Theorem iitopon 22682

Description: The unit interval is a topological space. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
iitopon	|- II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) )

Proof of Theorem iitopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnxmet 22576	. . 3 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
2		unitssre 12319	. . . 4 |- ( 0 [,] 1 ) C_ RR
3		ax-resscn 9993	. . . 4 |- RR C_ CC
4	2, 3	sstri 3612	. . 3 |- ( 0 [,] 1 ) C_ CC
5		xmetres2 22166	. . 3 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ ( 0 [,] 1 ) C_ CC ) -> ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) ) e. ( *Met ` ( 0 [,] 1 ) ) )
6	1, 4, 5	mp2an 708	. 2 |- ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) ) e. ( *Met ` ( 0 [,] 1 ) )
7		df-ii 22680	. . 3 |- II = ( MetOpen ` ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) ) )
8	7	mopntopon 22244	. 2 |- ( ( ( abs o. - ) |` ( ( 0 [,] 1 ) X. ( 0 [,] 1 ) ) ) e. ( *Met ` ( 0 [,] 1 ) ) -> II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) ) )
9	6, 8	ax-mp 5	1 |- II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) )

Syntax hints:   e. wcel 1990   C_ wss 3574   X. cxp 5112   |` cres 5116   o. ccom 5118   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   - cmin 10266   [,]cicc 12178   abscabs 13974   *Metcxmt 19731  TopOnctopon 20715   IIcii 22678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-icc 12182  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-ii 22680

This theorem is referenced by:  iitop  22683  iiuni  22684  icchmeo  22740  htpycom  22775  htpyid  22776  htpyco1  22777  htpyco2  22778  htpycc  22779  phtpycn  22782  phtpy01  22784  isphtpy2d  22786  phtpycom  22787  phtpyid  22788  phtpyco2  22789  phtpycc  22790  reparphti  22797  pcocn  22817  pcohtpylem  22819  pcoptcl  22821  pcopt  22822  pcopt2  22823  pcoass  22824  pcorevcl  22825  pcorevlem  22826  pi1xfrf  22853  pi1xfr  22855  pi1xfrcnvlem  22856  pi1xfrcnv  22857  pi1cof  22859  pi1coghm  22861  xrge0pluscn  29986  ptpconn  31215  indispconn  31216  connpconn  31217  txsconnlem  31222  txsconn  31223  cvxsconn  31225  cvmliftlem8  31274  cvmlift2lem2  31286  cvmlift2lem3  31287  cvmlift2lem6  31290  cvmlift2lem9  31293  cvmlift2lem11  31295  cvmlift2lem12  31296  cvmliftphtlem  31299  cvmlift3lem6  31306  cvmlift3lem9  31309