Theorem smfmullem2 40999

Description: The multiplication of two sigma-measurable functions is measurable: this is the step (i) of the proof of Proposition 121E (d) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfmullem2.a	|- ( ph -> A e. RR )
smfmullem2.k	|- K = { q e. ( QQ ^m ( 0 ... 3 ) ) | A. u e. ( ( q ` 0 ) (,) ( q ` 1 ) ) A. v e. ( ( q ` 2 ) (,) ( q ` 3 ) ) ( u x. v ) < A }
smfmullem2.u	|- ( ph -> U e. RR )
smfmullem2.v	|- ( ph -> V e. RR )
smfmullem2.l	|- ( ph -> ( U x. V ) < A )
smfmullem2.p	|- ( ph -> P e. QQ )
smfmullem2.r	|- ( ph -> R e. QQ )
smfmullem2.s	|- ( ph -> S e. QQ )
smfmullem2.z	|- ( ph -> Z e. QQ )
smfmullem2.p2	|- ( ph -> P e. ( ( U - Y ) (,) U ) )
smfmullem2.42	|- ( ph -> R e. ( U (,) ( U + Y ) ) )
smfmullem2.w2	|- ( ph -> S e. ( ( V - Y ) (,) V ) )
smfmullem2.z2	|- ( ph -> Z e. ( V (,) ( V + Y ) ) )
smfmullem2.x	|- X = ( ( A - ( U x. V ) ) / ( 1 + ( ( abs ` U ) + ( abs ` V ) ) ) )
smfmullem2.y	|- Y = if ( 1 <_ X , 1 , X )

Assertion

Ref	Expression
smfmullem2	|- ( ph -> E. q e. K ( U e. ( ( q ` 0 ) (,) ( q ` 1 ) ) /\ V e. ( ( q ` 2 ) (,) ( q ` 3 ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, q   P, q, u, v   R, q, u, v   S, q, u, v   U, q   V, q   Z, q, u, v   ph, u, v

Allowed substitution hints:   ph( q)   A( v, u)   U( v, u)   K( v, u, q)   V( v, u)   X( v, u, q)   Y( v, u, q)

Proof of Theorem smfmullem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfmullem2.p	. . . . . . . 8 |- ( ph -> P e. QQ )
2		smfmullem2.r	. . . . . . . 8 |- ( ph -> R e. QQ )
3		smfmullem2.s	. . . . . . . 8 |- ( ph -> S e. QQ )
4		smfmullem2.z	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Z e. QQ )
5	1, 2, 3, 4	s4cld 13618	. . . . . . 7 |- ( ph -> <" P R S Z "> e. Word QQ )
6		s4len 13644	. . . . . . . 8 |- ( # ` <" P R S Z "> ) = 4
7	6	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( # ` <" P R S Z "> ) = 4 )
8	5, 7	jca 554	. . . . . 6 |- ( ph -> ( <" P R S Z "> e. Word QQ /\ ( # ` <" P R S Z "> ) = 4 ) )
9		qex 11800	. . . . . . . 8 |- QQ e. _V
10	9	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> QQ e. _V )
11		4nn0 11311	. . . . . . . 8 |- 4 e. NN0
12	11	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> 4 e. NN0 )
13		wrdmap 13336	. . . . . . 7 |- ( ( QQ e. _V /\ 4 e. NN0 ) -> ( ( <" P R S Z "> e. Word QQ /\ ( # ` <" P R S Z "> ) = 4 ) <-> <" P R S Z "> e. ( QQ ^m ( 0..^ 4 ) ) ) )
14	10, 12, 13	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( <" P R S Z "> e. Word QQ /\ ( # ` <" P R S Z "> ) = 4 ) <-> <" P R S Z "> e. ( QQ ^m ( 0..^ 4 ) ) ) )
15	8, 14	mpbid 222	. . . . 5 |- ( ph -> <" P R S Z "> e. ( QQ ^m ( 0..^ 4 ) ) )
16		3z 11410	. . . . . . . . . 10 |- 3 e. ZZ
17		fzval3 12536	. . . . . . . . . 10 |- ( 3 e. ZZ -> ( 0 ... 3 ) = ( 0..^ ( 3 + 1 ) ) )
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( 0 ... 3 ) = ( 0..^ ( 3 + 1 ) )
19		3p1e4 11153	. . . . . . . . . 10 |- ( 3 + 1 ) = 4
20	19	oveq2i 6661	. . . . . . . . 9 |- ( 0..^ ( 3 + 1 ) ) = ( 0..^ 4 )
21	18, 20	eqtri 2644	. . . . . . . 8 |- ( 0 ... 3 ) = ( 0..^ 4 )
22	21	eqcomi 2631	. . . . . . 7 |- ( 0..^ 4 ) = ( 0 ... 3 )
23	22	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0..^ 4 ) = ( 0 ... 3 ) )
24	23	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( ph -> ( QQ ^m ( 0..^ 4 ) ) = ( QQ ^m ( 0 ... 3 ) ) )
25	15, 24	eleqtrd 2703	. . . 4 |- ( ph -> <" P R S Z "> e. ( QQ ^m ( 0 ... 3 ) ) )
26		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u e. ( ( <" P R S Z "> ` 0 ) (,) ( <" P R S Z "> ` 1 ) ) ) -> u e. ( ( <" P R S Z "> ` 0 ) (,) ( <" P R S Z "> ` 1 ) ) )
27		s4fv0 13640	. . . . . . . . . 10 |- ( P e. QQ -> ( <" P R S Z "> ` 0 ) = P )
28	1, 27	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( <" P R S Z "> ` 0 ) = P )
29		s4fv1 13641	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. QQ -> ( <" P R S Z "> ` 1 ) = R )
30	2, 29	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( <" P R S Z "> ` 1 ) = R )
31	28, 30	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( <" P R S Z "> ` 0 ) (,) ( <" P R S Z "> ` 1 ) ) = ( P (,) R ) )
32	31	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u e. ( ( <" P R S Z "> ` 0 ) (,) ( <" P R S Z "> ` 1 ) ) ) -> ( ( <" P R S Z "> ` 0 ) (,) ( <" P R S Z "> ` 1 ) ) = ( P (,) R ) )
33	26, 32	eleqtrd 2703	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ u e. ( ( <" P R S Z "> ` 0 ) (,) ( <" P R S Z "> ` 1 ) ) ) -> u e. ( P (,) R ) )
34		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ v e. ( ( <" P R S Z "> ` 2 ) (,) ( <" P R S Z "> ` 3 ) ) ) -> v e. ( ( <" P R S Z "> ` 2 ) (,) ( <" P R S Z "> ` 3 ) ) )
35		s4fv2 13642	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( S e. QQ -> ( <" P R S Z "> ` 2 ) = S )
36	3, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( <" P R S Z "> ` 2 ) = S )
37		s4fv3 13643	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Z e. QQ -> ( <" P R S Z "> ` 3 ) = Z )
38	4, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( <" P R S Z "> ` 3 ) = Z )
39	36, 38	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( <" P R S Z "> ` 2 ) (,) ( <" P R S Z "> ` 3 ) ) = ( S (,) Z ) )
40	39	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ v e. ( ( <" P R S Z "> ` 2 ) (,) ( <" P R S Z "> ` 3 ) ) ) -> ( ( <" P R S Z "> ` 2 ) (,) ( <" P R S Z "> ` 3 ) ) = ( S (,) Z ) )
41	34, 40	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ v e. ( ( <" P R S Z "> ` 2 ) (,) ( <" P R S Z "> ` 3 ) ) ) -> v e. ( S (,) Z ) )
42		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ v e. ( S (,) Z ) ) -> v e. ( S (,) Z ) )
43	41, 42	syldan 487	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ v e. ( ( <" P R S Z "> ` 2 ) (,) ( <" P R S Z "> ` 3 ) ) ) -> v e. ( S (,) Z ) )
44	43	adantlr 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ u e. ( P (,) R ) ) /\ v e. ( ( <" P R S Z "> ` 2 ) (,) ( <" P R S Z "> ` 3 ) ) ) -> v e. ( S (,) Z ) )
45		smfmullem2.a	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A e. RR )
46	45	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ u e. ( P (,) R ) ) /\ v e. ( S (,) Z ) ) -> A e. RR )
47		smfmullem2.u	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> U e. RR )
48	47	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ u e. ( P (,) R ) ) /\ v e. ( S (,) Z ) ) -> U e. RR )
49		smfmullem2.v	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> V e. RR )
50	49	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ u e. ( P (,) R ) ) /\ v e. ( S (,) Z ) ) -> V e. RR )
51		smfmullem2.l	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( U x. V ) < A )
52	51	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ u e. ( P (,) R ) ) /\ v e. ( S (,) Z ) ) -> ( U x. V ) < A )
53		smfmullem2.x	. . . . . . . . 9 |- X = ( ( A - ( U x. V ) ) / ( 1 + ( ( abs ` U ) + ( abs ` V ) ) ) )
54		smfmullem2.y	. . . . . . . . 9 |- Y = if ( 1 <_ X , 1 , X )
55		smfmullem2.p2	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> P e. ( ( U - Y ) (,) U ) )
56	55	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ u e. ( P (,) R ) ) /\ v e. ( S (,) Z ) ) -> P e. ( ( U - Y ) (,) U ) )
57		smfmullem2.42	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> R e. ( U (,) ( U + Y ) ) )
58	57	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ u e. ( P (,) R ) ) /\ v e. ( S (,) Z ) ) -> R e. ( U (,) ( U + Y ) ) )
59		smfmullem2.w2	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> S e. ( ( V - Y ) (,) V ) )
60	59	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ u e. ( P (,) R ) ) /\ v e. ( S (,) Z ) ) -> S e. ( ( V - Y ) (,) V ) )
61		smfmullem2.z2	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Z e. ( V (,) ( V + Y ) ) )
62	61	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ u e. ( P (,) R ) ) /\ v e. ( S (,) Z ) ) -> Z e. ( V (,) ( V + Y ) ) )
63		simplr 792	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ u e. ( P (,) R ) ) /\ v e. ( S (,) Z ) ) -> u e. ( P (,) R ) )
64		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ u e. ( P (,) R ) ) /\ v e. ( S (,) Z ) ) -> v e. ( S (,) Z ) )
65	46, 48, 50, 52, 53, 54, 56, 58, 60, 62, 63, 64	smfmullem1 40998	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ u e. ( P (,) R ) ) /\ v e. ( S (,) Z ) ) -> ( u x. v ) < A )
66	44, 65	syldan 487	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ u e. ( P (,) R ) ) /\ v e. ( ( <" P R S Z "> ` 2 ) (,) ( <" P R S Z "> ` 3 ) ) ) -> ( u x. v ) < A )
67	66	ralrimiva 2966	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ u e. ( P (,) R ) ) -> A. v e. ( ( <" P R S Z "> ` 2 ) (,) ( <" P R S Z "> ` 3 ) ) ( u x. v ) < A )
68	33, 67	syldan 487	. . . . 5 |- ( ( ph /\ u e. ( ( <" P R S Z "> ` 0 ) (,) ( <" P R S Z "> ` 1 ) ) ) -> A. v e. ( ( <" P R S Z "> ` 2 ) (,) ( <" P R S Z "> ` 3 ) ) ( u x. v ) < A )
69	68	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ph -> A. u e. ( ( <" P R S Z "> ` 0 ) (,) ( <" P R S Z "> ` 1 ) ) A. v e. ( ( <" P R S Z "> ` 2 ) (,) ( <" P R S Z "> ` 3 ) ) ( u x. v ) < A )
70	25, 69	jca 554	. . 3 |- ( ph -> ( <" P R S Z "> e. ( QQ ^m ( 0 ... 3 ) ) /\ A. u e. ( ( <" P R S Z "> ` 0 ) (,) ( <" P R S Z "> ` 1 ) ) A. v e. ( ( <" P R S Z "> ` 2 ) (,) ( <" P R S Z "> ` 3 ) ) ( u x. v ) < A ) )
71		fveq1 6190	. . . . . . 7 |- ( q = <" P R S Z "> -> ( q ` 0 ) = ( <" P R S Z "> ` 0 ) )
72		fveq1 6190	. . . . . . 7 |- ( q = <" P R S Z "> -> ( q ` 1 ) = ( <" P R S Z "> ` 1 ) )
73	71, 72	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( q = <" P R S Z "> -> ( ( q ` 0 ) (,) ( q ` 1 ) ) = ( ( <" P R S Z "> ` 0 ) (,) ( <" P R S Z "> ` 1 ) ) )
74	73	raleqdv 3144	. . . . 5 |- ( q = <" P R S Z "> -> ( A. u e. ( ( q ` 0 ) (,) ( q ` 1 ) ) A. v e. ( ( q ` 2 ) (,) ( q ` 3 ) ) ( u x. v ) < A <-> A. u e. ( ( <" P R S Z "> ` 0 ) (,) ( <" P R S Z "> ` 1 ) ) A. v e. ( ( q ` 2 ) (,) ( q ` 3 ) ) ( u x. v ) < A ) )
75		fveq1 6190	. . . . . . . 8 |- ( q = <" P R S Z "> -> ( q ` 2 ) = ( <" P R S Z "> ` 2 ) )
76		fveq1 6190	. . . . . . . 8 |- ( q = <" P R S Z "> -> ( q ` 3 ) = ( <" P R S Z "> ` 3 ) )
77	75, 76	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( q = <" P R S Z "> -> ( ( q ` 2 ) (,) ( q ` 3 ) ) = ( ( <" P R S Z "> ` 2 ) (,) ( <" P R S Z "> ` 3 ) ) )
78	77	raleqdv 3144	. . . . . 6 |- ( q = <" P R S Z "> -> ( A. v e. ( ( q ` 2 ) (,) ( q ` 3 ) ) ( u x. v ) < A <-> A. v e. ( ( <" P R S Z "> ` 2 ) (,) ( <" P R S Z "> ` 3 ) ) ( u x. v ) < A ) )
79	78	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( q = <" P R S Z "> -> ( A. u e. ( ( <" P R S Z "> ` 0 ) (,) ( <" P R S Z "> ` 1 ) ) A. v e. ( ( q ` 2 ) (,) ( q ` 3 ) ) ( u x. v ) < A <-> A. u e. ( ( <" P R S Z "> ` 0 ) (,) ( <" P R S Z "> ` 1 ) ) A. v e. ( ( <" P R S Z "> ` 2 ) (,) ( <" P R S Z "> ` 3 ) ) ( u x. v ) < A ) )
80	74, 79	bitrd 268	. . . 4 |- ( q = <" P R S Z "> -> ( A. u e. ( ( q ` 0 ) (,) ( q ` 1 ) ) A. v e. ( ( q ` 2 ) (,) ( q ` 3 ) ) ( u x. v ) < A <-> A. u e. ( ( <" P R S Z "> ` 0 ) (,) ( <" P R S Z "> ` 1 ) ) A. v e. ( ( <" P R S Z "> ` 2 ) (,) ( <" P R S Z "> ` 3 ) ) ( u x. v ) < A ) )
81		smfmullem2.k	. . . 4 |- K = { q e. ( QQ ^m ( 0 ... 3 ) ) | A. u e. ( ( q ` 0 ) (,) ( q ` 1 ) ) A. v e. ( ( q ` 2 ) (,) ( q ` 3 ) ) ( u x. v ) < A }
82	80, 81	elrab2 3366	. . 3 |- ( <" P R S Z "> e. K <-> ( <" P R S Z "> e. ( QQ ^m ( 0 ... 3 ) ) /\ A. u e. ( ( <" P R S Z "> ` 0 ) (,) ( <" P R S Z "> ` 1 ) ) A. v e. ( ( <" P R S Z "> ` 2 ) (,) ( <" P R S Z "> ` 3 ) ) ( u x. v ) < A ) )
83	70, 82	sylibr 224	. 2 |- ( ph -> <" P R S Z "> e. K )
84		qssre 11798	. . . . . . 7 |- QQ C_ RR
85	84, 1	sseldi 3601	. . . . . 6 |- ( ph -> P e. RR )
86	85	rexrd 10089	. . . . 5 |- ( ph -> P e. RR* )
87	84, 2	sseldi 3601	. . . . . 6 |- ( ph -> R e. RR )
88	87	rexrd 10089	. . . . 5 |- ( ph -> R e. RR* )
89	54	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Y = if ( 1 <_ X , 1 , X ) )
90		1rp 11836	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR+
91	90	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 1 e. RR+ )
92	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> X = ( ( A - ( U x. V ) ) / ( 1 + ( ( abs ` U ) + ( abs ` V ) ) ) ) )
93	47, 49	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( U x. V ) e. RR )
94		difrp 11868	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( U x. V ) e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( U x. V ) < A <-> ( A - ( U x. V ) ) e. RR+ ) )
95	93, 45, 94	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( U x. V ) < A <-> ( A - ( U x. V ) ) e. RR+ ) )
96	51, 95	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( A - ( U x. V ) ) e. RR+ )
97		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> 1 e. RR )
98	47	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> U e. CC )
99	98	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( abs ` U ) e. RR )
100	49	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> V e. CC )
101	100	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( abs ` V ) e. RR )
102	99, 101	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( abs ` U ) + ( abs ` V ) ) e. RR )
103	97, 102	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 1 + ( ( abs ` U ) + ( abs ` V ) ) ) e. RR )
104		0re 10040	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 e. RR
105	104	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> 0 e. RR )
106	91	rpgt0d 11875	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> 0 < 1 )
107	98	absge0d 14183	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> 0 <_ ( abs ` U ) )
108	100	absge0d 14183	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> 0 <_ ( abs ` V ) )
109	99, 101	addge01d 10615	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( 0 <_ ( abs ` V ) <-> ( abs ` U ) <_ ( ( abs ` U ) + ( abs ` V ) ) ) )
110	108, 109	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( abs ` U ) <_ ( ( abs ` U ) + ( abs ` V ) ) )
111	105, 99, 102, 107, 110	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> 0 <_ ( ( abs ` U ) + ( abs ` V ) ) )
112	97, 102	addge01d 10615	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( 0 <_ ( ( abs ` U ) + ( abs ` V ) ) <-> 1 <_ ( 1 + ( ( abs ` U ) + ( abs ` V ) ) ) ) )
113	111, 112	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> 1 <_ ( 1 + ( ( abs ` U ) + ( abs ` V ) ) ) )
114	105, 97, 103, 106, 113	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 0 < ( 1 + ( ( abs ` U ) + ( abs ` V ) ) ) )
115	103, 114	elrpd 11869	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 1 + ( ( abs ` U ) + ( abs ` V ) ) ) e. RR+ )
116	96, 115	rpdivcld 11889	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( A - ( U x. V ) ) / ( 1 + ( ( abs ` U ) + ( abs ` V ) ) ) ) e. RR+ )
117	92, 116	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> X e. RR+ )
118	91, 117	ifcld 4131	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> if ( 1 <_ X , 1 , X ) e. RR+ )
119	89, 118	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Y e. RR+ )
120	119	rpred 11872	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Y e. RR )
121	47, 120	resubcld 10458	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( U - Y ) e. RR )
122	121	rexrd 10089	. . . . . 6 |- ( ph -> ( U - Y ) e. RR* )
123	47	rexrd 10089	. . . . . 6 |- ( ph -> U e. RR* )
124		iooltub 39735	. . . . . 6 |- ( ( ( U - Y ) e. RR* /\ U e. RR* /\ P e. ( ( U - Y ) (,) U ) ) -> P < U )
125	122, 123, 55, 124	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ph -> P < U )
126	47, 120	readdcld 10069	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( U + Y ) e. RR )
127	126	rexrd 10089	. . . . . 6 |- ( ph -> ( U + Y ) e. RR* )
128		ioogtlb 39717	. . . . . 6 |- ( ( U e. RR* /\ ( U + Y ) e. RR* /\ R e. ( U (,) ( U + Y ) ) ) -> U < R )
129	123, 127, 57, 128	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ph -> U < R )
130	86, 88, 47, 125, 129	eliood 39720	. . . 4 |- ( ph -> U e. ( P (,) R ) )
131	31	eqcomd 2628	. . . 4 |- ( ph -> ( P (,) R ) = ( ( <" P R S Z "> ` 0 ) (,) ( <" P R S Z "> ` 1 ) ) )
132	130, 131	eleqtrd 2703	. . 3 |- ( ph -> U e. ( ( <" P R S Z "> ` 0 ) (,) ( <" P R S Z "> ` 1 ) ) )
133	84, 3	sseldi 3601	. . . . . 6 |- ( ph -> S e. RR )
134	133	rexrd 10089	. . . . 5 |- ( ph -> S e. RR* )
135	84, 4	sseldi 3601	. . . . . 6 |- ( ph -> Z e. RR )
136	135	rexrd 10089	. . . . 5 |- ( ph -> Z e. RR* )
137	49, 120	resubcld 10458	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( V - Y ) e. RR )
138	137	rexrd 10089	. . . . . 6 |- ( ph -> ( V - Y ) e. RR* )
139	49	rexrd 10089	. . . . . 6 |- ( ph -> V e. RR* )
140		iooltub 39735	. . . . . 6 |- ( ( ( V - Y ) e. RR* /\ V e. RR* /\ S e. ( ( V - Y ) (,) V ) ) -> S < V )
141	138, 139, 59, 140	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ph -> S < V )
142	49, 120	readdcld 10069	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( V + Y ) e. RR )
143	142	rexrd 10089	. . . . . 6 |- ( ph -> ( V + Y ) e. RR* )
144		ioogtlb 39717	. . . . . 6 |- ( ( V e. RR* /\ ( V + Y ) e. RR* /\ Z e. ( V (,) ( V + Y ) ) ) -> V < Z )
145	139, 143, 61, 144	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ph -> V < Z )
146	134, 136, 49, 141, 145	eliood 39720	. . . 4 |- ( ph -> V e. ( S (,) Z ) )
147	39	eqcomd 2628	. . . 4 |- ( ph -> ( S (,) Z ) = ( ( <" P R S Z "> ` 2 ) (,) ( <" P R S Z "> ` 3 ) ) )
148	146, 147	eleqtrd 2703	. . 3 |- ( ph -> V e. ( ( <" P R S Z "> ` 2 ) (,) ( <" P R S Z "> ` 3 ) ) )
149	132, 148	jca 554	. 2 |- ( ph -> ( U e. ( ( <" P R S Z "> ` 0 ) (,) ( <" P R S Z "> ` 1 ) ) /\ V e. ( ( <" P R S Z "> ` 2 ) (,) ( <" P R S Z "> ` 3 ) ) ) )
150		nfv 1843	. . 3 |- F/ q ( U e. ( ( <" P R S Z "> ` 0 ) (,) ( <" P R S Z "> ` 1 ) ) /\ V e. ( ( <" P R S Z "> ` 2 ) (,) ( <" P R S Z "> ` 3 ) ) )
151		nfcv 2764	. . 3 |- F/_ q <" P R S Z ">
152		nfrab1 3122	. . . 4 |- F/_ q { q e. ( QQ ^m ( 0 ... 3 ) ) | A. u e. ( ( q ` 0 ) (,) ( q ` 1 ) ) A. v e. ( ( q ` 2 ) (,) ( q ` 3 ) ) ( u x. v ) < A }
153	81, 152	nfcxfr 2762	. . 3 |- F/_ q K
154	73	eleq2d 2687	. . . 4 |- ( q = <" P R S Z "> -> ( U e. ( ( q ` 0 ) (,) ( q ` 1 ) ) <-> U e. ( ( <" P R S Z "> ` 0 ) (,) ( <" P R S Z "> ` 1 ) ) ) )
155	77	eleq2d 2687	. . . 4 |- ( q = <" P R S Z "> -> ( V e. ( ( q ` 2 ) (,) ( q ` 3 ) ) <-> V e. ( ( <" P R S Z "> ` 2 ) (,) ( <" P R S Z "> ` 3 ) ) ) )
156	154, 155	anbi12d 747	. . 3 |- ( q = <" P R S Z "> -> ( ( U e. ( ( q ` 0 ) (,) ( q ` 1 ) ) /\ V e. ( ( q ` 2 ) (,) ( q ` 3 ) ) ) <-> ( U e. ( ( <" P R S Z "> ` 0 ) (,) ( <" P R S Z "> ` 1 ) ) /\ V e. ( ( <" P R S Z "> ` 2 ) (,) ( <" P R S Z "> ` 3 ) ) ) ) )
157	150, 151, 153, 156	rspcef 39241	. 2 |- ( ( <" P R S Z "> e. K /\ ( U e. ( ( <" P R S Z "> ` 0 ) (,) ( <" P R S Z "> ` 1 ) ) /\ V e. ( ( <" P R S Z "> ` 2 ) (,) ( <" P R S Z "> ` 3 ) ) ) ) -> E. q e. K ( U e. ( ( q ` 0 ) (,) ( q ` 1 ) ) /\ V e. ( ( q ` 2 ) (,) ( q ` 3 ) ) ) )
158	83, 149, 157	syl2anc 693	1 |- ( ph -> E. q e. K ( U e. ( ( q ` 0 ) (,) ( q ` 1 ) ) /\ V e. ( ( q ` 2 ) (,) ( q ` 3 ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   ifcif 4086   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   2c2 11070   3c3 11071   4c4 11072   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   QQcq 11788   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465   #chash 13117  Word cword 13291   <"cs4 13588   abscabs 13974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-ioo 12179  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-s1 13302  df-s2 13593  df-s3 13594  df-s4 13595  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976

This theorem is referenced by:  smfmullem3  41000