Theorem smfinflem 41023

Description: The infimum of a countable set of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (c) of [Fremlin1] p. 38 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfinflem.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
smfinflem.z	|- Z = ( ZZ>= ` M )
smfinflem.s	|- ( ph -> S e. SAlg )
smfinflem.f	|- ( ph -> F : Z --> (SMblFn ` S ) )
smfinflem.d	|- D = { x e. |^|_ n e. Z dom ( F ` n ) | E. y e. RR A. n e. Z y <_ ( ( F ` n ) ` x ) }
smfinflem.g	|- G = ( x e. D |-> inf ( ran ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) )

Assertion

Ref	Expression
smfinflem	|- ( ph -> G e. (SMblFn ` S ) )

Distinct variable groups:   D, n, x, y   n, F, x, y   S, n   n, Z, x, y   ph, n, x, y

Allowed substitution hints:   S( x, y)   G( x, y, n)   M( x, y, n)

Proof of Theorem smfinflem

Dummy variables m w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfinflem.g	. . . 4 |- G = ( x e. D |-> inf ( ran ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) )
2	1	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> G = ( x e. D |-> inf ( ran ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) ) )
3		nfv 1843	. . . . 5 |- F/ n ( ph /\ x e. D )
4		smfinflem.m	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ZZ )
5		smfinflem.z	. . . . . . 7 |- Z = ( ZZ>= ` M )
6	4, 5	uzn0d 39652	. . . . . 6 |- ( ph -> Z =/= (/) )
7	6	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> Z =/= (/) )
8		smfinflem.s	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> S e. SAlg )
9	8	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> S e. SAlg )
10		smfinflem.f	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : Z --> (SMblFn ` S ) )
11	10	ffvelrnda 6359	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( F ` n ) e. (SMblFn ` S ) )
12		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- dom ( F ` n ) = dom ( F ` n )
13	9, 11, 12	smff 40941	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( F ` n ) : dom ( F ` n ) --> RR )
14	13	adantlr 751	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ n e. Z ) -> ( F ` n ) : dom ( F ` n ) --> RR )
15		ssrab2 3687	. . . . . . . . . 10 |- { x e. |^|_ n e. Z dom ( F ` n ) | E. y e. RR A. n e. Z y <_ ( ( F ` n ) ` x ) } C_ |^|_ n e. Z dom ( F ` n )
16		smfinflem.d	. . . . . . . . . . . 12 |- D = { x e. |^|_ n e. Z dom ( F ` n ) | E. y e. RR A. n e. Z y <_ ( ( F ` n ) ` x ) }
17	16	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. D <-> x e. { x e. |^|_ n e. Z dom ( F ` n ) | E. y e. RR A. n e. Z y <_ ( ( F ` n ) ` x ) } )
18	17	biimpi 206	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. D -> x e. { x e. |^|_ n e. Z dom ( F ` n ) | E. y e. RR A. n e. Z y <_ ( ( F ` n ) ` x ) } )
19	15, 18	sseldi 3601	. . . . . . . . 9 |- ( x e. D -> x e. |^|_ n e. Z dom ( F ` n ) )
20	19	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. D /\ n e. Z ) -> x e. |^|_ n e. Z dom ( F ` n ) )
21		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. D /\ n e. Z ) -> n e. Z )
22		eliinid 39294	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. |^|_ n e. Z dom ( F ` n ) /\ n e. Z ) -> x e. dom ( F ` n ) )
23	20, 21, 22	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( x e. D /\ n e. Z ) -> x e. dom ( F ` n ) )
24	23	adantll 750	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ n e. Z ) -> x e. dom ( F ` n ) )
25	14, 24	ffvelrnd 6360	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ n e. Z ) -> ( ( F ` n ) ` x ) e. RR )
26		rabidim2 39284	. . . . . . 7 |- ( x e. { x e. |^|_ n e. Z dom ( F ` n ) | E. y e. RR A. n e. Z y <_ ( ( F ` n ) ` x ) } -> E. y e. RR A. n e. Z y <_ ( ( F ` n ) ` x ) )
27	18, 26	syl 17	. . . . . 6 |- ( x e. D -> E. y e. RR A. n e. Z y <_ ( ( F ` n ) ` x ) )
28	27	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> E. y e. RR A. n e. Z y <_ ( ( F ` n ) ` x ) )
29	3, 7, 25, 28	infnsuprnmpt 39465	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> inf ( ran ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) = -u sup ( ran ( n e. Z |-> -u ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) )
30	29	mpteq2dva 4744	. . 3 |- ( ph -> ( x e. D |-> inf ( ran ( n e. Z |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) ) = ( x e. D |-> -u sup ( ran ( n e. Z |-> -u ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) ) )
31	2, 30	eqtrd 2656	. 2 |- ( ph -> G = ( x e. D |-> -u sup ( ran ( n e. Z |-> -u ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) ) )
32		nfv 1843	. . 3 |- F/ x ph
33		fvex 6201	. . . . . . . 8 |- ( F ` n ) e. _V
34	33	dmex 7099	. . . . . . 7 |- dom ( F ` n ) e. _V
35	34	rgenw 2924	. . . . . 6 |- A. n e. Z dom ( F ` n ) e. _V
36	35	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> A. n e. Z dom ( F ` n ) e. _V )
37	6, 36	iinexd 39318	. . . 4 |- ( ph -> |^|_ n e. Z dom ( F ` n ) e. _V )
38	16, 37	rabexd 4814	. . 3 |- ( ph -> D e. _V )
39	25	renegcld 10457	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ n e. Z ) -> -u ( ( F ` n ) ` x ) e. RR )
40		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = x -> ( ( F ` m ) ` w ) = ( ( F ` m ) ` x ) )
41	40	breq2d 4665	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = x -> ( z <_ ( ( F ` m ) ` w ) <-> z <_ ( ( F ` m ) ` x ) ) )
42	41	ralbidv 2986	. . . . . . . . . 10 |- ( w = x -> ( A. m e. Z z <_ ( ( F ` m ) ` w ) <-> A. m e. Z z <_ ( ( F ` m ) ` x ) ) )
43	42	rexbidv 3052	. . . . . . . . 9 |- ( w = x -> ( E. z e. RR A. m e. Z z <_ ( ( F ` m ) ` w ) <-> E. z e. RR A. m e. Z z <_ ( ( F ` m ) ` x ) ) )
44		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ w |^|_ n e. Z dom ( F ` n )
45		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x Z
46		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x ( F ` m )
47	46	nfdm 5367	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x dom ( F ` m )
48	45, 47	nfiin 4549	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x |^|_ m e. Z dom ( F ` m )
49		nfv 1843	. . . . . . . . . . 11 |- F/ w E. y e. RR A. n e. Z y <_ ( ( F ` n ) ` x )
50		nfv 1843	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x E. z e. RR A. m e. Z z <_ ( ( F ` m ) ` w )
51		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ m dom ( F ` n )
52		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ n ( F ` m )
53	52	nfdm 5367	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ n dom ( F ` m )
54		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = m -> ( F ` n ) = ( F ` m ) )
55	54	dmeqd 5326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = m -> dom ( F ` n ) = dom ( F ` m ) )
56	51, 53, 55	cbviin 4558	. . . . . . . . . . . 12 |- |^|_ n e. Z dom ( F ` n ) = |^|_ m e. Z dom ( F ` m )
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = w -> |^|_ n e. Z dom ( F ` n ) = |^|_ m e. Z dom ( F ` m ) )
58		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = w -> ( ( F ` n ) ` x ) = ( ( F ` n ) ` w ) )
59	58	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = w -> ( y <_ ( ( F ` n ) ` x ) <-> y <_ ( ( F ` n ) ` w ) ) )
60	59	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = w -> ( A. n e. Z y <_ ( ( F ` n ) ` x ) <-> A. n e. Z y <_ ( ( F ` n ) ` w ) ) )
61		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ m y <_ ( ( F ` n ) ` w )
62		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ n y
63		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ n <_
64		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/_ n w
65	52, 64	nffv 6198	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/_ n ( ( F ` m ) ` w )
66	62, 63, 65	nfbr 4699	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ n y <_ ( ( F ` m ) ` w )
67	54	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = m -> ( ( F ` n ) ` w ) = ( ( F ` m ) ` w ) )
68	67	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = m -> ( y <_ ( ( F ` n ) ` w ) <-> y <_ ( ( F ` m ) ` w ) ) )
69	61, 66, 68	cbvral 3167	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. n e. Z y <_ ( ( F ` n ) ` w ) <-> A. m e. Z y <_ ( ( F ` m ) ` w ) )
70	69	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = w -> ( A. n e. Z y <_ ( ( F ` n ) ` w ) <-> A. m e. Z y <_ ( ( F ` m ) ` w ) ) )
71	60, 70	bitrd 268	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = w -> ( A. n e. Z y <_ ( ( F ` n ) ` x ) <-> A. m e. Z y <_ ( ( F ` m ) ` w ) ) )
72	71	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = w -> ( E. y e. RR A. n e. Z y <_ ( ( F ` n ) ` x ) <-> E. y e. RR A. m e. Z y <_ ( ( F ` m ) ` w ) ) )
73		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = z -> ( y <_ ( ( F ` m ) ` w ) <-> z <_ ( ( F ` m ) ` w ) ) )
74	73	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = z -> ( A. m e. Z y <_ ( ( F ` m ) ` w ) <-> A. m e. Z z <_ ( ( F ` m ) ` w ) ) )
75	74	cbvrexv 3172	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. y e. RR A. m e. Z y <_ ( ( F ` m ) ` w ) <-> E. z e. RR A. m e. Z z <_ ( ( F ` m ) ` w ) )
76	75	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = w -> ( E. y e. RR A. m e. Z y <_ ( ( F ` m ) ` w ) <-> E. z e. RR A. m e. Z z <_ ( ( F ` m ) ` w ) ) )
77	72, 76	bitrd 268	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = w -> ( E. y e. RR A. n e. Z y <_ ( ( F ` n ) ` x ) <-> E. z e. RR A. m e. Z z <_ ( ( F ` m ) ` w ) ) )
78	44, 48, 49, 50, 57, 77	cbvrabcsf 3568	. . . . . . . . . 10 |- { x e. |^|_ n e. Z dom ( F ` n ) | E. y e. RR A. n e. Z y <_ ( ( F ` n ) ` x ) } = { w e. |^|_ m e. Z dom ( F ` m ) | E. z e. RR A. m e. Z z <_ ( ( F ` m ) ` w ) }
79	16, 78	eqtri 2644	. . . . . . . . 9 |- D = { w e. |^|_ m e. Z dom ( F ` m ) | E. z e. RR A. m e. Z z <_ ( ( F ` m ) ` w ) }
80	43, 79	elrab2 3366	. . . . . . . 8 |- ( x e. D <-> ( x e. |^|_ m e. Z dom ( F ` m ) /\ E. z e. RR A. m e. Z z <_ ( ( F ` m ) ` x ) ) )
81	80	biimpi 206	. . . . . . 7 |- ( x e. D -> ( x e. |^|_ m e. Z dom ( F ` m ) /\ E. z e. RR A. m e. Z z <_ ( ( F ` m ) ` x ) ) )
82	81	simprd 479	. . . . . 6 |- ( x e. D -> E. z e. RR A. m e. Z z <_ ( ( F ` m ) ` x ) )
83	82	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> E. z e. RR A. m e. Z z <_ ( ( F ` m ) ` x ) )
84		renegcl 10344	. . . . . . . . 9 |- ( z e. RR -> -u z e. RR )
85	84	ad2antlr 763	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ z e. RR ) /\ A. m e. Z z <_ ( ( F ` m ) ` x ) ) -> -u z e. RR )
86		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m = n -> ( F ` m ) = ( F ` n ) )
87	86	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = n -> ( ( F ` m ) ` x ) = ( ( F ` n ) ` x ) )
88	87	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = n -> ( z <_ ( ( F ` m ) ` x ) <-> z <_ ( ( F ` n ) ` x ) ) )
89	88	rspcva 3307	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. Z /\ A. m e. Z z <_ ( ( F ` m ) ` x ) ) -> z <_ ( ( F ` n ) ` x ) )
90	89	ancoms 469	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. m e. Z z <_ ( ( F ` m ) ` x ) /\ n e. Z ) -> z <_ ( ( F ` n ) ` x ) )
91	90	adantll 750	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ z e. RR ) /\ A. m e. Z z <_ ( ( F ` m ) ` x ) ) /\ n e. Z ) -> z <_ ( ( F ` n ) ` x ) )
92		simpllr 799	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ z e. RR ) /\ A. m e. Z z <_ ( ( F ` m ) ` x ) ) /\ n e. Z ) -> z e. RR )
93	25	ad4ant14 1293	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ z e. RR ) /\ A. m e. Z z <_ ( ( F ` m ) ` x ) ) /\ n e. Z ) -> ( ( F ` n ) ` x ) e. RR )
94	92, 93	lenegd 10606	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ z e. RR ) /\ A. m e. Z z <_ ( ( F ` m ) ` x ) ) /\ n e. Z ) -> ( z <_ ( ( F ` n ) ` x ) <-> -u ( ( F ` n ) ` x ) <_ -u z ) )
95	91, 94	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ z e. RR ) /\ A. m e. Z z <_ ( ( F ` m ) ` x ) ) /\ n e. Z ) -> -u ( ( F ` n ) ` x ) <_ -u z )
96	95	ralrimiva 2966	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ z e. RR ) /\ A. m e. Z z <_ ( ( F ` m ) ` x ) ) -> A. n e. Z -u ( ( F ` n ) ` x ) <_ -u z )
97		breq2 4657	. . . . . . . . . 10 |- ( y = -u z -> ( -u ( ( F ` n ) ` x ) <_ y <-> -u ( ( F ` n ) ` x ) <_ -u z ) )
98	97	ralbidv 2986	. . . . . . . . 9 |- ( y = -u z -> ( A. n e. Z -u ( ( F ` n ) ` x ) <_ y <-> A. n e. Z -u ( ( F ` n ) ` x ) <_ -u z ) )
99	98	rspcev 3309	. . . . . . . 8 |- ( ( -u z e. RR /\ A. n e. Z -u ( ( F ` n ) ` x ) <_ -u z ) -> E. y e. RR A. n e. Z -u ( ( F ` n ) ` x ) <_ y )
100	85, 96, 99	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ z e. RR ) /\ A. m e. Z z <_ ( ( F ` m ) ` x ) ) -> E. y e. RR A. n e. Z -u ( ( F ` n ) ` x ) <_ y )
101	100	ex 450	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. D ) /\ z e. RR ) -> ( A. m e. Z z <_ ( ( F ` m ) ` x ) -> E. y e. RR A. n e. Z -u ( ( F ` n ) ` x ) <_ y ) )
102	101	rexlimdva 3031	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( E. z e. RR A. m e. Z z <_ ( ( F ` m ) ` x ) -> E. y e. RR A. n e. Z -u ( ( F ` n ) ` x ) <_ y ) )
103	83, 102	mpd 15	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> E. y e. RR A. n e. Z -u ( ( F ` n ) ` x ) <_ y )
104	3, 7, 39, 103	suprclrnmpt 39466	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> sup ( ran ( n e. Z |-> -u ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) e. RR )
105	16	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> D = { x e. |^|_ n e. Z dom ( F ` n ) | E. y e. RR A. n e. Z y <_ ( ( F ` n ) ` x ) } )
106		nfv 1843	. . . . . . . . . 10 |- F/ y ( ph /\ x e. |^|_ n e. Z dom ( F ` n ) )
107		nfv 1843	. . . . . . . . . 10 |- F/ y E. z e. RR A. n e. Z -u ( ( F ` n ) ` x ) <_ z
108		renegcl 10344	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. RR -> -u y e. RR )
109	108	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. Z dom ( F ` n ) ) /\ y e. RR /\ A. n e. Z y <_ ( ( F ` n ) ` x ) ) -> -u y e. RR )
110		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ n ph
111		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ n x
112		nfii1 4551	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ n |^|_ n e. Z dom ( F ` n )
113	111, 112	nfel 2777	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ n x e. |^|_ n e. Z dom ( F ` n )
114	110, 113	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ n ( ph /\ x e. |^|_ n e. Z dom ( F ` n ) )
115	62	nfel1 2779	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ n y e. RR
116		nfra1 2941	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ n A. n e. Z y <_ ( ( F ` n ) ` x )
117	114, 115, 116	nf3an 1831	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ n ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. Z dom ( F ` n ) ) /\ y e. RR /\ A. n e. Z y <_ ( ( F ` n ) ` x ) )
118		simpl2 1065	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. Z dom ( F ` n ) ) /\ y e. RR /\ A. n e. Z y <_ ( ( F ` n ) ` x ) ) /\ n e. Z ) -> y e. RR )
119		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. Z dom ( F ` n ) ) /\ n e. Z ) -> ph )
120		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. Z dom ( F ` n ) ) /\ n e. Z ) -> n e. Z )
121	22	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. Z dom ( F ` n ) ) /\ n e. Z ) -> x e. dom ( F ` n ) )
122	13	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ n e. Z /\ x e. dom ( F ` n ) ) -> ( F ` n ) : dom ( F ` n ) --> RR )
123		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ n e. Z /\ x e. dom ( F ` n ) ) -> x e. dom ( F ` n ) )
124	122, 123	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ n e. Z /\ x e. dom ( F ` n ) ) -> ( ( F ` n ) ` x ) e. RR )
125	119, 120, 121, 124	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. Z dom ( F ` n ) ) /\ n e. Z ) -> ( ( F ` n ) ` x ) e. RR )
126	125	3ad2antl1 1223	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. Z dom ( F ` n ) ) /\ y e. RR /\ A. n e. Z y <_ ( ( F ` n ) ` x ) ) /\ n e. Z ) -> ( ( F ` n ) ` x ) e. RR )
127		rspa 2930	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A. n e. Z y <_ ( ( F ` n ) ` x ) /\ n e. Z ) -> y <_ ( ( F ` n ) ` x ) )
128	127	3ad2antl3 1225	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. Z dom ( F ` n ) ) /\ y e. RR /\ A. n e. Z y <_ ( ( F ` n ) ` x ) ) /\ n e. Z ) -> y <_ ( ( F ` n ) ` x ) )
129		leneg 10531	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. RR /\ ( ( F ` n ) ` x ) e. RR ) -> ( y <_ ( ( F ` n ) ` x ) <-> -u ( ( F ` n ) ` x ) <_ -u y ) )
130	129	biimp3a 1432	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. RR /\ ( ( F ` n ) ` x ) e. RR /\ y <_ ( ( F ` n ) ` x ) ) -> -u ( ( F ` n ) ` x ) <_ -u y )
131	118, 126, 128, 130	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. Z dom ( F ` n ) ) /\ y e. RR /\ A. n e. Z y <_ ( ( F ` n ) ` x ) ) /\ n e. Z ) -> -u ( ( F ` n ) ` x ) <_ -u y )
132	131	ex 450	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. Z dom ( F ` n ) ) /\ y e. RR /\ A. n e. Z y <_ ( ( F ` n ) ` x ) ) -> ( n e. Z -> -u ( ( F ` n ) ` x ) <_ -u y ) )
133	117, 132	ralrimi 2957	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. Z dom ( F ` n ) ) /\ y e. RR /\ A. n e. Z y <_ ( ( F ` n ) ` x ) ) -> A. n e. Z -u ( ( F ` n ) ` x ) <_ -u y )
134		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = -u y -> ( -u ( ( F ` n ) ` x ) <_ z <-> -u ( ( F ` n ) ` x ) <_ -u y ) )
135	134	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = -u y -> ( A. n e. Z -u ( ( F ` n ) ` x ) <_ z <-> A. n e. Z -u ( ( F ` n ) ` x ) <_ -u y ) )
136	135	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -u y e. RR /\ A. n e. Z -u ( ( F ` n ) ` x ) <_ -u y ) -> E. z e. RR A. n e. Z -u ( ( F ` n ) ` x ) <_ z )
137	109, 133, 136	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. Z dom ( F ` n ) ) /\ y e. RR /\ A. n e. Z y <_ ( ( F ` n ) ` x ) ) -> E. z e. RR A. n e. Z -u ( ( F ` n ) ` x ) <_ z )
138	137	3exp 1264	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. Z dom ( F ` n ) ) -> ( y e. RR -> ( A. n e. Z y <_ ( ( F ` n ) ` x ) -> E. z e. RR A. n e. Z -u ( ( F ` n ) ` x ) <_ z ) ) )
139	106, 107, 138	rexlimd 3026	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. Z dom ( F ` n ) ) -> ( E. y e. RR A. n e. Z y <_ ( ( F ` n ) ` x ) -> E. z e. RR A. n e. Z -u ( ( F ` n ) ` x ) <_ z ) )
140	84	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. Z dom ( F ` n ) ) /\ z e. RR /\ A. n e. Z -u ( ( F ` n ) ` x ) <_ z ) -> -u z e. RR )
141		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ n z e. RR
142		nfra1 2941	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ n A. n e. Z -u ( ( F ` n ) ` x ) <_ z
143	114, 141, 142	nf3an 1831	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ n ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. Z dom ( F ` n ) ) /\ z e. RR /\ A. n e. Z -u ( ( F ` n ) ` x ) <_ z )
144	125	3ad2antl1 1223	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. Z dom ( F ` n ) ) /\ z e. RR /\ A. n e. Z -u ( ( F ` n ) ` x ) <_ z ) /\ n e. Z ) -> ( ( F ` n ) ` x ) e. RR )
145		simpl2 1065	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. Z dom ( F ` n ) ) /\ z e. RR /\ A. n e. Z -u ( ( F ` n ) ` x ) <_ z ) /\ n e. Z ) -> z e. RR )
146		rspa 2930	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A. n e. Z -u ( ( F ` n ) ` x ) <_ z /\ n e. Z ) -> -u ( ( F ` n ) ` x ) <_ z )
147	146	3ad2antl3 1225	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. Z dom ( F ` n ) ) /\ z e. RR /\ A. n e. Z -u ( ( F ` n ) ` x ) <_ z ) /\ n e. Z ) -> -u ( ( F ` n ) ` x ) <_ z )
148		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( F ` n ) ` x ) e. RR /\ z e. RR /\ -u ( ( F ` n ) ` x ) <_ z ) -> -u ( ( F ` n ) ` x ) <_ z )
149		renegcl 10344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( F ` n ) ` x ) e. RR -> -u ( ( F ` n ) ` x ) e. RR )
150	149	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( F ` n ) ` x ) e. RR /\ z e. RR ) -> -u ( ( F ` n ) ` x ) e. RR )
151		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( F ` n ) ` x ) e. RR /\ z e. RR ) -> z e. RR )
152		leneg 10531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( -u ( ( F ` n ) ` x ) e. RR /\ z e. RR ) -> ( -u ( ( F ` n ) ` x ) <_ z <-> -u z <_ -u -u ( ( F ` n ) ` x ) ) )
153	150, 151, 152	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F ` n ) ` x ) e. RR /\ z e. RR ) -> ( -u ( ( F ` n ) ` x ) <_ z <-> -u z <_ -u -u ( ( F ` n ) ` x ) ) )
154	153	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( F ` n ) ` x ) e. RR /\ z e. RR /\ -u ( ( F ` n ) ` x ) <_ z ) -> ( -u ( ( F ` n ) ` x ) <_ z <-> -u z <_ -u -u ( ( F ` n ) ` x ) ) )
155	148, 154	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( F ` n ) ` x ) e. RR /\ z e. RR /\ -u ( ( F ` n ) ` x ) <_ z ) -> -u z <_ -u -u ( ( F ` n ) ` x ) )
156		recn 10026	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( F ` n ) ` x ) e. RR -> ( ( F ` n ) ` x ) e. CC )
157	156	negnegd 10383	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( F ` n ) ` x ) e. RR -> -u -u ( ( F ` n ) ` x ) = ( ( F ` n ) ` x ) )
158	157	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( F ` n ) ` x ) e. RR /\ z e. RR /\ -u ( ( F ` n ) ` x ) <_ z ) -> -u -u ( ( F ` n ) ` x ) = ( ( F ` n ) ` x ) )
159	155, 158	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( F ` n ) ` x ) e. RR /\ z e. RR /\ -u ( ( F ` n ) ` x ) <_ z ) -> -u z <_ ( ( F ` n ) ` x ) )
160	144, 145, 147, 159	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. Z dom ( F ` n ) ) /\ z e. RR /\ A. n e. Z -u ( ( F ` n ) ` x ) <_ z ) /\ n e. Z ) -> -u z <_ ( ( F ` n ) ` x ) )
161	160	ex 450	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. Z dom ( F ` n ) ) /\ z e. RR /\ A. n e. Z -u ( ( F ` n ) ` x ) <_ z ) -> ( n e. Z -> -u z <_ ( ( F ` n ) ` x ) ) )
162	143, 161	ralrimi 2957	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. Z dom ( F ` n ) ) /\ z e. RR /\ A. n e. Z -u ( ( F ` n ) ` x ) <_ z ) -> A. n e. Z -u z <_ ( ( F ` n ) ` x ) )
163		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = -u z -> ( y <_ ( ( F ` n ) ` x ) <-> -u z <_ ( ( F ` n ) ` x ) ) )
164	163	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = -u z -> ( A. n e. Z y <_ ( ( F ` n ) ` x ) <-> A. n e. Z -u z <_ ( ( F ` n ) ` x ) ) )
165	164	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -u z e. RR /\ A. n e. Z -u z <_ ( ( F ` n ) ` x ) ) -> E. y e. RR A. n e. Z y <_ ( ( F ` n ) ` x ) )
166	140, 162, 165	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. Z dom ( F ` n ) ) /\ z e. RR /\ A. n e. Z -u ( ( F ` n ) ` x ) <_ z ) -> E. y e. RR A. n e. Z y <_ ( ( F ` n ) ` x ) )
167	166	3exp 1264	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. Z dom ( F ` n ) ) -> ( z e. RR -> ( A. n e. Z -u ( ( F ` n ) ` x ) <_ z -> E. y e. RR A. n e. Z y <_ ( ( F ` n ) ` x ) ) ) )
168	167	rexlimdv 3030	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. Z dom ( F ` n ) ) -> ( E. z e. RR A. n e. Z -u ( ( F ` n ) ` x ) <_ z -> E. y e. RR A. n e. Z y <_ ( ( F ` n ) ` x ) ) )
169	139, 168	impbid 202	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. |^|_ n e. Z dom ( F ` n ) ) -> ( E. y e. RR A. n e. Z y <_ ( ( F ` n ) ` x ) <-> E. z e. RR A. n e. Z -u ( ( F ` n ) ` x ) <_ z ) )
170	32, 169	rabbida 39274	. . . . . . 7 |- ( ph -> { x e. |^|_ n e. Z dom ( F ` n ) | E. y e. RR A. n e. Z y <_ ( ( F ` n ) ` x ) } = { x e. |^|_ n e. Z dom ( F ` n ) | E. z e. RR A. n e. Z -u ( ( F ` n ) ` x ) <_ z } )
171	105, 170	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ph -> D = { x e. |^|_ n e. Z dom ( F ` n ) | E. z e. RR A. n e. Z -u ( ( F ` n ) ` x ) <_ z } )
172	32, 171	alrimi 2082	. . . . 5 |- ( ph -> A. x D = { x e. |^|_ n e. Z dom ( F ` n ) | E. z e. RR A. n e. Z -u ( ( F ` n ) ` x ) <_ z } )
173		eqid 2622	. . . . . . 7 |- sup ( ran ( n e. Z |-> -u ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) = sup ( ran ( n e. Z |-> -u ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < )
174	173	rgenw 2924	. . . . . 6 |- A. x e. D sup ( ran ( n e. Z |-> -u ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) = sup ( ran ( n e. Z |-> -u ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < )
175	174	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. D sup ( ran ( n e. Z |-> -u ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) = sup ( ran ( n e. Z |-> -u ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) )
176		mpteq12f 4731	. . . . 5 |- ( ( A. x D = { x e. |^|_ n e. Z dom ( F ` n ) | E. z e. RR A. n e. Z -u ( ( F ` n ) ` x ) <_ z } /\ A. x e. D sup ( ran ( n e. Z |-> -u ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) = sup ( ran ( n e. Z |-> -u ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) ) -> ( x e. D |-> sup ( ran ( n e. Z |-> -u ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) ) = ( x e. { x e. |^|_ n e. Z dom ( F ` n ) | E. z e. RR A. n e. Z -u ( ( F ` n ) ` x ) <_ z } |-> sup ( ran ( n e. Z |-> -u ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) ) )
177	172, 175, 176	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. D |-> sup ( ran ( n e. Z |-> -u ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) ) = ( x e. { x e. |^|_ n e. Z dom ( F ` n ) | E. z e. RR A. n e. Z -u ( ( F ` n ) ` x ) <_ z } |-> sup ( ran ( n e. Z |-> -u ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) ) )
178		nfv 1843	. . . . 5 |- F/ z ph
179	124	renegcld 10457	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. Z /\ x e. dom ( F ` n ) ) -> -u ( ( F ` n ) ` x ) e. RR )
180		nfv 1843	. . . . . 6 |- F/ x ( ph /\ n e. Z )
181	34	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> dom ( F ` n ) e. _V )
182	124	3expa 1265	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ x e. dom ( F ` n ) ) -> ( ( F ` n ) ` x ) e. RR )
183	13	feqmptd 6249	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( F ` n ) = ( x e. dom ( F ` n ) |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) )
184	183	eqcomd 2628	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( x e. dom ( F ` n ) |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) = ( F ` n ) )
185	184, 11	eqeltrd 2701	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( x e. dom ( F ` n ) |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) e. (SMblFn ` S ) )
186	180, 9, 181, 182, 185	smfneg 41010	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( x e. dom ( F ` n ) |-> -u ( ( F ` n ) ` x ) ) e. (SMblFn ` S ) )
187		eqid 2622	. . . . 5 |- { x e. |^|_ n e. Z dom ( F ` n ) | E. z e. RR A. n e. Z -u ( ( F ` n ) ` x ) <_ z } = { x e. |^|_ n e. Z dom ( F ` n ) | E. z e. RR A. n e. Z -u ( ( F ` n ) ` x ) <_ z }
188		eqid 2622	. . . . 5 |- ( x e. { x e. |^|_ n e. Z dom ( F ` n ) | E. z e. RR A. n e. Z -u ( ( F ` n ) ` x ) <_ z } |-> sup ( ran ( n e. Z |-> -u ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) ) = ( x e. { x e. |^|_ n e. Z dom ( F ` n ) | E. z e. RR A. n e. Z -u ( ( F ` n ) ` x ) <_ z } |-> sup ( ran ( n e. Z |-> -u ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) )
189	110, 32, 178, 4, 5, 8, 179, 186, 187, 188	smfsupmpt 41021	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. { x e. |^|_ n e. Z dom ( F ` n ) | E. z e. RR A. n e. Z -u ( ( F ` n ) ` x ) <_ z } |-> sup ( ran ( n e. Z |-> -u ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) ) e. (SMblFn ` S ) )
190	177, 189	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( ph -> ( x e. D |-> sup ( ran ( n e. Z |-> -u ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) ) e. (SMblFn ` S ) )
191	32, 8, 38, 104, 190	smfneg 41010	. 2 |- ( ph -> ( x e. D |-> -u sup ( ran ( n e. Z |-> -u ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) ) e. (SMblFn ` S ) )
192	31, 191	eqeltrd 2701	1 |- ( ph -> G e. (SMblFn ` S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   (/)c0 3915   |^|_ciin 4521   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   -->wf 5884   ` cfv 5888   supcsup 8346  infcinf 8347   RRcr 9935   < clt 10074   <_ cle 10075   -ucneg 10267   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687  SAlgcsalg 40528  SMblFncsmblfn 40909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-ac2 9285  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-s1 13302  df-s2 13593  df-s3 13594  df-s4 13595  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-top 20699  df-bases 20750  df-salg 40529  df-salgen 40533  df-smblfn 40910

This theorem is referenced by:  smfinf  41024