> ( ( ( j - 1 ) - k ) x. T ) <_ ( ( ( b + ( k x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) + ( ( j - k ) x. T ) ) )
832	831	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ k < ( j - 1 ) ) -> ( ( ( j - 1 ) - k ) x. T ) <_ ( ( ( b + ( k x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) + ( ( j - k ) x. T ) ) )
833	778, 786, 779, 808, 832	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ k < ( j - 1 ) ) -> T <_ ( ( ( b + ( k x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) + ( ( j - k ) x. T ) ) )
834	777, 778, 779, 780, 833	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ k < ( j - 1 ) ) -> E <_ ( ( ( b + ( k x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) + ( ( j - k ) x. T ) ) )
835	721	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ k < ( j - 1 ) ) -> ( ( ( b + ( k x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) + ( ( j - k ) x. T ) ) = ( b - a ) )
836	834, 835	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ k < ( j - 1 ) ) -> E <_ ( b - a ) )
837	836	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ k < j ) /\ k < ( j - 1 ) ) -> E <_ ( b - a ) )
838	837	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ k < j ) /\ ( b + ( k x. T ) ) < ( a + ( j x. T ) ) ) /\ k < ( j - 1 ) ) -> E <_ ( b - a ) )
839		simplll 798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ k < j ) /\ ( b + ( k x. T ) ) < ( a + ( j x. T ) ) ) /\ -. k < ( j - 1 ) ) -> ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) )
840		simpll2 1101	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ k < j ) /\ -. k < ( j - 1 ) ) -> ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) )
841		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ k < j ) /\ -. k < ( j - 1 ) ) -> k < j )
842		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ k < j ) /\ -. k < ( j - 1 ) ) -> -. k < ( j - 1 ) )
843	581, 582, 580, 584	lesubd 10631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ k < j ) -> k <_ ( j - 1 ) )
844	843	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ k < j /\ -. k < ( j - 1 ) ) -> k <_ ( j - 1 ) )
845		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ -. k < ( j - 1 ) ) -> -. k < ( j - 1 ) )
846	284, 781	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( j - 1 ) e. RR )
847	846	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ -. k < ( j - 1 ) ) -> ( j - 1 ) e. RR )
848	286	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ -. k < ( j - 1 ) ) -> k e. RR )
849	847, 848	lenltd 10183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ -. k < ( j - 1 ) ) -> ( ( j - 1 ) <_ k <-> -. k < ( j - 1 ) ) )
850	845, 849	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ -. k < ( j - 1 ) ) -> ( j - 1 ) <_ k )
851	850	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ k < j /\ -. k < ( j - 1 ) ) -> ( j - 1 ) <_ k )
852	580	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ k < j /\ -. k < ( j - 1 ) ) -> k e. RR )
853	846	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ k < j /\ -. k < ( j - 1 ) ) -> ( j - 1 ) e. RR )
854	852, 853	letri3d 10179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ k < j /\ -. k < ( j - 1 ) ) -> ( k = ( j - 1 ) <-> ( k <_ ( j - 1 ) /\ ( j - 1 ) <_ k ) ) )
855	844, 851, 854	mpbir2and 957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ k < j /\ -. k < ( j - 1 ) ) -> k = ( j - 1 ) )
856	840, 841, 842, 855	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ k < j ) /\ -. k < ( j - 1 ) ) -> k = ( j - 1 ) )
857	856	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ k < j ) /\ ( b + ( k x. T ) ) < ( a + ( j x. T ) ) ) /\ -. k < ( j - 1 ) ) -> k = ( j - 1 ) )
858		simpl1 1064	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ k = ( j - 1 ) ) -> ps )
859		simpl2l 1114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ k = ( j - 1 ) ) -> j e. ZZ )
860		simpl3l 1116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ k = ( j - 1 ) ) -> ( a + ( j x. T ) ) e. A )
861		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( k = ( j - 1 ) -> ( k x. T ) = ( ( j - 1 ) x. T ) )
862	861	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( k = ( j - 1 ) -> ( b + ( k x. T ) ) = ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) )
863	862	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( k = ( j - 1 ) -> ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) = ( b + ( k x. T ) ) )
864	863	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( b + ( k x. T ) ) e. A /\ k = ( j - 1 ) ) -> ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) = ( b + ( k x. T ) ) )
865		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( b + ( k x. T ) ) e. A /\ k = ( j - 1 ) ) -> ( b + ( k x. T ) ) e. A )
866	864, 865	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( b + ( k x. T ) ) e. A /\ k = ( j - 1 ) ) -> ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A )
867	866	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) /\ k = ( j - 1 ) ) -> ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A )
868	867	3ad2antl3 1225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ k = ( j - 1 ) ) -> ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A )
869	860, 868	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ k = ( j - 1 ) ) -> ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) )
870		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ps /\ j e. ZZ /\ ( a + ( j x. T ) ) e. A ) -> ( ps /\ j e. ZZ /\ ( a + ( j x. T ) ) e. A ) )
871	870	3adant3r 1323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ps /\ j e. ZZ /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) ) -> ( ps /\ j e. ZZ /\ ( a + ( j x. T ) ) e. A ) )
872	744	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( ps /\ j e. ZZ /\ ( a + ( j x. T ) ) e. A ) /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) = B ) -> ( a + ( j x. T ) ) e. RR )
873	270	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ps /\ j e. ZZ /\ ( a + ( j x. T ) ) e. A ) -> C e. RR )
874	873	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( ps /\ j e. ZZ /\ ( a + ( j x. T ) ) e. A ) /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) = B ) -> C e. RR )
875	268	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( ( ps /\ ( a + ( j x. T ) ) e. A ) -> B e. RR )
876	270	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( ( ps /\ ( a + ( j x. T ) ) e. A ) -> C e. RR )
877		elicc2 12238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( a + ( j x. T ) ) e. ( B [,] C ) <-> ( ( a + ( j x. T ) ) e. RR /\ B <_ ( a + ( j x. T ) ) /\ ( a + ( j x. T ) ) <_ C ) ) )
878	875, 876, 877	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( ps /\ ( a + ( j x. T ) ) e. A ) -> ( ( a + ( j x. T ) ) e. ( B [,] C ) <-> ( ( a + ( j x. T ) ) e. RR /\ B <_ ( a + ( j x. T ) ) /\ ( a + ( j x. T ) ) <_ C ) ) )
879	275, 878	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( ps /\ ( a + ( j x. T ) ) e. A ) -> ( ( a + ( j x. T ) ) e. RR /\ B <_ ( a + ( j x. T ) ) /\ ( a + ( j x. T ) ) <_ C ) )
880	879	simp3d 1075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( ps /\ ( a + ( j x. T ) ) e. A ) -> ( a + ( j x. T ) ) <_ C )
881	880	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ps /\ j e. ZZ /\ ( a + ( j x. T ) ) e. A ) -> ( a + ( j x. T ) ) <_ C )
882	881	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( ps /\ j e. ZZ /\ ( a + ( j x. T ) ) e. A ) /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) = B ) -> ( a + ( j x. T ) ) <_ C )
883		nne 2798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( -. C =/= ( a + ( j x. T ) ) <-> C = ( a + ( j x. T ) ) )
884	540, 370	pncand 10393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 |- ( ( ps /\ j e. ZZ ) -> ( ( a + ( j x. T ) ) - ( j x. T ) ) = a )
885	884	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 |- ( ( ps /\ j e. ZZ ) -> a = ( ( a + ( j x. T ) ) - ( j x. T ) ) )
886	885	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 |- ( ( ( ps /\ j e. ZZ ) /\ C = ( a + ( j x. T ) ) ) -> a = ( ( a + ( j x. T ) ) - ( j x. T ) ) )
887		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 |- ( C = ( a + ( j x. T ) ) -> ( C - ( j x. T ) ) = ( ( a + ( j x. T ) ) - ( j x. T ) ) )
888	887	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 |- ( C = ( a + ( j x. T ) ) -> ( ( a + ( j x. T ) ) - ( j x. T ) ) = ( C - ( j x. T ) ) )
889	888	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 |- ( ( ( ps /\ j e. ZZ ) /\ C = ( a + ( j x. T ) ) ) -> ( ( a + ( j x. T ) ) - ( j x. T ) ) = ( C - ( j x. T ) ) )
890	278	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 |- ( B + T ) = ( B + ( C - B ) )
891	267, 159	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 |- ( ps -> B e. CC )
892	267, 160	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 |- ( ps -> C e. CC )
893	891, 892	pncan3d 10395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 |- ( ps -> ( B + ( C - B ) ) = C )
894	890, 893	syl5req 2669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 |- ( ps -> C = ( B + T ) )
895	894	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 |- ( ps -> ( C - ( j x. T ) ) = ( ( B + T ) - ( j x. T ) ) )
896	895	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 |- ( ( ps /\ j e. ZZ ) -> ( C - ( j x. T ) ) = ( ( B + T ) - ( j x. T ) ) )
897	891	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 |- ( ( ps /\ j e. ZZ ) -> B e. CC )
898	897, 370, 547	subsub3d 10422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 |- ( ( ps /\ j e. ZZ ) -> ( B - ( ( j x. T ) - T ) ) = ( ( B + T ) - ( j x. T ) ) )
899	550, 547	mulsubfacd 10492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 |- ( ( ps /\ j e. ZZ ) -> ( ( j x. T ) - T ) = ( ( j - 1 ) x. T ) )
900	899	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 |- ( ( ps /\ j e. ZZ ) -> ( B - ( ( j x. T ) - T ) ) = ( B - ( ( j - 1 ) x. T ) ) )
901	896, 898, 900	3eqtr2d 2662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 |- ( ( ps /\ j e. ZZ ) -> ( C - ( j x. T ) ) = ( B - ( ( j - 1 ) x. T ) ) )
902	901	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 |- ( ( ( ps /\ j e. ZZ ) /\ C = ( a + ( j x. T ) ) ) -> ( C - ( j x. T ) ) = ( B - ( ( j - 1 ) x. T ) ) )
903	886, 889, 902	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( ( ( ps /\ j e. ZZ ) /\ C = ( a + ( j x. T ) ) ) -> a = ( B - ( ( j - 1 ) x. T ) ) )
904	903	3adantl3 1219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( ( ps /\ j e. ZZ /\ ( a + ( j x. T ) ) e. A ) /\ C = ( a + ( j x. T ) ) ) -> a = ( B - ( ( j - 1 ) x. T ) ) )
905	904	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( ( ( ps /\ j e. ZZ /\ ( a + ( j x. T ) ) e. A ) /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) = B ) /\ C = ( a + ( j x. T ) ) ) -> a = ( B - ( ( j - 1 ) x. T ) ) )
906		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) = B -> ( ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) - ( ( j - 1 ) x. T ) ) = ( B - ( ( j - 1 ) x. T ) ) )
907	906	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) = B -> ( B - ( ( j - 1 ) x. T ) ) = ( ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) - ( ( j - 1 ) x. T ) ) )
908	907	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( ( ( ps /\ j e. ZZ /\ ( a + ( j x. T ) ) e. A ) /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) = B ) /\ C = ( a + ( j x. T ) ) ) -> ( B - ( ( j - 1 ) x. T ) ) = ( ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) - ( ( j - 1 ) x. T ) ) )
909	364	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 |- ( ( ( ps /\ j e. ZZ ) /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) = B ) -> b e. CC )
910		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 |- ( ( ps /\ j e. ZZ ) -> 1 e. CC )
911	550, 910	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 |- ( ( ps /\ j e. ZZ ) -> ( j - 1 ) e. CC )
912	911, 547	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 |- ( ( ps /\ j e. ZZ ) -> ( ( j - 1 ) x. T ) e. CC )
913	912	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 |- ( ( ( ps /\ j e. ZZ ) /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) = B ) -> ( ( j - 1 ) x. T ) e. CC )
914	909, 913	pncand 10393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( ( ( ps /\ j e. ZZ ) /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) = B ) -> ( ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) - ( ( j - 1 ) x. T ) ) = b )
915	914	3adantl3 1219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( ( ps /\ j e. ZZ /\ ( a + ( j x. T ) ) e. A ) /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) = B ) -> ( ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) - ( ( j - 1 ) x. T ) ) = b )
916	915	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( ( ( ps /\ j e. ZZ /\ ( a + ( j x. T ) ) e. A ) /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) = B ) /\ C = ( a + ( j x. T ) ) ) -> ( ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) - ( ( j - 1 ) x. T ) ) = b )
917	905, 908, 916	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( ( ( ps /\ j e. ZZ /\ ( a + ( j x. T ) ) e. A ) /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) = B ) /\ C = ( a + ( j x. T ) ) ) -> a = b )
918	883, 917	sylan2b 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ( ( ps /\ j e. ZZ /\ ( a + ( j x. T ) ) e. A ) /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) = B ) /\ -. C =/= ( a + ( j x. T ) ) ) -> a = b )
919	309, 358	ltned 10173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ps -> a =/= b )
920	919	neneqd 2799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ps -> -. a = b )
921	920	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( ps /\ j e. ZZ /\ ( a + ( j x. T ) ) e. A ) -> -. a = b )
922	921	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ( ( ps /\ j e. ZZ /\ ( a + ( j x. T ) ) e. A ) /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) = B ) /\ -. C =/= ( a + ( j x. T ) ) ) -> -. a = b )
923	918, 922	condan 835	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( ps /\ j e. ZZ /\ ( a + ( j x. T ) ) e. A ) /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) = B ) -> C =/= ( a + ( j x. T ) ) )
924	872, 874, 882, 923	leneltd 10191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ps /\ j e. ZZ /\ ( a + ( j x. T ) ) e. A ) /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) = B ) -> ( a + ( j x. T ) ) < C )
925	871, 924	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ps /\ j e. ZZ /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) ) /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) = B ) -> ( a + ( j x. T ) ) < C )
926	267	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( ( ps /\ ( a + ( j x. T ) ) e. A ) /\ ( a + ( j x. T ) ) < C ) -> ph )
927		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( ( ps /\ ( a + ( j x. T ) ) e. A ) /\ ( a + ( j x. T ) ) < C ) -> ( a + ( j x. T ) ) e. A )
928	926, 144	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( ( ps /\ ( a + ( j x. T ) ) e. A ) /\ ( a + ( j x. T ) ) < C ) -> C e. A )
929		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( ( ps /\ ( a + ( j x. T ) ) e. A ) /\ ( a + ( j x. T ) ) < C ) -> ( a + ( j x. T ) ) < C )
930		simp2l 1087	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( ph /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ C e. A ) /\ ( a + ( j x. T ) ) < C ) -> ( a + ( j x. T ) ) e. A )
931	654	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 |- ( c = ( a + ( j x. T ) ) -> ( ( c e. A /\ C e. A ) <-> ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ C e. A ) ) )
932		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 |- ( c = ( a + ( j x. T ) ) -> ( c < C <-> ( a + ( j x. T ) ) < C ) )
933	931, 932	3anbi23d 1402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 |- ( c = ( a + ( j x. T ) ) -> ( ( ph /\ ( c e. A /\ C e. A ) /\ c < C ) <-> ( ph /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ C e. A ) /\ ( a + ( j x. T ) ) < C ) ) )
934		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 |- ( c = ( a + ( j x. T ) ) -> ( C - c ) = ( C - ( a + ( j x. T ) ) ) )
935	934	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 |- ( c = ( a + ( j x. T ) ) -> ( E <_ ( C - c ) <-> E <_ ( C - ( a + ( j x. T ) ) ) ) )
936	933, 935	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( c = ( a + ( j x. T ) ) -> ( ( ( ph /\ ( c e. A /\ C e. A ) /\ c < C ) -> E <_ ( C - c ) ) <-> ( ( ph /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ C e. A ) /\ ( a + ( j x. T ) ) < C ) -> E <_ ( C - ( a + ( j x. T ) ) ) ) ) )
937		simp2r 1088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 |- ( ( ph /\ ( c e. A /\ C e. A ) /\ c < C ) -> C e. A )
938	403	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 |- ( d = C -> ( ( c e. A /\ d e. A ) <-> ( c e. A /\ C e. A ) ) )
939		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 |- ( d = C -> ( c < d <-> c < C ) )
940	938, 939	3anbi23d 1402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 |- ( d = C -> ( ( ph /\ ( c e. A /\ d e. A ) /\ c < d ) <-> ( ph /\ ( c e. A /\ C e. A ) /\ c < C ) ) )
941		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 |- ( d = C -> ( d - c ) = ( C - c ) )
942	941	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 |- ( d = C -> ( E <_ ( d - c ) <-> E <_ ( C - c ) ) )
943	940, 942	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 |- ( d = C -> ( ( ( ph /\ ( c e. A /\ d e. A ) /\ c < d ) -> E <_ ( d - c ) ) <-> ( ( ph /\ ( c e. A /\ C e. A ) /\ c < C ) -> E <_ ( C - c ) ) ) )
944	943, 515	vtoclg 3266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 |- ( C e. A -> ( ( ph /\ ( c e. A /\ C e. A ) /\ c < C ) -> E <_ ( C - c ) ) )
945	937, 944	mpcom 38	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( ( ph /\ ( c e. A /\ C e. A ) /\ c < C ) -> E <_ ( C - c ) )
946	936, 945	vtoclg 3266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( a + ( j x. T ) ) e. A -> ( ( ph /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ C e. A ) /\ ( a + ( j x. T ) ) < C ) -> E <_ ( C - ( a + ( j x. T ) ) ) ) )
947	930, 946	mpcom 38	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( ph /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ C e. A ) /\ ( a + ( j x. T ) ) < C ) -> E <_ ( C - ( a + ( j x. T ) ) ) )
948	926, 927, 928, 929, 947	syl121anc 1331	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( ( ps /\ ( a + ( j x. T ) ) e. A ) /\ ( a + ( j x. T ) ) < C ) -> E <_ ( C - ( a + ( j x. T ) ) ) )
949	948	adantlrr 757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ( ps /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) ) /\ ( a + ( j x. T ) ) < C ) -> E <_ ( C - ( a + ( j x. T ) ) ) )
950	949	3adantl2 1218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( ps /\ j e. ZZ /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) ) /\ ( a + ( j x. T ) ) < C ) -> E <_ ( C - ( a + ( j x. T ) ) ) )
951	950	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ( ps /\ j e. ZZ /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) ) /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) = B ) /\ ( a + ( j x. T ) ) < C ) -> E <_ ( C - ( a + ( j x. T ) ) ) )
952	892	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 |- ( ( ps /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) -> C e. CC )
953	599	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 |- ( ( ps /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) -> ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. RR )
954	953	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 |- ( ( ps /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) -> ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. CC )
955	952, 954	npcand 10396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 |- ( ( ps /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) -> ( ( C - ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) ) + ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) ) = C )
956	955	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( ( ps /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) -> C = ( ( C - ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) ) + ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) ) )
957	956	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( ps /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) -> ( C - ( a + ( j x. T ) ) ) = ( ( ( C - ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) ) + ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) )
958	957	adantrl 752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( ps /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) ) -> ( C - ( a + ( j x. T ) ) ) = ( ( ( C - ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) ) + ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) )
959	958	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( ps /\ j e. ZZ /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) ) -> ( C - ( a + ( j x. T ) ) ) = ( ( ( C - ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) ) + ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) )
960	959	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ( ps /\ j e. ZZ /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) ) /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) = B ) -> ( C - ( a + ( j x. T ) ) ) = ( ( ( C - ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) ) + ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) )
961		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) = B -> ( C - ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) ) = ( C - B ) )
962	961	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) = B -> ( ( C - ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) ) + ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) ) = ( ( C - B ) + ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) ) )
963	962	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) = B -> ( ( ( C - ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) ) + ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) = ( ( ( C - B ) + ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) )
964	963	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ( ps /\ j e. ZZ /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) ) /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) = B ) -> ( ( ( C - ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) ) + ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) = ( ( ( C - B ) + ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) )
965	278	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 |- ( C - B ) = T
966	965	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 |- ( ( C - B ) + ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) ) = ( T + ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) )
967	966	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 |- ( ( ps /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) -> ( ( C - B ) + ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) ) = ( T + ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) ) )
968	318	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 |- ( ( ps /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) -> T e. CC )
969	968, 954	addcomd 10238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 |- ( ( ps /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) -> ( T + ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) ) = ( ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) + T ) )
970	967, 969	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 |- ( ( ps /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) -> ( ( C - B ) + ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) ) = ( ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) + T ) )
971	970	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( ( ps /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) -> ( ( ( C - B ) + ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) = ( ( ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) + T ) - ( a + ( j x. T ) ) ) )
972	971	adantrl 752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( ps /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) ) -> ( ( ( C - B ) + ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) = ( ( ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) + T ) - ( a + ( j x. T ) ) ) )
973	972	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( ps /\ j e. ZZ /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) ) -> ( ( ( C - B ) + ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) = ( ( ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) + T ) - ( a + ( j x. T ) ) ) )
974	973	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( ( ps /\ j e. ZZ /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) ) /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) = B ) -> ( ( ( C - B ) + ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) = ( ( ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) + T ) - ( a + ( j x. T ) ) ) )
975	954	adantrl 752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( ( ps /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) ) -> ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. CC )
976	975	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( ps /\ j e. ZZ /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) ) -> ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. CC )
977	976	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( ( ps /\ j e. ZZ /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) ) /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) = B ) -> ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. CC )
978	318	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( ps /\ j e. ZZ /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) ) -> T e. CC )
979	978	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( ( ps /\ j e. ZZ /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) ) /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) = B ) -> T e. CC )
980	618	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 |- ( ( ps /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) ) -> ( a + ( j x. T ) ) e. RR )
981	980	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( ( ps /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) ) -> ( a + ( j x. T ) ) e. CC )
982	981	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( ps /\ j e. ZZ /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) ) -> ( a + ( j x. T ) ) e. CC )
983	982	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( ( ps /\ j e. ZZ /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) ) /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) = B ) -> ( a + ( j x. T ) ) e. CC )
984	977, 979, 983	addsubd 10413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( ( ps /\ j e. ZZ /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) ) /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) = B ) -> ( ( ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) + T ) - ( a + ( j x. T ) ) ) = ( ( ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) + T ) )
985	974, 984	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ( ps /\ j e. ZZ /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) ) /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) = B ) -> ( ( ( C - B ) + ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) = ( ( ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) + T ) )
986	960, 964, 985	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( ps /\ j e. ZZ /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) ) /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) = B ) -> ( C - ( a + ( j x. T ) ) ) = ( ( ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) + T ) )
987	986	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ( ps /\ j e. ZZ /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) ) /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) = B ) /\ ( a + ( j x. T ) ) < C ) -> ( C - ( a + ( j x. T ) ) ) = ( ( ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) + T ) )
988	951, 987	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ( ps /\ j e. ZZ /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) ) /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) = B ) /\ ( a + ( j x. T ) ) < C ) -> E <_ ( ( ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) + T ) )
989	925, 988	mpdan 702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ps /\ j e. ZZ /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) ) /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) = B ) -> E <_ ( ( ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) + T ) )
990		simpl1 1064	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ps /\ j e. ZZ /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) ) /\ -. ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) = B ) -> ps )
991		simpl3r 1117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ps /\ j e. ZZ /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) ) /\ -. ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) = B ) -> ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A )
992		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ps /\ j e. ZZ /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) ) /\ -. ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) = B ) -> -. ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) = B )
993	268	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ps /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A /\ -. ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) = B ) -> B e. RR )
994	953	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ps /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A /\ -. ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) = B ) -> ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. RR )
995	272	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( ps /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) -> ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. ( B [,] C ) )
996	268	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( ps /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) -> B e. RR )
997	270	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( ps /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) -> C e. RR )
998		elicc2 12238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. ( B [,] C ) <-> ( ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. RR /\ B <_ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) <_ C ) ) )
999	996, 997, 998	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( ps /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) -> ( ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. ( B [,] C ) <-> ( ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. RR /\ B <_ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) <_ C ) ) )
1000	995, 999	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( ps /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) -> ( ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. RR /\ B <_ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) <_ C ) )
1001	1000	simp2d 1074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ps /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) -> B <_ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) )
1002	1001	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ps /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A /\ -. ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) = B ) -> B <_ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) )
1003		neqne 2802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( -. ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) = B -> ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) =/= B )
1004	1003	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ps /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A /\ -. ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) = B ) -> ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) =/= B )
1005	993, 994, 1002, 1004	leneltd 10191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ps /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A /\ -. ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) = B ) -> B < ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) )
1006	990, 991, 992, 1005	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ps /\ j e. ZZ /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) ) /\ -. ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) = B ) -> B < ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) )
1007	390	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ps /\ j e. ZZ /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) ) -> E e. RR )
1008	1007	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ps /\ j e. ZZ /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) ) /\ B < ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) ) -> E e. RR )
1009	953	adantrl 752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( ps /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) ) -> ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. RR )
1010	1009	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ps /\ j e. ZZ /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) ) -> ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. RR )
1011	268	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ps /\ j e. ZZ /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) ) -> B e. RR )
1012	1010, 1011	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ps /\ j e. ZZ /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) ) -> ( ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) - B ) e. RR )
1013	1012	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ps /\ j e. ZZ /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) ) /\ B < ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) ) -> ( ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) - B ) e. RR )
1014	1009, 980	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( ps /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) ) -> ( ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) e. RR )
1015	293	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( ps /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) ) -> T e. RR )
1016	1014, 1015	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ps /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) ) -> ( ( ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) + T ) e. RR )
1017	1016	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ps /\ j e. ZZ /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) ) -> ( ( ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) + T ) e. RR )
1018	1017	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ps /\ j e. ZZ /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) ) /\ B < ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) ) -> ( ( ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) + T ) e. RR )
1019	267	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ps /\ B < ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) ) -> ph )
1020	1019	3ad2antl1 1223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( ps /\ j e. ZZ /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) ) /\ B < ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) ) -> ph )
1021	1020, 143	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( ps /\ j e. ZZ /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) ) /\ B < ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) ) -> B e. A )
1022		simpl3r 1117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( ps /\ j e. ZZ /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) ) /\ B < ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) ) -> ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A )
1023		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( ps /\ j e. ZZ /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) ) /\ B < ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) ) -> B < ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) )
1024		simp2r 1088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ph /\ ( B e. A /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) /\ B < ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) ) -> ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A )
1025		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( d = ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) -> ( d e. A <-> ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) )
1026	1025	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( d = ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) -> ( ( B e. A /\ d e. A ) <-> ( B e. A /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) ) )
1027		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( d = ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) -> ( B < d <-> B < ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) ) )
1028	1026, 1027	3anbi23d 1402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( d = ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) -> ( ( ph /\ ( B e. A /\ d e. A ) /\ B < d ) <-> ( ph /\ ( B e. A /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) /\ B < ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) ) ) )
1029		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( d = ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) -> ( d - B ) = ( ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) - B ) )
1030	1029	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( d = ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) -> ( E <_ ( d - B ) <-> E <_ ( ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) - B ) ) )
1031	1028, 1030	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( d = ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) -> ( ( ( ph /\ ( B e. A /\ d e. A ) /\ B < d ) -> E <_ ( d - B ) ) <-> ( ( ph /\ ( B e. A /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) /\ B < ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) ) -> E <_ ( ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) - B ) ) ) )
1032	1031, 517	vtoclg 3266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A -> ( ( ph /\ ( B e. A /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) /\ B < ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) ) -> E <_ ( ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) - B ) ) )
1033	1024, 1032	mpcom 38	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ph /\ ( B e. A /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) /\ B < ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) ) -> E <_ ( ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) - B ) )
1034	1020, 1021, 1022, 1023, 1033	syl121anc 1331	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ps /\ j e. ZZ /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) ) /\ B < ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) ) -> E <_ ( ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) - B ) )
1035	268	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( ps /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) ) -> B e. RR )
1036	980, 1035	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( ps /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) ) -> ( ( a + ( j x. T ) ) - B ) e. RR )
1037	965, 1015	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( ps /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) ) -> ( C - B ) e. RR )
1038	270	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( ps /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) ) -> C e. RR )
1039	880	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( ps /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) ) -> ( a + ( j x. T ) ) <_ C )
1040	980, 1038, 1035, 1039	lesub1dd 10643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( ps /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) ) -> ( ( a + ( j x. T ) ) - B ) <_ ( C - B ) )
1041	1036, 1037, 1014, 1040	leadd2dd 10642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( ps /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) ) -> ( ( ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) + ( ( a + ( j x. T ) ) - B ) ) <_ ( ( ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) + ( C - B ) ) )
1042	975, 981	npcand 10396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 |- ( ( ps /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) ) -> ( ( ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) + ( a + ( j x. T ) ) ) = ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) )
1043	1042	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( ps /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) ) -> ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) = ( ( ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) + ( a + ( j x. T ) ) ) )
1044	1043	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( ps /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) ) -> ( ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) - B ) = ( ( ( ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) + ( a + ( j x. T ) ) ) - B ) )
1045	1014	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( ps /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) ) -> ( ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) e. CC )
1046	891	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( ps /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) ) -> B e. CC )
1047	1045, 981, 1046	addsubassd 10412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( ps /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) ) -> ( ( ( ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) + ( a + ( j x. T ) ) ) - B ) = ( ( ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) + ( ( a + ( j x. T ) ) - B ) ) )
1048	1044, 1047	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( ps /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) ) -> ( ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) - B ) = ( ( ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) + ( ( a + ( j x. T ) ) - B ) ) )
1049	278	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) + T ) = ( ( ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) + ( C - B ) )
1050	1049	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( ps /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) ) -> ( ( ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) + T ) = ( ( ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) + ( C - B ) ) )
1051	1041, 1048, 1050	3brtr4d 4685	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ps /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) ) -> ( ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) - B ) <_ ( ( ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) + T ) )
1052	1051	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ps /\ j e. ZZ /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) ) -> ( ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) - B ) <_ ( ( ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) + T ) )
1053	1052	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ps /\ j e. ZZ /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) ) /\ B < ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) ) -> ( ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) - B ) <_ ( ( ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) + T ) )
1054	1008, 1013, 1018, 1034, 1053	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ps /\ j e. ZZ /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) ) /\ B < ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) ) -> E <_ ( ( ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) + T ) )
1055	1006, 1054	syldan 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ps /\ j e. ZZ /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) ) /\ -. ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) = B ) -> E <_ ( ( ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) + T ) )
1056	989, 1055	pm2.61dan 832	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ps /\ j e. ZZ /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) e. A ) ) -> E <_ ( ( ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) + T ) )
1057	858, 859, 869, 1056	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ k = ( j - 1 ) ) -> E <_ ( ( ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) + T ) )
1058	720	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) -> ( b - a ) = ( ( ( b + ( k x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) + ( ( j - k ) x. T ) ) )
1059	1058	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) /\ k = ( j - 1 ) ) -> ( b - a ) = ( ( ( b + ( k x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) + ( ( j - k ) x. T ) ) )
1060	862	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( k = ( j - 1 ) -> ( ( b + ( k x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) = ( ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) )
1061	1060	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ps /\ j e. ZZ ) /\ k = ( j - 1 ) ) -> ( ( b + ( k x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) = ( ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) )
1062		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( k = ( j - 1 ) -> ( j - k ) = ( j - ( j - 1 ) ) )
1063	1062	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( k = ( j - 1 ) -> ( ( j - k ) x. T ) = ( ( j - ( j - 1 ) ) x. T ) )
1064	1063	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( ps /\ j e. ZZ ) /\ k = ( j - 1 ) ) -> ( ( j - k ) x. T ) = ( ( j - ( j - 1 ) ) x. T ) )
1065		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( j e. ZZ -> 1 e. CC )
1066	335, 1065	nncand 10397	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( j e. ZZ -> ( j - ( j - 1 ) ) = 1 )
1067	1066	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( j e. ZZ -> ( ( j - ( j - 1 ) ) x. T ) = ( 1 x. T ) )
1068	1067	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( ps /\ j e. ZZ ) /\ k = ( j - 1 ) ) -> ( ( j - ( j - 1 ) ) x. T ) = ( 1 x. T ) )
1069	319	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( ps /\ j e. ZZ ) /\ k = ( j - 1 ) ) -> ( 1 x. T ) = T )
1070	1064, 1068, 1069	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ps /\ j e. ZZ ) /\ k = ( j - 1 ) ) -> ( ( j - k ) x. T ) = T )
1071	1061, 1070	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ps /\ j e. ZZ ) /\ k = ( j - 1 ) ) -> ( ( ( b + ( k x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) + ( ( j - k ) x. T ) ) = ( ( ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) + T ) )
1072	1071	adantlrr 757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) /\ k = ( j - 1 ) ) -> ( ( ( b + ( k x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) + ( ( j - k ) x. T ) ) = ( ( ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) + T ) )
1073	1059, 1072	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) /\ k = ( j - 1 ) ) -> ( ( ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) + T ) = ( b - a ) )
1074	1073	3adantl3 1219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ k = ( j - 1 ) ) -> ( ( ( b + ( ( j - 1 ) x. T ) ) - ( a + ( j x. T ) ) ) + T ) = ( b - a ) )
1075	1057, 1074	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ k = ( j - 1 ) ) -> E <_ ( b - a ) )
1076	839, 857, 1075	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ k < j ) /\ ( b + ( k x. T ) ) < ( a + ( j x. T ) ) ) /\ -. k < ( j - 1 ) ) -> E <_ ( b - a ) )
1077	838, 1076	pm2.61dan 832	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ k < j ) /\ ( b + ( k x. T ) ) < ( a + ( j x. T ) ) ) -> E <_ ( b - a ) )
1078	724, 776, 732, 1077	syl21anc 1325	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ k <_ j ) /\ -. ( a + ( j x. T ) ) <_ ( b + ( k x. T ) ) ) -> E <_ ( b - a ) )
1079	723, 1078	pm2.61dan 832	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ k <_ j ) -> E <_ ( b - a ) )
1080	387, 1079	mpdan 702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) -> E <_ ( b - a ) )
1081	309, 302, 358	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ps -> a <_ b )
1082	309, 302, 1081	abssuble0d 14171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ps -> ( abs ` ( a - b ) ) = ( b - a ) )
1083	1082	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ps -> ( b - a ) = ( abs ` ( a - b ) ) )
1084	1083	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) -> ( b - a ) = ( abs ` ( a - b ) ) )
1085	1080, 1084	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ps /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) /\ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) -> E <_ ( abs ` ( a - b ) ) )
1086	1085	3exp 1264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ps -> ( ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) -> E <_ ( abs ` ( a - b ) ) ) ) )
1087	1086	rexlimdvv 3037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ps -> ( E. j e. ZZ E. k e. ZZ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) -> E <_ ( abs ` ( a - b ) ) ) )
1088	264, 1087	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ps -> E <_ ( abs ` ( a - b ) ) )
1089	263, 1088	sylbir 225	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( a e. RR /\ b e. RR /\ a < b ) ) /\ E. j e. ZZ E. k e. ZZ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) -> E <_ ( abs ` ( a - b ) ) )
1090	262, 1089	chvarv 2263	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ b e. RR /\ y < b ) ) /\ E. j e. ZZ E. k e. ZZ ( ( y + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) -> E <_ ( abs ` ( y - b ) ) )
1091	249, 1090	chvarv 2263	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y < z ) ) /\ E. j e. ZZ E. k e. ZZ ( ( y + ( j x. T ) ) e. A /\ ( z + ( k x. T ) ) e. A ) ) -> E <_ ( abs ` ( y - z ) ) )
1092	229, 235, 236, 1091	syl21anc 1325	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y =/= z ) ) /\ E. j e. ZZ E. k e. ZZ ( ( y + ( j x. T ) ) e. A /\ ( z + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ y < z ) -> E <_ ( abs ` ( y - z ) ) )
1093		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( y e. RR /\ z e. RR /\ y =/= z ) /\ -. y < z ) -> -. y < z )
1094		simpl3 1066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( y e. RR /\ z e. RR /\ y =/= z ) /\ -. y < z ) -> y =/= z )
1095		simpl1 1064	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( y e. RR /\ z e. RR /\ y =/= z ) /\ -. y < z ) -> y e. RR )
1096		simpl2 1065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( y e. RR /\ z e. RR /\ y =/= z ) /\ -. y < z ) -> z e. RR )
1097	1095, 1096	lttri2d 10176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( y e. RR /\ z e. RR /\ y =/= z ) /\ -. y < z ) -> ( y =/= z <-> ( y < z \/ z < y ) ) )
1098	1094, 1097	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( y e. RR /\ z e. RR /\ y =/= z ) /\ -. y < z ) -> ( y < z \/ z < y ) )
1099	1098	ord 392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( y e. RR /\ z e. RR /\ y =/= z ) /\ -. y < z ) -> ( -. y < z -> z < y ) )
1100	1093, 1099	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( y e. RR /\ z e. RR /\ y =/= z ) /\ -. y < z ) -> z < y )
1101	1100	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y =/= z ) ) /\ -. y < z ) -> z < y )
1102	1101	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y =/= z ) ) /\ E. j e. ZZ E. k e. ZZ ( ( y + ( j x. T ) ) e. A /\ ( z + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ -. y < z ) -> z < y )
1103		simplll 798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ z e. RR ) ) /\ E. j e. ZZ E. k e. ZZ ( ( y + ( j x. T ) ) e. A /\ ( z + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ z < y ) -> ph )
1104		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( y e. RR /\ z e. RR ) /\ z < y ) -> z e. RR )
1105		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( y e. RR /\ z e. RR ) /\ z < y ) -> y e. RR )
1106		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( y e. RR /\ z e. RR ) /\ z < y ) -> z < y )
1107	1104, 1105, 1106	3jca 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( y e. RR /\ z e. RR ) /\ z < y ) -> ( z e. RR /\ y e. RR /\ z < y ) )
1108	1107	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ z e. RR ) ) /\ z < y ) -> ( z e. RR /\ y e. RR /\ z < y ) )
1109	1108	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ z e. RR ) ) /\ E. j e. ZZ E. k e. ZZ ( ( y + ( j x. T ) ) e. A /\ ( z + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ z < y ) -> ( z e. RR /\ y e. RR /\ z < y ) )
1110		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( j = i -> ( j x. T ) = ( i x. T ) )
1111	1110	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( j = i -> ( y + ( j x. T ) ) = ( y + ( i x. T ) ) )
1112	1111	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( j = i -> ( ( y + ( j x. T ) ) e. A <-> ( y + ( i x. T ) ) e. A ) )
1113	1112	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( j = i -> ( ( ( y + ( j x. T ) ) e. A /\ ( z + ( k x. T ) ) e. A ) <-> ( ( y + ( i x. T ) ) e. A /\ ( z + ( k x. T ) ) e. A ) ) )
1114		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( k = l -> ( k x. T ) = ( l x. T ) )
1115	1114	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( k = l -> ( z + ( k x. T ) ) = ( z + ( l x. T ) ) )
1116	1115	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( k = l -> ( ( z + ( k x. T ) ) e. A <-> ( z + ( l x. T ) ) e. A ) )
1117	1116	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( k = l -> ( ( ( y + ( i x. T ) ) e. A /\ ( z + ( k x. T ) ) e. A ) <-> ( ( y + ( i x. T ) ) e. A /\ ( z + ( l x. T ) ) e. A ) ) )
1118	1113, 1117	cbvrex2v 3180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( E. j e. ZZ E. k e. ZZ ( ( y + ( j x. T ) ) e. A /\ ( z + ( k x. T ) ) e. A ) <-> E. i e. ZZ E. l e. ZZ ( ( y + ( i x. T ) ) e. A /\ ( z + ( l x. T ) ) e. A ) )
1119		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( i = k -> ( i x. T ) = ( k x. T ) )
1120	1119	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( i = k -> ( y + ( i x. T ) ) = ( y + ( k x. T ) ) )
1121	1120	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( i = k -> ( ( y + ( i x. T ) ) e. A <-> ( y + ( k x. T ) ) e. A ) )
1122	1121	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( i = k -> ( ( ( y + ( i x. T ) ) e. A /\ ( z + ( l x. T ) ) e. A ) <-> ( ( y + ( k x. T ) ) e. A /\ ( z + ( l x. T ) ) e. A ) ) )
1123		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( l = j -> ( l x. T ) = ( j x. T ) )
1124	1123	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( l = j -> ( z + ( l x. T ) ) = ( z + ( j x. T ) ) )
1125	1124	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( l = j -> ( ( z + ( l x. T ) ) e. A <-> ( z + ( j x. T ) ) e. A ) )
1126	1125	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( l = j -> ( ( ( y + ( k x. T ) ) e. A /\ ( z + ( l x. T ) ) e. A ) <-> ( ( y + ( k x. T ) ) e. A /\ ( z + ( j x. T ) ) e. A ) ) )
1127	1122, 1126	cbvrex2v 3180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( E. i e. ZZ E. l e. ZZ ( ( y + ( i x. T ) ) e. A /\ ( z + ( l x. T ) ) e. A ) <-> E. k e. ZZ E. j e. ZZ ( ( y + ( k x. T ) ) e. A /\ ( z + ( j x. T ) ) e. A ) )
1128		rexcom 3099	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( E. k e. ZZ E. j e. ZZ ( ( y + ( k x. T ) ) e. A /\ ( z + ( j x. T ) ) e. A ) <-> E. j e. ZZ E. k e. ZZ ( ( y + ( k x. T ) ) e. A /\ ( z + ( j x. T ) ) e. A ) )
1129		ancom 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( y + ( k x. T ) ) e. A /\ ( z + ( j x. T ) ) e. A ) <-> ( ( z + ( j x. T ) ) e. A /\ ( y + ( k x. T ) ) e. A ) )
1130	1129	2rexbii 3042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( E. j e. ZZ E. k e. ZZ ( ( y + ( k x. T ) ) e. A /\ ( z + ( j x. T ) ) e. A ) <-> E. j e. ZZ E. k e. ZZ ( ( z + ( j x. T ) ) e. A /\ ( y + ( k x. T ) ) e. A ) )
1131	1127, 1128, 1130	3bitri 286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( E. i e. ZZ E. l e. ZZ ( ( y + ( i x. T ) ) e. A /\ ( z + ( l x. T ) ) e. A ) <-> E. j e. ZZ E. k e. ZZ ( ( z + ( j x. T ) ) e. A /\ ( y + ( k x. T ) ) e. A ) )
1132	1118, 1131	sylbb 209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( E. j e. ZZ E. k e. ZZ ( ( y + ( j x. T ) ) e. A /\ ( z + ( k x. T ) ) e. A ) -> E. j e. ZZ E. k e. ZZ ( ( z + ( j x. T ) ) e. A /\ ( y + ( k x. T ) ) e. A ) )
1133	1132	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ z e. RR ) ) /\ E. j e. ZZ E. k e. ZZ ( ( y + ( j x. T ) ) e. A /\ ( z + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ z < y ) -> E. j e. ZZ E. k e. ZZ ( ( z + ( j x. T ) ) e. A /\ ( y + ( k x. T ) ) e. A ) )
1134		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( b = y -> ( b e. RR <-> y e. RR ) )
1135		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( b = y -> ( z < b <-> z < y ) )
1136	1134, 1135	3anbi23d 1402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( b = y -> ( ( z e. RR /\ b e. RR /\ z < b ) <-> ( z e. RR /\ y e. RR /\ z < y ) ) )
1137	1136	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( b = y -> ( ( ph /\ ( z e. RR /\ b e. RR /\ z < b ) ) <-> ( ph /\ ( z e. RR /\ y e. RR /\ z < y ) ) ) )
1138		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( b = y -> ( b + ( k x. T ) ) = ( y + ( k x. T ) ) )
1139	1138	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( b = y -> ( ( b + ( k x. T ) ) e. A <-> ( y + ( k x. T ) ) e. A ) )
1140	1139	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( b = y -> ( ( ( z + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) <-> ( ( z + ( j x. T ) ) e. A /\ ( y + ( k x. T ) ) e. A ) ) )
1141	1140	2rexbidv 3057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( b = y -> ( E. j e. ZZ E. k e. ZZ ( ( z + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) <-> E. j e. ZZ E. k e. ZZ ( ( z + ( j x. T ) ) e. A /\ ( y + ( k x. T ) ) e. A ) ) )
1142	1137, 1141	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( b = y -> ( ( ( ph /\ ( z e. RR /\ b e. RR /\ z < b ) ) /\ E. j e. ZZ E. k e. ZZ ( ( z + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) <-> ( ( ph /\ ( z e. RR /\ y e. RR /\ z < y ) ) /\ E. j e. ZZ E. k e. ZZ ( ( z + ( j x. T ) ) e. A /\ ( y + ( k x. T ) ) e. A ) ) ) )
1143		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( b = y -> ( z - b ) = ( z - y ) )
1144	1143	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( b = y -> ( abs ` ( z - b ) ) = ( abs ` ( z - y ) ) )
1145	1144	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( b = y -> ( E <_ ( abs ` ( z - b ) ) <-> E <_ ( abs ` ( z - y ) ) ) )
1146	1142, 1145	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( b = y -> ( ( ( ( ph /\ ( z e. RR /\ b e. RR /\ z < b ) ) /\ E. j e. ZZ E. k e. ZZ ( ( z + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) -> E <_ ( abs ` ( z - b ) ) ) <-> ( ( ( ph /\ ( z e. RR /\ y e. RR /\ z < y ) ) /\ E. j e. ZZ E. k e. ZZ ( ( z + ( j x. T ) ) e. A /\ ( y + ( k x. T ) ) e. A ) ) -> E <_ ( abs ` ( z - y ) ) ) ) )
1147		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( a = z -> ( a e. RR <-> z e. RR ) )
1148		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( a = z -> ( a < b <-> z < b ) )
1149	1147, 1148	3anbi13d 1401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( a = z -> ( ( a e. RR /\ b e. RR /\ a < b ) <-> ( z e. RR /\ b e. RR /\ z < b ) ) )
1150	1149	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( a = z -> ( ( ph /\ ( a e. RR /\ b e. RR /\ a < b ) ) <-> ( ph /\ ( z e. RR /\ b e. RR /\ z < b ) ) ) )
1151		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( a = z -> ( a + ( j x. T ) ) = ( z + ( j x. T ) ) )
1152	1151	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( a = z -> ( ( a + ( j x. T ) ) e. A <-> ( z + ( j x. T ) ) e. A ) )
1153	1152	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( a = z -> ( ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) <-> ( ( z + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) )
1154	1153	2rexbidv 3057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( a = z -> ( E. j e. ZZ E. k e. ZZ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) <-> E. j e. ZZ E. k e. ZZ ( ( z + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) )
1155	1150, 1154	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( a = z -> ( ( ( ph /\ ( a e. RR /\ b e. RR /\ a < b ) ) /\ E. j e. ZZ E. k e. ZZ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) <-> ( ( ph /\ ( z e. RR /\ b e. RR /\ z < b ) ) /\ E. j e. ZZ E. k e. ZZ ( ( z + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) ) )
1156		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( a = z -> ( a - b ) = ( z - b ) )
1157	1156	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( a = z -> ( abs ` ( a - b ) ) = ( abs ` ( z - b ) ) )
1158	1157	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( a = z -> ( E <_ ( abs ` ( a - b ) ) <-> E <_ ( abs ` ( z - b ) ) ) )
1159	1155, 1158	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( a = z -> ( ( ( ( ph /\ ( a e. RR /\ b e. RR /\ a < b ) ) /\ E. j e. ZZ E. k e. ZZ ( ( a + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) -> E <_ ( abs ` ( a - b ) ) ) <-> ( ( ( ph /\ ( z e. RR /\ b e. RR /\ z < b ) ) /\ E. j e. ZZ E. k e. ZZ ( ( z + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) -> E <_ ( abs ` ( z - b ) ) ) ) )
1160	1159, 1089	chvarv 2263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ ( z e. RR /\ b e. RR /\ z < b ) ) /\ E. j e. ZZ E. k e. ZZ ( ( z + ( j x. T ) ) e. A /\ ( b + ( k x. T ) ) e. A ) ) -> E <_ ( abs ` ( z - b ) ) )
1161	1146, 1160	chvarv 2263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( z e. RR /\ y e. RR /\ z < y ) ) /\ E. j e. ZZ E. k e. ZZ ( ( z + ( j x. T ) ) e. A /\ ( y + ( k x. T ) ) e. A ) ) -> E <_ ( abs ` ( z - y ) ) )
1162	1103, 1109, 1133, 1161	syl21anc 1325	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ z e. RR ) ) /\ E. j e. ZZ E. k e. ZZ ( ( y + ( j x. T ) ) e. A /\ ( z + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ z < y ) -> E <_ ( abs ` ( z - y ) ) )
1163		recn 10026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( z e. RR -> z e. CC )
1164	1163	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR ) -> z e. CC )
1165		recn 10026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( y e. RR -> y e. CC )
1166	1165	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR ) -> y e. CC )
1167	1164, 1166	abssubd 14192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( y e. RR /\ z e. RR ) -> ( abs ` ( z - y ) ) = ( abs ` ( y - z ) ) )
1168	1167	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( y e. RR /\ z e. RR ) ) -> ( abs ` ( z - y ) ) = ( abs ` ( y - z ) ) )
1169	1168	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ z e. RR ) ) /\ E. j e. ZZ E. k e. ZZ ( ( y + ( j x. T ) ) e. A /\ ( z + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ z < y ) -> ( abs ` ( z - y ) ) = ( abs ` ( y - z ) ) )
1170	1162, 1169	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ z e. RR ) ) /\ E. j e. ZZ E. k e. ZZ ( ( y + ( j x. T ) ) e. A /\ ( z + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ z < y ) -> E <_ ( abs ` ( y - z ) ) )
1171	1170	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ z e. RR ) ) /\ E. j e. ZZ E. k e. ZZ ( ( y + ( j x. T ) ) e. A /\ ( z + ( k x. T ) ) e. A ) ) -> ( z < y -> E <_ ( abs ` ( y - z ) ) ) )
1172	1171	3adantlr3 39200	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y =/= z ) ) /\ E. j e. ZZ E. k e. ZZ ( ( y + ( j x. T ) ) e. A /\ ( z + ( k x. T ) ) e. A ) ) -> ( z < y -> E <_ ( abs ` ( y - z ) ) ) )
1173	1172	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y =/= z ) ) /\ E. j e. ZZ E. k e. ZZ ( ( y + ( j x. T ) ) e. A /\ ( z + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ -. y < z ) -> ( z < y -> E <_ ( abs ` ( y - z ) ) ) )
1174	1102, 1173	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y =/= z ) ) /\ E. j e. ZZ E. k e. ZZ ( ( y + ( j x. T ) ) e. A /\ ( z + ( k x. T ) ) e. A ) ) /\ -. y < z ) -> E <_ ( abs ` ( y - z ) ) )
1175	1092, 1174	pm2.61dan 832	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( y e. RR /\ z e. RR /\ y =/= z ) ) /\ E. j e. ZZ E. k e. ZZ ( ( y + ( j x. T ) ) e. A /\ ( z + ( k x. T ) ) e. A ) ) -> E <_ ( abs ` ( y - z ) ) )
1176	196, 204, 228, 1175	syl21anc 1325	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( y e. H /\ z e. H ) ) /\ y =/= z ) -> E <_ ( abs ` ( y - z ) ) )
1177	389	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( y e. H /\ z e. H ) ) /\ y =/= z ) -> E e. RR )
1178	198, 201	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( y e. H /\ z e. H ) ) -> ( y - z ) e. RR )
1179	1178	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( y e. H /\ z e. H ) ) -> ( y - z ) e. CC )
1180	1179	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( y e. H /\ z e. H ) ) -> ( abs ` ( y - z ) ) e. RR )
1181	1180	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( y e. H /\ z e. H ) ) /\ y =/= z ) -> ( abs ` ( y - z ) ) e. RR )
1182	1177, 1181	lenltd 10183	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( y e. H /\ z e. H ) ) /\ y =/= z ) -> ( E <_ ( abs ` ( y - z ) ) <-> -. ( abs ` ( y - z ) ) < E ) )
1183	1176, 1182	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( y e. H /\ z e. H ) ) /\ y =/= z ) -> -. ( abs ` ( y - z ) ) < E )
1184		nan 604	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( y e. H /\ z e. H ) ) -> -. ( y =/= z /\ ( abs ` ( y - z ) ) < E ) ) <-> ( ( ( ph /\ ( y e. H /\ z e. H ) ) /\ y =/= z ) -> -. ( abs ` ( y - z ) ) < E ) )
1185	1183, 1184	mpbir 221	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. H /\ z e. H ) ) -> -. ( y =/= z /\ ( abs ` ( y - z ) ) < E ) )
1186	1185	ralrimivva 2971	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. y e. H A. z e. H -. ( y =/= z /\ ( abs ` ( y - z ) ) < E ) )
1187		ralnex2 3045	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y e. H A. z e. H -. ( y =/= z /\ ( abs ` ( y - z ) ) < E ) <-> -. E. y e. H E. z e. H ( y =/= z /\ ( abs ` ( y - z ) ) < E ) )
1188	1186, 1187	sylib 208	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> -. E. y e. H E. z e. H ( y =/= z /\ ( abs ` ( y - z ) ) < E ) )
1189	1188	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. U. K ) /\ x e. ( ( limPt ` J ) ` H ) ) -> -. E. y e. H E. z e. H ( y =/= z /\ ( abs ` ( y - z ) ) < E ) )
1190	195, 1189	pm2.65da 600	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. U. K ) -> -. x e. ( ( limPt ` J ) ` H ) )
1191	1190	intnanrd 963	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. U. K ) -> -. ( x e. ( ( limPt ` J ) ` H ) /\ x e. ( X [,] Y ) ) )
1192		elin 3796	. . . . . 6 |- ( x e. ( ( ( limPt ` J ) ` H ) i^i ( X [,] Y ) ) <-> ( x e. ( ( limPt ` J ) ` H ) /\ x e. ( X [,] Y ) ) )
1193	1191, 1192	sylnibr 319	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. U. K ) -> -. x e. ( ( ( limPt ` J ) ` H ) i^i ( X [,] Y ) ) )
1194	13	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. U. K ) -> J e. Top )
1195	14	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. U. K ) -> ( X [,] Y ) C_ RR )
1196	11	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. U. K ) -> H C_ ( X [,] Y ) )
1197	17, 4	restlp 20987	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ ( X [,] Y ) C_ RR /\ H C_ ( X [,] Y ) ) -> ( ( limPt ` K ) ` H ) = ( ( ( limPt ` J ) ` H ) i^i ( X [,] Y ) ) )
1198	1194, 1195, 1196, 1197	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. U. K ) -> ( ( limPt ` K ) ` H ) = ( ( ( limPt ` J ) ` H ) i^i ( X [,] Y ) ) )
1199	1193, 1198	neleqtrrd 2723	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. U. K ) -> -. x e. ( ( limPt ` K ) ` H ) )
1200	1199	nrexdv 3001	. . 3 |- ( ph -> -. E. x e. U. K x e. ( ( limPt ` K ) ` H ) )
1201	1200	adantr 481	. 2 |- ( ( ph /\ -. H e. Fin ) -> -. E. x e. U. K x e. ( ( limPt ` K ) ` H ) )
1202	28, 1201	condan 835	1 |- ( ph -> H e. Fin )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   <.cop 4183   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   _I cid 5023   Or wor 5034   X. cxp 5112   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   o. ccom 5118   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955  infcinf 8347   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   ZZcz 11377   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   [,]cicc 12178   abscabs 13974   ↾_t crest 16081   topGenctg 16098   Topctop 20698   limPtclp 20938   Compccmp 21189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-icc 12182  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-cmp 21190

This theorem is referenced by:  fourierdlem54  40377