Theorem sge0xaddlem2 40651

Description: The extended addition of two generalized sums of nonnegative extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0xaddlem2.a	|- ( ph -> A e. V )
sge0xaddlem2.b	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. ( 0 [,) +oo ) )
sge0xaddlem2.c	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. ( 0 [,) +oo ) )
sge0xaddlem2.sb	|- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR )
sge0xaddlem2.sc	|- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) e. RR )

Assertion

Ref	Expression
sge0xaddlem2	|- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. A |-> ( B +e C ) ) ) = ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) +e (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, k   ph, k

Allowed substitution hints:   B( k)   C( k)   V( k)

Proof of Theorem sge0xaddlem2

Dummy variables x e j u v y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1843	. . 3 |- F/ k ph
2		sge0xaddlem2.a	. . 3 |- ( ph -> A e. V )
3		0xr 10086	. . . . 5 |- 0 e. RR*
4	3	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> 0 e. RR* )
5		pnfxr 10092	. . . . 5 |- +oo e. RR*
6	5	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> +oo e. RR* )
7		rge0ssre 12280	. . . . . . 7 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
8		sge0xaddlem2.b	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. ( 0 [,) +oo ) )
9	7, 8	sseldi 3601	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. RR )
10		sge0xaddlem2.c	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. ( 0 [,) +oo ) )
11	7, 10	sseldi 3601	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. RR )
12	9, 11	readdcld 10069	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( B + C ) e. RR )
13	12	rexrd 10089	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( B + C ) e. RR* )
14		icossicc 12260	. . . . . . 7 |- ( 0 [,) +oo ) C_ ( 0 [,] +oo )
15	14, 8	sseldi 3601	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) )
16		xrge0ge0 39563	. . . . . 6 |- ( B e. ( 0 [,] +oo ) -> 0 <_ B )
17	15, 16	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> 0 <_ B )
18	14, 10	sseldi 3601	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. ( 0 [,] +oo ) )
19		xrge0ge0 39563	. . . . . 6 |- ( C e. ( 0 [,] +oo ) -> 0 <_ C )
20	18, 19	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> 0 <_ C )
21	9, 11, 17, 20	addge0d 10603	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> 0 <_ ( B + C ) )
22	12	ltpnfd 11955	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( B + C ) < +oo )
23	4, 6, 13, 21, 22	elicod 12224	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( B + C ) e. ( 0 [,) +oo ) )
24	1, 2, 23	sge0revalmpt 40595	. 2 |- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. A |-> ( B + C ) ) ) = sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) )
25		rexadd 12063	. . . . 5 |- ( ( B e. RR /\ C e. RR ) -> ( B +e C ) = ( B + C ) )
26	9, 11, 25	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( B +e C ) = ( B + C ) )
27	26	mpteq2dva 4744	. . 3 |- ( ph -> ( k e. A |-> ( B +e C ) ) = ( k e. A |-> ( B + C ) ) )
28	27	fveq2d 6195	. 2 |- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. A |-> ( B +e C ) ) ) = (Σ^ ` ( k e. A |-> ( B + C ) ) ) )
29		sge0xaddlem2.sb	. . . 4 |- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR )
30		sge0xaddlem2.sc	. . . 4 |- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) e. RR )
31		rexadd 12063	. . . 4 |- ( ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) e. RR ) -> ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) +e (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) ) = ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) + (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) ) )
32	29, 30, 31	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) +e (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) ) = ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) + (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) ) )
33	1, 2, 8	sge0revalmpt 40595	. . . 4 |- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) = sup ( ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) , RR* , < ) )
34	1, 2, 10	sge0revalmpt 40595	. . . 4 |- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) = sup ( ran ( z e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. z C ) , RR* , < ) )
35	33, 34	oveq12d 6668	. . 3 |- ( ph -> ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) + (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) ) = ( sup ( ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) , RR* , < ) + sup ( ran ( z e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. z C ) , RR* , < ) ) )
36	33	eqcomd 2628	. . . . . . 7 |- ( ph -> sup ( ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) , RR* , < ) = (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) )
37	36, 29	eqeltrd 2701	. . . . . 6 |- ( ph -> sup ( ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) , RR* , < ) e. RR )
38	34, 30	eqeltrrd 2702	. . . . . 6 |- ( ph -> sup ( ran ( z e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. z C ) , RR* , < ) e. RR )
39	37, 38	readdcld 10069	. . . . 5 |- ( ph -> ( sup ( ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) , RR* , < ) + sup ( ran ( z e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. z C ) , RR* , < ) ) e. RR )
40	39	rexrd 10089	. . . 4 |- ( ph -> ( sup ( ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) , RR* , < ) + sup ( ran ( z e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. z C ) , RR* , < ) ) e. RR* )
41		elinel2 3800	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( ~P A i^i Fin ) -> x e. Fin )
42	41	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> x e. Fin )
43		simpll 790	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. x ) -> ph )
44		elpwinss 39216	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( ~P A i^i Fin ) -> x C_ A )
45	44	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ k e. x ) -> x C_ A )
46		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ k e. x ) -> k e. x )
47	45, 46	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ k e. x ) -> k e. A )
48	47	adantll 750	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. x ) -> k e. A )
49	43, 48, 9	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. x ) -> B e. RR )
50	43, 48, 11	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. x ) -> C e. RR )
51	49, 50	readdcld 10069	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. x ) -> ( B + C ) e. RR )
52	42, 51	fsumrecl 14465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> sum_ k e. x ( B + C ) e. RR )
53	52	rexrd 10089	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> sum_ k e. x ( B + C ) e. RR* )
54	53	ralrimiva 2966	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. ( ~P A i^i Fin ) sum_ k e. x ( B + C ) e. RR* )
55		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) = ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) )
56	55	rnmptss 6392	. . . . . 6 |- ( A. x e. ( ~P A i^i Fin ) sum_ k e. x ( B + C ) e. RR* -> ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) C_ RR* )
57	54, 56	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) C_ RR* )
58		supxrcl 12145	. . . . 5 |- ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) C_ RR* -> sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) e. RR* )
59	57, 58	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) e. RR* )
60	35	eqcomd 2628	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( sup ( ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) , RR* , < ) + sup ( ran ( z e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. z C ) , RR* , < ) ) = ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) + (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) ) )
61	60	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( sup ( ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) , RR* , < ) + sup ( ran ( z e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. z C ) , RR* , < ) ) = ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) + (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) ) )
62		nfv 1843	. . . . . . . 8 |- F/ k ( ph /\ e e. RR+ )
63	2	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> A e. V )
64	15	adantlr 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ k e. A ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) )
65		rphalfcl 11858	. . . . . . . . 9 |- ( e e. RR+ -> ( e / 2 ) e. RR+ )
66	65	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( e / 2 ) e. RR+ )
67	29	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR )
68	62, 63, 64, 66, 67	sge0ltfirpmpt2 40643	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> E. u e. ( ~P A i^i Fin ) (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) )
69	18	adantlr 751	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ k e. A ) -> C e. ( 0 [,] +oo ) )
70	30	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) e. RR )
71	62, 63, 69, 66, 70	sge0ltfirpmpt2 40643	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> E. v e. ( ~P A i^i Fin ) (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) < ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) )
72	71	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) ) -> E. v e. ( ~P A i^i Fin ) (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) < ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) )
73	63	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) ) -> A e. V )
74	73	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) ) /\ v e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) < ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) ) -> A e. V )
75		simpl1l 1112	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) ) /\ j e. A ) -> ph )
76	75	3ad2antl1 1223	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) ) /\ v e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) < ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) ) /\ j e. A ) -> ph )
77		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) ) /\ v e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) < ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) ) /\ j e. A ) -> j e. A )
78		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ k ( ph /\ j e. A )
79		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ k [_ j / k ]_ B
80	79	nfel1 2779	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ k [_ j / k ]_ B e. ( 0 [,) +oo )
81	78, 80	nfim 1825	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ k ( ( ph /\ j e. A ) -> [_ j / k ]_ B e. ( 0 [,) +oo ) )
82		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = j -> ( k e. A <-> j e. A ) )
83	82	anbi2d 740	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = j -> ( ( ph /\ k e. A ) <-> ( ph /\ j e. A ) ) )
84		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = j -> B = [_ j / k ]_ B )
85	84	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = j -> ( B e. ( 0 [,) +oo ) <-> [_ j / k ]_ B e. ( 0 [,) +oo ) ) )
86	83, 85	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = j -> ( ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. ( 0 [,) +oo ) ) <-> ( ( ph /\ j e. A ) -> [_ j / k ]_ B e. ( 0 [,) +oo ) ) ) )
87	81, 86, 8	chvar 2262	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> [_ j / k ]_ B e. ( 0 [,) +oo ) )
88	76, 77, 87	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) ) /\ v e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) < ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) ) /\ j e. A ) -> [_ j / k ]_ B e. ( 0 [,) +oo ) )
89		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ k [_ j / k ]_ C
90	89	nfel1 2779	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ k [_ j / k ]_ C e. ( 0 [,) +oo )
91	78, 90	nfim 1825	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ k ( ( ph /\ j e. A ) -> [_ j / k ]_ C e. ( 0 [,) +oo ) )
92		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = j -> C = [_ j / k ]_ C )
93	92	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = j -> ( C e. ( 0 [,) +oo ) <-> [_ j / k ]_ C e. ( 0 [,) +oo ) ) )
94	83, 93	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = j -> ( ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. ( 0 [,) +oo ) ) <-> ( ( ph /\ j e. A ) -> [_ j / k ]_ C e. ( 0 [,) +oo ) ) ) )
95	91, 94, 10	chvar 2262	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> [_ j / k ]_ C e. ( 0 [,) +oo ) )
96	76, 77, 95	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) ) /\ v e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) < ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) ) /\ j e. A ) -> [_ j / k ]_ C e. ( 0 [,) +oo ) )
97		simp11r 1173	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) ) /\ v e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) < ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) ) -> e e. RR+ )
98		simp12 1092	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) ) /\ v e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) < ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) ) -> u e. ( ~P A i^i Fin ) )
99		elpwinss 39216	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( u e. ( ~P A i^i Fin ) -> u C_ A )
100	98, 99	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) ) /\ v e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) < ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) ) -> u C_ A )
101		elinel2 3800	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u e. ( ~P A i^i Fin ) -> u e. Fin )
102	101	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) ) -> u e. Fin )
103	102	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) ) /\ v e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) < ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) ) -> u e. Fin )
104		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) ) /\ v e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) < ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) ) -> v e. ( ~P A i^i Fin ) )
105		elpwinss 39216	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v e. ( ~P A i^i Fin ) -> v C_ A )
106	104, 105	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) ) /\ v e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) < ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) ) -> v C_ A )
107		elinel2 3800	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v e. ( ~P A i^i Fin ) -> v e. Fin )
108	107	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) ) /\ v e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) < ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) ) -> v e. Fin )
109		simp13 1093	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) ) /\ v e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) < ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) ) -> (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) )
110		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ j B
111	110, 79, 84	cbvmpt 4749	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. A |-> B ) = ( j e. A |-> [_ j / k ]_ B )
112	111	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) = (Σ^ ` ( j e. A |-> [_ j / k ]_ B ) )
113		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ j u
114		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ k u
115	84, 113, 114, 110, 79	cbvsum 14425	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- sum_ k e. u B = sum_ j e. u [_ j / k ]_ B
116	115	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) = ( sum_ j e. u [_ j / k ]_ B + ( e / 2 ) )
117	112, 116	breq12i 4662	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) <-> (Σ^ ` ( j e. A |-> [_ j / k ]_ B ) ) < ( sum_ j e. u [_ j / k ]_ B + ( e / 2 ) ) )
118	117	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) -> (Σ^ ` ( j e. A |-> [_ j / k ]_ B ) ) < ( sum_ j e. u [_ j / k ]_ B + ( e / 2 ) ) )
119	109, 118	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) ) /\ v e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) < ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) ) -> (Σ^ ` ( j e. A |-> [_ j / k ]_ B ) ) < ( sum_ j e. u [_ j / k ]_ B + ( e / 2 ) ) )
120		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) ) /\ v e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) < ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) ) -> (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) < ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) )
121		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ j C
122	121, 89, 92	cbvmpt 4749	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. A |-> C ) = ( j e. A |-> [_ j / k ]_ C )
123	122	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) = (Σ^ ` ( j e. A |-> [_ j / k ]_ C ) )
124		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ j v
125		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ k v
126	92, 124, 125, 121, 89	cbvsum 14425	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- sum_ k e. v C = sum_ j e. v [_ j / k ]_ C
127	126	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) = ( sum_ j e. v [_ j / k ]_ C + ( e / 2 ) )
128	123, 127	breq12i 4662	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) < ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) <-> (Σ^ ` ( j e. A |-> [_ j / k ]_ C ) ) < ( sum_ j e. v [_ j / k ]_ C + ( e / 2 ) ) )
129	128	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) < ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) -> (Σ^ ` ( j e. A |-> [_ j / k ]_ C ) ) < ( sum_ j e. v [_ j / k ]_ C + ( e / 2 ) ) )
130	120, 129	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) ) /\ v e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) < ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) ) -> (Σ^ ` ( j e. A |-> [_ j / k ]_ C ) ) < ( sum_ j e. v [_ j / k ]_ C + ( e / 2 ) ) )
131		simp11l 1172	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) ) /\ v e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) < ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) ) -> ph )
132	84, 92	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( k = j -> ( B + C ) = ( [_ j / k ]_ B + [_ j / k ]_ C ) )
133		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- F/_ j x
134		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- F/_ k x
135		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- F/_ j ( B + C )
136		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- F/_ k +
137	79, 136, 89	nfov 6676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- F/_ k ( [_ j / k ]_ B + [_ j / k ]_ C )
138	132, 133, 134, 135, 137	cbvsum 14425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- sum_ k e. x ( B + C ) = sum_ j e. x ( [_ j / k ]_ B + [_ j / k ]_ C )
139	138	mpteq2i 4741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) = ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ j e. x ( [_ j / k ]_ B + [_ j / k ]_ C ) )
140	139	rneqi 5352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) = ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ j e. x ( [_ j / k ]_ B + [_ j / k ]_ C ) )
141	140	supeq1i 8353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) = sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ j e. x ( [_ j / k ]_ B + [_ j / k ]_ C ) ) , RR* , < )
142	141	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ j e. x ( [_ j / k ]_ B + [_ j / k ]_ C ) ) , RR* , < ) = sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < )
143	142	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ j e. x ( [_ j / k ]_ B + [_ j / k ]_ C ) ) , RR* , < ) = sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) )
144	143, 24	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ j e. x ( [_ j / k ]_ B + [_ j / k ]_ C ) ) , RR* , < ) = (Σ^ ` ( k e. A |-> ( B + C ) ) ) )
145		ge0xaddcl 12286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( B e. ( 0 [,] +oo ) /\ C e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( B +e C ) e. ( 0 [,] +oo ) )
146	15, 18, 145	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( B +e C ) e. ( 0 [,] +oo ) )
147	26, 146	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( B + C ) e. ( 0 [,] +oo ) )
148	1, 2, 147	sge0clmpt 40642	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. A |-> ( B + C ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
149	144, 148	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ j e. x ( [_ j / k ]_ B + [_ j / k ]_ C ) ) , RR* , < ) e. ( 0 [,] +oo ) )
150	131, 149	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) ) /\ v e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) < ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) ) -> sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ j e. x ( [_ j / k ]_ B + [_ j / k ]_ C ) ) , RR* , < ) e. ( 0 [,] +oo ) )
151	112, 29	syl5eqelr 2706	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. A |-> [_ j / k ]_ B ) ) e. RR )
152	131, 151	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) ) /\ v e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) < ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) ) -> (Σ^ ` ( j e. A |-> [_ j / k ]_ B ) ) e. RR )
153	123, 30	syl5eqelr 2706	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> (Σ^ ` ( j e. A |-> [_ j / k ]_ C ) ) e. RR )
154	131, 153	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) ) /\ v e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) < ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) ) -> (Σ^ ` ( j e. A |-> [_ j / k ]_ C ) ) e. RR )
155	74, 88, 96, 97, 100, 103, 106, 108, 119, 130, 150, 152, 154	sge0xaddlem1 40650	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) ) /\ v e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) < ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) ) -> ( (Σ^ ` ( j e. A |-> [_ j / k ]_ B ) ) + (Σ^ ` ( j e. A |-> [_ j / k ]_ C ) ) ) <_ ( sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ j e. x ( [_ j / k ]_ B + [_ j / k ]_ C ) ) , RR* , < ) +e e ) )
156	112, 123	oveq12i 6662	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) + (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) ) = ( (Σ^ ` ( j e. A |-> [_ j / k ]_ B ) ) + (Σ^ ` ( j e. A |-> [_ j / k ]_ C ) ) )
157	141	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) +e e ) = ( sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ j e. x ( [_ j / k ]_ B + [_ j / k ]_ C ) ) , RR* , < ) +e e )
158	156, 157	breq12i 4662	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) + (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) ) <_ ( sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) +e e ) <-> ( (Σ^ ` ( j e. A |-> [_ j / k ]_ B ) ) + (Σ^ ` ( j e. A |-> [_ j / k ]_ C ) ) ) <_ ( sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ j e. x ( [_ j / k ]_ B + [_ j / k ]_ C ) ) , RR* , < ) +e e ) )
159	155, 158	sylibr 224	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) ) /\ v e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) < ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) ) -> ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) + (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) ) <_ ( sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) +e e ) )
160	159	3exp 1264	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) ) -> ( v e. ( ~P A i^i Fin ) -> ( (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) < ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) -> ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) + (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) ) <_ ( sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) +e e ) ) ) )
161	160	rexlimdv 3030	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) ) -> ( E. v e. ( ~P A i^i Fin ) (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) < ( sum_ k e. v C + ( e / 2 ) ) -> ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) + (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) ) <_ ( sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) +e e ) ) )
162	72, 161	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ e e. RR+ ) /\ u e. ( ~P A i^i Fin ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) ) -> ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) + (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) ) <_ ( sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) +e e ) )
163	162	3exp 1264	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( u e. ( ~P A i^i Fin ) -> ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) -> ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) + (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) ) <_ ( sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) +e e ) ) ) )
164	163	rexlimdv 3030	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( E. u e. ( ~P A i^i Fin ) (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) < ( sum_ k e. u B + ( e / 2 ) ) -> ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) + (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) ) <_ ( sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) +e e ) ) )
165	68, 164	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) + (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) ) <_ ( sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) +e e ) )
166	61, 165	eqbrtrd 4675	. . . . 5 |- ( ( ph /\ e e. RR+ ) -> ( sup ( ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) , RR* , < ) + sup ( ran ( z e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. z C ) , RR* , < ) ) <_ ( sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) +e e ) )
167	40, 59, 166	xrlexaddrp 39568	. . . 4 |- ( ph -> ( sup ( ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) , RR* , < ) + sup ( ran ( z e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. z C ) , RR* , < ) ) <_ sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) )
168	24	eqcomd 2628	. . . . 5 |- ( ph -> sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) = (Σ^ ` ( k e. A |-> ( B + C ) ) ) )
169	43, 48, 23	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. x ) -> ( B + C ) e. ( 0 [,) +oo ) )
170	42, 169	sge0fsummpt 40607	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> (Σ^ ` ( k e. x |-> ( B + C ) ) ) = sum_ k e. x ( B + C ) )
171	49	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. x ) -> B e. CC )
172	50	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. x ) -> C e. CC )
173	42, 171, 172	fsumadd 14470	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> sum_ k e. x ( B + C ) = ( sum_ k e. x B + sum_ k e. x C ) )
174	170, 173	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> (Σ^ ` ( k e. x |-> ( B + C ) ) ) = ( sum_ k e. x B + sum_ k e. x C ) )
175	42, 49	fsumrecl 14465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> sum_ k e. x B e. RR )
176	42, 50	fsumrecl 14465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> sum_ k e. x C e. RR )
177	37	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> sup ( ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) , RR* , < ) e. RR )
178	38	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> sup ( ran ( z e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. z C ) , RR* , < ) e. RR )
179		elinel2 3800	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. ( ~P A i^i Fin ) -> y e. Fin )
180	179	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> y e. Fin )
181		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. y ) -> ph )
182		elpwinss 39216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. ( ~P A i^i Fin ) -> y C_ A )
183	182	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ k e. y ) -> y C_ A )
184		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ k e. y ) -> k e. y )
185	183, 184	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. ( ~P A i^i Fin ) /\ k e. y ) -> k e. A )
186	185	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. y ) -> k e. A )
187	181, 186, 9	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. y ) -> B e. RR )
188	180, 187	fsumrecl 14465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> sum_ k e. y B e. RR )
189	188	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> sum_ k e. y B e. RR* )
190	189	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. y e. ( ~P A i^i Fin ) sum_ k e. y B e. RR* )
191		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) = ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B )
192	191	rnmptss 6392	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. y e. ( ~P A i^i Fin ) sum_ k e. y B e. RR* -> ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) C_ RR* )
193	190, 192	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) C_ RR* )
194	193	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) C_ RR* )
195		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> x e. ( ~P A i^i Fin ) )
196		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> sum_ k e. x B = sum_ k e. x B )
197		sumeq1 14419	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = x -> sum_ k e. y B = sum_ k e. x B )
198	197	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = x -> ( sum_ k e. x B = sum_ k e. y B <-> sum_ k e. x B = sum_ k e. x B ) )
199	198	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ sum_ k e. x B = sum_ k e. x B ) -> E. y e. ( ~P A i^i Fin ) sum_ k e. x B = sum_ k e. y B )
200	195, 196, 199	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> E. y e. ( ~P A i^i Fin ) sum_ k e. x B = sum_ k e. y B )
201	175	elexd 3214	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> sum_ k e. x B e. _V )
202	191, 200, 201	elrnmptd 39366	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> sum_ k e. x B e. ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) )
203		supxrub 12154	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) C_ RR* /\ sum_ k e. x B e. ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) ) -> sum_ k e. x B <_ sup ( ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) , RR* , < ) )
204	194, 202, 203	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> sum_ k e. x B <_ sup ( ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) , RR* , < ) )
205		nfv 1843	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ z ph
206		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. z C ) = ( z e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. z C )
207		elinel2 3800	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. ( ~P A i^i Fin ) -> z e. Fin )
208	207	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> z e. Fin )
209		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. z ) -> ph )
210		elpwinss 39216	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. ( ~P A i^i Fin ) -> z C_ A )
211	210	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ k e. z ) -> z C_ A )
212		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ k e. z ) -> k e. z )
213	211, 212	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( z e. ( ~P A i^i Fin ) /\ k e. z ) -> k e. A )
214	213	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. z ) -> k e. A )
215	209, 214, 11	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. ( ~P A i^i Fin ) ) /\ k e. z ) -> C e. RR )
216	208, 215	fsumrecl 14465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> sum_ k e. z C e. RR )
217	216	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> sum_ k e. z C e. RR* )
218	205, 206, 217	rnmptssd 39385	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ran ( z e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. z C ) C_ RR* )
219	218	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ran ( z e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. z C ) C_ RR* )
220		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> sum_ k e. x C = sum_ k e. x C )
221		sumeq1 14419	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = x -> sum_ k e. z C = sum_ k e. x C )
222	221	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = x -> ( sum_ k e. x C = sum_ k e. z C <-> sum_ k e. x C = sum_ k e. x C ) )
223	222	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. ( ~P A i^i Fin ) /\ sum_ k e. x C = sum_ k e. x C ) -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) sum_ k e. x C = sum_ k e. z C )
224	195, 220, 223	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> E. z e. ( ~P A i^i Fin ) sum_ k e. x C = sum_ k e. z C )
225	176	elexd 3214	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> sum_ k e. x C e. _V )
226	206, 224, 225	elrnmptd 39366	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> sum_ k e. x C e. ran ( z e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. z C ) )
227		supxrub 12154	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ran ( z e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. z C ) C_ RR* /\ sum_ k e. x C e. ran ( z e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. z C ) ) -> sum_ k e. x C <_ sup ( ran ( z e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. z C ) , RR* , < ) )
228	219, 226, 227	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> sum_ k e. x C <_ sup ( ran ( z e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. z C ) , RR* , < ) )
229	175, 176, 177, 178, 204, 228	le2addd 10646	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> ( sum_ k e. x B + sum_ k e. x C ) <_ ( sup ( ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) , RR* , < ) + sup ( ran ( z e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. z C ) , RR* , < ) ) )
230	174, 229	eqbrtrd 4675	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ~P A i^i Fin ) ) -> (Σ^ ` ( k e. x |-> ( B + C ) ) ) <_ ( sup ( ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) , RR* , < ) + sup ( ran ( z e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. z C ) , RR* , < ) ) )
231	230	ralrimiva 2966	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. ( ~P A i^i Fin ) (Σ^ ` ( k e. x |-> ( B + C ) ) ) <_ ( sup ( ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) , RR* , < ) + sup ( ran ( z e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. z C ) , RR* , < ) ) )
232	1, 2, 147, 40	sge0lefimpt 40640	. . . . . 6 |- ( ph -> ( (Σ^ ` ( k e. A |-> ( B + C ) ) ) <_ ( sup ( ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) , RR* , < ) + sup ( ran ( z e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. z C ) , RR* , < ) ) <-> A. x e. ( ~P A i^i Fin ) (Σ^ ` ( k e. x |-> ( B + C ) ) ) <_ ( sup ( ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) , RR* , < ) + sup ( ran ( z e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. z C ) , RR* , < ) ) ) )
233	231, 232	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. A |-> ( B + C ) ) ) <_ ( sup ( ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) , RR* , < ) + sup ( ran ( z e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. z C ) , RR* , < ) ) )
234	168, 233	eqbrtrd 4675	. . . 4 |- ( ph -> sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) <_ ( sup ( ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) , RR* , < ) + sup ( ran ( z e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. z C ) , RR* , < ) ) )
235	40, 59, 167, 234	xrletrid 11986	. . 3 |- ( ph -> ( sup ( ran ( y e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. y B ) , RR* , < ) + sup ( ran ( z e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. z C ) , RR* , < ) ) = sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) )
236	32, 35, 235	3eqtrd 2660	. 2 |- ( ph -> ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) +e (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) ) = sup ( ran ( x e. ( ~P A i^i Fin ) |-> sum_ k e. x ( B + C ) ) , RR* , < ) )
237	24, 28, 236	3eqtr4d 2666	1 |- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. A |-> ( B +e C ) ) ) = ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) +e (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   [_csb 3533   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   supcsup 8346   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   / cdiv 10684   2c2 11070   RR+crp 11832   +ecxad 11944   [,)cico 12177   [,]cicc 12178   sum_csu 14416  Σ^{^}csumge0 40579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-sumge0 40580

This theorem is referenced by:  sge0xadd  40652