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Theorem lgseisenlem1 25100

Description: Lemma for lgseisen 25104. If

and

, then for any even

is also an even integer

. To simplify these statements, we divide all the even numbers by

, so that it becomes the statement that

is an integer between

and

. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
lgseisen.1	$\$
lgseisen.2	$\$
lgseisen.3
lgseisen.4
lgseisen.5

**Assertion**
Ref	Expression
lgseisenlem1

Distinct variable groups:

Allowed substitution hints:

(

)

(

)

**Proof of Theorem lgseisenlem1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1cn 11124	. . . . . . . . . . . . . . 15
2	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
3		neg1ne0 11126	. . . . . . . . . . . . . . 15
4	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
5		2z 11409	. . . . . . . . . . . . . . 15
6	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
7		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
8		expmulz 12906	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
9	2, 4, 6, 7, 8	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
10		lgseisen.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
11		lgseisen.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $\$
12	11	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $\$
13	12	eldifad 3586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
14		prmz 15389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
16		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
17	16	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
18		zmulcl 11426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
19	5, 17, 18	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
20	15, 19	zmulcld 11488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
21		lgseisen.1	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $\$
22	21	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $\$
23	22	eldifad 3586	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
24		prmnn 15388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
26		zmodfz 12692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
27	20, 25, 26	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
28	10, 27	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
29		elfznn0 12433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
31	30	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
32	31	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
33	32	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
34		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
35		2ne0 11113	. . . . . . . . . . . . . . . 16
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
37	33, 34, 36	divcan2d 10803	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
38	37	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
39		neg1sqe1 12959	. . . . . . . . . . . . . . 15
40	39	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . 14
41		1exp 12889	. . . . . . . . . . . . . . 15
42	41	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
43	40, 42	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
44	9, 38, 43	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
45	44	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
46	33	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
47	45, 46	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
48	47	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
49	30	nn0red 11352	. . . . . . . . . . 11 $/\$
50	25	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . 11 $/\$
51	30	nn0ge0d 11354	. . . . . . . . . . 11 $/\$
52	20	zred 11482	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
53		modlt 12679	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
54	52, 50, 53	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
55	10, 54	syl5eqbr 4688	. . . . . . . . . . 11 $/\$
56		modid 12695	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
57	49, 50, 51, 55, 56	syl22anc 1327	. . . . . . . . . 10 $/\$
58	57	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
59	48, 58	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
60	59	oveq1d 6665	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
61	60, 7	eqeltrd 2701	. . . . . 6 $/\$ $/\$
62	25	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
63	62	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
64	63	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
65	49	renegcld 10457	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
66	65	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
67	62, 66	addcomd 10238	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
68	62, 32	negsubd 10398	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
69	64, 67, 68	3eqtr2d 2662	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
70	69	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
71		1zzd 11408	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
72		modcyc 12705	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
73	65, 50, 71, 72	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
74	25	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
75	74, 49	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
76	49, 74, 55	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
77	74, 49	subge0d 10617	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
78	76, 77	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
79		2nn 11185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
80		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
81	80	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
82		nnmulcl 11043	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
83	79, 81, 82	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
84		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
85	84	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
86	81	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
87		prmuz2 15408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
88		uz2m1nn 11763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
89	23, 87, 88	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$
90	89	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
91		2re 11090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
92	91	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
93		2pos 11112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
94	93	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
95		lemuldiv2 10904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
96	86, 90, 92, 94, 95	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
97	85, 96	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
98		prmz 15389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
99	23, 98	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
100		peano2zm 11420	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
101		fznn 12408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
102	99, 100, 101	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$
103	83, 97, 102	mpbir2and 957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
104		fzm1ndvds 15044	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
105	25, 103, 104	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
106		lgseisen.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
107	106	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
108		prmrp 15424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$
109	23, 13, 108	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$
110	107, 109	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
111		coprmdvds 15366	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
112	99, 15, 19, 111	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
113	110, 112	mpan2d 710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
114	105, 113	mtod 189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
115		dvdsval3 14987	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
116	25, 20, 115	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
117	114, 116	mtbid 314	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
118	10	eqeq1i 2627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
119	117, 118	sylnibr 319	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
120	89	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
121		nn0uz 11722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
122	120, 121	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
123		elfzp12 12419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $\/$
124	122, 123	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $\/$
125	28, 124	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $\/$
126	125	ord 392	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
127	119, 126	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
128		1e0p1 11552	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
129	128	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
130	127, 129	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
131		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . . . 16
132	130, 131	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
133	132	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
134	74, 133	ltsubrpd 11904	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
135		modid 12695	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
136	75, 50, 78, 134, 135	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
137	70, 73, 136	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . 11 $/\$
138	137	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
139		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . . . 16
140	139	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
141	132	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
142	5	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
143	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
144	31	peano2zd 11485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
145		dvdsval2 14986	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
146	142, 143, 144, 145	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
147	146	biimpar 502	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
148	31	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
149	79	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
150		1lt2 11194	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
151	150	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
152		ndvdsp1 15135	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
153	148, 149, 151, 152	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
154	147, 153	mt2d 131	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
155		oexpneg 15069	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
156	140, 141, 154, 155	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
157		1exp 12889	. . . . . . . . . . . . . . . 16
158	148, 157	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
159	158	negeqd 10275	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
160	156, 159	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
161	160	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
162	32	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
163	162	mulm1d 10482	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
164	161, 163	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
165	164	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
166	62	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
167	166, 162, 140	pnpcan2d 10430	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
168	138, 165, 167	3eqtr4d 2666	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
169	168	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
170		peano2cn 10208	. . . . . . . . . 10
171	166, 170	syl 17	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
172		peano2cn 10208	. . . . . . . . . 10
173	162, 172	syl 17	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
174		2cnd 11093	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
175	35	a1i 11	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
176	171, 173, 174, 175	divsubdird 10840	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
177	169, 176	eqtrd 2656	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
178	166, 140, 174	subadd23d 10414	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
179		2m1e1 11135	. . . . . . . . . . . . 13
180	179	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . 12
181	178, 180	syl6req 2673	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
182	181	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
183	89	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
184	183	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
185	184, 174, 174, 175	divdird 10839	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
186		2div2e1 11150	. . . . . . . . . . . 12
187	186	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . 11
188	185, 187	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
189	182, 188	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
190		oddprm 15515	. . . . . . . . . . . . 13 $\$
191	22, 190	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
192	191	nnzd 11481	. . . . . . . . . . 11 $/\$
193	192	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
194	193	peano2zd 11485	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
195	189, 194	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
196		simpr 477	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
197	195, 196	zsubcld 11487	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
198	177, 197	eqeltrd 2701	. . . . . 6 $/\$ $/\$
199		zeo 11463	. . . . . . 7 $\/$
200	31, 199	syl 17	. . . . . 6 $/\$ $\/$
201	61, 198, 200	mpjaodan 827	. . . . 5 $/\$
202		m1expcl 12883	. . . . . . . . . 10
203	31, 202	syl 17	. . . . . . . . 9 $/\$
204	203, 31	zmulcld 11488	. . . . . . . 8 $/\$
205	204, 25	zmodcld 12691	. . . . . . 7 $/\$
206	205	nn0red 11352	. . . . . 6 $/\$
207		fzm1ndvds 15044	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
208	25, 130, 207	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 $/\$
209		ax-1ne0 10005	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
210		divneg2 10749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
211	139, 139, 209, 210	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
212		1div1e1 10717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
213	212	negeqi 10274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
214	211, 213	eqtr3i 2646	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
215	214	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
216	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
217	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
218	216, 217, 31	exprecd 13016	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
219	215, 218	syl5eqr 2670	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
220	219	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
221	203	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
222	216, 217, 31	expne0d 13014	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
223	221, 222	recidd 10796	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
224	220, 223	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
225	224	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
226	221, 221, 32	mulassd 10063	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
227	32	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
228	225, 226, 227	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
229	228	breq2d 4665	. . . . . . . . . . 11 $/\$
230	208, 229	mtbird 315	. . . . . . . . . 10 $/\$
231		dvdsmultr2 15021	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
232	99, 203, 204, 231	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 $/\$
233	230, 232	mtod 189	. . . . . . . . 9 $/\$
234		dvdsval3 14987	. . . . . . . . . 10 $/\$
235	25, 204, 234	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 $/\$
236	233, 235	mtbid 314	. . . . . . . 8 $/\$
237		elnn0 11294	. . . . . . . . . 10 $\/$
238	205, 237	sylib 208	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$
239	238	ord 392	. . . . . . . 8 $/\$
240	236, 239	mt3d 140	. . . . . . 7 $/\$
241	240	nngt0d 11064	. . . . . 6 $/\$
242	206, 92, 241, 94	divgt0d 10959	. . . . 5 $/\$
243		elnnz 11387	. . . . 5 $/\$
244	201, 242, 243	sylanbrc 698	. . . 4 $/\$
245	244	nnge1d 11063	. . 3 $/\$
246		zmodfz 12692	. . . . . 6 $/\$
247	204, 25, 246	syl2anc 693	. . . . 5 $/\$
248		elfzle2 12345	. . . . 5
249	247, 248	syl 17	. . . 4 $/\$
250		lediv1 10888	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
251	206, 90, 92, 94, 250	syl112anc 1330	. . . 4 $/\$
252	249, 251	mpbid 222	. . 3 $/\$
253		elfz 12332	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
254	201, 71, 192, 253	syl3anc 1326	. . 3 $/\$ $/\$
255	245, 252, 254	mpbir2and 957	. 2 $/\$
256		lgseisen.5	. 2
257	255, 256	fmptd 6385	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $\/$ wo 383 $/\$ wa 384

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794 $\$ cdif 3571

csn 4177 class class class wbr 4653

cmpt 4729

wf 5884

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cneg 10267

cdiv 10684

cn 11020

c2 11070

cn0 11292

cz 11377

cuz 11687

crp 11832

cfz 12326

cmo 12668

cexp 12860

cdvds 14983

cgcd 15216

cprime 15385

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-sup 8348 df-inf 8349 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-fz 12327 df-fl 12593 df-mod 12669 df-seq 12802 df-exp 12861 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-dvds 14984 df-gcd 15217 df-prm 15386

This theorem is referenced by: lgseisenlem2 25101 lgseisenlem3 25102

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