Theorem xralrple3 39590

Description: Show that A is less than B by showing that there is no positive bound on the difference. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
xralrple3.a	|- ( ph -> A e. RR* )
xralrple3.b	|- ( ph -> B e. RR )
xralrple3.c	|- ( ph -> C e. RR )
xralrple3.g	|- ( ph -> 0 <_ C )

Assertion

Ref	Expression
xralrple3	|- ( ph -> ( A <_ B <-> A. x e. RR+ A <_ ( B + ( C x. x ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, C   ph, x

Proof of Theorem xralrple3

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xralrple3.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. RR* )
2	1	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ x e. RR+ ) -> A e. RR* )
3		xralrple3.b	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. RR )
4	3	rexrd 10089	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. RR* )
5	4	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ x e. RR+ ) -> B e. RR* )
6	3	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ x e. RR+ ) -> B e. RR )
7		xralrple3.c	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> C e. RR )
8	7	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ x e. RR+ ) -> C e. RR )
9		rpre 11839	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR+ -> x e. RR )
10	9	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ x e. RR+ ) -> x e. RR )
11	8, 10	remulcld 10070	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ x e. RR+ ) -> ( C x. x ) e. RR )
12	6, 11	readdcld 10069	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ x e. RR+ ) -> ( B + ( C x. x ) ) e. RR )
13	12	rexrd 10089	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ x e. RR+ ) -> ( B + ( C x. x ) ) e. RR* )
14		simplr 792	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ x e. RR+ ) -> A <_ B )
15	7	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> C e. RR )
16	9	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x e. RR )
17		xralrple3.g	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 <_ C )
18	17	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> 0 <_ C )
19		rpge0 11845	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR+ -> 0 <_ x )
20	19	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> 0 <_ x )
21	15, 16, 18, 20	mulge0d 10604	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> 0 <_ ( C x. x ) )
22	3	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> B e. RR )
23	15, 16	remulcld 10070	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( C x. x ) e. RR )
24	22, 23	addge01d 10615	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 0 <_ ( C x. x ) <-> B <_ ( B + ( C x. x ) ) ) )
25	21, 24	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> B <_ ( B + ( C x. x ) ) )
26	25	adantlr 751	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ x e. RR+ ) -> B <_ ( B + ( C x. x ) ) )
27	2, 5, 13, 14, 26	xrletrd 11993	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A <_ B ) /\ x e. RR+ ) -> A <_ ( B + ( C x. x ) ) )
28	27	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ( ph /\ A <_ B ) -> A. x e. RR+ A <_ ( B + ( C x. x ) ) )
29	28	ex 450	. 2 |- ( ph -> ( A <_ B -> A. x e. RR+ A <_ ( B + ( C x. x ) ) ) )
30		1rp 11836	. . . . . . 7 |- 1 e. RR+
31		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 |- ( x = 1 -> ( C x. x ) = ( C x. 1 ) )
32	31	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( x = 1 -> ( B + ( C x. x ) ) = ( B + ( C x. 1 ) ) )
33	32	breq2d 4665	. . . . . . . 8 |- ( x = 1 -> ( A <_ ( B + ( C x. x ) ) <-> A <_ ( B + ( C x. 1 ) ) ) )
34	33	rspcva 3307	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. RR+ /\ A. x e. RR+ A <_ ( B + ( C x. x ) ) ) -> A <_ ( B + ( C x. 1 ) ) )
35	30, 34	mpan 706	. . . . . 6 |- ( A. x e. RR+ A <_ ( B + ( C x. x ) ) -> A <_ ( B + ( C x. 1 ) ) )
36	35	ad2antlr 763	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ A <_ ( B + ( C x. x ) ) ) /\ C = 0 ) -> A <_ ( B + ( C x. 1 ) ) )
37		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 |- ( C = 0 -> ( C x. 1 ) = ( 0 x. 1 ) )
38		0cn 10032	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. CC
39	38	mulid1i 10042	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 x. 1 ) = 0
40	39	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( C = 0 -> ( 0 x. 1 ) = 0 )
41	37, 40	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( C = 0 -> ( C x. 1 ) = 0 )
42	41	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( C = 0 -> ( B + ( C x. 1 ) ) = ( B + 0 ) )
43	42	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ C = 0 ) -> ( B + ( C x. 1 ) ) = ( B + 0 ) )
44	3	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> B e. CC )
45	44	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ C = 0 ) -> B e. CC )
46	45	addid1d 10236	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ C = 0 ) -> ( B + 0 ) = B )
47	43, 46	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ C = 0 ) -> ( B + ( C x. 1 ) ) = B )
48	47	adantlr 751	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ A <_ ( B + ( C x. x ) ) ) /\ C = 0 ) -> ( B + ( C x. 1 ) ) = B )
49	36, 48	breqtrd 4679	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ A <_ ( B + ( C x. x ) ) ) /\ C = 0 ) -> A <_ B )
50		neqne 2802	. . . . . . . 8 |- ( -. C = 0 -> C =/= 0 )
51	50	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. C = 0 ) -> C =/= 0 )
52	7	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ C =/= 0 ) -> C e. RR )
53		0red 10041	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ C =/= 0 ) -> 0 e. RR )
54	17	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ C =/= 0 ) -> 0 <_ C )
55		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ C =/= 0 ) -> C =/= 0 )
56	53, 52, 54, 55	leneltd 10191	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ C =/= 0 ) -> 0 < C )
57	52, 56	elrpd 11869	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ C =/= 0 ) -> C e. RR+ )
58	51, 57	syldan 487	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. C = 0 ) -> C e. RR+ )
59	58	adantlr 751	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ A <_ ( B + ( C x. x ) ) ) /\ -. C = 0 ) -> C e. RR+ )
60		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. RR+ /\ y e. RR+ ) -> y e. RR+ )
61		simpl 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. RR+ /\ y e. RR+ ) -> C e. RR+ )
62	60, 61	rpdivcld 11889	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. RR+ /\ y e. RR+ ) -> ( y / C ) e. RR+ )
63	62	adantll 750	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. x e. RR+ A <_ ( B + ( C x. x ) ) /\ C e. RR+ ) /\ y e. RR+ ) -> ( y / C ) e. RR+ )
64		simpll 790	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. x e. RR+ A <_ ( B + ( C x. x ) ) /\ C e. RR+ ) /\ y e. RR+ ) -> A. x e. RR+ A <_ ( B + ( C x. x ) ) )
65		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( y / C ) -> ( C x. x ) = ( C x. ( y / C ) ) )
66	65	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( y / C ) -> ( B + ( C x. x ) ) = ( B + ( C x. ( y / C ) ) ) )
67	66	breq2d 4665	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( y / C ) -> ( A <_ ( B + ( C x. x ) ) <-> A <_ ( B + ( C x. ( y / C ) ) ) ) )
68	67	rspcva 3307	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y / C ) e. RR+ /\ A. x e. RR+ A <_ ( B + ( C x. x ) ) ) -> A <_ ( B + ( C x. ( y / C ) ) ) )
69	63, 64, 68	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. x e. RR+ A <_ ( B + ( C x. x ) ) /\ C e. RR+ ) /\ y e. RR+ ) -> A <_ ( B + ( C x. ( y / C ) ) ) )
70	69	adantlll 754	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ A <_ ( B + ( C x. x ) ) ) /\ C e. RR+ ) /\ y e. RR+ ) -> A <_ ( B + ( C x. ( y / C ) ) ) )
71	60	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. RR+ /\ y e. RR+ ) -> y e. CC )
72	61	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. RR+ /\ y e. RR+ ) -> C e. CC )
73	61	rpne0d 11877	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C e. RR+ /\ y e. RR+ ) -> C =/= 0 )
74	71, 72, 73	divcan2d 10803	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. RR+ /\ y e. RR+ ) -> ( C x. ( y / C ) ) = y )
75	74	adantll 750	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ A <_ ( B + ( C x. x ) ) ) /\ C e. RR+ ) /\ y e. RR+ ) -> ( C x. ( y / C ) ) = y )
76	75	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ A <_ ( B + ( C x. x ) ) ) /\ C e. RR+ ) /\ y e. RR+ ) -> ( B + ( C x. ( y / C ) ) ) = ( B + y ) )
77	70, 76	breqtrd 4679	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ A <_ ( B + ( C x. x ) ) ) /\ C e. RR+ ) /\ y e. RR+ ) -> A <_ ( B + y ) )
78	77	ralrimiva 2966	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ A <_ ( B + ( C x. x ) ) ) /\ C e. RR+ ) -> A. y e. RR+ A <_ ( B + y ) )
79		xralrple 12036	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> A. y e. RR+ A <_ ( B + y ) ) )
80	1, 3, 79	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A <_ B <-> A. y e. RR+ A <_ ( B + y ) ) )
81	80	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ A <_ ( B + ( C x. x ) ) ) /\ C e. RR+ ) -> ( A <_ B <-> A. y e. RR+ A <_ ( B + y ) ) )
82	78, 81	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ A <_ ( B + ( C x. x ) ) ) /\ C e. RR+ ) -> A <_ B )
83	59, 82	syldan 487	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ A. x e. RR+ A <_ ( B + ( C x. x ) ) ) /\ -. C = 0 ) -> A <_ B )
84	49, 83	pm2.61dan 832	. . 3 |- ( ( ph /\ A. x e. RR+ A <_ ( B + ( C x. x ) ) ) -> A <_ B )
85	84	ex 450	. 2 |- ( ph -> ( A. x e. RR+ A <_ ( B + ( C x. x ) ) -> A <_ B ) )
86	29, 85	impbid 202	1 |- ( ph -> ( A <_ B <-> A. x e. RR+ A <_ ( B + ( C x. x ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   RR*cxr 10073   <_ cle 10075   / cdiv 10684   RR+crp 11832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833

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