Theorem ovolval5lem1 40866

Description: |- ( ph -> ( sum^ ( n e. NN |-> ( vol ( ( A - ( W / ( 2 ^ n ) ) ) (,) B ) ) ) ) <_ ( ( sum^ ( n e. NN |-> ( vol ( A [,) B ) ) ) ) +e W ) ) (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovolval5lem1.a	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> A e. RR )
ovolval5lem1.b	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> B e. RR )
ovolval5lem1.w	|- ( ph -> W e. RR+ )
ovolval5lem1.c	|- C = { n e. NN | A < B }

Assertion

Ref	Expression
ovolval5lem1	|- ( ph -> (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( A - ( W / ( 2 ^ n ) ) ) (,) B ) ) ) ) <_ ( (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( vol ` ( A [,) B ) ) ) ) +e W ) )

Distinct variable groups:   C, n   n, W   ph, n

Allowed substitution hints:   A( n)   B( n)

Proof of Theorem ovolval5lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1843	. . 3 |- F/ n ph
2		nnex 11026	. . . 4 |- NN e. _V
3	2	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> NN e. _V )
4		volf 23297	. . . . 5 |- vol : dom vol --> ( 0 [,] +oo )
5	4	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> vol : dom vol --> ( 0 [,] +oo ) )
6		ioombl 23333	. . . . 5 |- ( ( A - ( W / ( 2 ^ n ) ) ) (,) B ) e. dom vol
7	6	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( A - ( W / ( 2 ^ n ) ) ) (,) B ) e. dom vol )
8	5, 7	ffvelrnd 6360	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( vol ` ( ( A - ( W / ( 2 ^ n ) ) ) (,) B ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
9	1, 3, 8	sge0xrclmpt 40645	. 2 |- ( ph -> (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( A - ( W / ( 2 ^ n ) ) ) (,) B ) ) ) ) e. RR* )
10		0xr 10086	. . . . 5 |- 0 e. RR*
11	10	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> 0 e. RR* )
12		pnfxr 10092	. . . . 5 |- +oo e. RR*
13	12	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> +oo e. RR* )
14		ovolval5lem1.a	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> A e. RR )
15		ovolval5lem1.b	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> B e. RR )
16		volicore 40795	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( vol ` ( A [,) B ) ) e. RR )
17	14, 15, 16	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( vol ` ( A [,) B ) ) e. RR )
18		ovolval5lem1.w	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> W e. RR+ )
19	18	rpred 11872	. . . . . . . 8 |- ( ph -> W e. RR )
20	19	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> W e. RR )
21		2nn 11185	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. NN
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> 2 e. NN )
23		nnnn0 11299	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> n e. NN0 )
24		nnexpcl 12873	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. NN /\ n e. NN0 ) -> ( 2 ^ n ) e. NN )
25	22, 23, 24	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> ( 2 ^ n ) e. NN )
26	25	nnred 11035	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> ( 2 ^ n ) e. RR )
27	26	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 2 ^ n ) e. RR )
28	25	nnne0d 11065	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> ( 2 ^ n ) =/= 0 )
29	28	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 2 ^ n ) =/= 0 )
30	20, 27, 29	redivcld 10853	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( W / ( 2 ^ n ) ) e. RR )
31	17, 30	readdcld 10069	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( vol ` ( A [,) B ) ) + ( W / ( 2 ^ n ) ) ) e. RR )
32	31	rexrd 10089	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( vol ` ( A [,) B ) ) + ( W / ( 2 ^ n ) ) ) e. RR* )
33	15	rexrd 10089	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> B e. RR* )
34		icombl 23332	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR* ) -> ( A [,) B ) e. dom vol )
35	14, 33, 34	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( A [,) B ) e. dom vol )
36		volge0 40177	. . . . . 6 |- ( ( A [,) B ) e. dom vol -> 0 <_ ( vol ` ( A [,) B ) ) )
37	35, 36	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> 0 <_ ( vol ` ( A [,) B ) ) )
38	18	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> W e. RR+ )
39	25	nnrpd 11870	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN -> ( 2 ^ n ) e. RR+ )
40	39	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 2 ^ n ) e. RR+ )
41	38, 40	rpdivcld 11889	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( W / ( 2 ^ n ) ) e. RR+ )
42	41	rpge0d 11876	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> 0 <_ ( W / ( 2 ^ n ) ) )
43	17, 30, 37, 42	addge0d 10603	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> 0 <_ ( ( vol ` ( A [,) B ) ) + ( W / ( 2 ^ n ) ) ) )
44		rexr 10085	. . . . . 6 |- ( ( ( vol ` ( A [,) B ) ) + ( W / ( 2 ^ n ) ) ) e. RR -> ( ( vol ` ( A [,) B ) ) + ( W / ( 2 ^ n ) ) ) e. RR* )
45	12	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( vol ` ( A [,) B ) ) + ( W / ( 2 ^ n ) ) ) e. RR -> +oo e. RR* )
46		ltpnf 11954	. . . . . 6 |- ( ( ( vol ` ( A [,) B ) ) + ( W / ( 2 ^ n ) ) ) e. RR -> ( ( vol ` ( A [,) B ) ) + ( W / ( 2 ^ n ) ) ) < +oo )
47	44, 45, 46	xrltled 39486	. . . . 5 |- ( ( ( vol ` ( A [,) B ) ) + ( W / ( 2 ^ n ) ) ) e. RR -> ( ( vol ` ( A [,) B ) ) + ( W / ( 2 ^ n ) ) ) <_ +oo )
48	31, 47	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( vol ` ( A [,) B ) ) + ( W / ( 2 ^ n ) ) ) <_ +oo )
49	11, 13, 32, 43, 48	eliccxrd 39753	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( vol ` ( A [,) B ) ) + ( W / ( 2 ^ n ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
50	1, 3, 49	sge0xrclmpt 40645	. 2 |- ( ph -> (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( ( vol ` ( A [,) B ) ) + ( W / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) e. RR* )
51	5, 35	ffvelrnd 6360	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( vol ` ( A [,) B ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
52	1, 3, 51	sge0xrclmpt 40645	. . 3 |- ( ph -> (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( vol ` ( A [,) B ) ) ) ) e. RR* )
53	19	rexrd 10089	. . 3 |- ( ph -> W e. RR* )
54	52, 53	xaddcld 12131	. 2 |- ( ph -> ( (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( vol ` ( A [,) B ) ) ) ) +e W ) e. RR* )
55	14, 30	resubcld 10458	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( A - ( W / ( 2 ^ n ) ) ) e. RR )
56		volioore 40207	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A - ( W / ( 2 ^ n ) ) ) e. RR /\ B e. RR ) -> ( vol ` ( ( A - ( W / ( 2 ^ n ) ) ) (,) B ) ) = if ( ( A - ( W / ( 2 ^ n ) ) ) <_ B , ( B - ( A - ( W / ( 2 ^ n ) ) ) ) , 0 ) )
57	55, 15, 56	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( vol ` ( ( A - ( W / ( 2 ^ n ) ) ) (,) B ) ) = if ( ( A - ( W / ( 2 ^ n ) ) ) <_ B , ( B - ( A - ( W / ( 2 ^ n ) ) ) ) , 0 ) )
58	57	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ ( A - ( W / ( 2 ^ n ) ) ) <_ B ) -> ( vol ` ( ( A - ( W / ( 2 ^ n ) ) ) (,) B ) ) = if ( ( A - ( W / ( 2 ^ n ) ) ) <_ B , ( B - ( A - ( W / ( 2 ^ n ) ) ) ) , 0 ) )
59		iftrue 4092	. . . . . . 7 |- ( ( A - ( W / ( 2 ^ n ) ) ) <_ B -> if ( ( A - ( W / ( 2 ^ n ) ) ) <_ B , ( B - ( A - ( W / ( 2 ^ n ) ) ) ) , 0 ) = ( B - ( A - ( W / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
60	59	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ ( A - ( W / ( 2 ^ n ) ) ) <_ B ) -> if ( ( A - ( W / ( 2 ^ n ) ) ) <_ B , ( B - ( A - ( W / ( 2 ^ n ) ) ) ) , 0 ) = ( B - ( A - ( W / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
61	15	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> B e. CC )
62	14	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> A e. CC )
63	30	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( W / ( 2 ^ n ) ) e. CC )
64	61, 62, 63	subsubd 10420	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( B - ( A - ( W / ( 2 ^ n ) ) ) ) = ( ( B - A ) + ( W / ( 2 ^ n ) ) ) )
65	64	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ ( A - ( W / ( 2 ^ n ) ) ) <_ B ) -> ( B - ( A - ( W / ( 2 ^ n ) ) ) ) = ( ( B - A ) + ( W / ( 2 ^ n ) ) ) )
66	58, 60, 65	3eqtrd 2660	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ ( A - ( W / ( 2 ^ n ) ) ) <_ B ) -> ( vol ` ( ( A - ( W / ( 2 ^ n ) ) ) (,) B ) ) = ( ( B - A ) + ( W / ( 2 ^ n ) ) ) )
67	15, 14	resubcld 10458	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( B - A ) e. RR )
68	14, 15	sublevolico 40201	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( B - A ) <_ ( vol ` ( A [,) B ) ) )
69	67, 17, 30, 68	leadd1dd 10641	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( B - A ) + ( W / ( 2 ^ n ) ) ) <_ ( ( vol ` ( A [,) B ) ) + ( W / ( 2 ^ n ) ) ) )
70	69	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ ( A - ( W / ( 2 ^ n ) ) ) <_ B ) -> ( ( B - A ) + ( W / ( 2 ^ n ) ) ) <_ ( ( vol ` ( A [,) B ) ) + ( W / ( 2 ^ n ) ) ) )
71	66, 70	eqbrtrd 4675	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ ( A - ( W / ( 2 ^ n ) ) ) <_ B ) -> ( vol ` ( ( A - ( W / ( 2 ^ n ) ) ) (,) B ) ) <_ ( ( vol ` ( A [,) B ) ) + ( W / ( 2 ^ n ) ) ) )
72	57	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ -. ( A - ( W / ( 2 ^ n ) ) ) <_ B ) -> ( vol ` ( ( A - ( W / ( 2 ^ n ) ) ) (,) B ) ) = if ( ( A - ( W / ( 2 ^ n ) ) ) <_ B , ( B - ( A - ( W / ( 2 ^ n ) ) ) ) , 0 ) )
73		iffalse 4095	. . . . . . 7 |- ( -. ( A - ( W / ( 2 ^ n ) ) ) <_ B -> if ( ( A - ( W / ( 2 ^ n ) ) ) <_ B , ( B - ( A - ( W / ( 2 ^ n ) ) ) ) , 0 ) = 0 )
74	73	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ -. ( A - ( W / ( 2 ^ n ) ) ) <_ B ) -> if ( ( A - ( W / ( 2 ^ n ) ) ) <_ B , ( B - ( A - ( W / ( 2 ^ n ) ) ) ) , 0 ) = 0 )
75	72, 74	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ -. ( A - ( W / ( 2 ^ n ) ) ) <_ B ) -> ( vol ` ( ( A - ( W / ( 2 ^ n ) ) ) (,) B ) ) = 0 )
76	43	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ -. ( A - ( W / ( 2 ^ n ) ) ) <_ B ) -> 0 <_ ( ( vol ` ( A [,) B ) ) + ( W / ( 2 ^ n ) ) ) )
77	75, 76	eqbrtrd 4675	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ -. ( A - ( W / ( 2 ^ n ) ) ) <_ B ) -> ( vol ` ( ( A - ( W / ( 2 ^ n ) ) ) (,) B ) ) <_ ( ( vol ` ( A [,) B ) ) + ( W / ( 2 ^ n ) ) ) )
78	71, 77	pm2.61dan 832	. . 3 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( vol ` ( ( A - ( W / ( 2 ^ n ) ) ) (,) B ) ) <_ ( ( vol ` ( A [,) B ) ) + ( W / ( 2 ^ n ) ) ) )
79	1, 3, 8, 49, 78	sge0lempt 40627	. 2 |- ( ph -> (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( A - ( W / ( 2 ^ n ) ) ) (,) B ) ) ) ) <_ (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( ( vol ` ( A [,) B ) ) + ( W / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )
80	17, 30	rexaddd 12065	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( vol ` ( A [,) B ) ) +e ( W / ( 2 ^ n ) ) ) = ( ( vol ` ( A [,) B ) ) + ( W / ( 2 ^ n ) ) ) )
81	80	eqcomd 2628	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( vol ` ( A [,) B ) ) + ( W / ( 2 ^ n ) ) ) = ( ( vol ` ( A [,) B ) ) +e ( W / ( 2 ^ n ) ) ) )
82	81	mpteq2dva 4744	. . . . 5 |- ( ph -> ( n e. NN |-> ( ( vol ` ( A [,) B ) ) + ( W / ( 2 ^ n ) ) ) ) = ( n e. NN |-> ( ( vol ` ( A [,) B ) ) +e ( W / ( 2 ^ n ) ) ) ) )
83	82	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( ph -> (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( ( vol ` ( A [,) B ) ) + ( W / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) = (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( ( vol ` ( A [,) B ) ) +e ( W / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )
84	30	rexrd 10089	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( W / ( 2 ^ n ) ) e. RR* )
85		rexr 10085	. . . . . . . 8 |- ( ( W / ( 2 ^ n ) ) e. RR -> ( W / ( 2 ^ n ) ) e. RR* )
86	12	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( W / ( 2 ^ n ) ) e. RR -> +oo e. RR* )
87		ltpnf 11954	. . . . . . . 8 |- ( ( W / ( 2 ^ n ) ) e. RR -> ( W / ( 2 ^ n ) ) < +oo )
88	85, 86, 87	xrltled 39486	. . . . . . 7 |- ( ( W / ( 2 ^ n ) ) e. RR -> ( W / ( 2 ^ n ) ) <_ +oo )
89	30, 88	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( W / ( 2 ^ n ) ) <_ +oo )
90	11, 13, 84, 42, 89	eliccxrd 39753	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( W / ( 2 ^ n ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
91	1, 3, 51, 90	sge0xadd 40652	. . . 4 |- ( ph -> (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( ( vol ` ( A [,) B ) ) +e ( W / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) = ( (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( vol ` ( A [,) B ) ) ) ) +e (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( W / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )
92	10	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 e. RR* )
93	12	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> +oo e. RR* )
94	18	rpge0d 11876	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 <_ W )
95	19	ltpnfd 11955	. . . . . . 7 |- ( ph -> W < +oo )
96	92, 93, 53, 94, 95	elicod 12224	. . . . . 6 |- ( ph -> W e. ( 0 [,) +oo ) )
97	96	sge0ad2en 40648	. . . . 5 |- ( ph -> (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( W / ( 2 ^ n ) ) ) ) = W )
98	97	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( ph -> ( (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( vol ` ( A [,) B ) ) ) ) +e (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( W / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) = ( (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( vol ` ( A [,) B ) ) ) ) +e W ) )
99	83, 91, 98	3eqtrd 2660	. . 3 |- ( ph -> (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( ( vol ` ( A [,) B ) ) + ( W / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) = ( (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( vol ` ( A [,) B ) ) ) ) +e W ) )
100	50, 99	xreqled 39546	. 2 |- ( ph -> (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( ( vol ` ( A [,) B ) ) + ( W / ( 2 ^ n ) ) ) ) ) <_ ( (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( vol ` ( A [,) B ) ) ) ) +e W ) )
101	9, 50, 54, 79, 100	xrletrd 11993	1 |- ( ph -> (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( A - ( W / ( 2 ^ n ) ) ) (,) B ) ) ) ) <_ ( (Σ^ ` ( n e. NN |-> ( vol ` ( A [,) B ) ) ) ) +e W ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   {crab 2916   _Vcvv 3200   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   RR+crp 11832   +ecxad 11944   (,)cioo 12175   [,)cico 12177   [,]cicc 12178   ^cexp 12860   volcvol 23232  Σ^{^}csumge0 40579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cmp 21190  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-sumge0 40580

This theorem is referenced by:  ovolval5lem2  40867