Theorem sge0ltfirpmpt2 40643

Description: If the extended sum of nonnegative reals is not +oo, then it can be approximated from below by finite subsums. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0ltfirpmpt2.xph	|- F/ x ph
sge0ltfirpmpt2.a	|- ( ph -> A e. V )
sge0ltfirpmpt2.b	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) )
sge0ltfirpmpt2.rp	|- ( ph -> Y e. RR+ )
sge0ltfirpmpt2.re	|- ( ph -> (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) e. RR )

Assertion

Ref	Expression
sge0ltfirpmpt2	|- ( ph -> E. y e. ( ~P A i^i Fin ) (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) < ( sum_ x e. y B + Y ) )

Distinct variable groups:   x, A, y   y, B   y, Y   ph, y

Allowed substitution hints:   ph( x)   B( x)   V( x, y)   Y( x)

Proof of Theorem sge0ltfirpmpt2

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sge0ltfirpmpt2.a	. . 3 |- ( ph -> A e. V )
2		sge0ltfirpmpt2.xph	. . . 4 |- F/ x ph
3		sge0ltfirpmpt2.b	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) )
4		eqid 2622	. . . 4 |- ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> B )
5	2, 3, 4	fmptdf 6387	. . 3 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) : A --> ( 0 [,] +oo ) )
6		sge0ltfirpmpt2.rp	. . 3 |- ( ph -> Y e. RR+ )
7		sge0ltfirpmpt2.re	. . 3 |- ( ph -> (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) e. RR )
8	1, 5, 6, 7	sge0ltfirp 40617	. 2 |- ( ph -> E. y e. ( ~P A i^i Fin ) (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) < ( (Σ^ ` ( ( x e. A |-> B ) |` y ) ) + Y ) )
9		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) < ( (Σ^ ` ( ( x e. A |-> B ) |` y ) ) + Y ) ) -> (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) < ( (Σ^ ` ( ( x e. A |-> B ) |` y ) ) + Y ) )
10		elpwinss 39216	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( ~P A i^i Fin ) -> y C_ A )
11	10	resmptd 5452	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( ~P A i^i Fin ) -> ( ( x e. A |-> B ) |` y ) = ( x e. y |-> B ) )
12	11	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( ~P A i^i Fin ) -> (Σ^ ` ( ( x e. A |-> B ) |` y ) ) = (Σ^ ` ( x e. y |-> B ) ) )
13	12	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> (Σ^ ` ( ( x e. A |-> B ) |` y ) ) = (Σ^ ` ( x e. y |-> B ) ) )
14		elinel2 3800	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( ~P A i^i Fin ) -> y e. Fin )
15	14	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> y e. Fin )
16		nfv 1843	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x y e. ( ~P A i^i Fin )
17	2, 16	nfan 1828	. . . . . . . . . 10 |- F/ x ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) )
18		simpll 790	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ x e. y ) -> ph )
19	10	sselda 3603	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ x e. y ) -> x e. A )
20	19	adantll 750	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ x e. y ) -> x e. A )
21	2, 1, 3, 7	sge0rernmpt 40639	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. ( 0 [,) +oo ) )
22	18, 20, 21	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ x e. y ) -> B e. ( 0 [,) +oo ) )
23		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. y |-> B ) = ( x e. y |-> B )
24	17, 22, 23	fmptdf 6387	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( x e. y |-> B ) : y --> ( 0 [,) +oo ) )
25	15, 24	sge0fsum 40604	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> (Σ^ ` ( x e. y |-> B ) ) = sum_ k e. y ( ( x e. y |-> B ) ` k ) )
26		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. y ) -> k e. y )
27		simpll 790	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. y ) -> ph )
28	10	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ k e. y ) -> k e. A )
29	28	adantll 750	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. y ) -> k e. A )
30		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ x k e. A
31	2, 30	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ x ( ph /\ k e. A )
32		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x [_ k / x ]_ B
33	32	nfel1 2779	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ x [_ k / x ]_ B e. ( 0 [,) +oo )
34	31, 33	nfim 1825	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ x ( ( ph /\ k e. A ) -> [_ k / x ]_ B e. ( 0 [,) +oo ) )
35		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = k -> ( x e. A <-> k e. A ) )
36	35	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = k -> ( ( ph /\ x e. A ) <-> ( ph /\ k e. A ) ) )
37		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = k -> B = [_ k / x ]_ B )
38	37	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = k -> ( B e. ( 0 [,) +oo ) <-> [_ k / x ]_ B e. ( 0 [,) +oo ) ) )
39	36, 38	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = k -> ( ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. ( 0 [,) +oo ) ) <-> ( ( ph /\ k e. A ) -> [_ k / x ]_ B e. ( 0 [,) +oo ) ) ) )
40	34, 39, 21	chvar 2262	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> [_ k / x ]_ B e. ( 0 [,) +oo ) )
41	27, 29, 40	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. y ) -> [_ k / x ]_ B e. ( 0 [,) +oo ) )
42		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ k B
43	42, 32, 37	cbvmpt 4749	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. y |-> B ) = ( k e. y |-> [_ k / x ]_ B )
44	43	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. y /\ [_ k / x ]_ B e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( ( x e. y |-> B ) ` k ) = [_ k / x ]_ B )
45	26, 41, 44	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. y ) -> ( ( x e. y |-> B ) ` k ) = [_ k / x ]_ B )
46	45	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> sum_ k e. y ( ( x e. y |-> B ) ` k ) = sum_ k e. y [_ k / x ]_ B )
47		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = k <-> k = x )
48	47	imbi1i 339	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = k -> B = [_ k / x ]_ B ) <-> ( k = x -> B = [_ k / x ]_ B ) )
49		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B = [_ k / x ]_ B <-> [_ k / x ]_ B = B )
50	49	imbi2i 326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k = x -> B = [_ k / x ]_ B ) <-> ( k = x -> [_ k / x ]_ B = B ) )
51	48, 50	bitri 264	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = k -> B = [_ k / x ]_ B ) <-> ( k = x -> [_ k / x ]_ B = B ) )
52	37, 51	mpbi 220	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = x -> [_ k / x ]_ B = B )
53		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x y
54		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ k y
55	52, 53, 54, 32, 42	cbvsum 14425	. . . . . . . . . 10 |- sum_ k e. y [_ k / x ]_ B = sum_ x e. y B
56	55	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> sum_ k e. y [_ k / x ]_ B = sum_ x e. y B )
57	46, 56	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> sum_ k e. y ( ( x e. y |-> B ) ` k ) = sum_ x e. y B )
58	13, 25, 57	3eqtrd 2660	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> (Σ^ ` ( ( x e. A |-> B ) |` y ) ) = sum_ x e. y B )
59	58	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( (Σ^ ` ( ( x e. A |-> B ) |` y ) ) + Y ) = ( sum_ x e. y B + Y ) )
60	59	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) < ( (Σ^ ` ( ( x e. A |-> B ) |` y ) ) + Y ) ) -> ( (Σ^ ` ( ( x e. A |-> B ) |` y ) ) + Y ) = ( sum_ x e. y B + Y ) )
61	9, 60	breqtrd 4679	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) < ( (Σ^ ` ( ( x e. A |-> B ) |` y ) ) + Y ) ) -> (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) < ( sum_ x e. y B + Y ) )
62	61	ex 450	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) < ( (Σ^ ` ( ( x e. A |-> B ) |` y ) ) + Y ) -> (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) < ( sum_ x e. y B + Y ) ) )
63	62	reximdva 3017	. 2 |- ( ph -> ( E. y e. ( ~P A i^i Fin ) (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) < ( (Σ^ ` ( ( x e. A |-> B ) |` y ) ) + Y ) -> E. y e. ( ~P A i^i Fin ) (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) < ( sum_ x e. y B + Y ) ) )
64	8, 63	mpd 15	1 |- ( ph -> E. y e. ( ~P A i^i Fin ) (Σ^ ` ( x e. A |-> B ) ) < ( sum_ x e. y B + Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   E.wrex 2913   [_csb 3533   i^i cin 3573   ~Pcpw 4158   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   |` cres 5116   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   +oocpnf 10071   < clt 10074   RR+crp 11832   [,)cico 12177   [,]cicc 12178   sum_csu 14416  Σ^{^}csumge0 40579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-sumge0 40580

This theorem is referenced by:  sge0xaddlem2  40651  sge0gtfsumgt  40660