Theorem smfsupmpt 41021

Description: The supremum of a countable set of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (b) of [Fremlin1] p. 38 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfsupmpt.n	|- F/ n ph
smfsupmpt.x	|- F/ x ph
smfsupmpt.y	|- F/ y ph
smfsupmpt.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
smfsupmpt.z	|- Z = ( ZZ>= ` M )
smfsupmpt.s	|- ( ph -> S e. SAlg )
smfsupmpt.b	|- ( ( ph /\ n e. Z /\ x e. A ) -> B e. V )
smfsupmpt.f	|- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( x e. A |-> B ) e. (SMblFn ` S ) )
smfsupmpt.d	|- D = { x e. |^|_ n e. Z A | E. y e. RR A. n e. Z B <_ y }
smfsupmpt.g	|- G = ( x e. D |-> sup ( ran ( n e. Z |-> B ) , RR , < ) )

Assertion

Ref	Expression
smfsupmpt	|- ( ph -> G e. (SMblFn ` S ) )

Distinct variable groups:   x, A, y   y, B   S, n   n, Z, x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y, n)   A( n)   B( x, n)   D( x, y, n)   S( x, y)   G( x, y, n)   M( x, y, n)   V( x, y, n)

Proof of Theorem smfsupmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfsupmpt.g	. . . 4 |- G = ( x e. D |-> sup ( ran ( n e. Z |-> B ) , RR , < ) )
2	1	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> G = ( x e. D |-> sup ( ran ( n e. Z |-> B ) , RR , < ) ) )
3		smfsupmpt.x	. . . . 5 |- F/ x ph
4		smfsupmpt.d	. . . . . . 7 |- D = { x e. |^|_ n e. Z A | E. y e. RR A. n e. Z B <_ y }
5	4	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> D = { x e. |^|_ n e. Z A | E. y e. RR A. n e. Z B <_ y } )
6		smfsupmpt.n	. . . . . . . . 9 |- F/ n ph
7		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) = ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) )
8		smfsupmpt.f	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( x e. A |-> B ) e. (SMblFn ` S ) )
9	7, 8	fvmpt2d 6293	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) = ( x e. A |-> B ) )
10	9	dmeqd 5326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) = dom ( x e. A |-> B ) )
11		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x n
12		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x Z
13	11, 12	nfel 2777	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ x n e. Z
14	3, 13	nfan 1828	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x ( ph /\ n e. Z )
15		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. A |-> B ) = ( x e. A |-> B )
16		smfsupmpt.s	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> S e. SAlg )
17	16	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> S e. SAlg )
18		smfsupmpt.b	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. Z /\ x e. A ) -> B e. V )
19	18	3expa 1265	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ x e. A ) -> B e. V )
20	14, 17, 19, 8	smffmpt 41011	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( x e. A |-> B ) : A --> RR )
21	20	fvmptelrn 39428	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ x e. A ) -> B e. RR )
22	14, 15, 21	dmmptdf 39417	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> dom ( x e. A |-> B ) = A )
23		eqidd 2623	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> A = A )
24	10, 22, 23	3eqtrrd 2661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> A = dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) )
25	6, 24	iineq2d 4541	. . . . . . . 8 |- ( ph -> |^|_ n e. Z A = |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) )
26		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ x |^|_ n e. Z A
27		nfmpt1 4747	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x ( x e. A |-> B )
28	12, 27	nfmpt 4746	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) )
29	28, 11	nffv 6198	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n )
30	29	nfdm 5367	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n )
31	12, 30	nfiin 4549	. . . . . . . . 9 |- F/_ x |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n )
32	26, 31	rabeqf 3190	. . . . . . . 8 |- ( |^|_ n e. Z A = |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) -> { x e. |^|_ n e. Z A | E. y e. RR A. n e. Z B <_ y } = { x e. |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) | E. y e. RR A. n e. Z B <_ y } )
33	25, 32	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> { x e. |^|_ n e. Z A | E. y e. RR A. n e. Z B <_ y } = { x e. |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) | E. y e. RR A. n e. Z B <_ y } )
34		smfsupmpt.y	. . . . . . . . . 10 |- F/ y ph
35		nfv 1843	. . . . . . . . . 10 |- F/ y x e. |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n )
36	34, 35	nfan 1828	. . . . . . . . 9 |- F/ y ( ph /\ x e. |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) )
37		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ n x
38		nfii1 4551	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ n |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n )
39	37, 38	nfel 2777	. . . . . . . . . . 11 |- F/ n x e. |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n )
40	6, 39	nfan 1828	. . . . . . . . . 10 |- F/ n ( ph /\ x e. |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) )
41		simpll 790	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ) /\ n e. Z ) -> ph )
42		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ) /\ n e. Z ) -> n e. Z )
43		eliinid 39294	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) /\ n e. Z ) -> x e. dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) )
44	43	adantll 750	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ) /\ n e. Z ) -> x e. dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) )
45	24	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) = A )
46	45	adantlr 751	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ) /\ n e. Z ) -> dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) = A )
47	44, 46	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ) /\ n e. Z ) -> x e. A )
48	9	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) = ( ( x e. A |-> B ) ` x ) )
49	48	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. Z /\ x e. A ) -> ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) = ( ( x e. A |-> B ) ` x ) )
50		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. Z /\ x e. A ) -> x e. A )
51	15	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. A /\ B e. V ) -> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) = B )
52	50, 18, 51	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. Z /\ x e. A ) -> ( ( x e. A |-> B ) ` x ) = B )
53	49, 52	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. Z /\ x e. A ) -> B = ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) )
54	53	breq1d 4663	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. Z /\ x e. A ) -> ( B <_ y <-> ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) <_ y ) )
55	41, 42, 47, 54	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ) /\ n e. Z ) -> ( B <_ y <-> ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) <_ y ) )
56	40, 55	ralbida 2982	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ) -> ( A. n e. Z B <_ y <-> A. n e. Z ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) <_ y ) )
57	36, 56	rexbid 3051	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ) -> ( E. y e. RR A. n e. Z B <_ y <-> E. y e. RR A. n e. Z ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) <_ y ) )
58	3, 57	rabbida 39274	. . . . . . 7 |- ( ph -> { x e. |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) | E. y e. RR A. n e. Z B <_ y } = { x e. |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) | E. y e. RR A. n e. Z ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) <_ y } )
59	33, 58	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ph -> { x e. |^|_ n e. Z A | E. y e. RR A. n e. Z B <_ y } = { x e. |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) | E. y e. RR A. n e. Z ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) <_ y } )
60	5, 59	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ph -> D = { x e. |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) | E. y e. RR A. n e. Z ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) <_ y } )
61	3, 60	alrimi 2082	. . . 4 |- ( ph -> A. x D = { x e. |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) | E. y e. RR A. n e. Z ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) <_ y } )
62		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ n RR
63		nfra1 2941	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ n A. n e. Z B <_ y
64	62, 63	nfrex 3007	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ n E. y e. RR A. n e. Z B <_ y
65		nfii1 4551	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ n |^|_ n e. Z A
66	64, 65	nfrab 3123	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ n { x e. |^|_ n e. Z A | E. y e. RR A. n e. Z B <_ y }
67	4, 66	nfcxfr 2762	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ n D
68	37, 67	nfel 2777	. . . . . . . . . 10 |- F/ n x e. D
69	6, 68	nfan 1828	. . . . . . . . 9 |- F/ n ( ph /\ x e. D )
70		simpll 790	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ n e. Z ) -> ph )
71		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ n e. Z ) -> n e. Z )
72	4	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. D <-> x e. { x e. |^|_ n e. Z A | E. y e. RR A. n e. Z B <_ y } )
73	72	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. D -> x e. { x e. |^|_ n e. Z A | E. y e. RR A. n e. Z B <_ y } )
74		rabidim1 3117	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. { x e. |^|_ n e. Z A | E. y e. RR A. n e. Z B <_ y } -> x e. |^|_ n e. Z A )
75	73, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. D -> x e. |^|_ n e. Z A )
76	75	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. D /\ n e. Z ) -> x e. |^|_ n e. Z A )
77		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. D /\ n e. Z ) -> n e. Z )
78		eliinid 39294	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. |^|_ n e. Z A /\ n e. Z ) -> x e. A )
79	76, 77, 78	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. D /\ n e. Z ) -> x e. A )
80	79	adantll 750	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ n e. Z ) -> x e. A )
81	53	idi 2	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. Z /\ x e. A ) -> B = ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) )
82	70, 71, 80, 81	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ n e. Z ) -> B = ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) )
83	69, 82	mpteq2da 4743	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( n e. Z |-> B ) = ( n e. Z |-> ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) ) )
84	83	rneqd 5353	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ran ( n e. Z |-> B ) = ran ( n e. Z |-> ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) ) )
85	84	supeq1d 8352	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> sup ( ran ( n e. Z |-> B ) , RR , < ) = sup ( ran ( n e. Z |-> ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) ) , RR , < ) )
86	85	ex 450	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. D -> sup ( ran ( n e. Z |-> B ) , RR , < ) = sup ( ran ( n e. Z |-> ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) ) , RR , < ) ) )
87	3, 86	ralrimi 2957	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. D sup ( ran ( n e. Z |-> B ) , RR , < ) = sup ( ran ( n e. Z |-> ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) ) , RR , < ) )
88		mpteq12f 4731	. . . 4 |- ( ( A. x D = { x e. |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) | E. y e. RR A. n e. Z ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) <_ y } /\ A. x e. D sup ( ran ( n e. Z |-> B ) , RR , < ) = sup ( ran ( n e. Z |-> ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) ) , RR , < ) ) -> ( x e. D |-> sup ( ran ( n e. Z |-> B ) , RR , < ) ) = ( x e. { x e. |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) | E. y e. RR A. n e. Z ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) <_ y } |-> sup ( ran ( n e. Z |-> ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) ) , RR , < ) ) )
89	61, 87, 88	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ( x e. D |-> sup ( ran ( n e. Z |-> B ) , RR , < ) ) = ( x e. { x e. |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) | E. y e. RR A. n e. Z ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) <_ y } |-> sup ( ran ( n e. Z |-> ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) ) , RR , < ) ) )
90	2, 89	eqtrd 2656	. 2 |- ( ph -> G = ( x e. { x e. |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) | E. y e. RR A. n e. Z ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) <_ y } |-> sup ( ran ( n e. Z |-> ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) ) , RR , < ) ) )
91		nfmpt1 4747	. . 3 |- F/_ n ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) )
92		smfsupmpt.m	. . 3 |- ( ph -> M e. ZZ )
93		smfsupmpt.z	. . 3 |- Z = ( ZZ>= ` M )
94		eqid 2622	. . . 4 |- ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) = ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) )
95	6, 8, 94	fmptdf 6387	. . 3 |- ( ph -> ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) : Z --> (SMblFn ` S ) )
96		eqid 2622	. . 3 |- { x e. |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) | E. y e. RR A. n e. Z ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) <_ y } = { x e. |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) | E. y e. RR A. n e. Z ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) <_ y }
97		eqid 2622	. . 3 |- ( x e. { x e. |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) | E. y e. RR A. n e. Z ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) <_ y } |-> sup ( ran ( n e. Z |-> ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) ) , RR , < ) ) = ( x e. { x e. |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) | E. y e. RR A. n e. Z ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) <_ y } |-> sup ( ran ( n e. Z |-> ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) ) , RR , < ) )
98	91, 28, 92, 93, 16, 95, 96, 97	smfsup 41020	. 2 |- ( ph -> ( x e. { x e. |^|_ n e. Z dom ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) | E. y e. RR A. n e. Z ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) <_ y } |-> sup ( ran ( n e. Z |-> ( ( ( n e. Z |-> ( x e. A |-> B ) ) ` n ) ` x ) ) , RR , < ) ) e. (SMblFn ` S ) )
99	90, 98	eqeltrd 2701	1 |- ( ph -> G e. (SMblFn ` S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   F/wnf 1708   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   |^|_ciin 4521   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   ` cfv 5888   supcsup 8346   RRcr 9935   < clt 10074   <_ cle 10075   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687  SAlgcsalg 40528  SMblFncsmblfn 40909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-ac2 9285  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-fl 12593  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-top 20699  df-bases 20750  df-salg 40529  df-salgen 40533  df-smblfn 40910

This theorem is referenced by:  smfinflem  41023