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Theorem atantayl2 24665

Description: The Taylor series for arctan

. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Apr-2015.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
atantayl2.1

**Assertion**
Ref	Expression
atantayl2	$/\$ arctan

Distinct variable group:

Allowed substitution hint:

(

)

**Proof of Theorem atantayl2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		atantayl2.1	. . . 4
2		ax-icn 9995	. . . . . . . . . . . . . . . 16
3	2	negcli 10349	. . . . . . . . . . . . . . 15
4	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
5		nnnn0 11299	. . . . . . . . . . . . . . 15
6	5	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
7	4, 6	expcld 13008	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
8		sqneg 12923	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
9	2, 8	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16
10	9	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . 15
11		ine0 10465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
12	2, 11	negne0i 10356	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
14		2z 11409	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
16	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
17		2ne0 11113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
19		nnz 11399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
20	19	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
21		dvdsval2 14986	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
22	16, 18, 20, 21	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
23	22	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
24		expmulz 12906	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
25	4, 13, 15, 23, 24	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
26	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
27	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
28		expmulz 12906	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
29	26, 27, 15, 23, 28	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
30	10, 25, 29	3eqtr4a 2682	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
31		nncn 11028	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
32	31	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
33		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
34	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
35	32, 33, 34	divcan2d 10803	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
36	35	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
37	35	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
38	30, 36, 37	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
39	7, 38	subeq0bd 10456	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
40	39	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
41		it0e0 11254	. . . . . . . . . . 11
42	40, 41	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
43	42	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
44		2cn 11091	. . . . . . . . . 10
45	44, 17	div0i 10759	. . . . . . . . 9
46	43, 45	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
47	46	oveq1d 6665	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
48		simplll 798	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
49	48, 6	expcld 13008	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
50		nnne0 11053	. . . . . . . . . 10
51	50	ad2antlr 763	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
52	49, 32, 51	divcld 10801	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
53	52	mul02d 10234	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
54	47, 53	eqtr2d 2657	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
55		2cnd 11093	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
56		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . 11
57	56	negcli 10349	. . . . . . . . . 10
58	57	a1i 11	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
59		neg1ne0 11126	. . . . . . . . . 10
60	59	a1i 11	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
61	31	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
62		peano2cn 10208	. . . . . . . . . . . . . 14
63	61, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
64	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
65	63, 55, 55, 64	divsubdird 10840	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
66		2div2e1 11150	. . . . . . . . . . . . 13
67	66	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . 12
68	65, 67	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
69		df-2 11079	. . . . . . . . . . . . . 14
70	69	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . 13
71	56	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
72	61, 71, 71	pnpcan2d 10430	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
73	70, 72	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
74	73	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
75	68, 74	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
76	22	notbid 308	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
77		zeo 11463	. . . . . . . . . . . . . . 15 $\/$
78	20, 77	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $\/$
79	78	ord 392	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
80	76, 79	sylbid 230	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
81	80	imp 445	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
82		peano2zm 11420	. . . . . . . . . . 11
83	81, 82	syl 17	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
84	75, 83	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
85	58, 60, 84	expclzd 13013	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
86	85	2timesd 11275	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
87		subcl 10280	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
88	61, 56, 87	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
89	88, 55, 64	divcan2d 10803	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
90	89	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
91	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
92	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
93	19	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
94	91, 92, 93	expm1d 13018	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
95	90, 94	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
96	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
97		expmulz 12906	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
98	91, 92, 96, 84, 97	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
99	5	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
100		expcl 12878	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
101	3, 99, 100	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
102	101, 91, 92	divrec2d 10805	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
103	95, 98, 102	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
104		i2 12965	. . . . . . . . . . . . 13
105	9, 104	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . 12
106	105	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . 11
107		irec 12964	. . . . . . . . . . . . . 14
108	107	negeqi 10274	. . . . . . . . . . . . 13
109		divneg2 10749	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
110	56, 2, 11, 109	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . 13
111	2	negnegi 10351	. . . . . . . . . . . . 13
112	108, 110, 111	3eqtr3i 2652	. . . . . . . . . . . 12
113	112	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . 11
114	103, 106, 113	3eqtr3g 2679	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
115	89	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
116	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
117	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
118	116, 117, 93	expm1d 13018	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
119	115, 118	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
120		expmulz 12906	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
121	116, 117, 96, 84, 120	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
122		expcl 12878	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
123	2, 99, 122	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
124	123, 116, 117	divrec2d 10805	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
125	119, 121, 124	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
126	104	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . 12
127	107	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . 12
128	125, 126, 127	3eqtr3g 2679	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
129		mulneg1 10466	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
130	2, 123, 129	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
131	128, 130	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
132	114, 131	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
133		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
134	2, 101, 133	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
135		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
136	2, 123, 135	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
137	134, 136	negsubd 10398	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
138	116, 101, 123	subdid 10486	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
139	137, 138	eqtr4d 2659	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
140	86, 132, 139	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
141	55, 85, 64, 140	mvllmuld 10857	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$
142	141	oveq1d 6665	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$
143	54, 142	ifeqda 4121	. . . . 5 $/\$ $/\$
144	143	mpteq2dva 4744	. . . 4 $/\$
145	1, 144	syl5eq 2668	. . 3 $/\$
146	145	seqeq3d 12809	. 2 $/\$
147		eqid 2622	. . 3
148	147	atantayl 24664	. 2 $/\$ arctan
149	146, 148	eqbrtrd 4675	1 $/\$ arctan

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $\/$ wo 383 $/\$ wa 384

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

cif 4086 class class class wbr 4653

cmpt 4729

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc 9934

cc0 9936

c1 9937

ci 9938

caddc 9939

cmul 9941

clt 10074

cmin 10266

cneg 10267

cdiv 10684

cn 11020

c2 11070

cn0 11292

cz 11377

cseq 12801

cexp 12860

cabs 13974

cli 14215

cdvds 14983 arctancatan 24591

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014 ax-addf 10015 ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-iin 4523 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-supp 7296 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-ixp 7909 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-fsupp 8276 df-fi 8317 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-5 11082 df-6 11083 df-7 11084 df-8 11085 df-9 11086 df-n0 11293 df-z 11378 df-dec 11494 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-xneg 11946 df-xadd 11947 df-xmul 11948 df-ioo 12179 df-ioc 12180 df-ico 12181 df-icc 12182 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-mod 12669 df-seq 12802 df-exp 12861 df-fac 13061 df-bc 13090 df-hash 13118 df-shft 13807 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-limsup 14202 df-clim 14219 df-rlim 14220 df-sum 14417 df-ef 14798 df-sin 14800 df-cos 14801 df-tan 14802 df-pi 14803 df-dvds 14984 df-struct 15859 df-ndx 15860 df-slot 15861 df-base 15863 df-sets 15864 df-ress 15865 df-plusg 15954 df-mulr 15955 df-starv 15956 df-sca 15957 df-vsca 15958 df-ip 15959 df-tset 15960 df-ple 15961 df-ds 15964 df-unif 15965 df-hom 15966 df-cco 15967 df-rest 16083 df-topn 16084 df-0g 16102 df-gsum 16103 df-topgen 16104 df-pt 16105 df-prds 16108 df-xrs 16162 df-qtop 16167 df-imas 16168 df-xps 16170 df-mre 16246 df-mrc 16247 df-acs 16249 df-mgm 17242 df-sgrp 17284 df-mnd 17295 df-submnd 17336 df-mulg 17541 df-cntz 17750 df-cmn 18195 df-psmet 19738 df-xmet 19739 df-met 19740 df-bl 19741 df-mopn 19742 df-fbas 19743 df-fg 19744 df-cnfld 19747 df-top 20699 df-topon 20716 df-topsp 20737 df-bases 20750 df-cld 20823 df-ntr 20824 df-cls 20825 df-nei 20902 df-lp 20940 df-perf 20941 df-cn 21031 df-cnp 21032 df-haus 21119 df-cmp 21190 df-tx 21365 df-hmeo 21558 df-fil 21650 df-fm 21742 df-flim 21743 df-flf 21744 df-xms 22125 df-ms 22126 df-tms 22127 df-cncf 22681 df-limc 23630 df-dv 23631 df-ulm 24131 df-log 24303 df-atan 24594

This theorem is referenced by: atantayl3 24666 leibpi 24669

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