Theorem smfmullem3 41000

Description: The multiplication of two sigma-measurable functions is measurable: this is the step (i) of the proof of Proposition 121E (d) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfmullem3.r	|- ( ph -> R e. RR )
smfmullem3.k	|- K = { q e. ( QQ ^m ( 0 ... 3 ) ) | A. u e. ( ( q ` 0 ) (,) ( q ` 1 ) ) A. v e. ( ( q ` 2 ) (,) ( q ` 3 ) ) ( u x. v ) < R }
smfmullem3.u	|- ( ph -> U e. RR )
smfmullem3.v	|- ( ph -> V e. RR )
smfmullem3.l	|- ( ph -> ( U x. V ) < R )
smfmullem3.x	|- X = ( ( R - ( U x. V ) ) / ( 1 + ( ( abs ` U ) + ( abs ` V ) ) ) )
smfmullem3.y	|- Y = if ( 1 <_ X , 1 , X )

Assertion

Ref	Expression
smfmullem3	|- ( ph -> E. q e. K ( U e. ( ( q ` 0 ) (,) ( q ` 1 ) ) /\ V e. ( ( q ` 2 ) (,) ( q ` 3 ) ) ) )

Distinct variable groups:   R, q   U, q, u, v   V, q, u, v   u, Y, v   ph, u, v

Allowed substitution hints:   ph( q)   R( v, u)   K( v, u, q)   X( v, u, q)   Y( q)

Proof of Theorem smfmullem3

Dummy variables p r s z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfmullem3.u	. . . . 5 |- ( ph -> U e. RR )
2		smfmullem3.y	. . . . . . . 8 |- Y = if ( 1 <_ X , 1 , X )
3	2	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> Y = if ( 1 <_ X , 1 , X ) )
4		1rp 11836	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR+
5	4	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 e. RR+ )
6		smfmullem3.x	. . . . . . . . . 10 |- X = ( ( R - ( U x. V ) ) / ( 1 + ( ( abs ` U ) + ( abs ` V ) ) ) )
7	6	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> X = ( ( R - ( U x. V ) ) / ( 1 + ( ( abs ` U ) + ( abs ` V ) ) ) ) )
8		smfmullem3.l	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( U x. V ) < R )
9		smfmullem3.v	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> V e. RR )
10	1, 9	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( U x. V ) e. RR )
11		smfmullem3.r	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> R e. RR )
12		difrp 11868	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( U x. V ) e. RR /\ R e. RR ) -> ( ( U x. V ) < R <-> ( R - ( U x. V ) ) e. RR+ ) )
13	10, 11, 12	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( U x. V ) < R <-> ( R - ( U x. V ) ) e. RR+ ) )
14	8, 13	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( R - ( U x. V ) ) e. RR+ )
15		1re 10039	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. RR
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 1 e. RR )
17	1	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> U e. CC )
18	17	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( abs ` U ) e. RR )
19	9	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> V e. CC )
20	19	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( abs ` V ) e. RR )
21	18, 20	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( abs ` U ) + ( abs ` V ) ) e. RR )
22	16, 21	readdcld 10069	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 1 + ( ( abs ` U ) + ( abs ` V ) ) ) e. RR )
23		0re 10040	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. RR
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 e. RR )
25	5	rpgt0d 11875	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 < 1 )
26		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 0 e. RR )
27	17	absge0d 14183	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 0 <_ ( abs ` U ) )
28	19	absge0d 14183	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> 0 <_ ( abs ` V ) )
29	18, 20	addge01d 10615	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 0 <_ ( abs ` V ) <-> ( abs ` U ) <_ ( ( abs ` U ) + ( abs ` V ) ) ) )
30	28, 29	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( abs ` U ) <_ ( ( abs ` U ) + ( abs ` V ) ) )
31	26, 18, 21, 27, 30	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 0 <_ ( ( abs ` U ) + ( abs ` V ) ) )
32	16, 21	addge01d 10615	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 0 <_ ( ( abs ` U ) + ( abs ` V ) ) <-> 1 <_ ( 1 + ( ( abs ` U ) + ( abs ` V ) ) ) ) )
33	31, 32	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 1 <_ ( 1 + ( ( abs ` U ) + ( abs ` V ) ) ) )
34	24, 16, 22, 25, 33	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 < ( 1 + ( ( abs ` U ) + ( abs ` V ) ) ) )
35	22, 34	elrpd 11869	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 + ( ( abs ` U ) + ( abs ` V ) ) ) e. RR+ )
36	14, 35	rpdivcld 11889	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( R - ( U x. V ) ) / ( 1 + ( ( abs ` U ) + ( abs ` V ) ) ) ) e. RR+ )
37	7, 36	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X e. RR+ )
38	5, 37	ifcld 4131	. . . . . . 7 |- ( ph -> if ( 1 <_ X , 1 , X ) e. RR+ )
39	3, 38	eqeltrd 2701	. . . . . 6 |- ( ph -> Y e. RR+ )
40	39	rpred 11872	. . . . 5 |- ( ph -> Y e. RR )
41	1, 40	resubcld 10458	. . . 4 |- ( ph -> ( U - Y ) e. RR )
42	41	rexrd 10089	. . 3 |- ( ph -> ( U - Y ) e. RR* )
43	1	rexrd 10089	. . 3 |- ( ph -> U e. RR* )
44	1, 39	ltsubrpd 11904	. . 3 |- ( ph -> ( U - Y ) < U )
45	42, 43, 44	qelioo 39773	. 2 |- ( ph -> E. p e. QQ p e. ( ( U - Y ) (,) U ) )
46	1, 40	readdcld 10069	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( U + Y ) e. RR )
47	46	rexrd 10089	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( U + Y ) e. RR* )
48	1, 39	ltaddrpd 11905	. . . . . . 7 |- ( ph -> U < ( U + Y ) )
49	43, 47, 48	qelioo 39773	. . . . . 6 |- ( ph -> E. r e. QQ r e. ( U (,) ( U + Y ) ) )
50	49	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ p e. QQ ) /\ p e. ( ( U - Y ) (,) U ) ) -> E. r e. QQ r e. ( U (,) ( U + Y ) ) )
51		simp-4l 806	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ p e. QQ ) /\ p e. ( ( U - Y ) (,) U ) ) /\ r e. QQ ) /\ r e. ( U (,) ( U + Y ) ) ) -> ph )
52	9, 40	resubcld 10458	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( V - Y ) e. RR )
53	52	rexrd 10089	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( V - Y ) e. RR* )
54	9	rexrd 10089	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> V e. RR* )
55	9, 39	ltsubrpd 11904	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( V - Y ) < V )
56	53, 54, 55	qelioo 39773	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> E. s e. QQ s e. ( ( V - Y ) (,) V ) )
57	51, 56	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ p e. QQ ) /\ p e. ( ( U - Y ) (,) U ) ) /\ r e. QQ ) /\ r e. ( U (,) ( U + Y ) ) ) -> E. s e. QQ s e. ( ( V - Y ) (,) V ) )
58	51	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. QQ ) /\ p e. ( ( U - Y ) (,) U ) ) /\ r e. QQ ) /\ r e. ( U (,) ( U + Y ) ) ) /\ s e. QQ ) /\ s e. ( ( V - Y ) (,) V ) ) -> ph )
59	9, 40	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( V + Y ) e. RR )
60	59	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( V + Y ) e. RR* )
61	9, 39	ltaddrpd 11905	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> V < ( V + Y ) )
62	54, 60, 61	qelioo 39773	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> E. z e. QQ z e. ( V (,) ( V + Y ) ) )
63	58, 62	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. QQ ) /\ p e. ( ( U - Y ) (,) U ) ) /\ r e. QQ ) /\ r e. ( U (,) ( U + Y ) ) ) /\ s e. QQ ) /\ s e. ( ( V - Y ) (,) V ) ) -> E. z e. QQ z e. ( V (,) ( V + Y ) ) )
64	11	ad8antr 776	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. QQ ) /\ p e. ( ( U - Y ) (,) U ) ) /\ r e. QQ ) /\ r e. ( U (,) ( U + Y ) ) ) /\ s e. QQ ) /\ s e. ( ( V - Y ) (,) V ) ) /\ z e. QQ ) /\ z e. ( V (,) ( V + Y ) ) ) -> R e. RR )
65		smfmullem3.k	. . . . . . . . . . . . . 14 |- K = { q e. ( QQ ^m ( 0 ... 3 ) ) | A. u e. ( ( q ` 0 ) (,) ( q ` 1 ) ) A. v e. ( ( q ` 2 ) (,) ( q ` 3 ) ) ( u x. v ) < R }
66	1	ad8antr 776	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. QQ ) /\ p e. ( ( U - Y ) (,) U ) ) /\ r e. QQ ) /\ r e. ( U (,) ( U + Y ) ) ) /\ s e. QQ ) /\ s e. ( ( V - Y ) (,) V ) ) /\ z e. QQ ) /\ z e. ( V (,) ( V + Y ) ) ) -> U e. RR )
67	9	ad8antr 776	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. QQ ) /\ p e. ( ( U - Y ) (,) U ) ) /\ r e. QQ ) /\ r e. ( U (,) ( U + Y ) ) ) /\ s e. QQ ) /\ s e. ( ( V - Y ) (,) V ) ) /\ z e. QQ ) /\ z e. ( V (,) ( V + Y ) ) ) -> V e. RR )
68	8	ad8antr 776	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. QQ ) /\ p e. ( ( U - Y ) (,) U ) ) /\ r e. QQ ) /\ r e. ( U (,) ( U + Y ) ) ) /\ s e. QQ ) /\ s e. ( ( V - Y ) (,) V ) ) /\ z e. QQ ) /\ z e. ( V (,) ( V + Y ) ) ) -> ( U x. V ) < R )
69		simp-8r 815	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. QQ ) /\ p e. ( ( U - Y ) (,) U ) ) /\ r e. QQ ) /\ r e. ( U (,) ( U + Y ) ) ) /\ s e. QQ ) /\ s e. ( ( V - Y ) (,) V ) ) /\ z e. QQ ) /\ z e. ( V (,) ( V + Y ) ) ) -> p e. QQ )
70		simp-6r 811	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. QQ ) /\ p e. ( ( U - Y ) (,) U ) ) /\ r e. QQ ) /\ r e. ( U (,) ( U + Y ) ) ) /\ s e. QQ ) /\ s e. ( ( V - Y ) (,) V ) ) /\ z e. QQ ) /\ z e. ( V (,) ( V + Y ) ) ) -> r e. QQ )
71		simp-4r 807	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. QQ ) /\ p e. ( ( U - Y ) (,) U ) ) /\ r e. QQ ) /\ r e. ( U (,) ( U + Y ) ) ) /\ s e. QQ ) /\ s e. ( ( V - Y ) (,) V ) ) /\ z e. QQ ) /\ z e. ( V (,) ( V + Y ) ) ) -> s e. QQ )
72		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. QQ ) /\ p e. ( ( U - Y ) (,) U ) ) /\ r e. QQ ) /\ r e. ( U (,) ( U + Y ) ) ) /\ s e. QQ ) /\ s e. ( ( V - Y ) (,) V ) ) /\ z e. QQ ) /\ z e. ( V (,) ( V + Y ) ) ) -> z e. QQ )
73		simp-7r 813	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. QQ ) /\ p e. ( ( U - Y ) (,) U ) ) /\ r e. QQ ) /\ r e. ( U (,) ( U + Y ) ) ) /\ s e. QQ ) /\ s e. ( ( V - Y ) (,) V ) ) /\ z e. QQ ) /\ z e. ( V (,) ( V + Y ) ) ) -> p e. ( ( U - Y ) (,) U ) )
74		simp-5r 809	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. QQ ) /\ p e. ( ( U - Y ) (,) U ) ) /\ r e. QQ ) /\ r e. ( U (,) ( U + Y ) ) ) /\ s e. QQ ) /\ s e. ( ( V - Y ) (,) V ) ) /\ z e. QQ ) /\ z e. ( V (,) ( V + Y ) ) ) -> r e. ( U (,) ( U + Y ) ) )
75		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. QQ ) /\ p e. ( ( U - Y ) (,) U ) ) /\ r e. QQ ) /\ r e. ( U (,) ( U + Y ) ) ) /\ s e. QQ ) /\ s e. ( ( V - Y ) (,) V ) ) /\ z e. QQ ) /\ z e. ( V (,) ( V + Y ) ) ) -> s e. ( ( V - Y ) (,) V ) )
76		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. QQ ) /\ p e. ( ( U - Y ) (,) U ) ) /\ r e. QQ ) /\ r e. ( U (,) ( U + Y ) ) ) /\ s e. QQ ) /\ s e. ( ( V - Y ) (,) V ) ) /\ z e. QQ ) /\ z e. ( V (,) ( V + Y ) ) ) -> z e. ( V (,) ( V + Y ) ) )
77	64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 6, 2	smfmullem2 40999	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. QQ ) /\ p e. ( ( U - Y ) (,) U ) ) /\ r e. QQ ) /\ r e. ( U (,) ( U + Y ) ) ) /\ s e. QQ ) /\ s e. ( ( V - Y ) (,) V ) ) /\ z e. QQ ) /\ z e. ( V (,) ( V + Y ) ) ) -> E. q e. K ( U e. ( ( q ` 0 ) (,) ( q ` 1 ) ) /\ V e. ( ( q ` 2 ) (,) ( q ` 3 ) ) ) )
78	77	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. QQ ) /\ p e. ( ( U - Y ) (,) U ) ) /\ r e. QQ ) /\ r e. ( U (,) ( U + Y ) ) ) /\ s e. QQ ) /\ s e. ( ( V - Y ) (,) V ) ) /\ z e. QQ ) -> ( z e. ( V (,) ( V + Y ) ) -> E. q e. K ( U e. ( ( q ` 0 ) (,) ( q ` 1 ) ) /\ V e. ( ( q ` 2 ) (,) ( q ` 3 ) ) ) ) )
79	78	rexlimdva 3031	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. QQ ) /\ p e. ( ( U - Y ) (,) U ) ) /\ r e. QQ ) /\ r e. ( U (,) ( U + Y ) ) ) /\ s e. QQ ) /\ s e. ( ( V - Y ) (,) V ) ) -> ( E. z e. QQ z e. ( V (,) ( V + Y ) ) -> E. q e. K ( U e. ( ( q ` 0 ) (,) ( q ` 1 ) ) /\ V e. ( ( q ` 2 ) (,) ( q ` 3 ) ) ) ) )
80	63, 79	mpd 15	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. QQ ) /\ p e. ( ( U - Y ) (,) U ) ) /\ r e. QQ ) /\ r e. ( U (,) ( U + Y ) ) ) /\ s e. QQ ) /\ s e. ( ( V - Y ) (,) V ) ) -> E. q e. K ( U e. ( ( q ` 0 ) (,) ( q ` 1 ) ) /\ V e. ( ( q ` 2 ) (,) ( q ` 3 ) ) ) )
81	80	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ p e. QQ ) /\ p e. ( ( U - Y ) (,) U ) ) /\ r e. QQ ) /\ r e. ( U (,) ( U + Y ) ) ) /\ s e. QQ ) -> ( s e. ( ( V - Y ) (,) V ) -> E. q e. K ( U e. ( ( q ` 0 ) (,) ( q ` 1 ) ) /\ V e. ( ( q ` 2 ) (,) ( q ` 3 ) ) ) ) )
82	81	rexlimdva 3031	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ p e. QQ ) /\ p e. ( ( U - Y ) (,) U ) ) /\ r e. QQ ) /\ r e. ( U (,) ( U + Y ) ) ) -> ( E. s e. QQ s e. ( ( V - Y ) (,) V ) -> E. q e. K ( U e. ( ( q ` 0 ) (,) ( q ` 1 ) ) /\ V e. ( ( q ` 2 ) (,) ( q ` 3 ) ) ) ) )
83	57, 82	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ p e. QQ ) /\ p e. ( ( U - Y ) (,) U ) ) /\ r e. QQ ) /\ r e. ( U (,) ( U + Y ) ) ) -> E. q e. K ( U e. ( ( q ` 0 ) (,) ( q ` 1 ) ) /\ V e. ( ( q ` 2 ) (,) ( q ` 3 ) ) ) )
84	83	ex 450	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ p e. QQ ) /\ p e. ( ( U - Y ) (,) U ) ) /\ r e. QQ ) -> ( r e. ( U (,) ( U + Y ) ) -> E. q e. K ( U e. ( ( q ` 0 ) (,) ( q ` 1 ) ) /\ V e. ( ( q ` 2 ) (,) ( q ` 3 ) ) ) ) )
85	84	rexlimdva 3031	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ p e. QQ ) /\ p e. ( ( U - Y ) (,) U ) ) -> ( E. r e. QQ r e. ( U (,) ( U + Y ) ) -> E. q e. K ( U e. ( ( q ` 0 ) (,) ( q ` 1 ) ) /\ V e. ( ( q ` 2 ) (,) ( q ` 3 ) ) ) ) )
86	50, 85	mpd 15	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ p e. QQ ) /\ p e. ( ( U - Y ) (,) U ) ) -> E. q e. K ( U e. ( ( q ` 0 ) (,) ( q ` 1 ) ) /\ V e. ( ( q ` 2 ) (,) ( q ` 3 ) ) ) )
87	86	ex 450	. . 3 |- ( ( ph /\ p e. QQ ) -> ( p e. ( ( U - Y ) (,) U ) -> E. q e. K ( U e. ( ( q ` 0 ) (,) ( q ` 1 ) ) /\ V e. ( ( q ` 2 ) (,) ( q ` 3 ) ) ) ) )
88	87	rexlimdva 3031	. 2 |- ( ph -> ( E. p e. QQ p e. ( ( U - Y ) (,) U ) -> E. q e. K ( U e. ( ( q ` 0 ) (,) ( q ` 1 ) ) /\ V e. ( ( q ` 2 ) (,) ( q ` 3 ) ) ) ) )
89	45, 88	mpd 15	1 |- ( ph -> E. q e. K ( U e. ( ( q ` 0 ) (,) ( q ` 1 ) ) /\ V e. ( ( q ` 2 ) (,) ( q ` 3 ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   ifcif 4086   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   2c2 11070   3c3 11071   QQcq 11788   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   ...cfz 12326   abscabs 13974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-ioo 12179  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-s1 13302  df-s2 13593  df-s3 13594  df-s4 13595  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976

This theorem is referenced by:  smfmullem4  41001