Theorem sge0xadd 40652

Description: The extended addition of two generalized sums of nonnegative extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
sge0xadd.kph	|- F/ k ph
sge0xadd.a	|- ( ph -> A e. V )
sge0xadd.b	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) )
sge0xadd.c	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. ( 0 [,] +oo ) )

Assertion

Ref	Expression
sge0xadd	|- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. A |-> ( B +e C ) ) ) = ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) +e (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) ) )

Distinct variable group:   A, k

Allowed substitution hints:   ph( k)   B( k)   C( k)   V( k)

Proof of Theorem sge0xadd

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 477	. . . 4 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) = +oo ) -> (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) = +oo )
2	1	oveq1d 6665	. . 3 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) = +oo ) -> ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) +e (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) ) = ( +oo +e (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) ) )
3		sge0xadd.kph	. . . . . 6 |- F/ k ph
4		sge0xadd.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. V )
5		sge0xadd.c	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. ( 0 [,] +oo ) )
6	3, 4, 5	sge0xrclmpt 40645	. . . . 5 |- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) e. RR* )
7		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( k e. A |-> C ) = ( k e. A |-> C )
8	3, 5, 7	fmptdf 6387	. . . . . 6 |- ( ph -> ( k e. A |-> C ) : A --> ( 0 [,] +oo ) )
9	4, 8	sge0nemnf 40637	. . . . 5 |- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) =/= -oo )
10		xaddpnf2 12058	. . . . 5 |- ( ( (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) e. RR* /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) =/= -oo ) -> ( +oo +e (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) ) = +oo )
11	6, 9, 10	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( +oo +e (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) ) = +oo )
12	11	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) = +oo ) -> ( +oo +e (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) ) = +oo )
13		sge0xadd.b	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) )
14		ge0xaddcl 12286	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. ( 0 [,] +oo ) /\ C e. ( 0 [,] +oo ) ) -> ( B +e C ) e. ( 0 [,] +oo ) )
15	13, 5, 14	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( B +e C ) e. ( 0 [,] +oo ) )
16	3, 4, 15	sge0xrclmpt 40645	. . . . . 6 |- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. A |-> ( B +e C ) ) ) e. RR* )
17	16	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) = +oo ) -> (Σ^ ` ( k e. A |-> ( B +e C ) ) ) e. RR* )
18		id 22	. . . . . . . 8 |- ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) = +oo -> (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) = +oo )
19	18	eqcomd 2628	. . . . . . 7 |- ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) = +oo -> +oo = (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) )
20	19	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) = +oo ) -> +oo = (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) )
21	4	elexd 3214	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. _V )
22		iccssxr 12256	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 [,] +oo ) C_ RR*
23	22, 13	sseldi 3601	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. RR* )
24	23, 5	xadd0ge 39536	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B <_ ( B +e C ) )
25	3, 21, 13, 15, 24	sge0lempt 40627	. . . . . . 7 |- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) <_ (Σ^ ` ( k e. A |-> ( B +e C ) ) ) )
26	25	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) = +oo ) -> (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) <_ (Σ^ ` ( k e. A |-> ( B +e C ) ) ) )
27	20, 26	eqbrtrd 4675	. . . . 5 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) = +oo ) -> +oo <_ (Σ^ ` ( k e. A |-> ( B +e C ) ) ) )
28	17, 27	xrgepnfd 39547	. . . 4 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) = +oo ) -> (Σ^ ` ( k e. A |-> ( B +e C ) ) ) = +oo )
29	28	eqcomd 2628	. . 3 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) = +oo ) -> +oo = (Σ^ ` ( k e. A |-> ( B +e C ) ) ) )
30	2, 12, 29	3eqtrrd 2661	. 2 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) = +oo ) -> (Σ^ ` ( k e. A |-> ( B +e C ) ) ) = ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) +e (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) ) )
31		simpl 473	. . 3 |- ( ( ph /\ -. (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) = +oo ) -> ph )
32		simpr 477	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) = +oo ) -> -. (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) = +oo )
33		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( k e. A |-> B ) = ( k e. A |-> B )
34	3, 13, 33	fmptdf 6387	. . . . . 6 |- ( ph -> ( k e. A |-> B ) : A --> ( 0 [,] +oo ) )
35	4, 34	sge0repnf 40603	. . . . 5 |- ( ph -> ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR <-> -. (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) = +oo ) )
36	35	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) = +oo ) -> ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR <-> -. (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) = +oo ) )
37	32, 36	mpbird 247	. . 3 |- ( ( ph /\ -. (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) = +oo ) -> (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR )
38		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) = +oo ) -> (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) = +oo )
39	38	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) = +oo ) -> ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) +e (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) ) = ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) +e +oo ) )
40	4, 34	sge0xrcl 40602	. . . . . . . 8 |- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR* )
41	4, 34	sge0nemnf 40637	. . . . . . . 8 |- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) =/= -oo )
42		xaddpnf1 12057	. . . . . . . 8 |- ( ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR* /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) =/= -oo ) -> ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) +e +oo ) = +oo )
43	40, 41, 42	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) +e +oo ) = +oo )
44	43	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) = +oo ) -> ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) +e +oo ) = +oo )
45	16	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) = +oo ) -> (Σ^ ` ( k e. A |-> ( B +e C ) ) ) e. RR* )
46		id 22	. . . . . . . . . . 11 |- ( (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) = +oo -> (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) = +oo )
47	46	eqcomd 2628	. . . . . . . . . 10 |- ( (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) = +oo -> +oo = (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) )
48	47	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) = +oo ) -> +oo = (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) )
49	22, 5	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. RR* )
50	49, 13	xadd0ge2 39557	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C <_ ( B +e C ) )
51	3, 4, 5, 15, 50	sge0lempt 40627	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) <_ (Σ^ ` ( k e. A |-> ( B +e C ) ) ) )
52	51	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) = +oo ) -> (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) <_ (Σ^ ` ( k e. A |-> ( B +e C ) ) ) )
53	48, 52	eqbrtrd 4675	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) = +oo ) -> +oo <_ (Σ^ ` ( k e. A |-> ( B +e C ) ) ) )
54	45, 53	xrgepnfd 39547	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) = +oo ) -> (Σ^ ` ( k e. A |-> ( B +e C ) ) ) = +oo )
55	54	eqcomd 2628	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) = +oo ) -> +oo = (Σ^ ` ( k e. A |-> ( B +e C ) ) ) )
56	39, 44, 55	3eqtrrd 2661	. . . . 5 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) = +oo ) -> (Σ^ ` ( k e. A |-> ( B +e C ) ) ) = ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) +e (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) ) )
57	56	adantlr 751	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) = +oo ) -> (Σ^ ` ( k e. A |-> ( B +e C ) ) ) = ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) +e (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) ) )
58		simpl 473	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR ) /\ -. (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) = +oo ) -> ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR ) )
59		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) = +oo ) -> -. (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) = +oo )
60	4, 8	sge0repnf 40603	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) e. RR <-> -. (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) = +oo ) )
61	60	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) = +oo ) -> ( (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) e. RR <-> -. (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) = +oo ) )
62	59, 61	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) = +oo ) -> (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) e. RR )
63	62	adantlr 751	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR ) /\ -. (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) = +oo ) -> (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) e. RR )
64	4	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) e. RR ) -> A e. V )
65		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ kΣ^
66		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ k ( k e. A |-> B )
67	65, 66	nffv 6198	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ k (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) )
68		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ k RR
69	67, 68	nfel 2777	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ k (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR
70	3, 69	nfan 1828	. . . . . . . . . . 11 |- F/ k ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR )
71		nfv 1843	. . . . . . . . . . 11 |- F/ k j e. A
72	70, 71	nfan 1828	. . . . . . . . . 10 |- F/ k ( ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR ) /\ j e. A )
73		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ k [_ j / k ]_ B
74	73	nfel1 2779	. . . . . . . . . 10 |- F/ k [_ j / k ]_ B e. ( 0 [,) +oo )
75	72, 74	nfim 1825	. . . . . . . . 9 |- F/ k ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR ) /\ j e. A ) -> [_ j / k ]_ B e. ( 0 [,) +oo ) )
76		eleq1 2689	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = j -> ( k e. A <-> j e. A ) )
77	76	anbi2d 740	. . . . . . . . . 10 |- ( k = j -> ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR ) /\ k e. A ) <-> ( ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR ) /\ j e. A ) ) )
78		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = j -> B = [_ j / k ]_ B )
79	78	eleq1d 2686	. . . . . . . . . 10 |- ( k = j -> ( B e. ( 0 [,) +oo ) <-> [_ j / k ]_ B e. ( 0 [,) +oo ) ) )
80	77, 79	imbi12d 334	. . . . . . . . 9 |- ( k = j -> ( ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR ) /\ k e. A ) -> B e. ( 0 [,) +oo ) ) <-> ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR ) /\ j e. A ) -> [_ j / k ]_ B e. ( 0 [,) +oo ) ) ) )
81	4	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR ) -> A e. V )
82	13	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR ) /\ k e. A ) -> B e. ( 0 [,] +oo ) )
83		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR ) -> (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR )
84	70, 81, 82, 83	sge0rernmpt 40639	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR ) /\ k e. A ) -> B e. ( 0 [,) +oo ) )
85	75, 80, 84	chvar 2262	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR ) /\ j e. A ) -> [_ j / k ]_ B e. ( 0 [,) +oo ) )
86	85	adantlr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) e. RR ) /\ j e. A ) -> [_ j / k ]_ B e. ( 0 [,) +oo ) )
87		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ k ( k e. A |-> C )
88	65, 87	nffv 6198	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ k (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) )
89	88, 68	nfel 2777	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ k (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) e. RR
90	3, 89	nfan 1828	. . . . . . . . . . 11 |- F/ k ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) e. RR )
91	90, 71	nfan 1828	. . . . . . . . . 10 |- F/ k ( ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) e. RR ) /\ j e. A )
92		nfcsb1v 3549	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ k [_ j / k ]_ C
93	92	nfel1 2779	. . . . . . . . . 10 |- F/ k [_ j / k ]_ C e. ( 0 [,) +oo )
94	91, 93	nfim 1825	. . . . . . . . 9 |- F/ k ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) e. RR ) /\ j e. A ) -> [_ j / k ]_ C e. ( 0 [,) +oo ) )
95	76	anbi2d 740	. . . . . . . . . 10 |- ( k = j -> ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) e. RR ) /\ k e. A ) <-> ( ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) e. RR ) /\ j e. A ) ) )
96		csbeq1a 3542	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = j -> C = [_ j / k ]_ C )
97	96	eleq1d 2686	. . . . . . . . . 10 |- ( k = j -> ( C e. ( 0 [,) +oo ) <-> [_ j / k ]_ C e. ( 0 [,) +oo ) ) )
98	95, 97	imbi12d 334	. . . . . . . . 9 |- ( k = j -> ( ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) e. RR ) /\ k e. A ) -> C e. ( 0 [,) +oo ) ) <-> ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) e. RR ) /\ j e. A ) -> [_ j / k ]_ C e. ( 0 [,) +oo ) ) ) )
99	4	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) e. RR ) -> A e. V )
100	5	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) e. RR ) /\ k e. A ) -> C e. ( 0 [,] +oo ) )
101		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) e. RR ) -> (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) e. RR )
102	90, 99, 100, 101	sge0rernmpt 40639	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) e. RR ) /\ k e. A ) -> C e. ( 0 [,) +oo ) )
103	94, 98, 102	chvar 2262	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) e. RR ) /\ j e. A ) -> [_ j / k ]_ C e. ( 0 [,) +oo ) )
104	103	adantllr 755	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) e. RR ) /\ j e. A ) -> [_ j / k ]_ C e. ( 0 [,) +oo ) )
105		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ j B
106	105, 73, 78	cbvmpt 4749	. . . . . . . . 9 |- ( k e. A |-> B ) = ( j e. A |-> [_ j / k ]_ B )
107	106	fveq2i 6194	. . . . . . . 8 |- (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) = (Σ^ ` ( j e. A |-> [_ j / k ]_ B ) )
108		simplr 792	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) e. RR ) -> (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR )
109	107, 108	syl5eqelr 2706	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) e. RR ) -> (Σ^ ` ( j e. A |-> [_ j / k ]_ B ) ) e. RR )
110		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ j C
111	110, 92, 96	cbvmpt 4749	. . . . . . . . 9 |- ( k e. A |-> C ) = ( j e. A |-> [_ j / k ]_ C )
112	111	fveq2i 6194	. . . . . . . 8 |- (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) = (Σ^ ` ( j e. A |-> [_ j / k ]_ C ) )
113		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) e. RR ) -> (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) e. RR )
114	112, 113	syl5eqelr 2706	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) e. RR ) -> (Σ^ ` ( j e. A |-> [_ j / k ]_ C ) ) e. RR )
115	64, 86, 104, 109, 114	sge0xaddlem2 40651	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) e. RR ) -> (Σ^ ` ( j e. A |-> ( [_ j / k ]_ B +e [_ j / k ]_ C ) ) ) = ( (Σ^ ` ( j e. A |-> [_ j / k ]_ B ) ) +e (Σ^ ` ( j e. A |-> [_ j / k ]_ C ) ) ) )
116		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ j ( B +e C )
117		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k +e
118	73, 117, 92	nfov 6676	. . . . . . . . 9 |- F/_ k ( [_ j / k ]_ B +e [_ j / k ]_ C )
119	78, 96	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( k = j -> ( B +e C ) = ( [_ j / k ]_ B +e [_ j / k ]_ C ) )
120	116, 118, 119	cbvmpt 4749	. . . . . . . 8 |- ( k e. A |-> ( B +e C ) ) = ( j e. A |-> ( [_ j / k ]_ B +e [_ j / k ]_ C ) )
121	120	fveq2i 6194	. . . . . . 7 |- (Σ^ ` ( k e. A |-> ( B +e C ) ) ) = (Σ^ ` ( j e. A |-> ( [_ j / k ]_ B +e [_ j / k ]_ C ) ) )
122	107, 112	oveq12i 6662	. . . . . . 7 |- ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) +e (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) ) = ( (Σ^ ` ( j e. A |-> [_ j / k ]_ B ) ) +e (Σ^ ` ( j e. A |-> [_ j / k ]_ C ) ) )
123	121, 122	eqeq12i 2636	. . . . . 6 |- ( (Σ^ ` ( k e. A |-> ( B +e C ) ) ) = ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) +e (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) ) <-> (Σ^ ` ( j e. A |-> ( [_ j / k ]_ B +e [_ j / k ]_ C ) ) ) = ( (Σ^ ` ( j e. A |-> [_ j / k ]_ B ) ) +e (Σ^ ` ( j e. A |-> [_ j / k ]_ C ) ) ) )
124	115, 123	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR ) /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) e. RR ) -> (Σ^ ` ( k e. A |-> ( B +e C ) ) ) = ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) +e (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) ) )
125	58, 63, 124	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR ) /\ -. (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) = +oo ) -> (Σ^ ` ( k e. A |-> ( B +e C ) ) ) = ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) +e (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) ) )
126	57, 125	pm2.61dan 832	. . 3 |- ( ( ph /\ (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) e. RR ) -> (Σ^ ` ( k e. A |-> ( B +e C ) ) ) = ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) +e (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) ) )
127	31, 37, 126	syl2anc 693	. 2 |- ( ( ph /\ -. (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) = +oo ) -> (Σ^ ` ( k e. A |-> ( B +e C ) ) ) = ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) +e (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) ) )
128	30, 127	pm2.61dan 832	1 |- ( ph -> (Σ^ ` ( k e. A |-> ( B +e C ) ) ) = ( (Σ^ ` ( k e. A |-> B ) ) +e (Σ^ ` ( k e. A |-> C ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   =/= wne 2794   _Vcvv 3200   [_csb 3533   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   +oocpnf 10071   -oocmnf 10072   RR*cxr 10073   <_ cle 10075   +ecxad 11944   [,)cico 12177   [,]cicc 12178  Σ^{^}csumge0 40579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-sumge0 40580

This theorem is referenced by:  ovnsubaddlem1  40784  hspmbllem2  40841  ovolval5lem1  40866