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Theorem basellem3 24809

Description: Lemma for basel 24816. Using the binomial theorem and de Moivre's formula, we have the identity

, so taking imaginary parts yields

, where

. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Jul-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
basel.n
basel.p

**Assertion**
Ref	Expression
basellem3	$/\$

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

Proof of Theorem basellem3 Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tanrpcl 24256	. . . . . . . 8
2	1	adantl 482	. . . . . . 7 $/\$
3	2	rpreccld 11882	. . . . . 6 $/\$
4	3	rpcnd 11874	. . . . 5 $/\$
5		ax-icn 9995	. . . . . 6
6	5	a1i 11	. . . . 5 $/\$
7		basel.n	. . . . . . 7
8		2nn 11185	. . . . . . . . 9
9		simpl 473	. . . . . . . . 9 $/\$
10		nnmulcl 11043	. . . . . . . . 9 $/\$
11	8, 9, 10	sylancr 695	. . . . . . . 8 $/\$
12	11	peano2nnd 11037	. . . . . . 7 $/\$
13	7, 12	syl5eqel 2705	. . . . . 6 $/\$
14	13	nnnn0d 11351	. . . . 5 $/\$
15		binom 14562	. . . . 5 $/\$ $/\$
16	4, 6, 14, 15	syl3anc 1326	. . . 4 $/\$
17		elioore 12205	. . . . . . . . . . 11
18	17	adantl 482	. . . . . . . . . 10 $/\$
19	18	recoscld 14874	. . . . . . . . 9 $/\$
20	19	recnd 10068	. . . . . . . 8 $/\$
21	18	resincld 14873	. . . . . . . . . 10 $/\$
22	21	recnd 10068	. . . . . . . . 9 $/\$
23		mulcl 10020	. . . . . . . . 9 $/\$
24	5, 22, 23	sylancr 695	. . . . . . . 8 $/\$
25	20, 24	addcld 10059	. . . . . . 7 $/\$
26		sincosq1sgn 24250	. . . . . . . . . 10 $/\$
27	26	adantl 482	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
28	27	simpld 475	. . . . . . . 8 $/\$
29	28	gt0ne0d 10592	. . . . . . 7 $/\$
30	25, 22, 29, 14	expdivd 13022	. . . . . 6 $/\$
31	20, 24, 22, 29	divdird 10839	. . . . . . . 8 $/\$
32	18	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
33	27	simprd 479	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
34	33	gt0ne0d 10592	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
35		tanval 14858	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
36	32, 34, 35	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 $/\$
37	36	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 $/\$
38	22, 20, 29, 34	recdivd 10818	. . . . . . . . . 10 $/\$
39	37, 38	eqtr2d 2657	. . . . . . . . 9 $/\$
40	6, 22, 29	divcan4d 10807	. . . . . . . . 9 $/\$
41	39, 40	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 $/\$
42	31, 41	eqtrd 2656	. . . . . . 7 $/\$
43	42	oveq1d 6665	. . . . . 6 $/\$
44	13	nnzd 11481	. . . . . . . 8 $/\$
45		demoivre 14930	. . . . . . . 8 $/\$
46	32, 44, 45	syl2anc 693	. . . . . . 7 $/\$
47	46	oveq1d 6665	. . . . . 6 $/\$
48	30, 43, 47	3eqtr3d 2664	. . . . 5 $/\$
49	13	nnred 11035	. . . . . . . . 9 $/\$
50	49, 18	remulcld 10070	. . . . . . . 8 $/\$
51	50	recoscld 14874	. . . . . . 7 $/\$
52	51	recnd 10068	. . . . . 6 $/\$
53	50	resincld 14873	. . . . . . . 8 $/\$
54	53	recnd 10068	. . . . . . 7 $/\$
55		mulcl 10020	. . . . . . 7 $/\$
56	5, 54, 55	sylancr 695	. . . . . 6 $/\$
57	21, 28	elrpd 11869	. . . . . . . 8 $/\$
58	57, 44	rpexpcld 13032	. . . . . . 7 $/\$
59	58	rpcnd 11874	. . . . . 6 $/\$
60	58	rpne0d 11877	. . . . . 6 $/\$
61	52, 56, 59, 60	divdird 10839	. . . . 5 $/\$
62	6, 54, 59, 60	divassd 10836	. . . . . 6 $/\$
63	62	oveq2d 6666	. . . . 5 $/\$
64	48, 61, 63	3eqtrd 2660	. . . 4 $/\$
65	16, 64	eqtr3d 2658	. . 3 $/\$
66	65	fveq2d 6195	. 2 $/\$
67		oveq2 6658	. . . . . . 7
68		oveq2 6658	. . . . . . . . 9
69	68	oveq2d 6666	. . . . . . . 8
70		oveq2 6658	. . . . . . . 8
71	69, 70	oveq12d 6668	. . . . . . 7
72	67, 71	oveq12d 6668	. . . . . 6
73	72	fveq2d 6195	. . . . 5
74		fzfid 12772	. . . . 5 $/\$
75		2nn0 11309	. . . . . . . . . . . . 13
76		elfznn0 12433	. . . . . . . . . . . . . 14
77	76	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
78		nn0mulcl 11329	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
79	75, 77, 78	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
80	79	nn0red 11352	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
81	11	nnred 11035	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
82	81	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
83	49	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
84		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . . 13
85	84	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
86	77	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
87		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . 14
88	87	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
89		2re 11090	. . . . . . . . . . . . . . 15
90		2pos 11112	. . . . . . . . . . . . . . 15
91	89, 90	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
92	91	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
93		lemul2 10876	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
94	86, 88, 92, 93	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
95	85, 94	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
96	82	lep1d 10955	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
97	96, 7	syl6breqr 4695	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
98	80, 82, 83, 95, 97	letrd 10194	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
99		nn0uz 11722	. . . . . . . . . . . 12
100	79, 99	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
101	44	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
102		elfz5 12334	. . . . . . . . . . 11 $/\$
103	100, 101, 102	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
104	98, 103	mpbird 247	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
105		fznn0sub2 12446	. . . . . . . . 9
106	104, 105	syl 17	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
107	106	ex 450	. . . . . . 7 $/\$
108	13	nncnd 11036	. . . . . . . . . . 11 $/\$
109	108	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
110		2cn 11091	. . . . . . . . . . 11
111		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . 13
112	111	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . 12
113	112	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
114		mulcl 10020	. . . . . . . . . . 11 $/\$
115	110, 113, 114	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
116	112	ssriv 3607	. . . . . . . . . . . 12
117		simprr 796	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
118	116, 117	sseldi 3601	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
119		mulcl 10020	. . . . . . . . . . 11 $/\$
120	110, 118, 119	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
121	109, 115, 120	subcanad 10435	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
122		2cnne0 11242	. . . . . . . . . . 11 $/\$
123	122	a1i 11	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
124		mulcan 10664	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
125	113, 118, 123, 124	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
126	121, 125	bitrd 268	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
127	126	ex 450	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
128	107, 127	dom2lem 7995	. . . . . 6 $/\$
129		f1f1orn 6148	. . . . . 6
130	128, 129	syl 17	. . . . 5 $/\$
131		oveq2 6658	. . . . . . . 8
132	131	oveq2d 6666	. . . . . . 7
133		eqid 2622	. . . . . . 7
134		ovex 6678	. . . . . . 7
135	132, 133, 134	fvmpt 6282	. . . . . 6
136	135	adantl 482	. . . . 5 $/\$ $/\$
137		f1f 6101	. . . . . . . . . . 11
138	128, 137	syl 17	. . . . . . . . . 10 $/\$
139		frn 6053	. . . . . . . . . 10
140	138, 139	syl 17	. . . . . . . . 9 $/\$
141	140	sselda 3603	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
142		bccl2 13110	. . . . . . . . . . 11
143	142	adantl 482	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
144	143	nncnd 11036	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
145	2	rprecred 11883	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
146		fznn0sub 12373	. . . . . . . . . . . 12
147		reexpcl 12877	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
148	145, 146, 147	syl2an 494	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
149	148	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
150		elfznn0 12433	. . . . . . . . . . . 12
151	150	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
152		expcl 12878	. . . . . . . . . . 11 $/\$
153	5, 151, 152	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
154	149, 153	mulcld 10060	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
155	144, 154	mulcld 10060	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
156	141, 155	syldan 487	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
157	156	imcld 13935	. . . . . 6 $/\$ $/\$
158	157	recnd 10068	. . . . 5 $/\$ $/\$
159	73, 74, 130, 136, 158	fsumf1o 14454	. . . 4 $/\$
160		eldifi 3732	. . . . . . . 8 $\$
161	143	nnred 11035	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
162	160, 161	sylan2 491	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\$
163	160, 148	sylan2 491	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $\$
164		eldif 3584	. . . . . . . . 9 $\$ $/\$
165		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . . 15
166	165	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
167		zeo 11463	. . . . . . . . . . . . . 14 $\/$
168	166, 167	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $\/$
169		i2 12965	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
170	169	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
171		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
172	150	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
173		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
174		nn0ge0 11318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
175		divge0 10892	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
176	89, 90, 175	mpanr12 721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
177	173, 174, 176	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
178	172, 177	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
179		elnn0z 11390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
180	171, 178, 179	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
181		expmul 12905	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
182	5, 75, 181	mp3an12 1414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
183	180, 182	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
184	172	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
185		2ne0 11113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
186		divcan2 10693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
187	110, 185, 186	mp3an23 1416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
188	184, 187	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
189	188	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
190	183, 189	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
191	170, 190	syl5eqr 2670	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
192		neg1rr 11125	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
193		reexpcl 12877	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
194	192, 180, 193	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
195	191, 194	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
196	195	expr 643	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
197	146	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
198		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
199		nn0ge0 11318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
200		divge0 10892	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
201	89, 90, 200	mpanr12 721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
202	198, 199, 201	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
203	197, 202	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
204	197	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
205	49	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
206		peano2re 10209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
207	205, 206	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
208	150	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
209	208, 174	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
210	208	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
211	205, 210	subge02d 10619	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
212	209, 211	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
213	205	ltp1d 10954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
214	204, 205, 207, 212, 213	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
215		2t1e2 11176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
216		df-2 11079	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
217	215, 216	eqtr2i 2645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
218	217	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
219	7	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
220	11	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$
221	220	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
222		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
223	221, 222, 222	addassd 10062	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
224	219, 223	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
225		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
226		nncn 11028	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
227	226	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
228	225, 227, 222	adddid 10064	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
229	218, 224, 228	3eqtr4a 2682	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
230	214, 229	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
231		nnz 11399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
232	231	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
233	232	peano2zd 11485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
234	233	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
235	91	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
236		ltdivmul 10898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
237	204, 234, 235, 236	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
238	230, 237	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
239	108	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$
240	208	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$
241	239, 240, 222	pnpcan2d 10430	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
242	229	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
243	241, 242	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
244	243	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
245	233	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
246		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
247	110, 245, 246	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
248		peano2cn 10208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
249	240, 248	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
250	122	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
251		divsubdir 10721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
252	247, 249, 250, 251	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
253	185	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
254	245, 225, 253	divcan3d 10806	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
255	254	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
256	244, 252, 255	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
257		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
258	233, 257	zsubcld 11487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
259	256, 258	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
260		zleltp1 11428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
261	259, 232, 260	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
262	238, 261	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
263		0zd 11389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
264		elfz 12332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
265	259, 263, 232, 264	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
266	203, 262, 265	mpbir2and 957	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
267		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
268	267	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
269		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
270	268, 133, 269	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
271	266, 270	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
272	197	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
273	272, 225, 253	divcan2d 10803	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
274	273	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
275	239, 240	nncand 10397	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
276	271, 274, 275	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
277		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
278	138, 277	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
279	278	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
280		fnfvelrn 6356	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
281	279, 266, 280	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
282	276, 281	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
283	282	expr 643	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
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285	168, 284	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $\/$
286	285	orcomd 403	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $\/$
287	286	ord 392	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
288	287	impr 649	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
289	164, 288	sylan2b 492	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $\$
290	163, 289	remulcld 10070	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\$
291	162, 290	remulcld 10070	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $\$
292	291	reim0d 13965	. . . . 5 $/\$ $/\$ $\$
293		fzfid 12772	. . . . 5 $/\$
294	140, 158, 292, 293	fsumss 14456	. . . 4 $/\$
295	14	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
296		elfznn0 12433	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
297	296	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
298		nn0mulcl 11329	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
299	75, 297, 298	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
300	299	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
301		bccl 13109	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
302	295, 300, 301	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
303	302	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
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305	304	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
306		reexpcl 12877	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
307	192, 305, 306	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
308	303, 307	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
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312		rpexpcl 12879	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
313	2, 311, 312	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
314	313	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
315		reexpcl 12877	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
316	314, 296, 315	syl2an 494	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
317	308, 316	remulcld 10070	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
318	317	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
319		mulcl 10020	. . . . . . . . . 10 $/\$
320	5, 318, 319	sylancr 695	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
321	320	addid2d 10237	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
322	302	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
323	307	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
324	316	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
325	322, 323, 324	mulassd 10063	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
326	325	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
327	5	a1i 11	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
328	323, 324	mulcld 10060	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
329	327, 322, 328	mul12d 10245	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
330	326, 329	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
331		bccmpl 13096	. . . . . . . . . 10 $/\$
332	295, 300, 331	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
333	108	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
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335	333, 334	nncand 10397	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
336	335	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
337	2	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
338	337	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
339		expneg 12868	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
340	338, 299, 339	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
341	297	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
342		mulneg1 10466	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
343	110, 341, 342	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
344	343	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
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346	338, 345, 300	exprecd 13016	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
347	340, 344, 346	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
348	311	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
349	297	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
350		expmulz 12906	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
351	338, 345, 348, 349, 350	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
352	336, 347, 351	3eqtr2d 2662	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
353	7	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . 15
354	11	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
355	354	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
356		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
357	355, 356, 334	addsubd 10413	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
358		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
359	226	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
360	358, 359, 341	subdid 10486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
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367		expp1 12867	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
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370	327, 305, 369	expmuld 13011	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
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375		mulcom 10022	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
376	323, 5, 375	sylancl 694	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
377	374, 376	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
378	352, 377	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
379		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
380	5, 323, 379	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
381	380, 324	mulcomd 10061	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
382	327, 323, 324	mulassd 10063	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
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403	51, 58	rerpdivcld 11903	. . 3 $/\$
404	53, 58	rerpdivcld 11903	. . 3 $/\$
405	403, 404	crimd 13972	. 2 $/\$
406	66, 402, 405	3eqtr3d 2664	1 $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $\/$ wo 383 $/\$ wa 384

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794 $\$ cdif 3571

wss 3574 class class class wbr 4653

cmpt 4729

crn 5115

wfn 5883

wf 5884

wf1 5885

wf1o 5887

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

ci 9938

caddc 9939

cmul 9941

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cneg 10267

cdiv 10684

cn 11020

c2 11070

cn0 11292

cz 11377

cuz 11687

crp 11832

cioo 12175

cfz 12326

cexp 12860

cbc 13089

cim 13838

csu 14416

csin 14794

ccos 14795

ctan 14796

cpi 14797

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014 ax-addf 10015 ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-iin 4523 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-supp 7296 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-ixp 7909 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-fsupp 8276 df-fi 8317 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-5 11082 df-6 11083 df-7 11084 df-8 11085 df-9 11086 df-n0 11293 df-z 11378 df-dec 11494 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-xneg 11946 df-xadd 11947 df-xmul 11948 df-ioo 12179 df-ioc 12180 df-ico 12181 df-icc 12182 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-seq 12802 df-exp 12861 df-fac 13061 df-bc 13090 df-hash 13118 df-shft 13807 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-limsup 14202 df-clim 14219 df-rlim 14220 df-sum 14417 df-ef 14798 df-sin 14800 df-cos 14801 df-tan 14802 df-pi 14803 df-struct 15859 df-ndx 15860 df-slot 15861 df-base 15863 df-sets 15864 df-ress 15865 df-plusg 15954 df-mulr 15955 df-starv 15956 df-sca 15957 df-vsca 15958 df-ip 15959 df-tset 15960 df-ple 15961 df-ds 15964 df-unif 15965 df-hom 15966 df-cco 15967 df-rest 16083 df-topn 16084 df-0g 16102 df-gsum 16103 df-topgen 16104 df-pt 16105 df-prds 16108 df-xrs 16162 df-qtop 16167 df-imas 16168 df-xps 16170 df-mre 16246 df-mrc 16247 df-acs 16249 df-mgm 17242 df-sgrp 17284 df-mnd 17295 df-submnd 17336 df-mulg 17541 df-cntz 17750 df-cmn 18195 df-psmet 19738 df-xmet 19739 df-met 19740 df-bl 19741 df-mopn 19742 df-fbas 19743 df-fg 19744 df-cnfld 19747 df-top 20699 df-topon 20716 df-topsp 20737 df-bases 20750 df-cld 20823 df-ntr 20824 df-cls 20825 df-nei 20902 df-lp 20940 df-perf 20941 df-cn 21031 df-cnp 21032 df-haus 21119 df-tx 21365 df-hmeo 21558 df-fil 21650 df-fm 21742 df-flim 21743 df-flf 21744 df-xms 22125 df-ms 22126 df-tms 22127 df-cncf 22681 df-limc 23630 df-dv 23631

This theorem is referenced by: basellem4 24810

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