Theorem dvcof 23711

Description: The chain rule for everywhere-differentiable functions. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvcof.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvcof.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ {ℝ, ℂ})
dvcof.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvcof.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑌⟶𝑋)
dvcof.df	⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
dvcof.dg	⊢ (𝜑 → dom (𝑇 D 𝐺) = 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
dvcof	⊢ (𝜑 → (𝑇 D (𝐹 ∘ 𝐺)) = (((𝑆 D 𝐹) ∘ 𝐺) ∘𝑓 · (𝑇 D 𝐺)))

Proof of Theorem dvcof

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvcof.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
2	1	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
3		dvcof.df	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
4		dvbsss 23666	. . . . . 6 ⊢ dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑆
5	3, 4	syl6eqssr 3656	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
6	5	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 𝑋 ⊆ 𝑆)
7		dvcof.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑌⟶𝑋)
8	7	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 𝐺:𝑌⟶𝑋)
9		dvcof.dg	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝑇 D 𝐺) = 𝑌)
10		dvbsss 23666	. . . . . 6 ⊢ dom (𝑇 D 𝐺) ⊆ 𝑇
11	9, 10	syl6eqssr 3656	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 𝑇)
12	11	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 𝑌 ⊆ 𝑇)
13		dvcof.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
14	13	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
15		dvcof.t	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ {ℝ, ℂ})
16	15	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 𝑇 ∈ {ℝ, ℂ})
17	7	ffvelrnda 6359	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (𝐺‘𝑥) ∈ 𝑋)
18	3	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
19	17, 18	eleqtrrd 2704	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (𝐺‘𝑥) ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
20	9	eleq2d 2687	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ dom (𝑇 D 𝐺) ↔ 𝑥 ∈ 𝑌))
21	20	biimpar 502	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 𝑥 ∈ dom (𝑇 D 𝐺))
22	2, 6, 8, 12, 14, 16, 19, 21	dvco 23710	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ((𝑇 D (𝐹 ∘ 𝐺))‘𝑥) = (((𝑆 D 𝐹)‘(𝐺‘𝑥)) · ((𝑇 D 𝐺)‘𝑥)))
23	22	mpteq2dva 4744	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑌 ↦ ((𝑇 D (𝐹 ∘ 𝐺))‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝑌 ↦ (((𝑆 D 𝐹)‘(𝐺‘𝑥)) · ((𝑇 D 𝐺)‘𝑥))))
24		dvfg 23670	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑇 D (𝐹 ∘ 𝐺)):dom (𝑇 D (𝐹 ∘ 𝐺))⟶ℂ)
25	15, 24	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑇 D (𝐹 ∘ 𝐺)):dom (𝑇 D (𝐹 ∘ 𝐺))⟶ℂ)
26		recnprss 23668	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑇 ⊆ ℂ)
27	15, 26	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ ℂ)
28		fco 6058	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝐺:𝑌⟶𝑋) → (𝐹 ∘ 𝐺):𝑌⟶ℂ)
29	1, 7, 28	syl2anc 693	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺):𝑌⟶ℂ)
30	27, 29, 11	dvbss 23665	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝑇 D (𝐹 ∘ 𝐺)) ⊆ 𝑌)
31		recnprss 23668	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
32	14, 31	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 𝑆 ⊆ ℂ)
33	16, 26	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 𝑇 ⊆ ℂ)
34		fvexd 6203	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ((𝑆 D 𝐹)‘(𝐺‘𝑥)) ∈ V)
35		fvexd 6203	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ((𝑇 D 𝐺)‘𝑥) ∈ V)
36		dvfg 23670	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
37		ffun 6048	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ → Fun (𝑆 D 𝐹))
38		funfvbrb 6330	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Fun (𝑆 D 𝐹) → ((𝐺‘𝑥) ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ (𝐺‘𝑥)(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘(𝐺‘𝑥))))
39	14, 36, 37, 38	4syl 19	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → ((𝐺‘𝑥) ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ (𝐺‘𝑥)(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘(𝐺‘𝑥))))
40	19, 39	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (𝐺‘𝑥)(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘(𝐺‘𝑥)))
41		dvfg 23670	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑇 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑇 D 𝐺):dom (𝑇 D 𝐺)⟶ℂ)
42		ffun 6048	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑇 D 𝐺):dom (𝑇 D 𝐺)⟶ℂ → Fun (𝑇 D 𝐺))
43		funfvbrb 6330	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Fun (𝑇 D 𝐺) → (𝑥 ∈ dom (𝑇 D 𝐺) ↔ 𝑥(𝑇 D 𝐺)((𝑇 D 𝐺)‘𝑥)))
44	16, 41, 42, 43	4syl 19	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → (𝑥 ∈ dom (𝑇 D 𝐺) ↔ 𝑥(𝑇 D 𝐺)((𝑇 D 𝐺)‘𝑥)))
45	21, 44	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 𝑥(𝑇 D 𝐺)((𝑇 D 𝐺)‘𝑥))
46		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
47	2, 6, 8, 12, 32, 33, 34, 35, 40, 45, 46	dvcobr 23709	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 𝑥(𝑇 D (𝐹 ∘ 𝐺))(((𝑆 D 𝐹)‘(𝐺‘𝑥)) · ((𝑇 D 𝐺)‘𝑥)))
48		reldv 23634	. . . . . . . . . 10 ⊢ Rel (𝑇 D (𝐹 ∘ 𝐺))
49	48	releldmi 5362	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥(𝑇 D (𝐹 ∘ 𝐺))(((𝑆 D 𝐹)‘(𝐺‘𝑥)) · ((𝑇 D 𝐺)‘𝑥)) → 𝑥 ∈ dom (𝑇 D (𝐹 ∘ 𝐺)))
50	47, 49	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑌) → 𝑥 ∈ dom (𝑇 D (𝐹 ∘ 𝐺)))
51	50	ex 450	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑌 → 𝑥 ∈ dom (𝑇 D (𝐹 ∘ 𝐺))))
52	51	ssrdv 3609	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ dom (𝑇 D (𝐹 ∘ 𝐺)))
53	30, 52	eqssd 3620	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑇 D (𝐹 ∘ 𝐺)) = 𝑌)
54	53	feq2d 6031	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 D (𝐹 ∘ 𝐺)):dom (𝑇 D (𝐹 ∘ 𝐺))⟶ℂ ↔ (𝑇 D (𝐹 ∘ 𝐺)):𝑌⟶ℂ))
55	25, 54	mpbid 222	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇 D (𝐹 ∘ 𝐺)):𝑌⟶ℂ)
56	55	feqmptd 6249	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇 D (𝐹 ∘ 𝐺)) = (𝑥 ∈ 𝑌 ↦ ((𝑇 D (𝐹 ∘ 𝐺))‘𝑥)))
57	15, 11	ssexd 4805	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ V)
58	7	feqmptd 6249	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑌 ↦ (𝐺‘𝑥)))
59	13, 36	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
60	3	feq2d 6031	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ ↔ (𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ))
61	59, 60	mpbid 222	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ)
62	61	feqmptd 6249	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) = (𝑦 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑆 D 𝐹)‘𝑦)))
63		fveq2 6191	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝐺‘𝑥) → ((𝑆 D 𝐹)‘𝑦) = ((𝑆 D 𝐹)‘(𝐺‘𝑥)))
64	17, 58, 62, 63	fmptco 6396	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹) ∘ 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝑌 ↦ ((𝑆 D 𝐹)‘(𝐺‘𝑥))))
65	15, 41	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑇 D 𝐺):dom (𝑇 D 𝐺)⟶ℂ)
66	9	feq2d 6031	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 D 𝐺):dom (𝑇 D 𝐺)⟶ℂ ↔ (𝑇 D 𝐺):𝑌⟶ℂ))
67	65, 66	mpbid 222	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑇 D 𝐺):𝑌⟶ℂ)
68	67	feqmptd 6249	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇 D 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝑌 ↦ ((𝑇 D 𝐺)‘𝑥)))
69	57, 34, 35, 64, 68	offval2 6914	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 D 𝐹) ∘ 𝐺) ∘𝑓 · (𝑇 D 𝐺)) = (𝑥 ∈ 𝑌 ↦ (((𝑆 D 𝐹)‘(𝐺‘𝑥)) · ((𝑇 D 𝐺)‘𝑥))))
70	23, 56, 69	3eqtr4d 2666	1 ⊢ (𝜑 → (𝑇 D (𝐹 ∘ 𝐺)) = (((𝑆 D 𝐹) ∘ 𝐺) ∘𝑓 · (𝑇 D 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200   ⊆ wss 3574  {cpr 4179   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729  dom cdm 5114   ∘ ccom 5118  Fun wfun 5882  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ∘_𝑓 cof 6895  ℂcc 9934  ℝcr 9935   · cmul 9941  TopOpenctopn 16082  ℂ_fldccnfld 19746   D cdv 23627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  dvmptco  23735  dvsinax  40127  dvcosax  40141